3.1 函数的概念和表示法（导学案）：2025-2026学年湘教版八年级数学下册

该初中数学导学案聚焦一次函数3.1函数的概念和表示法，引导学生理解常量与变量、函数的概念及三种表示法，掌握函数值的求解。通过“温故知新”环节结合小学路程公式、奶茶店销售等生活实例回顾旧知，搭建从具体到抽象的学习支架。 以生活情境为载体，通过“函数对对碰”游戏、反例辨析突破“唯一确定”难点，培养抽象能力和推理意识。“校园奶茶店”建模活动让学生用三种表示法解决实际问题，发展模型意识和应用意识，分层练习助力巩固提升。

第3章 一次函数 3.1 函数的概念和表示法（导学案）：2025-2026学年湘教版八年级下册初中数学 【目标引领】 一、我能结合具体实例说出常量、变量、自变量、因变量的含义，并能在实际问题中准确识别。 二、我能理解函数的概念，掌握判断函数关系的三个条件，对"一对多"不是函数有清晰的辨别能力。 三、我能说出函数的三种表示方法（解析法、列表法、图象法），并能根据实际情境选择合适的表示方法。 四、我能根据函数解析式求出对应函数值，能从表格或图象中读取有用信息。 五、我能在教师引导下完成"校园奶茶店销售情况"的函数建模小报告，体会函数在生活中的应用价值。 【温故知新】 自学内容：教材第62页至第68页，3.1函数的概念和表示法全部内容。 自学方法：先通读全文圈出关键词，再细读概念并对照例题理解，最后尝试完成课后练习第1、2题。 自学时间：15分钟。 思考问题： 1. 回顾题：我们在小学学过路程、速度、时间的关系，公式s=vt中，哪些量是固定不变的，哪些量是可以变化的？请举例说明。 2. 思考题：假如你是奶茶店老板，卖一杯奶茶赚3元，卖的杯数和赚的总钱数之间有什么关系？给你一个杯数，能算出几个总钱数？反过来呢？ 3. 生活题：观察你身边的一个变化现象（比如烧水时水温随时间变化），说说这里面有哪些量在变化，哪些量不变，变化的量之间有什么联系。 【关键点】自学时重点关注"唯一确定"这四个字，这是判断函数的核心标准。 【要牢记】函数不是数，是两个变量之间的一种对应关系，千万别把函数当成一个具体的数值。 【探究新知】 一、变量与常量 什么是变量？什么是常量？我们通过一个生活场景来理解。 假如你周末去爬阳明山，从山脚爬到山顶用了2小时，山路全长3千米。在这个过程中，你走路的速度可能时快时慢，用的时间也会因为休息而变化，但山路的总长度3千米是固定不变的。 在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做变量，数值始终不变的量叫做常量。 【关键点】判断一个量是常量还是变量，必须放在具体的变化过程中来看。同一个量在不同情境下可能身份不同。比如汽车行驶的速度，在匀速行驶时是常量，在加速或减速时就是变量。 二、函数的概念 我们继续用爬山的例子。假设你保持匀速，每小时走2千米，那么走的时间t和走的路程s之间有什么关系？ 走1小时，路程是2千米；走2小时，路程是4千米；走0.5小时，路程是1千米。给一个时间t，就能算出唯一的一个路程s。像这样的关系，我们就说s是t的函数。 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。 判断函数关系有三个必备条件，缺一个都不行： 第一，必须在一个变化过程中； 第二，必须有两个变量； 第三，对于自变量的每一个确定值，因变量有且只有一个值与之对应。 这里容易踩坑的是第三个条件。一对一和多对一都是函数，但一对多绝对不是函数。比如父亲和儿子的关系，一个父亲可以有多个儿子，但一个儿子只能有一个亲生父亲。如果把父亲看作自变量，儿子看作因变量，那这就不是函数，因为一个父亲对应多个儿子，是一对多。反过来，如果把儿子看作自变量，父亲看作因变量，那这就是函数，因为每个儿子都只有一个亲生父亲，是多对一。 【要牢记】判断函数的口诀：自变量定，因变量唯一。一对一可以，多对一可以，一对多不行。 三、函数的三种表示方法 函数有三种常用的表示方法，各有各的特点，适合不同的场景。我们用一个对比表格来梳理： 表示方法一：解析法。用数学式子表示函数关系，比如s=2t，y=3x+1。这种方法的优点是准确、全面，可以计算任意自变量对应的函数值，适合做理论分析和推导。缺点是有些复杂的关系很难用式子表达，而且不够直观，看不出变化趋势。 表示方法二：列表法。用表格列出自变量和对应的函数值，比如成绩单、气温记录表。这种方法的优点是直观，查数据快，不用计算。缺点是只能列出有限组数据，不能反映全部的变化规律。 表示方法三：图象法。在平面直角坐标系中画出函数的图象，比如股票走势图、体温变化图。这种方法的优点是形象直观，一眼就能看出变化趋势和规律。缺点是不够精确，只能看个大概，而且画图比较麻烦。 【关键点】三种表示方法不是孤立的，它们可以互相转化。同一个函数关系，既可以用式子写出来，也可以列成表格，还可以画成图象。在解决实际问题时，要根据需要选择最合适的表示方法。 【课堂探究活动】 活动名称：校园奶茶店销售情况调查 分组人数：4人一组 时间限制：8分钟 活动步骤： 1. 每组假设开一家校园奶茶店，每杯奶茶售价8元，成本3元。 2. 第一组同学负责用解析法写出每天的利润y与销售杯数x之间的关系式。 3. 第二组同学负责用列表法列出销售0杯、10杯、20杯、30杯、40杯、50杯时的利润。 4. 第三组同学负责用图象法在坐标系中描出这些点，观察利润随销售杯数变化的趋势。 5. 第四组同学负责讨论：如果每天最多能卖80杯，那么自变量x的取值范围是什么？为什么？ 学生产出：每组派一名代表展示本组的成果，最后全班一起总结三种表示法的优缺点。 四、函数值 什么是函数值？说白了就是当自变量取一个具体数值时，对应的因变量的值。 比如函数y=2x+1，当x=3时，y=2×3+1=7，这个7就是当x=3时的函数值。 求函数值的方法很简单，就是把自变量的值代入函数解析式，然后计算出结果就行。但要注意，不是所有的自变量值都能代入，有些值是不允许的，这就涉及到自变量的取值范围问题。 【重点】 学生学函数概念时最常出现的问题是对"唯一确定"理解不到位，很多同学以为只要两个变量有关系就是函数，这是不对的。上次单元测试，有一道题判断"y²=x是不是函数"，全班62%的学生都答错了，认为是函数。实际上，当x=4时，y可以是2也可以是-2，一个x对应两个y，是一对多，所以不是函数。 为什么会出现这个问题？因为学生习惯了小学的正向思维，觉得给一个x能算出y就行，忽略了"唯一"这个关键词。还有的学生混淆了自变量和因变量，搞反了谁是谁的函数。比如路程和时间的关系，很多学生会说"时间是路程的函数"，虽然从数学上看，如果速度固定，路程确定了时间也唯一确定，这么说也没错，但在实际问题中我们通常把主动变化的量作为自变量。 突破这个重点的关键是多举反例。不要只给学生看正面的例子，还要给他们看大量不是函数的例子，让他们在对比中体会"唯一确定"的含义。比如圆的面积和半径是函数关系，但正方形的面积和边长呢？也是。那一个人的身高和年龄呢？不是，因为同一年龄的人身高可能不一样，一个年龄对应多个身高，是一对多。 【难点】 学生理解函数概念的难点在于从具体的数量关系中抽象出函数的本质。很多学生能背出函数的定义，但遇到具体问题还是不会判断。上届教这节课时，我让学生判断"关系式y=|x|中，y是不是x的函数"，有近一半的学生说不是，理由是"x正的时候y正，x负的时候y也正，两个x对应一个y，不是唯一的"。这说明他们把"唯一"搞反了，以为是一个y只能对应一个x，其实是一个x只能对应一个y。 突破方法：课堂上用5分钟做一个"函数对对碰"的小游戏。教师在黑板左边写5个自变量的值，右边写对应的因变量的值，用线连起来。然后让学生观察哪些连线方式是函数，哪些不是。比如左边1个点连右边2个点，这就不是函数；左边2个点连右边1个点，这就是函数。通过直观的连线，学生很快就能搞清楚"唯一确定"是对谁而言的。 具体操作： 1. 教师在黑板左侧画5个圈，分别标上1、2、3、4、5，代表自变量x的值。 2. 在黑板右侧画5个圈，分别标上2、4、6、8、10，代表因变量y的值。 3. 请3名学生上台，分别用不同的方式连线：第一种是一对一，第二种是多对一，第三种是一对多。 4. 全班一起判断：哪种连线方式表示y是x的函数？为什么？ 5. 教师总结：看左边的每个点，是不是都只连到右边的一个点。如果是，就是函数；如果有一个左边的点连了右边多个点，就不是函数。 这个活动做完，学生对"唯一确定"的理解就清晰多了，比单纯讲定义效果好得多。 板书设计： 3.1 函数的概念和表示法 一、变量与常量 变量：变化的量 常量：不变的量 二、函数的概念 两个变量 + 唯一对应 x自变量 → y是x的函数 三、三种表示法 解析法 列表法 图象法 四、函数值 代入计算 【范例导学】 例1 判断下列关系中，y是不是x的函数，为什么？ （1）y=2x-1 （2）y²=x （3）y=|x| 解： （1）y是x的函数。 理由：对于x的每一个确定的值，通过计算2x-1，都能得到唯一的y值。比如x=1时y=1，x=2时y=3，都是一对一，满足函数的定义。 （2）y不是x的函数。 理由：当x取一个正数时，比如x=4，y可以是2也可以是-2，因为2²=4，(-2)²=4。一个x对应两个y值，是一对多，不满足"唯一确定"的要求，所以不是函数。 （3）y是x的函数。 理由：对于x的每一个确定的值，取绝对值后都能得到唯一的y值。比如x=3时y=3，x=-3时y=3。这里虽然两个x对应同一个y，是多对一，但函数定义只要求一个x对应唯一的y，没说一个y只能对应一个x，所以是函数。 方法总结：判断函数关系三步走。第一步，看有没有两个变量；第二步，看自变量每取一个值，因变量有几个值对应；第三步，如果只有一个值对应，就是函数；如果有两个或更多值对应，就不是函数。记住：一对一可以，多对一可以，一对多不行。 例2 已知函数y=3x-2，求当x=0、x=2、x=-1时的函数值。 解： 当x=0时，把x=0代入解析式： y = 3×0 - 2 = 0 - 2 = -2 所以当x=0时，函数值是-2。 当x=2时，把x=2代入解析式： y = 3×2 - 2 = 6 - 2 = 4 所以当x=2时，函数值是4。 当x=-1时，把x=-1代入解析式： y = 3×(-1) - 2 = -3 - 2 = -5 所以当x=-1时，函数值是-5。 方法总结：求函数值就是代入计算。把自变量的值替换掉解析式中的x，然后按照运算顺序算出结果就行。注意负数代入时要加括号，避免符号出错。 例3 某水果店卖苹果，每千克5元。请用三种方法表示购买苹果的质量x（千克）与应付金额y（元）之间的函数关系。 解： 方法一：解析法 因为每千克5元，所以买x千克的总价就是5乘x，即： y = 5x 方法二：列表法 我们列出买不同质量苹果时的应付金额： x（千克） 1 2 3 4 5 y（元） 5 10 15 20 25 方法三：图象法 在平面直角坐标系中，以x为横坐标，y为纵坐标，描出点(1,5)、(2,10)、(3,15)、(4,20)、(5,25)，然后用直线把这些点连起来，就得到了这个函数的图象。 【图像说明：平面直角坐标系，横轴为x轴表示质量，纵轴为y轴表示金额，图象是一条从原点出发向右上方倾斜的直线，经过(1,5)、(2,10)等点】 方法总结：三种表示法各有优势。解析法简洁准确，适合计算；列表法直观明了，适合查数据；图象法形象生动，适合看趋势。实际应用中要根据需要选择最合适的方法，有时候还需要几种方法结合使用。 【课堂练习】 【达标检测】 1. 在关系式s=60t中，常量是______，变量是______。 2. 下列关系中，y是x的函数的是______（填序号）。 ① y=x+1 ② y²=x ③ y=√x ④ |y|=x 3. 已知函数y=2x+3，当x=1时，函数值是______；当x=0时，函数值是______。 4. 函数的三种表示方法分别是______、______、______。 5. 小明骑自行车去学校，速度是每分钟200米。用解析法表示路程s（米）与时间t（分钟）之间的函数关系：______。 【拓展提高】 6. 判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1）在一个变化过程中，可以有多个常量，但只能有两个变量。 （2）如果y是x的函数，那么x也一定是y的函数。 7. 某出租车的收费标准是：起步价8元（3千米以内），超过3千米的部分每千米1.5元。 （1）写出乘车路程x（千米，x>3）与车费y（元）之间的函数关系式。 （2）小明坐了10千米，应付多少钱？ 8. 观察下面的表格，判断y是不是x的函数，并说明理由。 x 1 2 3 4 5 y 3 5 7 9 11 【收获盘点】 一、知识网络图（文字描述） 本章内容从生活中的变化现象出发，先认识了变量和常量，然后引出函数的概念。函数的核心是两个变量之间的"唯一确定"对应关系，其中主动变化的叫自变量，随之变化的叫因变量。表示函数有三种方法：解析法用数学式子表达，准确全面；列表法用表格呈现，直观方便；图象法用图形展示，形象直观。三种方法各有特点，可以互相转化。给定自变量的值，代入解析式就能求出对应的函数值。判断一个关系是不是函数，关键看是不是满足"一个自变量对应唯一的因变量"，一对一和多对一都是函数，一对多不是函数。 二、方法提炼 1. 判断函数的方法：三看。一看是不是在变化过程中，二看是不是有两个变量，三看自变量每取一个值，因变量是不是只有一个值对应。 2. 求函数值的方法：代入法。把自变量的值代入解析式，按运算顺序计算即可，注意负数和分数代入时的符号问题。 3. 选择函数表示法的方法：看需求。要精确计算选解析法，要快速查数据选列表法，要看变化趋势选图象法。 4. 理解函数概念的小窍门：把函数想象成一台机器，从这边放进去一个x，那边就出来一个唯一的y。如果放进去一个x，出来两个或更多个y，那这台机器就不是函数机器。 【要牢记】函数不是数，是关系。这是初学函数时最容易犯的错误，一定要在脑子里建立起"函数是一种对应关系"的观念，而不是一个具体的数。 【答案解析】 【达标检测答案】 1. 【答案】常量是60，变量是s和t。 【解析】在关系式s=60t中，60是固定不变的速度，所以是常量；s是路程，t是时间，它们的数值都可以变化，所以是变量。 2. 【答案】①③ 【解析】①y=x+1，对于每一个x，都有唯一的y值对应，是函数。 ②y²=x，一个x对应两个y值（正负），不是函数。 ③y=√x，根号表示算术平方根，结果是非负的，一个x对应唯一的y，是函数。 ④|y|=x，一个x对应两个y值（正负），不是函数。 3. 【答案】当x=1时，函数值是5；当x=0时，函数值是3。 【解析】当x=1时，y=2×1+3=2+3=5。 当x=0时，y=2×0+3=0+3=3。 4. 【答案】解析法、列表法、图象法。 【解析】这是函数的三种基本表示方法，各有特点，在不同场景下使用。 5. 【答案】s=200t 【解析】路程等于速度乘时间，速度是每分钟200米，时间是t分钟，所以路程s=200t。 【拓展提高答案】 6. 【答案】 （1）错误。 理由：在一个变化过程中，常量可以有多个，变量也可以有多个，不一定只有两个。比如在路程公式s=vt中，如果速度和时间都在变，那就有三个变量：s、v、t。只是我们研究函数关系时，通常只关注两个变量之间的对应关系。 （2）错误。 理由：如果y是x的函数，说明一个x对应唯一的y，但反过来不一定成立。比如y=x²，y是x的函数，但x不是y的函数，因为一个y（比如4）对应两个x（2和-2）。只有当函数是一对一的时候，反过来才也是函数。 7. 【答案】 （1）y=8+1.5(x-3)，化简得y=1.5x+3.5（x>3） 【解析】起步价8元是3千米以内的价格，超过3千米后，每多1千米加1.5元。所以当x>3时，超过的部分是(x-3)千米，这部分的费用是1.5(x-3)元，再加上起步价8元，就是总车费。化简后得到y=1.5x+3.5。 （2）应付18.5元。 【解析】当x=10时，代入函数关系式： y=1.5×10+3.5=15+3.5=18.5 所以小明坐10千米应付18.5元。 8. 【答案】y是x的函数。 理由：观察表格，对于x的每一个值（1、2、3、4、5），y都有唯一确定的值与之对应（3、5、7、9、11），都是一对一的关系，满足函数的定义，所以y是x的函数。 【解析】判断表格中的关系是不是函数，就看每一行的x值是不是都只对应一个y值。如果有一个x值对应了多个y值，那就不是函数；如果每个x值都只对应一个y值，那就是函数。这道题中每个x都只对应一个y，所以是函数。 学科网（北京）股份有限公司 $