精品解析：安徽合肥经开实验学校等校2025-2026学年下学期期末考试七年级数学试题（沪科版）

七年级数学（沪科版） 注意事项： 1．数学试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1. 下列四个实数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，小华同学的家在点处，他想尽快到达公路边乘车到学校，他选择沿线段去公路边，他的这一选择用到的数学知识是（ ） A. 垂线段最短 B. 两点之间线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 经过一点有无数条直线 3. 华为Mate60系列搭载了自家研发的麒麟9000S处理器，这是一款采用5纳米工艺制造的芯片，性能更加强大，功耗更低，这一举措突破了以美国为首的西方国家对我国的高新技术封锁．已知，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 计算的结果等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于x的不等式组的所有整数解的和是9，则a的取值范围是（） A. B. C. D. 7. 在括号内填一个单项式，使多项式化简后能分解因式，在单项式①；②；③中，符合要求的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 8. 古代建筑中，榫卯结构至关重要，它通过凸出的榫和凹进的卯精密配合连接，使得建筑物连接牢固且难以松动．工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个榫需要的木材比每个卯需要的木材多千克．已知用千克木材制作榫的数量与用千克木材制作卯的数量相同．设制作1个榫需要的木材为千克，符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 9. 已知且，则的值为（） A. B. C. D. 10. 已知实数a，b满足，，则下列判断错误的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若分式的值为零，则x的值为______． 12. 一个正数x的平方根是与，则的立方根为______． 13. 有若干张边长如图所示的长方形卡片，如果要拼一个长为，宽为的矩形，则需要3类卡片共______张 14. 已知两个角与满足， （1）若两个角的两边分别平行，则__________； （2）若两个角的两边，一组平行，另一组垂直，则__________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 如图，已知每个小正方形的边长为1，且正方形的顶点称为格点，网格中有一艘小帆船，若小帆船先向右平移m个单位，再向上平移n个单位，平移后的船身部分已画出（船身顶点都在格点上）． （1）请在网格中补全平移后的船帆； （2）_______． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 先化简，再求值：，其中． 下面是甲、乙两同学的部分运算过程： 甲同学 解：原式… 乙同学 解：原式… （1）甲同学解法的依据是______；乙同学解法的依据是______；（填序号） ①等式的基本性质②分式的基本性质③乘法分配律④乘法交换律 （2）请你选择上面的一种解法，写出完整的解答过程． 18. 把下面的说理过程补充完整： 已知，如图，直线，被直线所截，点为与的交点， 于点，，．试说明：． 解：∵（已知）， （ ① ）， 又∵（已知）， ② ， ∵（ ③ ）， ， 又∵（已知）， ④ （ ⑤ ）， （ ⑥ ） 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 定义：如果一元一次不等式①的解都是一元一次不等式②的解，那么称一元一次不等式①是一元一次不等式②的蕴含不等式.例如：不等式的解都是不等式的解，则是的蕴含不等式. （1）在不等式，，中，是的蕴含不等式的是_______； （2）若是的蕴含不等式，求的取值范围； （3）若是的蕴含不等式，试判断是否是的蕴含不等式，并说明理由. 20. 【新定义】一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”． 例如：，，，，… 因此8，16，24，32都是“神秘数”． （1）【数学理解】根据“神秘数”规律填空： （__________）；（__________）（__________）； （2）【深入探究】设两个连续的奇数中，较小的奇数为（其中n取正整数），试说明“神秘数”一定是8的倍数； （3）【知识技能】我国的国土面积为960万平方公里，960是神秘数吗？