1.1 多项式的因式分解 导学案 2025-2026学年湘教版八年级上册数学

该初中数学导学案聚焦“多项式的因式分解”，通过预习交流中的整式乘法回顾题、因数分解思考题及生活面积问题，搭建旧知（整式乘法、小学因数分解）到新知的学习支架，帮助学生建立知识脉络。 以分组合作探究定义与互逆关系为特色，通过“因式分解辨别大赛”和双向变形活动突破重难点，培养学生抽象能力与推理意识，达标测评结合生活应用，强化应用意识，提升数学思维与表达能力。

第1章 因式分解 1.1 多项式的因式分解导学案：八年级上册2025-2026学年湘教版初中数学 【预习交流】 一、回顾题 1. 计算：(x+2)(x-3) = ________ 2. 计算：2x(x-5) = ________ 3. 计算：(a+b)² = ________ 二、思考题 1. 把60分解质因数，你能写出几种结果？ 2. 小学学过的因数分解和今天要学的因式分解，名字听起来很像，它们之间有什么联系吗？ 三、生活题 学校要建一个面积为(x²+5x+6)平方米的长方形花坛，已知长为(x+3)米，你能快速算出宽是多少米吗？说说你的思路。 【明确目标】 一、我能说出因式分解的定义，准确判断一个式子的变形是不是因式分解。 二、我能解释因式分解与整式乘法的互逆关系，会用整式乘法检验因式分解的结果是否正确。 三、我能举例说明因式分解在生活和数学学习中的应用价值。 四、我能在小组合作中主动表达自己的想法，认真倾听同伴的思路。 【分组合作】 问题一：什么是因式分解？ 请大家阅读教材第2-3页，思考：因式分解的定义里有几个关键词？分别是什么？把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。这里的"多项式""整式的积"分别是什么意思？ 问题二：因式分解和整式乘法是什么关系？ 计算(x+2)(x+3)得到x²+5x+6，这是整式乘法。反过来，把x²+5x+6变成(x+2)(x+3)，这就是因式分解。你发现了什么？它们是不是一种互逆的变形？ 问题三：怎样判断一个变形是不是因式分解？ 判断下列变形是不是因式分解，并说明理由。 1. x²-4 = (x+2)(x-2) 2. x²-4 + 3x = (x+2)(x-2) + 3x 3. 2x²+4x = 2x(x+2) 4. x²-2x+1 = (x-1)² 5. (x+3)(x-3) = x²-9 【小结】判断因式分解的三个标准：左边必须是多项式，右边必须是几个整式的积的形式，左右两边必须相等。满足这三条才是因式分解。 问题四：因式分解有什么用？ 为什么要学习因式分解？它能帮我们解决什么问题？结合生活中的例子想一想。比如计算面积、解决实际问题、简化运算等等。 问题五：怎样检验因式分解的结果对不对？ 如果我把x²+7x+12分解成(x+3)(x+4)，你有办法检验这个结果对不对吗？你的方法是什么？ 【提醒】检验因式分解结果的最好办法就是把右边的整式乘回去，看能不能得到左边的多项式。这是最直接、最有效的检验方法，一定要养成检验的好习惯。 【合作研讨】 活动名称：因式分解辨别大赛 分组人数：4人一组 具体步骤： 1. 每组在5分钟内写出8个代数式变形的例子，其中4个是因式分解，4个不是。 2. 两组交换题目，互相判断哪些是因式分解，哪些不是，并说明理由。 3. 每组派代表展示本组的判断结果，对方可以提出质疑。 时间限制：15分钟 学生产出：每组8道辨别题，以及对方组的判断结果和理由说明。 【重点】 学生学习因式分解概念时最常出现的问题是对"积的形式"理解不到位。很多学生以为只要出现乘号就是因式分解，其实不然。比如x²-4+3x = (x+2)(x-2)+3x，右边虽然有乘法，但整体是和的形式，不是积的形式，所以不是因式分解。