3.2 一次函数-【学海风暴】2025-2026学年八年级下册数学同步备课（湘教版）

3.2 要点提园 1.一次函数的概念：形如y=kx十b(k,b为常数，k 数y=kx(k为常数，k≠0)也叫作正比例函数. 2.一次函数的特征：因变量随自变量的变化是均匀 少)相同的数量). 已课内基础练 知识点① 一次函数的概念 1.下列函数中，是一次函数的是 A.y=4.x-5 B.y=2.x2 C.y=6 1 D.y= x-1 2.把方程2x十y=3改写成y关于x的一次函 数形式，得 ,其中k= ,b= 3.若函数y=(2k+1)2x+k是关于x的一次 函数，则常数飞必须满足 知识点②正比例函数的概念 4.(2025张家界慈利期末)下列函数关系式中， y是x的正比例函数的是 ( A.y=2x B.y=2x+1 1 C.y=- D.y=x2 5.(教材变式)下列各组的两个变量之间，成正 比例函数关系的是 A.矩形的面积和它的一条边长 B.圆的半径和它的面积 C.工作效率一定，工作量与工作时间 D.路程一定，速度与时间 知识点③正比例函数与一次函数 6.已知函数y=(m一1)x十m. (1)当m 时，y是x的一次 函数. (2)当m 时，y是x的正比例 函数. 次函数 0)的函数称为一次函数.特别地，当b=0时，一次函 的〔自变量每增加1个最小单位，因变量都增加（或减 知识点④列一次函数的表达式 7.已知长方形的周长为30cm,它的长为xcm,宽 为ycm,则y与x之间的函数关系式为 ,该关系式 (填 “是”或“不是”)一次函数， 变式题根据实际问题列出函数的表达式 海拔每升高1km,气温约下降6℃.某地 地面温度为28℃，海拔升高x(单位：km) 后，温度为y(单位：℃).y关于x的函数 表达式为 8.一题多设问写出下列各题中y关于x的函 数表达式，并判断这个函数是否为一次函 数，是否为正比例函数。 (1)一辆汽车以60km/h的速度匀速行驶， xh后这辆汽车共行驶了ykm. (2)一个正方形的边长为xcm,它的面积为 y cm2. (3)一棵树高50cm,平均每个月长高2cm, x个月后这棵树的高度为ycm. 下册第3章 45△ 已课外拓展练 9.已知一次函数y=3.x十1，当自变量增加3 时，相应函数值增加 A.10 B.9 C.3 D.8 10.已知函数y=(m-2)xm-3十n十2(m,n 是常数)是正比例函数，则m十n的值为 A.-4或0 B.±2 C.0 D.-4 变式题当m= 时， 关于x的函数y=(m一3)x2m+1十4x一5 是一次函数。 11.观察如下图形和表格，判断图形的周长m 与小梯形的个数n之间的函数关系式是 ( 小梯形的个数n123 图形的周长m 58 11 14 2 2 2 1 2 第11题图 A.m=4n-2 B.m=4n-1 C.m=3n+1 D.m=3n+2 12.新定义题定义[p,q]为一次函数y=px十 q的“特征数”.若“特征数”为[t,t+3]的 次函数为正比例函数，则这个正比例函数 的表达式为 13.某风景区集体门票的收费标准如下：30人 以内（含30人），每人35元；超过30人，超 出的人数每人20元. (1)写出应收门票费用y(单位：元)关于游 览人数x(x>30)的函数表达式. (2)如果某单位有45人去该风景区游览， 那么购买门票的费用为多少元？ 446 八年级数学J版 (3)若某单位购买门票花了1650元，则该 单位组织了多少人去该风景区游览？ 已核心素养练 14.模型观念将长为30cm、宽为10cm的矩 形白纸按下图所示的方法黏合后得到一个 大矩形，黏合部分的宽是3cm.设x张白纸 黏合后的总长度为ycm. (1)求y与x之间的函数关系式，并判断y 是不是x的一次函数， (2)当x=20时，求y的值. (3)白纸黏合后的总长度能为2024cm吗？ 请说明理由。 3 cm 10 cm 30 cm7.C【解析】由题意，得点B的坐标为(m十1,5).因为点 B的横坐标和纵坐标相等，所以m十1=5，解得m=4. 8.解：(1)(2，-1)(4,3) (2)如图，△A'B'C‘即为所求，其中A'(0,0),B'(2,4), C'(-1,3). 2×2×4-×3×1- 1 (3)△ABC的面积=3×4- ×3×1=5. 9.B10.C 11.B【解析】由题意可得，A种瓷砖的坐标规律为（单 数，双数)，（双数，单数）；B种瓷砖的坐标规律为（单 数，单数)，（双数，双数）， 所以(2024,2025)位置是A种瓷砖，故A选项不符 合题意：(2025,2025)位置是B种瓷砖，故B选项符 合题意；(2026,2026)位置是B种瓷砖，故C选项不 符合题意；(2025,2026)位置是A种瓷砖，故D选项 不符合题意 第3章一次函数 3.1函数的概念和表示法 3.1.1变量与函数 1.C2.C3.D4.-75.B 6.y=3.5x 7.x>2或x<【解析】由题意，得二0，其中x-2 ≠0，则/-1≥0 或/-1≤0， 解得x>2或x≤1. x-2>0 x-2<0. 8.C 9.(1)xy(2)y=2x+189 3.1.2函数的表示法 1.C 2.D【解析】A.在弹簧的弹性限度内，y随x的增大而 增大，故本选项说法正确：B.在弹簧的弹性限度内，所 挂物体的质量每增加1kg,弹簧的长度增加0.5cm,故 本选项说法正确；C.在弹簧的弹性限度内，所挂物体的 质量为7kg时，弹簧的长度为13.5cm,故本选项说法 正确：D.不挂物体时，弹簧的长度为10cm,故本选项 说法错误， 3.y=50x+20 4.y=8-2x2<x<4【解析】因为AB+AC+BC= 418 八年级数学XJ版 8,且AB=AC=x,BC=y,所以y=8一2x.因为 AB>0, x>0, BC>0, 即8-2x>0,解得2<x<4. AB+AC>BC,2x>8-2x, 5.解：(1)7.6 (2)根据题意可知，当有x节链条时，重叠部分的圆有 (.x-1)个，所以y=2.5.x-0.8(x-1),即y=1.7x十 0.8. (3)68.8【解析】(3)链条总长度是1.7×40+0.8= 68.8(cm). 3.2一次函数 1.A2.y=-2x+3-233.k≠-24.A 1 5.C【解析】A矩形的面积S=ab,只有其中一条边长a 为常量，面积S才与另一条边长b成正比例.根据题意， α不一定是常量，所以矩形的面积和它的一条边长不一 定成正比例，故本选项不符合题意；B.圆的面积S= πr,S与r不成正比例，故本选项不符合题意；C.设工 作效率为a(a为常量，a≠0)，工作量为s,工作时间为 t,则s=at(a为常量，a≠0)，是正比例函数，故本选项 符合题意；D.设路程为s(s为常量，s≠0)，速度为，时 间为1，则。=广(s为常量8≠0)，所以0与1不成正比 例，故本选项不符合题意。 6.(1)≠1(2)=0 7.y=15-x是 变式题y=28-6x 8.解：(1)y=60x.这个函数是一次函数，也是正比例 函数. (2)y=x2.这个函数不是一次函数，也不是正比例 函数. (3)y=2x+50.这个函数是一次函数，不是正比例 函数. 9.B 10.D【解析】因为函数y=(m一2)x2-3十n+2(m,n 是常数)是正比例函数， m2-3=1, m=±2， 所以m一2≠0，解得m≠2，所以 m=-2, n=一2， n+2=0, n=-2, 所以m十n=一4. 变式题3或0或- ,【解析】当m-3=0,即m=3 时，y=4x一5为一次函数；当2m十1=1，即m=0 时，y=x-5为一次函数：当2m十1=0，即m=一2 1 17 时，y=4x一2为一次函数.综上可知，m的值为3或 1 0或一2 11.D【解析】当n=1时，m=5=1×3十2；当n=2时， m=8=2×3+2:当n=3时，m=11=3×3+2;当n =4时，m=14=4×3十2；….由此规律可得m= 3n+2. 12.y=-3.x【解析】依题意，得p=t,q=t十3.因为该 函数为正比例函数，所以q=0,即t十3=0，解得t 一3，所以这个正比例函数的表达式为y=一3.x. 13.解：(1)y=35×30+(x-30)×20=20x+450(x>30). (2)将x=45代入y=20x+450,得y=20×45+450 =1350.故购买门票的费用为1350元. (3)由题意知，该单位组织去该风景区游览的人数超 过30.将y=1650代入y=20x+450,得1650=20x 十450，解得x=60. 故该单位组织了60人去该风景区游览. 14.解：(1)根据题意，得x张白纸黏合，需黏合(x一1) 次，黏合部分的总宽是3(x一1)cm,所以y=30x 3(x一1)=27x十3(x≥1且x是整数)，所以y是 的一次函数， (2)把x=20代入y=27.x+3,得y=27×20+3=543. (3)不能.理由：把y=2024代入y=27x+3,得27x 十3=202，解得x-292,因为x为整数，所以白纸 黏合后的总长度不能为2024cm. 3.3一次函数的图象 第1课时正比例函数的图象与性质 1.A2.D3.C 4.>【解析】因为一1<0，所以y随x的增大而减小. 又因为-5<6，所以y1>y2· ◆一题多解法《 将x=-5代入y=-x,得y1=5;将x=6代入 y=-x,得y2=-6,所以y1>y2. 5.2一、三增大 6.四【解析】因为点D(2,a)在正比例函数y=2x的 1 图象上，所以a=2×2=1,所以3a-5=3-5=一2， 所以点Q的坐标为(1，一2)，位于第四象限. 7.解：(1)-6-3036 (2)描点如图所示. 6-5-4-3-2-17 )123456 (3)连线如图所示. 8.解：(1)由总价=单价×数量，可得y=20×0.9x =18.x. 因为90÷18=5(kg), 所以x的取值范围为0≤x≤5， 所以y关于x的函数表达式为y=18x(0≤x≤5). (2)由(1)知，y与x成正比例函数关系. 901.2/元 当x=0时，y=0; 当x=5时，y=90. 在平面直角坐标系中描出点(0,0)和点 (5,90),如图，连接两点即为函数y=05g 18x(0≤x≤5)的图象 9.B 10.A【解析】因为点P(m,0)在x轴负半轴上，所以m <0,所以函数y=mx的图象经过第二、四象限. 11.B【解析】因为y=(m一2)x十m2一4是y关于x的 正比例函数，所以m一2≠0， 所以m=一2，所以正 m2-4=0. 比例函数的表达式为y=一4x,xA=一2，xB=2.因 为k=一4<0，所以y随x的增大而减小.又因为点 A(m,a)和点B(一m,b)在该函数的图象上，且xA< xB,所以yA>yB,即a>b. 12.b>a>c【解析】根据图象经过的象限，得a>0,b一 0,c<0;再根据直线越陡，k越大，得b>a>c. 13.一2【解析】因为在正比例函数y=kx中，k<0, 所以y随x的增大而减小. 当x=1时，y=k;当x=3时，y=3k. 因为当1≤x≤3时，函数y的最大值和最小值之差为4， 所以k一3k=4,解得k=一2. 变式题一5【解析】因为y随x的增大而减小，且当 一1≤x≤2时，函数有最大值5， 所以当x=一1时，函数有最大值5， 所以-k=5,解得k=一5. 14.解：1)正比例函数y=一4x,y:=4x的图象如图 所示.垂直 4-32 12345x (2)垂直 1 (3)因为直线y=(a+2)x(a为常数)与直线y=2x 互相垂直，所以a十2=一2，所以a=一4. 15.解：(1)过点(0,0)，(1,1)作直线即得函数y=x的图 象，如图所示. 下册参考答案 19个