如果是，请把这个神秘数分成两个连续的正奇数的平方差；如果不是，请说明理由； （4）【知识拓展】如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数，最小的正方形边长为1，第2个正方形边长为3，第3个正方形边长为5…，按此规律拼接到正方形，正方形的边长为99，求阴影部分面积的和． 21. 为了促进学生的身心健康全面发展，让学生身上有汗，眼里有光，体育组老师们准备购买一批呼啦圈．合适的呼啦圈有A和B两款，且A款比B款的单价贵10元，已知用450元购买的A款呼啦圈数与用350元购买的B款呼啦圈数相等，现准备同时购买A、B两款呼啦圈． （1）请问A款、B款呼啦圈单价各多少元？ （2）若准备同时购进A，B两款呼啦圈共计20个，总费用不超过720元，求至多购买A款呼啦圈多少个． 七、 22. 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． （1）请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的乘法公式． 图1：__________________，图2：__________________，图3：__________________； （2）根据上述图中你探索发现的结论，简便计算： ①；②； （3）若图1中a与b的值分别为和，且满足，请求出的值． 23. 如图1，自行车尾灯是由塑料罩片包裹的若干个小平面镜组成，利用平面镜反射光线，以提醒后方车辆注意，图（2）展示了光的反射定律，是镜面的垂线，一束光线射到平面镜上，经反射后的光线为，则入射光线、反射光线与垂线所夹的锐角． 请继续以下探究： （1）如图2，比较大小：_________． （2）如图3，若，判断光线和的位置关系，并说明理由．（小学就学过三角形三个内角和） （3）模拟应用研究在行驶过程中，后车驾驶员平视前方，且视点会高于反射点（如图4），因此小亮认为反射光线应与水平视线成一定角度．学习小组设计了如图5所示的模拟实验装置，使入射光线，当与所成夹角为时，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学（沪科版） 注意事项： 1．数学试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1. 下列四个实数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查实数大小比较，利用实数比较大小的基本法则即可求解． 【详解】解：∵，， ，，正数大于一切负数， ∴可排除C，D选项； ∵，，且， ∴， 因此四个实数中最小的数是． 2. 如图，小华同学的家在点处，他想尽快到达公路边乘车到学校，他选择沿线段去公路边，他的这一选择用到的数学知识是（ ） A. 垂线段最短 B. 两点之间线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 经过一点有无数条直线 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂线段最短，根据垂线段最短即可求解，掌握垂线段最短是解题的关键． 【详解】解：他的这一选择用到的数学知识是垂线段最短， 故选：． 3. 华为Mate60系列搭载了自家研发的麒麟9000S处理器，这是一款采用5纳米工艺制造的芯片，性能更加强大，功耗更低，这一举措突破了以美国为首的西方国家对我国的高新技术封锁．已知，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：用科学记数法表示为． 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同类项合并法则与幂的基本运算法则逐一判断即可得到正确结果． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，∴A错误； B、，∴B错误； C、，∴C错误； D、，计算正确，∴D正确． 5. 计算的结果等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解： ． 6. 已知关于x的不等式组的所有整数解的和是9，则a的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出不等式组的解集，再根据整数解的和为9确定符合条件的整数解，进而得到a的取值范围． 【详解】解：由不等式组可得解集为． ∵所有整数解的和为9，且，因此符合条件的整数解为2，3，4． 若，则整数解包含1，此时所有整数解的和为，因此． 若，则整数解不包含2，此时所有整数解的和为，因此． 综上，的取值范围是． 7. 