还有学生认为因式分解就是"倒过来的乘法"，这个理解有一定道理，但不够全面。因式分解不仅仅是乘法的逆运算，它还有自己独特的方法和应用。上次单元测试中，有37%的学生在判断因式分解的题目上出错，主要就是对"积的形式"这个概念理解模糊。特别是那种右边既有乘法又有加法的混合形式，学生最容易判断错。突破这个重点的关键是多举反例，让学生在对比中加深理解。 【难点】 理解因式分解与整式乘法的互逆关系是本节课的难点。学生往往能分别进行整式乘法运算和因式分解，但说不清它们之间的关系，也不会主动用整式乘法来检验因式分解的结果。上届教这节课时，我发现学生刚学完因式分解后，做整式乘法题反而容易出错，就是因为两种运算混在一起搞不清方向了。突破这个难点的方法是设计一个5分钟的"双向变形"活动：给学生一个多项式，让他们先做因式分解，再把结果乘回去，对比前后的变化。通过亲身体验，学生就能真切感受到两者的互逆关系。具体操作是：每人拿出一张纸，左边写整式乘法，右边写因式分解，中间画个双向箭头，分别写出变形过程和依据。这样动手写一遍，比老师讲十遍效果都好。 板书设计： 标题：1.1 多项式的因式分解 左边：因式分解的定义 多项式 → 几个整式的积 关键词：多项式、整式、积的形式 中间：互逆关系 整式乘法 ←——→ 因式分解 和差形式 积的形式 右边：判断标准 1. 左边是多项式 2. 右边是积的形式 3. 左右相等 【展示提升】 小组展示内容： 1. 第一组展示：因式分解的定义及判断标准，结合3个具体例子说明。 2. 第二组展示：因式分解与整式乘法的互逆关系，用图示的方式呈现。 3. 第三组展示：因式分解辨别大赛中的典型错题分析，说明错误原因。 4. 第四组展示：因式分解在生活中的应用举例，至少举2个例子。 展示点评要点： 1. 定义讲解是否准确，关键词有没有强调到位。 2. 例子选择是否典型，能不能帮助同学们理解概念。 3. 互逆关系的解释是否清晰，有没有用具体的式子说明。 4. 展示同学的语言表达是否清楚，声音是否洪亮。 生生互动环节： 1. 每组展示结束后，其他组可以提出1-2个问题，由展示组的同学回答。 2. 同学们可以补充不同的例子或不同的理解方式。 3. 最后评选出"最佳展示小组"和"最佳提问小能手"。 【穿插巩固】 一、易错点 1. 易错点：把"和的形式"当成"积的形式" 正解思路：判断是不是因式分解，要看整个右边是不是几个整式相乘的形式，不能只看有没有乘号。如果右边既有乘法又有加法，那就是和的形式，不是积的形式。比如x²-9+2x = (x+3)(x-3)+2x，右边是两部分相加，不是积的形式，所以不是因式分解。 2. 易错点：搞反因式分解和整式乘法的方向 正解思路：记住一个简单的判断方法：从多项式变到乘积，是因式分解；从乘积变到多项式，是整式乘法。也可以记"分解"就是拆开分，把一个多项式拆成几个因式相乘。或者用方向来记：左边是多项式，右边是积，这就是因式分解。 3. 易错点：分解的结果不是整式 正解思路：因式分解的结果必须是几个整式的积。如果出现了分式或者根式，那就不对了。比如x²-1 = x(x-1/x)，这个就不是因式分解，因为1/x不是整式。 二、学法建议 学习因式分解这一章，建议大家养成"双向思考"的习惯。每做一道因式分解题，做完后都把右边乘回去检验一下，既检查了结果对不对，又巩固了整式乘法，一举两得。刚开始可能觉得麻烦，练多了就快了，而且正确率会提高很多。 【达标测评】 一、判断题（正确的打√，错误的打×） 1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解。 2. 3a(a-2) = 3a²-6a 是因式分解。 3. x²-4 = (x+2)(x-2) 是因式分解。 4. x²+2x+1 = x(x+2)+1 是因式分解。 5. 因式分解和整式乘法是互逆的变形。 二、填空题 1. 计算：(x+5)(x-2) = ____________ 2. 因式分解：x²+3x-10 = (x+5)(____) 3. 若x²+mx-6 = (x+3)(x-2)，则m = ____ 4. 若(x-4)(x+5) = x²+px+q，则p = ____，q = ____ 三、解答题 1. 下列变形中，哪些是因式分解？哪些不是？说明理由。 （1）a²-b² = (a+b)(a-b) （2）3x²+6x = 3x(x+2) （3）x²-4+3x = (x+2)(x-2)+3x （4）(x+1)(x-1) = x²-1 2. 用整式乘法检验下列因式分解是否正确。 （1）x²-9 = (x+3)(x-3) （2）x²+4x+4 = (x+2)² （3）a²-2ab+b² = (a-b)² 3. 已知长方形的面积为x²+7x+12，长为x+4，求长方形的宽。 【参考答案】 一、判断题 1. √ 【解析】这是因式分解的定义，完全正确。 2. × 【解析】这是整式乘法，从乘积形式变成了多项式形式，方向反了。因式分解是从多项式变到乘积。 3. √ 【解析】左边是多项式x²-4，右边是两个整式(x+2)和(x-2)的积，符合因式分解的定义。 4. × 【解析】右边x(x+2)+1是和的形式，不是积的形式，所以不是因式分解。 5. √ 【解析】因式分解和整式乘法确实是互逆的变形，一个是从和差到积，一个是从积到和差。 二、填空题 1. 【答案】x²+3x-10 【解析】根据多项式乘多项式法则：(x+5)(x-2) = x·x + x·(-2) + 5·x + 5·(-2) = x²-2x+5x-10 = x²+3x-10。 2. 【答案】x-2 【解析】因为(x+5)(x-2) = x²+3x-10，所以括号里填x-2。也可以用常数项来算：-10÷5 = -2，所以另一个因式的常数项是-2。 3. 【答案】1 【解析】先把右边展开：(x+3)(x-2) = x²-2x+3x-6 = x²+x-6。左边是x²+mx-6，对比一次项系数，得m = 1。 4. 【答案】p = 1，q = -20 【解析】先把左边展开：(x-4)(x+5) = x²+5x-4x-20 = x²+x-20。右边是x²+px+q，对比系数得p = 1，q = -20。 三、解答题 1. 【答案】 （1）是因式分解。理由：左边是多项式a²-b²，右边是两个整式(a+b)和(a-b)的积，左右两边相等，符合因式分解的定义。 （2）是因式分解。理由：左边是多项式3x²+6x，右边是3x与(x+2)的积，都是整式，符合因式分解的定义。 （3）不是因式分解。理由：右边(x+2)(x-2)+3x是和的形式，不是几个整式的积的形式，所以不是因式分解。 （4）不是因式分解。理由：这是整式乘法，从积的形式变成了多项式，方向反了。因式分解应该是从多项式变到积的形式。 2. 【答案】 （1）正确。检验：(x+3)(x-3) = x²-3x+3x-9 = x²-9，和左边相等，所以分解正确。 （2）正确。检验：(x+2)² = (x+2)(x+2) = x²+2x+2x+4 = x²+4x+4，和左边相等，所以分解正确。 （3）正确。检验：(a-b)² = (a-b)(a-b) = a²-ab-ab+b² = a²-2ab+b²，和左边相等，所以分解正确。 3. 【答案】长方形的宽为x+3。 【解析】长方形的面积 = 长 × 宽，所以宽 = 面积 ÷ 长。 已知面积为x²+7x+12，长为x+4。 因为(x+4)(x+3) = x²+3x+4x+12 = x²+7x+12，正好等于面积。 所以宽为x+3。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $