第37期 一 次函数 , 一次函数的图象 ,用待定系数法确定一次函数的表达式-【数理报】2025-2026学年八年级下册数学学案（湘教版·新教材）

喽丑档 本版责任编辑：张朝卿 报纸编辑质量反馈电话 ★)： 0351-5271268 2.(102)日红-次图线Y-(20-4)6+(3-91(9.四滤济 非入你·浙斗工提彩120K 报纸发行质量反馈电话 0351-5271248 36期2版 3.1.1变量与函数 20.(8安)防分誉嘴公柴明律沙您入地欢善工张分明H行系 2.B;3.D 4.(1)0.52为常量，) 变量 (2)3为常量，l,a为变量 (3)60 为常量，a,b为变量 (4)90°是常量，x,y 是变 3.1.2.1函数的表示法 (图象法) 2.B: 3 4.0.5 5.y=1x+31.图象略 6. (1)10:(2)1;(3)3: (4)不一样.理由略 7. (1)8,4:(2)a 24 (3)b=17. 3.1.2.2函数的表示法 (列表法、公式法) -10x -4200(1≤ ≤9的整数》 4.(1)自变量是 r ,因变量 (2)V=4πr 质内（就：4。 (3)圆柱的体积 16 cm 变化到256πcm3 ,刹车距 (2)有差查含C8个面高确各所标中国H一公图数入-26-4 22.22一次图数/：28-48窗数与为批应士店！、国际江 ()米正：店(3.0查克图烧图家后： =0.25( ≥0 22.(102)行一次图线)(K-3)(食70)。 速行驶 期3,4版 、1 C: C 2.B;3.C ;6.C 7.A 8.D; 9.D 6: 20: 13.7.9×104；14.450 15 +20Tx; 16.2或4. 三、17.(1)y =6 )x=4或 -2 18 (1)y是关于x的函数 76S4211234567 2)①当x=48时，y=3.60, 实际 义： 当信件质量为 ,邮资为3.60 ② 封邮件的邮资为 2.40 元 ,信件的质量大 约是 20 且 超过 40克 19. Y =5 +9 当 12 时 1)y= 3x+24(0< 8). 2)当x =3时，y= 15. 2 (1)小明的百米成绩是 2s,小亮的百米成绩是 5 25 ()含请(-2.2)4)水工为电正电国断数入。前交明：真收科析 拼州。(2.1)分一次断数)-x-1明：3你种凭？ 小明的速度是 3 m/s 小亮的速 E是8 m/s (3)96m. 不能相遇 .(1)表格从左到右依次 填 4. 2,5.9,11 (2)y=1.7x+0.8 (3) 总长度是136cm 23.(1)刹车时车速，刹车 距离 (2)70.(3)y=0.25x. 是不前 24.(1)当x= 3时， =7 当x=2时y (2)A (3)输人的x值为0或5 数理报 2026年3月18日·星期三 初中数学 第 37期总第1181期 (湘教八年级) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办 数理报社编辑出版 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/八F) 设一次函数的图象（名师点睛、 所以a<0 为直线y=x+b(k≠ 因为ab>0,所以b<0. 味 0),由平移性质可知平 b”的作用 所以点A(a,b)在第三象限 移前后的直线互相平 故选B. 规律在 总大放异彩 三、判断函数图象 平 行，所以一次项系数k ◎重庆马艳 例3若m<-2,则一次函数y=(m+1)x 的大小没有改变，只要 次函数y=kx+b(k,b是常数，k≠0)中， +1-m的图象可能是 探究常数项的变化规律k,b不同，函数不同，其图象与性质也不同，可以 即可 说k,b决定了一次函数的图象与性质， 不 一、沿y轴上下平 一、比较大小 例1若一次函数y=2x+1的图象经过点 A B 在直线y=kx+b1 (-3,y),(4,y2),则y1与y2的大小关系是 解：因为m<-2 上取一点(0，b),将直 ( 所以m+1<-1,1-m>3. 所以一次函数y=(m+1)x+1-m的图象 线向上平移m(m>0) A.yI<y2 B.y1>y2 个单位长度时，该点也 C.y1≤y2 D.y1≥y2 经过第一、二、四象限 解：因为一次函数y=2x+1中，比例系数 故选D. 向上平移m个单位长 =2>0,所以y随着x的增大而增大 四、求取值范围 度，得到点(0，b+m).设平移后的直线表达式 例4一次函数y=(k+2)x 因为-3<4，所以y1<2 为y=kx+c,因为点(0，b+m)在此直线上，所 +b的图象如图所示，则k的取值 故选A. 以b+m=0·k+c,即c=b+m.所以平移后 范围是 ( 二、确定象限 A.k≥-2 的直线表达式为y=x+(b+m).同理，直线y 例2在一次函数y=-5ax+b(a≠0)中， B.k<-2 =kx+b向下平移m(m>0)个单位长度后，所y的值随x值的增大而增大，且ab>0,则点 C.k≤-2 得函数表达式为y=kx+(b-m).所以向上（或 A(a,b)在 ( D.k>-2 向下)平移m(m>0)个单位长度，就是将常数 A.第四象限 B.第三象限 解：根据图象，得y随着x的增大而增大， 项加上（或减去）m,即“上下平移，上加下减”。 C.第二象限 D.第一象限 所以k+2>0 解：因为在一次函数y=-5ax+b中，y随x 解得k>-2. 例1在平面直角坐标系中，将函数y=3x 的增大而增大，所以-5a>0. 故选D. +2的图象向下平移3个单位长度，所得的函数 表达式是 ( 题型 AB-,F0,2 A.y=3x+5 B.y=3x-5 欠函数中的 B.E(-2,2),F(0,2) C.y=3x+1 D.y=3x-1 解：将函数y=3x+2的图象向下平移3个 ③最值问题 c(-33,P0, 单位长度后，所得图象的函数表达式为 ⊙湖南彭井 DE(-2,2),F(0,号) y=3x+2-3=3x-1. 最值问题立足于图形变换的基础上，通过 解：分别作点C关于y轴的对称点G(2,0) 故选D. 次函数的图象确定最值点，增强数学意识 关于直线y=x+4的对称点D,连接AD,连接 例1如图1，直线y1=x 二、沿x轴左右平移 /y1=x+3 DG交AB于点E,交y轴于点F,如图2，此时 +3分别与x轴y轴交于点A △CEF周长最小.因为一次函数y=x+4的图象 在直线y=x+6上取一点(-冬.0)，将直和点C直线+3分别 与x轴、y轴分别交于点A,B,所以A(-4,0) ,与x轴、y轴交于点B和点C, 线向左平移m(m>0)个单位长度，该点也向左 +3 2- B(0,4).所以△A0OB是等腰直角三角形.所以 点P(m,2)是△ABC内部（包 图 ∠BAC=45°.因为C,D关于AB对称，所以 平移m个单位长度，得到点(-么-m,0设平 括边上)的一点，则m的最大 ∠DAB=∠BAC=45°.所以∠DAC=90°.因为 值与最小值之差为 C(-2,0),所以AC=OA-OC=2=AD.所以 移后的直线表达式为y=x+d,则 A.1 B.2 C.4 D.6 D(-4,2).设直线DG的表达式为y=kx+b.将 解：因为点P(m,2)是△ABC内部（包括边 -无-+d=0即d=km+6所以平移后上)的点所以点P所在的直线平行于轴 D(-4,2),G(2,0)代入，得{4+6=2，解得 的直线表达式为y=k(x+m）+6.同理，直线)当点P为直线与直线方=-+3的交点时，m 12k+b=0. =x+b向右平移m个单位长度后，所得函数表 取最大值，有-m+3=2,解得m=1;当点P为 直线l与直线y1=x+3的交点时，m取最小值 3'所以直线DG的表达式为)=-3 2 达式为y=k(x-m)+6.所以向左（或向右）平有m+3=2,解得m=-1.所以m的最大值与 b= 移m(m>0)个单位长度，就是将自变量的值加最小值之差为：1-(-1)=2.故选B. 3x+ ，令x=0,得y=子所 上（或减去）m,即“左右平移，左加右减” 例2如图2，一次函 y B 例2 一次函数y=-x-1向右平移6个 数y=x+4的图象与x =x+4, 轴、y轴分别交于点A,B E 以点F的坐标为(0，号)解 12得 单位长度后的表达式为 y=- 3x+3 点C(-2,0)是x轴上 解：一次函数y=-x-1向右平移6个单位点，点E,F分别为直线y 7A C OG 图2 长度后的表达式为y=-(x-6)-1=-x+5. =x+4和y轴上的两个动点，当△CEF周长最 所以点E的坐标-，)故选C 故填y=-x+5. 小时，点E,F的坐标分别为 2 素养·专练 A 数理极 3.2一次函数 3.3一次函数的图象 8.已知正比例函数y=(2m+4)x,据此回答 + 1.下列函数中，是一次函数的是 1.函数y=kx(k≠0)的图象经过点(-2， 下列问题： A.y=x2+1 B.y=3x+1 1),则这个函数的表达式是 ( (1)当m为何值时，函数图象经过第一、三象 C.y =x +3 n=2 A.y =2x B.Y =-2x 限？ ny=-2 (2)当m为何值时，y随x的增大而减小？ 2.当x= 时，一次函数y=3x+1与 (3)当m为何值时，点(1,3)在该函数图象 一次函数y=2x-4的函数值相等. 2.在平面直角坐标系中，一次函数y=2x-31 上？ 3.现定义[P,9]为函数y=px+q的特征数， 的图象是 若特征数为[a-1,a+2]的函数是正比例函数 则这个正比例函数的表达式是 4.已知y=(m+1)·x2-m+n+5. (1)当m,n为何值时，y是x的一次函数？ (2)当m,n为何值时，y是x的正比例函数？ 0/3 D 3.如图1，直线)=4+6分别与x轴y轴相 交于点M,N,点P在平面内，∠MPN=90°，点 C(0,3),则PC长度的最小值是 ( A.3√10-4 B.55 C.2 D.1 /y=2a 9.已知直线y=kx+2-k(其中k≠0)，当k 取不同数值时，可得不同直线， 0 (1)①当k=1时，直线l,对应的函数表达式 -kx 为 请在图3中画出直线， 图1 图2 4.函数y=2x与y=6-kx的图象如图2所 ②当k=2时，直线1，对应的函数表达式为 示，则k= 一，请在图3中画出直线2 5.已知直线y=x+b经过第一、三、四象限 ③观察①②的直线，猜想：直线y=x+2-k 5.某自行车保管站在某个星期日接收保管的那么直线y=bx+k不经过第 必经过点( 象限 车共有550辆，其中电动自行车的保管费是每辆 (2)试说明(1)③中你的猜想 6.请在同一直角坐标系中画出y=-5x和 1.5元，普通自行车的保管费是每辆1元 y=2x的图象 (1)设普通自行车的数量为x辆，总保管费为 + y元，试写出y与x之间的函数表达式，并判断其是 否为一次函数或正比例函数； (2)若总保管费为650元，则电动自行车和普 通自行车各有多少辆？ ! 7.已知在正比例函数y=(m+1)x中，y的值 随x的增大而增大，而在正比例函数y= (2m-4)x中，y的值随x的增大而减小，且.m为 整数，请求出m的可能值。 ! + 数理报社试题研究中心 参考答案见下期 三、解答题（本题共8小题，共72分）》 3.2~3.3同步达标自评 17.(6分)已知正比例函数y=(3k-1)x经过点(1，-2) (1)求k的值； ◆数理报社试题研究中心 (2)判断点A(3,2)是否在这个函数的图象上， (答题时长120分钟，满分120分) 图1 图2 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 9.光从空气进人水中人入水前与入水后的光路图如图2所示.若 1.一次函数y=3x-1的一次项系数是 建立如图2所示的平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在 A.3 B.-3 直线的表达式分别为y1=k1x,y2=kx,则关于k1与k2的关系正确 C.1 D.-1 的是 2.一次函数y=2x+5的图象与y轴的交点坐标是 A.k1>0,k2<0 B.k1>0,k2>0 A.(2,5) B.(0,2) C.I kl <I k I D.I k I >k I C.(0,5) n(-3. 10.如图3，在平面直角坐标系中，已知 B 3.下列各点中，在正比例函数y=-3x的图象上的是( 直线？=一子+3与轴y轴分别交于A, 18.(6分)已知函数y=(m-2)x3-m+m+7. 初 A(3) B(-31) B两点，点C(0,n)是y轴正半轴上一点.把 B'0 初 中 图3 (1)当m为何值时，y是x的一次函数？ 坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x c(-- D.(0,1) (2)若函数是一次函数，则x为何值时，y的值为3？ 轴上，则点C的坐标是 中数学 湘 4.已知点(a,b)在y=2x-1的图象上，则2a-b的值为 教 A(o,) B(0,) 元 必 A.1 B.0 C.(0,3) D.(0,4) 级 能 C.-1 D.2 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 力 5.已知点(-1，y),(3,2)在一次函数y=2x+1的图象上，则 11.若函数y=xm-2+5是关于x的一次函数，则m= 湘教八年级能力达标 自 方1，少2的大小关系是 12.若y-2与2x+3成正比例，且比例系数是子，则y与x的函 评卷 A.yI<y2 B.Y=y2 自评卷 数表达式为 C.y>y2 D.不能确定 13.在平面直角坐标系中，若将一次函数y=-2x+m的图象向 6.已知ab>0,则正比例函数y=8的图象经过 下平移3个单位长度后经过原点，则m的值为 19.(8分)如图5，是一次函数y=-2x+4的图象， A.第一、三象限 B.第二、三象限 14.如图4，过点A的一次函数y=kx+b的 （1)点A的坐标为 ,点B的坐标为 =2 C.第二、四象限 D.第一、四象限 图象与正比例函数y=2x的图象相交于点B, (2)若C(-3,n)在该图象上，求△OAC的面积 7.在平面直角坐标系中，直线y=-x+m(m为常数)与x轴交 则△AOB的面积是 于点A,将该直线沿x轴向左平移6个单位长度后，与x轴交于点'， 15.已知y是x的函数，若函数图象上存在 0/ 若点A'与A关于原点0对称，则m的值为 一点M(m,n),满足m+n=1,则称点M为函数 图4 A.-3 B.3 图象上的“姐妹点”.例如：直线y=x-5上存在的“姐妹点” C.-6 D.6 8.如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y=x+4的图象与x M(3,-2).直线y=之-2上的“姐妹点”的坐标是 轴、y轴分别相交于点A,B.若点P(m,2-m)在△AOB的内部，则m 的取值范围是 ( 16,在平面直角坐标系中，直线y=子+6与轴y轴分别交于 A.-4<m<-2 B.-3<m<-2 点A,B,在x轴的负半轴上存在点P,使△ABP是等腰三角形，则点P C.-2<m<0 D.-1<m<0 的坐标为八年级数学湘教第35~38期 数理橘 答案详解 2025~2026学年八年级数学湘教 第35~38期(2026年3月) 35期3,4版 因为∠MCE=15°， 一、选择题 所以∠DCF=55°. H 题号 因为DF⊥CM, 1 34 5 6 10 所以∠CDF=35. 图2 提示： 因为四边形ABCD是菱形， 8.解：如图1，经过8次反弹后弹性y 所以BD平分∠ADC, 小球回到出发点(0,2) 所以∠HDC=35. 因为100÷8=12…4， ,∠CHD=∠CFD」 所以弹性小球第100次碰到矩形的0123456x 在△CDH和△CDF中 ∠HDC=∠FDC. 图1 边时对应点的坐标与第4次碰到矩形的边时对应点的坐标相 DC DC, 同.由图可知，弹性小球第4次碰到矩形的边时对应点的坐标 所以△CDH≌△CDF(AAS), 为(6,2). 所以DF=DH=3, 所以DB=2DH=6. 9.解：因为四边形ABCD是矩形， 对角线AC与BD相交于点O, 二、填空题 所以∠ABC=90°，OA=0B. 11.5;12.3;13.-1:14.5;15.290°；16.2. 因为∠ABD=60°， 提示： 所以△AOB是等边三角形， 16.解：如图3，延长DE至点A,使得EA= 所以AB=OA=OC. FC,延长CF至点B,使得BF=DE,连接AC交 因为AE⊥BD于点E, EF于点O,连接OD,AB. 所以E为OB的中点. 因为FC+DE=CD=4, 所以AD=BC=CD=4. 又F是OC的中点，EF=25, 因为∠DCF=∠EDC=90°， 所以BC=2EF=45. 所以∠DCF+∠EDC=180°. 因为BC=AC-AB=(2AB)2-AB=√5AB, 所以AD∥BC. 所以3AB=43, 所以四边形ABCD是平行四边形. 所以AB=4, 又∠EDC=90°，BC=CD 所以矩形ABCD的周长是2(BC+AB)=85+8. 所以四边形ABCD是正方形. 10.解：如图2，连接AC交BD于点H,由菱形的性质，得 所以∠EA0=∠FC0=45°. ∠DCE=70 又∠AOE=∠COF,EA=FC, 八年级数学湘教第35~38期 所以△AEO兰△CFO. 所以∠AEC=90°， 所以A0=CO,E0=FO. 所以四边形AECD是矩形 所以O为AC和EF的中点， 20.解：(1)30； 所以0D=分4C (2)设这个多边形的边数为n. 根据题意，得(n-2)×180°=1800°.解得n=12. 因为EH=子BF,所以H为E0的中点 答：小明求的是十二边形的内角和。 又G为DE的中点， (3)正十二边形的每一个内角为：1800°÷12=150°. 所以GH为△EOD的中位线， 21.(1)证明：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以Gl=70D 所以AB∥CD,AB=CD, 所以∠GAE=∠HCF 在Rt△ACD中，根据勾股定理，得 因为点G,H分别是AB,CD的中点， AC=AD2+CD=4+4=42. 所以AG=CH. 所以0D=2AC=2,万 在△AGE和△CHF中， 所以GM=宁00=E 因为AG=CH,∠GAE=∠HCF,AE=CF, 所以△AGE≌△CHF(SAS), 三、解答题 所以GE=HF,∠AEG=∠CFH, 17.解：(1)图略.(2)∠A'B'C'=90° 所以180°-∠AEG=180°-∠CFH, 18.证明：因为CF∥DB,CF=DE, 即∠GEF=∠HFE, 所以四边形FCDE为平行四边形， 所以GE∥HF, 所以CD∥EF,CD=EF 所以四边形EGFH是平行四边形 因为四边形ABCD为平行四边形， (2)解：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以AB∥CD,AB=CD, 所以OB=OD. 所以AB∥EF,AB=EF, 因为BD=14, 所以四边形BFEA为平行四边形， 所以AE=BF 所以08=0D=7 19.证明：(1)因为∠B=∠ACB, 因为E,G分别是AO,AB的中点， 所以AB=AC. 因为AE是BC边上的中线， 所以EG=子0B=子 所以AE⊥BC. 22.(1)证明：因为AF平分∠BAD, (2)因为AE是BC边上的中线， 所以∠BAF=∠DAF 所以BE=CE. 因为四边形ABCD是平行四边形， 因为AD=BE, 所以AD∥BC,AB∥CD, 所以AD=CE. 所以∠DAF=∠CEF,∠BAF=∠CFE, 又AD∥BC, 所以∠CEF=∠CFE, 所以四边形AECD是平行四边形 所以CE=CF. 因为AE⊥BC, 因为四边形ECFG是平行四边形， 八年级数学湘教第35~38期 所以四边形ECFG为菱形. (2)解：取CF的中点G,连接MG,图略. 因为∠B=90°， 图4 图5 所以四边形ABCD是矩形， (ⅱ)如图5，因为A(4,30°)，B(m,90), 所以AB=CD=6,BC=AD=8, 所以OA=4,∠AOX=30°，0B=m, ∠BAD=∠BCD=90°， ∠B0X=90°， 所以∠ECF=180°-∠BCD=90°. 所以∠A0B=90°-30°=60. 由(1)可知四边形ECFG为菱形， 因为AB=4,所以AB=OA, 所以四边形ECFG为正方形. 所以△AOB是等边三角形， 因为AF平分∠BAD, 所以OB=m=4. 所以∠BAE=7∠BAD=45, 故答案为4. 所以∠AEB=90°-∠BAE=45°， (ⅲ)如图6.因为A(4,30°)， 所以BE=AB=6, B(3,a),AB=5, 所以EC=BC-BE=2, 所以0A=4,∠AOX=30°， 所以c=20F=C=1, 图6 AB =5 AB,OB =3 =0B. 因为0B2+0A2=25=AB2, 所以DG=CD+CG=7. 所以∠A0B=90°=∠AOB, 因为M为EF的中点， 所以a=90°+30°=120°或a=120°+180°=300°. 所以MG∥BC,MG=BC=1, 故答案为120°或300° 所以∠MGC=∠BCD=90. 24.解：(1)AB=CG-CE.证明如下： 在Rt△DMG中，根据勾股定理，得 因为四边形ABCD是菱形， DM=√MG+DG=52. 四边形AEFG是菱形， 23.(1)6,30: 所以AB=BC,AE=AG (2)(i)7;(iⅱ)4；(i)120°或300°. 因为∠BAC=60°， 解：(1)若点N在平面内的位置记为N(6,30°)， 所以△ABC是等边三角形， 则0W=6,X0N=30. 所以AB=AC. 故答案为6,30. 因为∠EAG=60°， (2)(i)如图4.因为A(4,30°)，B(3,210), 所以∠BAC+∠CAE=∠EAG+∠CAE, 所以0A=4,∠A0X=30°，0B=3, 即∠BAE=∠CAG ∠B0X=360°-210°=150°， 在△ABE和△ACG中， 所以∠AOX+∠B0X=180°， 因为AB=AC,∠BAE=∠CAG,AE=AG, 所以A,O,B三点共线， 所以△ABE≌△ACG(SAS), 所以AB=4+3=7 所以BE=CG, 故答案为7. 所以AB=BC=BE-CE=CG-CE. (2)AB=CE-CG.证明如下： -3 八年级数学湘教第35~38期 因为四边形ABCD是菱形， =8+4+6+2+14=34(cm), 四边形AEFG是菱形， 所以b=34÷2=17. 所以AB=BC,AE=AG. 3.1.2.2函数的表示法（列表法、公式法） 因为∠BAC=60°， 1.C;2.3. 所以△ABC是等边三角形， 3.解：y=-(60+x)(70-x) 所以AB=AC. =x2-10x-4200(1≤x≤9的整数). 因为∠EAG=60°， 4.解：(1)自变量是r,因变量是V 所以∠BAC-∠B.AG=∠EAG-∠BAG, (2)圆柱的体积V与底面半径r的函数表达式是 即∠CAG=∠BAE. V=4Tr2. 在△ABE和△ACG中， (3)当圆柱的底面半径由2cm变化到8cm时，圆柱的体 因为AB=AC,∠BAE=∠CAG,AE=AG, 积由16πcm3变化到256πcm3. 所以△ABE≌△ACG(SAS), 5.(1)刹车时车速，刹车距离； 所以BE=CG, (2)s=0.25(v≥0)： 所以AB=BC=CE-BE=CE-CG. (3)当s=32时，0.25u=32, 36期2版 解得v=128>120. 3.1.1变量与函数 答：推测刹车时车速是128km/h,所以事故发生时，汽车 1.D:2.B:3.D 是超速行驶 4.解：(1)0.52为常量，y,x为变量： 36期3,4版 (2)3为常量，l,a为变量； 一、选择题 (3)60为常量，a,b为变量； 题号 1 234567 8910 (4)90°是常量，x,y是变量. 答案C B C CACADDA 3.1.2.1函数的表示法（图象法）》 二、填空题 1.C;2.B:3.④：4.0.5. 11.6;12.20;13.7.9×10；14.450; 5.解：由题意，得y=1x+31.函数图象略. 15.mx2+20mx;16.2或4. 6.解：(1)10；(2)1；(3)3； 三、解答题 (4)不一样.理由如下： 17.解：(1)当x=5时，y=15-11+2=4+2=6. 乙骑自行车出故障前的速度为： (2)当y=5时，y=1x-11+2=5, 7.5÷0.5=15(千米/时)， 解得x=4或-2. 乙修车后的速度为： 18.解：(1)y是关于x的函数， (22.5-7.5)÷(3-1.5)=10(千米/时)， 理由：对于x取的每一个值，y都有唯一的一个值与它对应. 所以乙骑自行车出故障前的速度与修车后的速度不一样 (2)①当x=48时，y=3.60, 7.解：(1)8,4； 实际意义：当信件质量为48克时，邮资为3.60元 (2)a=7×8x6=24 ②当寄一封邮件的邮资为2.40元时，信件的质量大约是 (3)根据题意，动点P共运动了： 大于20克，且不超过40克， BC CD DE EF FA 19.解：因为√a+I+(b-2)2=0, -4 八年级数学湘教第35~38期 所以a+1=0,b-2=0,所以a=-1,b=2, 综上，输入的x值为0或5. 所以y=(2+3)x(-)+1-2×(-1)×2+2=5x+9, 37期2版 所以函数y=(b+3)x“+1-2ab+62是一次函数. 3.2一次函数 当x=-之时，y=5×(-）+9=号 1.B;2.-5;3.y=-3x. 4.解：(1)由条件可知m+1≠0且2-1ml=1, 20.解：(1)y与x之间的函数表达式为： n为任意实数，解得m=1, y=200E 所以当m=1,n为任意实数时，y是x的一次函数， 1 (2)由条件可知m+1≠0且2-m1=1,n+5=0, =2×6×(8-x) 解得m=1,n=-5, =-3x+24(0<x<8). 所以当m=1,n=-5时，y是x的正比例函数. (2)当x=3时，y=-3×3+24=15. 5.解：(1)根据题意，得 21.解：(1)小明的百米成绩是12s,小亮的百米成绩是125s. y=x+1.5×(550-x) (2)小明的速度是：100÷12-空(m): =825-0.5x(0≤x≤550)， 所以y关于x的函数是一次函数： 小亮的速度是：100÷12.5=8(m/s). (2)当y=650时，825-0.5x=650, (3)当小明到达终点时，小亮所跑的路程是： 解得x=350. 12×8=96(m). 550-350=200(辆). (4)因为当小明到达终点时小亮尚未到达终点，而且小明 答：电动自行车有200辆，普通自行车有350辆. 的速度大于小亮的速度，所以小明和小亮到达终点后如果各自 3.3一次函数的图象 继续以原速度往前跑，他们不能相遇。 1.D;2.D;3.D: 22.解：(1)表格从左到右依次填：4.2,5.9,11. 4.1;5.三. (2)y=1.7x+0.8. 6.图略。 (3)因为自行车上的链条为环形，在展直的基础上还要缩 7.解：在正比例函数y=(m+1)x中，y的值随x的增大而 短0.8cm,所以这根链条安装到自行车上后，总长度是：1.7× 增大，则m+1>0,得m>-1. 80+0.8-0.8=136(cm). 在正比例函数y=(2m-4)x中，y的值随x的增大而减 23.解：(1)刹车时车速，刹车距离. 小，则2m-4<0,得m<2,即-1<m<2, (2)70. 又因为m为整数， (3)y=0.25x 所以m的可能值为0,1. (4)当x=110时，y=0.25×110=27.5,27.5<31, 8.解：(1)因为函数图象经过第一、三象限， 所以该汽车不会和前车追尾。 所以2m+4>0,解得m>-2. 24.解：(1)当x=-3时，y=-2×(-3)+1=7; (2)因为y随x的增大而减小，所以2m+4<0, 当=2时=宁×2-= 解得m<-2. (2)A. (3)因为点(1,3)在该函数图象上，所以2m+4=3, (3)①当x<1时，-2x+1=1,解得x=0,符合题意； 解得m=-子 ②当x≥1时，7-子=1，解得x=5,符合题意 1 9.解：(1)①y=x+1直线1如图所示. 5 八年级数学湘教第35~38期 ②y=2x直线2如图所示. 在Rt△BCD中，DC2+BD=BC2, 所以+1=(3-m,解得m=手 故点C的坐标为0，专) 二、填空题 11.3;12.y= 年+4,1B.314子 ③12 15.(2,-10；16.(-18,0)或(-子 (2)解法一：把x=1,y=2代入y=x+2-, 提示： 得左边=2，右边=k+2-k=2, 左边=右边， 16解：因为直线)=子+6与x轴、y轴分别交于点A,B, 所以直线y=kx+2-k必经过点(1,2)： 所以A(-8,0),B(0,6),所以AB=√6+82=10. 解法二：y=x+2-k=k(x-1)+2, 当AB=PA=10时，因为点P在x轴的负半轴上， 图象过定点，即说明与k的取值无关， 所以P(-18,0). 因此x-1=0,得x=1,此时y=2, 如图2，作AB的垂直平分线 所以直线y=kx+2-k必经过点(1,2). PD,交x轴于点P,交AB于点D D 37期3,4版 根据线段垂直平分线的性质， 一、选择题 得到PA=PB. 图2 题号 1 3456 7 8910 设P0=t,则PA=PB=8-t. 答案ACBAAABD C B 根据勾股定理，得OP2+OB2=BP, 提示： 所以(8-t)2=2+6,解得1=4 7 1O.解：过C作CD⊥AB于点D, 如图1所示. 因为点P在x轴的负半轴上，所以P(-子，0） 对于宜线)=子+3， 综上，点P的坐标为(-18,0)或(-子，0 图1 当x=0时，y=3; 三、解答题 当)=0时，-子+3=0，得x=4, 17.解：(1)因为点(1，-2)在正比例函数y=(3k-1)x 的图象上， 所以A(4,0),B(0,3),即0A=4,0B=3, 由勾股定理得AB=5. 所以-2=3k-1,解得长=-宁 又因为坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上， (2)由(1)知y=-2x, 所以AC平分∠OAB,∠CAD=∠CAO, 将x=3代人y=-2x,得y=-6≠2. 因为CD⊥AB,AOC=90°，所以∠ADC=∠AOC, 所以点A(3,2)不在这个函数的图象上： 又AC=AC,所以△CAD≌△CAO(AAS), 18.解：(1)因为y=(m-2)x3m+m+7是一次函数， 所以CD=C0=n,DA=OA=4, 3-1m1=1, 所以 解得m=-2. 则BC=3-n,DB=5-4=1. lm-2≠0， 故当m=-2时，y是x的一次函数. 6 八年级数学湘教第35~38期 (2)由(1)可知y=-4x+5. 23.解：(1)对于y=2x-4,令y=0,即2x-4=0. 当y=3时，3=-4x+5,解得x=2 解得x=2.所以点A的坐标是(2,0) 把B(m,4)代入y=2x-4,得2m-4=4. 故当x=之时，y的值为3. 解得m=4.所以点B的坐标是(4,4). 19.解：(1)(2,0)，(0,4)： (2)图略。 (2)把x=-3代入y=-2x+4,得y=10, (3)因为A(2,0),B(4,4),所以AB=√22+42=25. 所以C(-3,10) 因为点P在x轴的正半轴上， 所以Saoc=2×2×10=10, △ABP是以AB为腰的等腰三角形， 20.解：(1)还未完成的公路的长度y(km)与施工时间 所以点P的坐标为(6,0)或(2+25,0). x(天)之间的数量关系为还未完成的公路的长度=公路总长 24.解：(1)-1,4； 度-已施工修建的长度， (2)设一次函数y=x+1图象的“7阶和点”的坐标为 由题意得，该工程队每天修建公路的长度为36÷120= (a,a+1). 0.3(km),施工x天共修建公路的长度为0.3xkm, 根据题意，得1a|+la+1I=7,解得a=-4或a=3. 所以它们之间的函数表达式为 当一次函数y=kx-2的图象经过点(-4，-3)时， y=36-0.3x(0≤x≤120). -4-2=-3,解得k=子 (2)将x=30代人y=36-0.3x, 当一次函数y=kx-2的图象经过点(3,4)时， 得y=36-0.3×30=27. 3k-2=4,解得k=2. 即该工程队已施工了30天，还未完成的公路的长度是27km 21.解：(1)根据题意，得2a-4≠0,3-b=0, 综上，k的值为子或2 解得a≠2，b=3. 38期2版 (2)根据题意，得2a-4<0,3-b<0, 3.4用待定系数法确定一次函数表达式 解得a<2,b>3. 1.D;2.C;3.4. 22.（1)证明：在y=k(x-3)中，令x=3得y=0, 4.解：设该一次函数的表达式为y=kx+b. 所以点(3,0)在函数y=k(x-3)的图象上. 根据该一次函数与y轴交点的纵坐标为3， (2)解：一次函数y=k(x-3)的图象向上平移2个单位 得该函数图象过点(0,3). 长度得y=k(x-3)+2, 将点(-2,1)，(0,3)代人y=kx+b,得 将(4，-2)代入得-2=(4-3)+2， -2k+b=1, rk=1, 解得 解得k=-4. 【b=3. b=3. (3)解：x1-2<0不成立.理由如下： 所以该一次函数的表达式为y=x+3. 因为点A(x1,y1),B(x2,2)在y=k(x-3)的图象上， 5.解：(1)设y与x之间的函数表达式为 所以y=k(x1-3),y2=(x2-3), y=k(x-1)(k≠0). 所以y-y2=k(1-x2), 将x=3,y=4代入，得2k=4, 又y1<y2,所以y1-y2<0,即k(x1-x2)<0, 解得k=2, 而k<0,所以x1-x2>0, 所以y与x之间的函数表达式为y=2(x-1)=2x-2. 故x1-2<0不成立. (2)将(-1，m)代入y=2x-2, 一7 八年级数学湘教第35~38期 得m=2×(-1)-2=-4. 38期3,4版 6.解：(1)设该一次函数的表达式为y=kx+b. 一、选择题 根据题奁，得6+6=6， k=2, 解得 题号 1 234 567 8910 2k+b=2. b=-2. 答案 BC 所以该一次函数的表达式为y=2x-2. 提示： (2)因为A(m,y1),B(m+1,y2)是该一次函数图象上的 7.解：因为在y=2x-4中， 两点，所以2-y1=2(m+1)-2-(2m-2)=2. 当y=0时，2x-4=0,解得x=2, 3.5一次函数与二元一次方程的关系 当x=0时，y=-4, 1.A;2.C;3.B;4.C 所以直线（与x轴的交点坐标为(2,0）， 5.解：把点P(3,b)代入直线l:y= 3t+5, 与y轴的交点坐标为(0，-4)， 所以直线（与x轴的交点关于y轴对称的点的坐标为 得6=专x3+5=9,所以P(3,9), （-2,0), [y 3t+5, 直线2过点(0，-4)， 所以由图象可知关于x,y的方程组 的解为 所以直线(1，直线2与x轴围成的三角形的面积为 2 3x+c 7×[2-(-2)]×4=8 x=3, 8.解：由题图可知，一次函数y=kx+3k+5(k≠0)中， y=9. y随x的增大而增大，所以k>0; 6.解：【探究】当x=-1时，-1+y=4,解得y=5; y=ax(a≠0)中，y随x的增大而减小，所以a<0, 当y=2时，x+2=4,解得x=2. 故①正确，②正确。 故答案为①2，②5 因为y=x+3k+5可变形为y=k(x+3)+5, 在平面直角坐标系中描出对应点如图所示 所以当x=-3时，不论k(k≠0)为何值，y均等于5， 所以一次函数y=x+3k+5(k≠0)的图象经过定点 (-3,5),故③正确， 因为一次函数y=kx+3k+5(k≠0)与y=ax(a≠0) -10 12345x 的图象交于点A(-3,5), 3 y=kx+3k+5, x=-3, 所以关于x,y的方程组 的解是 y ax ly=5, 【发现】过这些点中的任意两点画直线，所有的点都在同 故④正确. 条直线上 故①②③④都正确. 【应用】因为关于x,y的二元一次方程ax+by=-1对应 9.解：如图1，过点A作AN⊥AB 的函数图象上有两个点， 交直线BC于点N,过点N作MW⊥x 它们的坐标分别为(-1,1)，(1，-3)， 轴于点M,则∠AMWN=∠BOA= A -a+b=-1, ra=2, 所以 解得 90°，则∠AWM+∠MAW=90°. 图1 La-3b=-1, b=1, 对于直线y=子+3， 所以这个二元一次方程为2x+y=-1. 一8 八年级数学湘教第35~38期 令x=0,得到y=3,即B(0,3),OB=3; 二、填空题 令y=0,得到x=-4,即A(-4,0),0A=4, 1山y=2:12=-子；13.-： 1 因为∠ABC=45°，∠NAB=90°， 14.y=3x+2;15.x>-1; 所以△ABN为等腰三角形，即AN=BA, 16.k≤-5或k≥1. ∠NAM+∠BA0=90°，所以∠ANM=∠BAO, 三、解答题 ,∠AMW=∠BOA=90°， 17.解：(1)设y=kx+b(k≠0)， 在△NAM和△ABO中 ∠ANM=∠BAO. rb=3, k=2, AN BA, 根据题意有 解得 2k+b=7, b=3, 所以△NAM≌△ABO(AAS), 所以y与x之间的一次函数表达式是y=2x+3. 所以AM=OB=3,MW=OA=4, (2)当x=4时，y=2×4+3=11. 即0M=OA+AM=4+3=7, 18.解：画图略 所以N(-7,4) (1)一元一次方程-2x+6=0的解为x=3. 设直线BC的解析式为y=kx+b, (2)由图象可知，当-2<y<2时，x的取值范围是2<x<4. rb=3, 因为B(0,3),所以 19.解：(1)设直线l的函数表达式为y=kx+b. -7h+b=4, 把A(-6,0),B(0,3)代入， 「k=-7 解得 -6k+b=0, 2 解得{ b=3. 念 b=3, b=3. 所以过B,C两点的直线对应的函数表达式是y=一 1 7龙+3 所以直线1的函数表达式为)=分+3 10.解：因为y=(k-1)x+2k=k(x+2)-x(k>1), 1 所以直线y=(k-1)x+2k(k>1)经过点(-2,2) 当x=-4时，n=2×(-4)+3=1 如图2，当直线经过(0,3)时，直 y个 所以点P的坐标为(-4,1). 线y=(k-1)x+2(k>1)与两坐 (2)由题知Q(2,0), 标轴围成的三角形区域（不含边界） 所以5auw=分×40×=子×(2+6)x1=4 1 中有且只有四个整点， 1 则3=2k,解得k= 3 2 [y=kx+3. 图2 20.解：原方程组可化为 当直线经过(0,6)时，直线y=(k-1)x+2k(k>1)与两 g=-2x+分 坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点， 则6=2k,解得k=3. ()当直线)=：+号与直线y=-2x+号相交时， 当直线经过(0,4)时，直线y=(k-1)x+2(k>1)与两 1 方程组 坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点， x-y=-了’有唯一一组解，此时表≠-2： 3y=1-6x 此时4=2k,解得k=2. 综上，若直线y=(k-1)x+2k(k>1)与两坐标轴围成的 (2)当k=-2时，直线y=c+号与直线)=-2x+号 三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则k的取值范围 [kx-y=-3 1 是号≤6≤3且62 重合，方程组 有无穷多解： 3y=1-6x 9 八年级数学湘教 第35~38期 kx -y = (3)存在. 当k≠-2时，方程组 3 有唯一一组解； 过点P作PM⊥x轴于点M,PW⊥y轴于点N,图略. 13Y=1-6x 因为点P在y=2x的图象上，所以可设P(m,2m). (3)由(2)知，k无论取什么值，都不能使原方程组无解。 21.解：(1)由0B=5可得B(0,-5). 因为该一次函数的表达式是y=-7+多， 把(0，-5)代人y=-3x+b,可得b=-5, 所以点A的坐标为(0，号)，点B的坐标为(5.0)。 =-3x-5, 所以y=-3x-5.联立得 解得3， 所以Sam=之0B·P1=7x5x12ml=51ml, 1 4 y=-3x, y=4, 5 所以点A的坐标为(-3,4) 0P=×3x1m=子m (2)设直线AB与x轴交于点C, 根据题藏，得51m1=子引m+5,解得m± 4 则点c的坐标为(-子，0）· 所以点P的坐标为（告号）或（号号） 所以c0=号 24.解：(1)设直线AB的表达式是y=x+b. 图3 如图3，过A作AE⊥x轴于E. 4k+b=2, rk=-1, 由A(-3,4)可得AE=4, 根据题意，得 解得 16k+b=0, b=6. 所以Saw=B,C0=方x4×亭=9 所以直线AB的表达式是y=-x+6. 22.解：(1)在x+y=3中，当x=-1时，y=4,即n=4; (2)对于y=-x+6,令x=0,得y=6. 当y=0时，x=3,即m=3, 所以5c=号×6x4=12 故答案为3,4. (3)设直线OA的表达式是y=mx. (2)在平面直角坐标系中描出四组解的对应点的位置如 图4. 将(4,2)代人，得4m=2,解得m=2 所以直线0A的表达式是y=2x 1 因为△0MC的面积是△0AC的面积的片， 所以点M的横坐标是子×4=1 当点M在线段0A上时，y=2, 1 图4 (3)镜面α的方程x+y=3的所有解的对应点组成的图 所以点M的坐标是(1，)： 形是一条直线，镜面α：的方程x+y=3的图象如图4所示，故 当点M在线段AC上时，y=5,所以点M的坐标是(1,5) 答案为一条直线。 综上，点M的坐标是(1,2)或(1,5). (4)镜面B的方程x-y=-1的图象如图4所示. x+y=3, (5)由图象可知，方程组 的解为厂1， x-y=-1 1y=2 x=1, 23.解：(1)a=2,b= (2 ly=2. -10