在括号内填一个单项式，使多项式化简后能分解因式，在单项式①；②；③中，符合要求的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】分别将三个给出的单项式代入原多项式，化简后用因式分解的方法判断能否分解，统计符合要求的个数即可． 【详解】解：对于①，， 可以因式分解，所以①符合要求； 对于②，， 可以因式分解，所以②符合要求； 对于③，， 可以因式分解，所以③符合要求； 综上，符合要求的共有个． 8. 古代建筑中，榫卯结构至关重要，它通过凸出的榫和凹进的卯精密配合连接，使得建筑物连接牢固且难以松动．工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个榫需要的木材比每个卯需要的木材多千克．已知用千克木材制作榫的数量与用千克木材制作卯的数量相同．设制作1个榫需要的木材为千克，符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，设制作个榫需要的木材为千克，则每个卯需要的木材为千克，结合千克木材制作榫的数量与用千克木材制作卯的数量相同，列出方程即可，解题的关键是明确题意，列出相应的分式方程． 【详解】解：设制作个榫需要的木材为千克，则每个卯需要的木材为千克， 由题意可得，， 故选：． 9. 已知且，则的值为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对已知等式两边平方，求出的值，再计算所求式子的平方，最后根据的条件判断结果的符号，得到最终答案． 【详解】解：∵， ∴对等式两边同时平方，得， 展开得，整理得， ∵， 代入，得， 又∵， ∴，即， ∴． 10. 已知实数a，b满足，，则下列判断错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由可得，代入不等式组，即可解答． 【详解】解：由可得， ， ， 解得，故B正确； ，即，故A正确； ，， ，故C正确； ，， ，故D错误． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若分式的值为零，则x的值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】分式的分子为零且分母不为零时分式的值为零，据此解答． 【详解】解：由意义得，且， 解得， 故答案为：5． 【点睛】此题考查了分式值为零的情况：分子为零，且分母不为零，熟记值为零的特点是解题的关键． 12. 一个正数x的平方根是与，则的立方根为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正数的两个平方根互为相反数，列方程求出的值，再计算的值，进而求出的立方根． 【详解】解：∵一个正数的平方根是与， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴的立方根为． 13. 有若干张边长如图所示的长方形卡片，如果要拼一个长为，宽为的矩形，则需要3类卡片共______张 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了多项式的乘法和几何图形的综合题，正确列出算式是解答本题的关键．多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．先计算长为，宽为的矩形面积为，根据三张卡片的面积分别是，判断出各种卡片的张数即可． 【详解】解：一个长为，宽为的矩形，那么其面积为， 三张卡片的面积分别是， 那么分别需要2张，3张，5张，共需要10张， 故答案为：10． 14. 已知两个角与满足， （1）若两个角的两边分别平行，则__________； （2）若两个角的两边，一组平行，另一组垂直，则__________． 【答案】 ①. 或 ②. 或 【解析】 【分析】本题考查了同位角、同旁内角、和三角形内角和、三角形外角的应用，分情况讨论是解题的关键． （1）根据题意分成两种情况，和，分别代入，化简即可得出． （2）根据题意分成两种情况，分别画出相应图形，根据图形结合平行线的性质得出即可． 【详解】（1）若两个角的两边分别平行时，有两种情况， ①如图所示：时，则， 又∵， ∴， ②如图所示：， ， ， 又∵，， ∴， 化简可得， 故答案为或． （2）若两个角的两边，一组平行，另一组垂直，有两种情况， ①当两边分别满足时，如图所示， ，， ∴ ∴ ∴， 故； ②当两边分别满足时，如图所示， ，， ∴ ∴， 化简得 故答案为或． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据算术平方根、立方根、绝对值、零指数幂等知识进行化简计算即可． 【详解】解：原式 ． 16. 如图，已知每个小正方形的边长为1，且正方形的顶点称为格点，网格中有一艘小帆船，若小帆船先向右平移m个单位，再向上平移n个单位，平移后的船身部分已画出（船身顶点都在格点上）． （1）请在网格中补全平移后的船帆； （2）_______． 【答案】（1）见解析； （2）6 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的平移变换，熟练掌握图形平移时对应点的平移规律（平移方向和距离相同）是解题的关键． （1）根据平移性质，图形平移时，对应点的平移方向和距离相同，所以找到原船帆顶点，按照“先向右平移个单位，再向上平移个单位”的规则确定对应点，再连接对应点即可． （2）通过观察原船身与平移后船身的对应点，确定平移的水平距离（向右平移的单位数）和垂直距离（向上平移的单位数），然后计算的值． 【小问1详解】 解：依据题意可得，这些顶点向右平移个单位、再向上平移个单位，补全平移后的船帆如下， 【小问2详解】 解：原顶点到平移后顶点，水平方向向右移动的格数就是，经观察；垂直方向向上移动的格数就是，经观察． ， 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 先化简，再求值：，其中． 下面是甲、乙两同学的部分运算过程： 甲同学 解：原式… 乙同学 解：原式… （1）甲同学解法的依据是______；乙同学解法的依据是______；（填序号） ①等式的基本性质②分式的基本性质③乘法分配律④乘法交换律 （2）请你选择上面的一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】（1）②；③； （2） 解：甲同学：原式 ， 当时，原式； 乙同学：原式 ， 当时，原式． 【解析】 【分析】（1）根据分式的基本性质，以及乘法分配律，即可解答； （2）任选一种情况，根据分式的运算法则计算即可． 【小问1详解】 解：甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律； 【小问2详解】 略 18. 把下面的说理过程补充完整： 已知，如图，直线，被直线所截，点为与的交点， 于点，，．试说明：． 解：∵（已知）， （ ① ）， 又∵（已知）， ② ， ∵（ ③ ）， ， 又∵（已知）， ④ （ ⑤ ）， （ ⑥ ） 【答案】①垂直定义； ②；③对顶角相等；④1 ；⑤等量代换；⑥同位角相等，两直线平行 【解析】 【分析】要证，只需证，由已知条件、垂线的定义结合对顶角相等，得，即可求解． 【详解】解：∵（已知）， （垂直定义）， 又∵（已知）， ． ∵（对顶角相等）， ， 又∵（已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 定义：如果一元一次不等式①的解都是一元一次不等式②的解，那么称一元一次不等式①是一元一次不等式②的蕴含不等式.例如：不等式的解都是不等式的解，则是的蕴含不等式. （1）在不等式，，中，是的蕴含不等式的是_______； （2）若是的蕴含不等式，求的取值范围； （3）若是的蕴含不等式，试判断是否是的蕴含不等式，并说明理由. 【答案】（1）x＞3；（2）m＜9；（3）是，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据蕴含不等式的定义求解即可； （2）先求出不等式的解集，再根据蕴含不等式的定义求出m的取值范围即可； （3）由是的蕴含不等式求出n的取值范围，再判断是否是的蕴含不等式. 【详解】（1）由蕴含不等式的定义得，是的蕴含不等式. 故答案为； （2）由得，x＞3-m， ∵是的蕴含不等式， ∴3-m＞-6， ∴m＜9; （3）∵是的蕴含不等式， ∴ ∴n＞1， ∴-n＜-1, ∴-n+3＜2 ∴是的蕴含不等式. 【点睛】此题主要考查了不等式的解集，关键是正确确定两个不等式的解集． 20. 【新定义】一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”． 例如：，，，，… 因此8，16，24，32都是“神秘数”． （1）【数学理解】根据“神秘数”规律填空： （__________）；（__________）（__________）； （2）【深入探究】设两个连续的奇数中，较小的奇数为（其中n取正整数），试说明“神秘数”一定是8的倍数； （3）【知识技能】我国的国土面积为960万平方公里，960是神秘数吗？如果是，请把这个神秘数分成两个连续的正奇数的平方差；如果不是，请说明理由； （4）【知识拓展】如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数，最小的正方形边长为1，第2个正方形边长为3，第3个正方形边长为5…，按此规律拼接到正方形，正方形的边长为99，求阴影部分面积的和． 【答案】（1）40，13，11 （2）见解析 （3）960是神秘数， （4）阴影部分面积的和为5000 【解析】 【分析】（1）计算：用平方差公式；求48对应的两个连续奇数：设为和，则，得，对应； （2） 设两个连续奇数为和，则，是8的倍数，故神秘数一定是8的倍数； （3） 判断是否是8的倍数即可； （4）阴影面积和为，用平方差公式展开得，计算求解即可． 【小问1详解】 解：． 设， 则，解得， 则，， 即． 【小问2详解】 解：设两个连续奇数为和，则 ， 是8的倍数， ∴“神秘数”一定是8的倍数． 【小问3详解】 解：设，解得， 则， ∴，960是神秘数． 【小问4详解】 解：阴影面积和 ． 答：阴影面积为5000． 21. 为了促进学生的身心健康全面发展，让学生身上有汗，眼里有光，体育组老师们准备购买一批呼啦圈．合适的呼啦圈有A和B两款，且A款比B款的单价贵10元，已知用450元购买的A款呼啦圈数与用350元购买的B款呼啦圈数相等，现准备同时购买A、B两款呼啦圈． （1）请问A款、B款呼啦圈单价各多少元？ （2）若准备同时购进A，B两款呼啦圈共计20个，总费用不超过720元，求至多购买A款呼啦圈多少个． 【答案】（1）A款呼啦圈单价为元，B款呼啦圈单价为元 （2）至多购买A款呼啦圈个 【解析】 【分析】（1）根据两款单价的关系设未知数，利用“购买数量相等”的等量关系列分式方程求解，解后检验即可； （2）设A款购买数量，根据总数量表示B款数量，利用总费用的限制条件列一元一次不等式，求解后取最大正整数即可． 【小问1详解】 解：设B款呼啦圈单价为元，则A款呼啦圈单价为元根据题意得：  ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则A款呼啦圈单价为：（元）， 答：A款呼啦圈单价为45元，B款呼啦圈单价为35元． 【小问2详解】 解：设购买A款呼啦圈个，则购买B款呼啦圈个，根据题意得： ， 解得： ， 答：至多购买A款呼啦圈2个． 七、 22. 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． （1）请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的乘法公式． 图1：__________________，图2：__________________，图3：__________________； （2）根据上述图中你探索发现的结论，简便计算： ①；②； （3）若图1中a与b的值分别为和，且满足，请求出的值． 【答案】（1），，； （2）①；②； （3）17 【解析】 【分析】（1）根据阴影部分面积的不同表示形式列式即可； （2）①根据，结合完全平方公式求解；②原式化为，再由完全平方公式求解； （3）由已知可得，，根据，得到，即可求解． 【小问1详解】 解：图1整体上是边长为的正方形，因此面积为，拼成图1的四个部分的面积和为， ∴有 图2阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，阴影部分也可以看作大正方形面积与空白部分的面积差，即 ∴有， 图3中左图是长为，宽为的长方形，因此面积为，拼成的右图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即， ∴有， 【小问2详解】 解：①； ②； 【小问3详解】 解：∵，， ∴，； ∵， 即， 解得， 即． 23. 如图1，自行车尾灯是由塑料罩片包裹的若干个小平面镜组成，利用平面镜反射光线，以提醒后方车辆注意，图（2）展示了光的反射定律，是镜面的垂线，一束光线射到平面镜上，经反射后的光线为，则入射光线、反射光线与垂线所夹的锐角． 请继续以下探究： （1）如图2，比较大小：_________． （2）如图3，若，判断光线和的位置关系，并说明理由．（小学就学过三角形三个内角和） （3）模拟应用研究在行驶过程中，后车驾驶员平视前方，且视点会高于反射点（如图4），因此小亮认为反射光线应与水平视线成一定角度．学习小组设计了如图5所示的模拟实验装置，使入射光线，当与所成夹角为时，求的度数． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了余角的性质，平行线的性质等知识，掌握这些知识是解题的关键． （1）利用等角的余角相等即可求解； （2）设，由（1）知；由题意得；计算，则得； （3）过点C作，，由，则得，从而有；设，由（1）知；易得，同理：； 则得；由，可求得；在中，由三角形内角和即可求得的度数． 【小问1详解】 解：∵， ∴； ∴； ∵， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：；理由如下： 设， 由（1）知； ∵， ∴； ∵， ∴； ∵， 同理：； ∴， ∴； 【小问3详解】 解：过点C作， ∴； ， ∴， ∴； 设， 由（1）知； ∵， 同理：； ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $