第07讲 基本不等式（讲义，全国通用人教A版）数学初升高衔接

第07讲 基本不等式 预习目标 知识回顾 1．牢记重要不等式与基本不等式，分清两者适用范围与等号成立条件。 2．理解算术平均数、几何平均数的概念，掌握“两个正数的算术平均数不小于几何平均数”的含义。 3．熟练掌握基本不等式求最值两类模型：积定求和最小、和定求积最大，牢记使用前提“一正二定三相等”。 4．能判断题目能否使用基本不等式，规避忽略正数、无定值、无法取等三类常见错误，规范书写解题步骤。 1．熟练掌握作差比较法，会借助差值与0的大小关系，比较实数、代数式的大小。 2．对比等式相关性质，熟记七条不等式基本性质，理清每条性质的适用限制，避开乘除负数忘变号、随意同向相乘等典型错误。 3．灵活运用不等式性质完成式子变形、逻辑推导与简单证明，清晰区分等式、不等式变形规则的差异。 新知导图 预习精讲 想一想 有个金店的天平坏了，天平的两臂长短不相等，店主不想购置新的天平，又怕别人说他缺斤少两，于是他想出一个办法：先把顾客要购买的黄金放入左边的托盘中，右边托盘中加祛码得到一个读数，再把黄金放入右边的托盘中，在左边托盘加砝码得到第二个读数，然后把两个读数相加除以2作为黄金的最终质量出售，你觉得店主这个买卖做到诚信无欺了吗？ 要解决这个问题，我们一起探究一下吧！ 知识点01 两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 当且仅当“”时取“” 基本不等式 当且仅当“”时取“” 叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 注意 “当且仅当时，等号成立”是指若，则即只能有 【即学即练】 1．不等式成立时，实数a，b一定是（    ） A．正数 B．非负数 C．实数 D．不存在 知识点02 基本不等式与最值 已知都是正数，则（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值； （2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值 注意 利用基本不等式求最值时，必须有：（1），（2）和(积)为定值，（3）存在取等号的条件，简称“一正二定三相等”． 【即学即练】 2．如果，那么当取得最小值时m的值为（ 　 ） A．－4 B．4 C．8 D．16 3．下列结论正确的是（　　） A．当且时， B．当时， C．当，的最小值为2 D．当时，的最小值为2 题型速练 题型01 对基本不等式的理解 【例1】（多选）下列命题中正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【例2】《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 必记结论 1.重要不等式：，，没有正负限制，当且仅当时等号成立； 2.基本不等式（均值不等式）：，仅适用于，当且仅当取等； 3.名词定义：是两正数算术平均数，是几何平均数，核心结论：两正数算术平均数不小于几何平均数； 4.使用三要素：一正、二定、三相等，缺少任意一条，不能用基本不等式求最值。 【小试牛刀】 【变式1-1】“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-2】（多选）下列各式能用基本不等式直接求得最大（小）值的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知，那么以下关于式子的分析判断正确的选项是（    ） （1）； （2）上式当且仅当即时，等号成立； （3）所以当时，取得最小值 A．以上全正确 B．（1）错 C．（2）错 D．（3）错 题型02 由基本不等式比较大小 【例3】已知，，则，b，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【例4】如图所示为一个矩形和一个正方形，矩形的边长分别为a，b（），当正方形的周长与矩形周长相等时正方形的边长为x，当正方形面积与矩形面积相等时正方形的边长为y，当正方形对角线与矩形对角线相等时正方形的边长为z，则（   ） A． B． C． D． 必记结论 1.若，恒有，对任意实数有； 2.多个代数式比较大小时，可两两作差或借助均值不等式放缩，利用不等号传递性统一排序； 3.同一组正数，平方和形式放缩幅度更大，算术平均数大于等于几何平均数。 【小试牛刀】 【变式2-1】已知、且，下列各式中最大的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】汽车现在已经是我们出行不可分离的工具，小明由于经常出差，每次出差需要加油两次，两次加油单价不同.现有两种方案，第一种方案：第一次加油元，第二次加油元；第二种方案：第一次加油升，第二次加油升；请你比较下这两种方案，哪种方案更经济实惠（ ） A．第一种 B．第二种 C．不确定 D．一样实惠 【变式2-3】（多选）已知a，，，，则（    ） A． B． C． D． 题型03 由基本不等式证明不等式 【例5】已知，都是正实数，证明：. 【例6】已知证明： (1) (2) 必记结论 1.变量无正数限制，统一选用放缩；全部为正数时，可搭配基本不等式综合证明； 2.多步连续放缩时，每一步等号成立条件必须完全一致，否则证明无效； 3.多变量不等式可分组拆分，分别使用均值不等式，最后合并整理得到目标式子。 【小试牛刀】 【变式3-1】已知，且，求证： (1)； (2)． 【变式3-2】已知，且.求证： (1)； (2). 【变式3-3】已知，，. (1)求的最小值； (2)若，证明：. 题型04 利用基本不等式求积的最大值 【例7】已知正数a，b满足，的最大值为（   ） A． B． C． D． 【例8】已知，，，则的最大值为（   ） A．16 B．8 C．4 D． 易错点 1.有负数或0，强行使用“和定积最大”结论； 2.两数之和不是定值，不做变形配凑直接计算积的最大值； 3.求出的取值后，不检验是否符合题干变量范围，直接写最值。 【小试牛刀】 【变式4-1】已知正实数，则ab的最大值为________． 【变式4-2】已知，且，则的最大值为_________； 【变式4-3】已知正数，满足，则的最大值为______. 题型05 利用基本不等式求和的最小值 【例9】函数的最小值为（   ） A．2 B．4 C．3 D．6 【例10】若，则的最小值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 易错点 1.分式结构中忽略自变量取值范围，存在负数却直接套用公式； 2.积不是定值，不拆项、不配凑，直接套公式求最小值； 3.等号成立条件超出变量允许区间，取不到最小值仍直接作答。 【小试牛刀】 【变式5-1】若，，且，则的最小值为________． 【变式5-2】已知，则的最小值为_____． 【变式5-3】若，则有（    ） A．最小值 B．最大值4 C．最小值 D．最小值4 题型06 有条件等式结合基本不等式求最值 【例11】已知正数a，b，且，满足，则（     ） A．a的取值范围是 B．的最小值为2 C．的最大值为 D．的最小值为 【例12】已知，，，则的最小值为____． 必记结论 1.已知一次等式、分式等式约束，优先使用乘1法，将所求式子与条件相乘，构造和、积定值； 2.乘1法无法配凑时，采用消元法，把二元问题转化为单变量函数，再用基本不等式； 3.求出等号对应的变量后，必须代入条件等式检验，保证满足题干约束。 【小试牛刀】 【变式6-1】已知，则的最小值是（   ） A．2 B．4 C． D． 【变式6-2】已知的最小值为______． 【变式6-3】设均为正实数，满足，则的最小值为______. 题型07 基本不等式中的恒成立问题 【例13】若任意正实数x，y满足，使得恒成立，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【例14】已知，，且，若恒成立，则实数的最大值为_____. 必记结论 1.在范围内恒成立； 2.在范围内恒成立； 3.先利用基本不等式求出函数最值，再转化为关于参数的不等式求解范围。 【小试牛刀】 【变式7-1】（多选）若恒成立，则实数的取值可能是（　　） A． B． C． D．1 【变式7-2】已知，且，若恒成立，则实数的最大值是__________. 【变式7-3】当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是_______． 题型08 基本不等式的实际应用 【例15】如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为．设总造价为S（单位：元），则当总造价S最小时，AD的长度为（   ）    A． B． C． D． 【例16】如图，，是两条长度足够长的互相垂直的笔直小路，矩形的顶点，分别在，上，且该矩形区域内种满了荷花．为了让观赏者有更好的观赏体验，现计划经过点修一条小路，其中点在小路上，点在小路上，并在区域内种满荷花．已知，且小路要完全位于一个以为顶点的，边长为的正方形内部（包括边界）．记的面积为．    (1)设，试用表示，并写出的取值范围． (2)当的长度为多少时，取得最小值？最小值是多少？ 必记结论 实际问题中长度、数量、单价等变量天然满足，部分场景变量只能取正整数； 解题流程：设变量→列函数式→找约束条件→配凑定值求最值→检验取值实际意义。 【小试牛刀】 【变式8-1】据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元／件）满足关系式，其中．已知该商品的成本为10元／件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为______元． 【变式8-2】某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为40万元.设备使用年后该设备的总维修保养费用为万元，盈利总额为y万元. (1)求y关于x的函数关系式； (2)求该设备的年平均盈利额的最大值（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数）. 【变式8-3】某工厂计划建设一个容积为1000立方米的长方体露天蓄水池，并为其底部和侧壁铺设瓷砖．施工公司给出的铺设池底的报价是每平方米24元，铺设池壁的报价是每平方米20元．由于生产需要，要求蓄水池深度不得超过10米，底部长与宽均不得超过20米． (1)池底的周长最小为多少？（单位：米） (2)假设将蓄水池深度限定为5米，则应如何设计池底的长与宽，可以使得铺设的成本最小？最小成本又是多少元?（成本精确到小数点后2位） 基础过关 1．已知，且，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．9 2．设，下列不等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 4．已知且，则的最小值是（   ） A．3 B．9 C．5 D．25 5．“明数理”数学兴趣小组在跨学科探究学习过程中遇到一个数学物理综合问题，下图为一个串联电路图，电源电压为，定值电阻的阻值为，滑动变阻器的阻值范围是到，已知纯电阻电路下图的一个功率公式为，闭合开关并移动滑动变阻器滑片，则的功率的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．已知，，都是正数，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．8 D．9 7．（多选）魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用图1给出了勾股定理的证明．设每个直角三角形的两条直角边长分别为和如图2．由刘徽构造的图形可以得到许多重要结论，则下列推理正确的是（   ） A．由正方形面积大于8个朱色图形面积得 B．由正方形面积大于4个朱色图形面积得 C．由三角形面积大于黄色图形面积得 D．由正方形面积的2倍大于正方形面积得 8．（多选）已知，，则下列正确的是（    ） A． B．的最小值为2 C．的最小值为 D．的最小值为 9．已知实数，满足，则的最大值为________． 10．某公司计划一年共购买材料200吨，设每次购买吨，运费为8万元/次，一年固定存储费用为万元，要使一年的总费用最少，则每次应购买___________吨 11．已知，均为正数，. (1)求的最小值； (2)求的最小值； (3)求的最小值. 12．完成下面问题： (1)现用篱笆围一个面积为的矩形花园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？ (2)用一段长为25m的篱笆围成一个矩形花园，当这个矩形的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 能力提升 13．已知满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 14．已知均为正数，且，则的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 15．已知正实数满足，则的最小值为___________． 16．如图，有一块边长为1（单位：百米）的正方形区域，在点处有一个可转动的探照灯，其照射角始终为（其中点分别在边上），设，． (1)用表示出的长度，并探求的周长是否为定值； (2)问探照灯照射在正方形内部区域的面积最大为多少? 挑战一刻 17．已知，若存在实数，使成立.则的最小值为（    ） A． B． C． D． 18．（多选）定义运算（其中），则下列结论正确的是（    ） A． B．对任意 C．对任意，，都有 D．对任意，都有 19．设，则当取最小值时，______． 20．已知，，且，则的最小值为________. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 基本不等式 预习目标 知识回顾 1．牢记重要不等式与基本不等式，分清两者适用范围与等号成立条件。 2．理解算术平均数、几何平均数的概念，掌握“两个正数的算术平均数不小于几何平均数”的含义。 3．熟练掌握基本不等式求最值两类模型：积定求和最小、和定求积最大，牢记使用前提“一正二定三相等”。 4．能判断题目能否使用基本不等式，规避忽略正数、无定值、无法取等三类常见错误，规范书写解题步骤。 1．熟练掌握作差比较法，会借助差值与0的大小关系，比较实数、代数式的大小。 2．对比等式相关性质，熟记七条不等式基本性质，理清每条性质的适用限制，避开乘除负数忘变号、随意同向相乘等典型错误。 3．灵活运用不等式性质完成式子变形、逻辑推导与简单证明，清晰区分等式、不等式变形规则的差异。 新知导图 预习精讲 想一想 有个金店的天平坏了，天平的两臂长短不相等，店主不想购置新的天平，又怕别人说他缺斤少两，于是他想出一个办法：先把顾客要购买的黄金放入左边的托盘中，右边托盘中加祛码得到一个读数，再把黄金放入右边的托盘中，在左边托盘加砝码得到第二个读数，然后把两个读数相加除以2作为黄金的最终质量出售，你觉得店主这个买卖做到诚信无欺了吗？ 要解决这个问题，我们一起探究一下吧！ 知识点01 两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 当且仅当“”时取“” 基本不等式 当且仅当“”时取“” 叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 注意 “当且仅当时，等号成立”是指若，则即只能有 【即学即练】 1．不等式成立时，实数a，b一定是（    ） A．正数 B．非负数 C．实数 D．不存在 【答案】C 【详解】原不等式可变形为，对任意实数都成立. 所以为任意实数. 故选：C. 知识点02 基本不等式与最值 已知都是正数，则（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值； （2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值 注意 利用基本不等式求最值时，必须有：（1），（2）和(积)为定值，（3）存在取等号的条件，简称“一正二定三相等”． 【即学即练】 2．如果，那么当取得最小值时m的值为（ 　 ） A．－4 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【详解】由于，故，当且仅当，即时取等号， 故选：B 3．下列结论正确的是（　　） A．当且时， B．当时， C．当，的最小值为2 D．当时，的最小值为2 【答案】B 【详解】选项A，因为，所以不满足“取等号时的条件”，故A不正确； 选项B，由，当且仅当等号成立，故B正确； 选项C，因为，不满足“各项必须为正”，所以当时，的最小值不可能为2，故C不正确； 选项D，当时，，所以的最小值不可能为2，故D不正确. 故选：B 题型速练 题型01 对基本不等式的理解 【例1】（多选）下列命题中正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【详解】对于A，由基本不等式知，当且仅当时取得等号， 所以时，，故当时，为真命题，即A正确； 对于B，显然时，有，故B错误； 对于C，易知，当且仅当时取得等号， 所以当时，，命题时，为真命题， 故C正确； 对于D，易知，当且仅当时取得等号， 所以当时，，命题时，为真命题， 故D正确. 故选：ACD 【例2】《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，，而（重合时取等号）， 因此有． 故选：D． 必记结论 1.重要不等式：，，没有正负限制，当且仅当时等号成立； 2.基本不等式（均值不等式）：，仅适用于，当且仅当取等； 3.名词定义：是两正数算术平均数，是几何平均数，核心结论：两正数算术平均数不小于几何平均数； 4.使用三要素：一正、二定、三相等，缺少任意一条，不能用基本不等式求最值。 【小试牛刀】 【变式1-1】“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】成立时，可以有，此时不成立，不充分， 成立时，，因此有，必定成立，因此是必要的， 所以是必要不充分条件， 故选：B． 【变式1-2】（多选）下列各式能用基本不等式直接求得最大（小）值的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】解：对于选项A，不满足的要求，所以A不能直接用基本不等式求最大（小）值，故A错误； 对于选项B，∵，，∴，当且仅当即时等号成立， 所以B能直接用基本不等式求最小值，故B正确； 对于选项C，∵，，∴，当且仅当即时等号成立， 所以C能直接用基本不等式求最小值，故C正确； 对于选项D，由，时等号成立，故D正确； 故选：BCD. 【变式1-3】已知，那么以下关于式子的分析判断正确的选项是（    ） （1）； （2）上式当且仅当即时，等号成立； （3）所以当时，取得最小值 A．以上全正确 B．（1）错 C．（2）错 D．（3）错 【答案】D 【详解】根据条件，由基本不等式可知，（1）（2）均正确， 对于（3），由基本不等式知，求最小值，则需满足“一正二定三相等”的原则， 求和的最小值，需要乘积为定值，而不为定值，所以（3）错， 故选：D. 题型02 由基本不等式比较大小 【例3】已知，，则，b，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】因为，，所以，解得，同理可得， 由，可得，又，可得， 所以， 因为，所以， 所以，所以. 【例4】如图所示为一个矩形和一个正方形，矩形的边长分别为a，b（），当正方形的周长与矩形周长相等时正方形的边长为x，当正方形面积与矩形面积相等时正方形的边长为y，当正方形对角线与矩形对角线相等时正方形的边长为z，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得，，，，且， 由基本不等式的关系可知，当且仅当时等号成立， 所以， 因为，所以，当且仅当时等号成立， ，所以， 所以. 故选：B 必记结论 1.若，恒有，对任意实数有； 2.多个代数式比较大小时，可两两作差或借助均值不等式放缩，利用不等号传递性统一排序； 3.同一组正数，平方和形式放缩幅度更大，算术平均数大于等于几何平均数。 【小试牛刀】 【变式2-1】已知、且，下列各式中最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由重要不等式可得，当且仅当时等号成立，即， 但，则， 因为，则，即， 故，当且仅当时等号成立， 但，则， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 但，则， 故这四个数中，最大的为. 故选：A. 【变式2-2】汽车现在已经是我们出行不可分离的工具，小明由于经常出差，每次出差需要加油两次，两次加油单价不同.现有两种方案，第一种方案：第一次加油元，第二次加油元；第二种方案：第一次加油升，第二次加油升；请你比较下这两种方案，哪种方案更经济实惠（ ） A．第一种 B．第二种 C．不确定 D．一样实惠 【答案】A 【详解】设第一次加油的单价为元/升，第二次加油的油单价为元/升， 则方案一的均价：，当且仅当时等号成立； 方案二的均价：，当且仅当时等号成立； 又两次加油单价不同， 则方案一的均价，方案二的均价， 所以， 故选：A. 【变式2-3】（多选）已知a，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，B：由题知，， 所以，当且仅当时取等号， 因为，则，即，故， A错误， B正确； 对于C，D：因为，所以， 当且仅当即时取等号，所以，C正确，D错误． 故选：BC 题型03 由基本不等式证明不等式 【例5】已知，都是正实数，证明：. 【答案】证明见解析 【详解】因为，都是正实数， 所以，当且仅当即时等号成立； ，当且仅当即时等号成立； 所以，即，当且仅当时等号成立. 【例6】已知证明： (1) (2) 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】 【详解】（1）因为，所以，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立． 故，当且仅当时，等号成立． （2）因为，所以． ， 当且仅当时，等号成立． 必记结论 1.变量无正数限制，统一选用放缩；全部为正数时，可搭配基本不等式综合证明； 2.多步连续放缩时，每一步等号成立条件必须完全一致，否则证明无效； 3.多变量不等式可分组拆分，分别使用均值不等式，最后合并整理得到目标式子。 【小试牛刀】 【变式3-1】已知，且，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）对，有，所以，平方得， 所以，当且仅当时，等号成立，得证． （2）证明，即证，也即证， 只需证，即证，即证，由（1）可知成立， 所以成立． 【变式3-2】已知，且.求证： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】 【详解】（1），且， 所以. 因为，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 所以，当且仅当时，等号成立. 所以得证. （2），且， . 因为，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 所以，当且仅当时，等号成立. 所以，即，当且仅当时，等号成立. 所以得证. 【变式3-3】已知，，. (1)求的最小值； (2)若，证明：. 【答案】(1)4 (2)证明见解析 【详解】（1）由于，，， 故， 当且仅当，即取到等号， （2）， 由于，当且仅当取到等号，， 当且仅当取到等号，，当且仅当取到等号， 因此， 当且仅当取到等号， 题型04 利用基本不等式求积的最大值 【例7】已知正数a，b满足，的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得，于是， 当且仅当，即，时，等号成立. 【例8】已知，，，则的最大值为（   ） A．16 B．8 C．4 D． 【答案】B 【详解】由基本不等式，得， 当且仅当，即，时取等号, 所以的最大值为8． 故选：B. 易错点 1.有负数或0，强行使用“和定积最大”结论； 2.两数之和不是定值，不做变形配凑直接计算积的最大值； 3.求出的取值后，不检验是否符合题干变量范围，直接写最值。 【小试牛刀】 【变式4-1】已知正实数，则ab的最大值为________． 【答案】0.5/. 【详解】因为为正实数，， 已知，则，所以. 当且仅当时取等号，此时，，满足正实数条件. 所以的最大值为. 故答案为：. 【变式4-2】已知，且，则的最大值为_________； 【答案】 【详解】由题意，，，所以，当且仅当时取“”．即的最大值为. 故答案为： 【变式4-3】已知正数，满足，则的最大值为______. 【答案】12 【详解】由，得， 所以，当且仅当，时等号成立. 题型05 利用基本不等式求和的最小值 【例9】函数的最小值为（   ） A．2 B．4 C．3 D．6 【答案】C 【详解】，， ， 当且仅当时，即时等号成立， 因此函数最小值为. 【例10】若，则的最小值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【详解】由题意得：， ， 当，即时，等号成立. 易错点 1.分式结构中忽略自变量取值范围，存在负数却直接套用公式； 2.积不是定值，不拆项、不配凑，直接套公式求最小值； 3.等号成立条件超出变量允许区间，取不到最小值仍直接作答。 【小试牛刀】 【变式5-1】若，，且，则的最小值为________． 【答案】 【详解】由基本不等式可得， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 【变式5-2】已知，则的最小值为_____． 【答案】 【详解】，则， 当且仅当时，即时取等号， 即的最小值为. 【变式5-3】若，则有（    ） A．最小值 B．最大值4 C．最小值 D．最小值4 【答案】D 【详解】由题意得， 因为，所以，则， 由基本不等式可得， 当且仅当时取等，此时解得， 则有最小值4，故D正确. 题型06 有条件等式结合基本不等式求最值 【例11】已知正数a，b，且，满足，则（     ） A．a的取值范围是 B．的最小值为2 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】D 【详解】由，所以，即， 又，所以，所以，即的取值范围为，故A错误； 由在单调递增，所以，所以无最小值，故B错误； 由， 当时，即时，等号成立，所以的最小值为，故C错误； 由，当，即时，等号成立， 所以的最小值为，故D正确. 【例12】已知，，，则的最小值为____． 【答案】 【详解】由可得 ， 当且仅当，即，也即，时等号成立， 即的最小值为． 必记结论 1.已知一次等式、分式等式约束，优先使用乘1法，将所求式子与条件相乘，构造和、积定值； 2.乘1法无法配凑时，采用消元法，把二元问题转化为单变量函数，再用基本不等式； 3.求出等号对应的变量后，必须代入条件等式检验，保证满足题干约束。 【小试牛刀】 【变式6-1】已知，则的最小值是（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【详解】由，得， 整理得，即， 而，故可得，当且仅当时取等号， 所以的最小值为2. 故选：A 【变式6-2】已知的最小值为______． 【答案】 【详解】因为，所以． 所以， 当且仅当，且，即时等号成立． 故的最小值为． 【变式6-3】设均为正实数，满足，则的最小值为______. 【答案】4 【详解】 ， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故最小值为4. 题型07 基本不等式中的恒成立问题 【例13】若任意正实数x，y满足，使得恒成立，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【详解】由两个正实数满足， 即，， 所以， 当且仅当时等号成立， 又恒成立， 所以，解得． 故选：C． 【例14】已知，，且，若恒成立，则实数的最大值为_____. 【答案】 【详解】因为，，且，由， 可得， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以的最小值为，则，故实数的最大值为. 故答案为：. 必记结论 1.在范围内恒成立； 2.在范围内恒成立； 3.先利用基本不等式求出函数最值，再转化为关于参数的不等式求解范围。 【小试牛刀】 【变式7-1】（多选）若恒成立，则实数的取值可能是（　　） A． B． C． D．1 【答案】BCD 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 由题意得恒成立，故得. 故选：BCD． 【变式7-2】已知，且，若恒成立，则实数的最大值是__________. 【答案】9 【详解】因为，，且， 所以，， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 因为恒成立，所以， 所以实数的最大值是9. 故答案为：9 【变式7-3】当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是_______． 【答案】 【详解】当时，表达式，当且仅当时取等号． 当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是． 故答案为：． 题型08 基本不等式的实际应用 【例15】如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为．设总造价为S（单位：元），则当总造价S最小时，AD的长度为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设 则，所以， 所以， 因为，即且，解得， 所以. 故 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时， 该休闲场所的总造价最小，最小值为 元. 故选：B 【例16】如图，，是两条长度足够长的互相垂直的笔直小路，矩形的顶点，分别在，上，且该矩形区域内种满了荷花．为了让观赏者有更好的观赏体验，现计划经过点修一条小路，其中点在小路上，点在小路上，并在区域内种满荷花．已知，且小路要完全位于一个以为顶点的，边长为的正方形内部（包括边界）．记的面积为．    (1)设，试用表示，并写出的取值范围． (2)当的长度为多少时，取得最小值？最小值是多少？ 【答案】(1)； (2)当时，S取得最小值，为2000. 【分析】 【详解】（1）依题意， 得，所以，即，得， 所以， 所以，解得； 综上 （2）由， 所以， 由基本不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立， 故时，取得最小值，为2000. 必记结论 实际问题中长度、数量、单价等变量天然满足，部分场景变量只能取正整数； 解题流程：设变量→列函数式→找约束条件→配凑定值求最值→检验取值实际意义。 【小试牛刀】 【变式8-1】据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元／件）满足关系式，其中．已知该商品的成本为10元／件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为______元． 【答案】8000 【详解】设该超市每月销售该商品所获得利润为， 每件利润为元，每月的销售量为件， ， 令，则， ， 当且仅当，即时取等号， 该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为元． 故答案为：8000 【变式8-2】某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为40万元.设备使用年后该设备的总维修保养费用为万元，盈利总额为y万元. (1)求y关于x的函数关系式； (2)求该设备的年平均盈利额的最大值（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数）. 【答案】(1) (2)万元. 【分析】 【详解】（1）根据题意：， 故y关于x的函数关系式为. （2）由（1）知盈利总额为， 则年平均盈利额为， 因为，等号成立时， 所以， 故第年年平均盈利额取得最大值，最大值为万元. 【变式8-3】某工厂计划建设一个容积为1000立方米的长方体露天蓄水池，并为其底部和侧壁铺设瓷砖．施工公司给出的铺设池底的报价是每平方米24元，铺设池壁的报价是每平方米20元．由于生产需要，要求蓄水池深度不得超过10米，底部长与宽均不得超过20米． (1)池底的周长最小为多少？（单位：米） (2)假设将蓄水池深度限定为5米，则应如何设计池底的长与宽，可以使得铺设的成本最小？最小成本又是多少元?（成本精确到小数点后2位） 【答案】(1)40 (2)长：米，宽：米，最小成本：10456.85元 【分析】 【详解】（1）设蓄水池的长为米，宽为米，高为米，其中， 则容积立方米，，代入， 得，即，池底的周长， 当且仅当，且，即时取得，所以池底的周长最小为40米. （2）当深度米时，则平方米，则总成本元. 当且仅当时取得等号，所以最小成本为元 . 基础过关 1．已知，且，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．9 【答案】D 【详解】 ， 当且仅当，即，结合解得当且仅当，时取等号， 因此的最小值为9. 2．设，下列不等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，，，即； ，得，即，故A正确； 对于B，，由均值不等式得，即，，故B正确； 对于C、D ，，由均值不等式得，； ，即，故C错误，D正确. 3．的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】C 【详解】因为，所以. 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 4．已知且，则的最小值是（   ） A．3 B．9 C．5 D．25 【答案】D 【详解】因为，所以，当且仅当时，等号成立， 所以， 解得，当且仅当时等号成立，所以的最小值为25． 5．“明数理”数学兴趣小组在跨学科探究学习过程中遇到一个数学物理综合问题，下图为一个串联电路图，电源电压为，定值电阻的阻值为，滑动变阻器的阻值范围是到，已知纯电阻电路下图的一个功率公式为，闭合开关并移动滑动变阻器滑片，则的功率的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题知，总电阻， 电路电流， 所以滑动变阻器功率为 ， 因为，当且仅当即时，等号成立， 此时满足到的范围， 所以此时最大，且为. 6．已知，，都是正数，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．8 D．9 【答案】C 【详解】由题意得，， 等号成立时， 则的最小值为. 故选：C 7．（多选）魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用图1给出了勾股定理的证明．设每个直角三角形的两条直角边长分别为和如图2．由刘徽构造的图形可以得到许多重要结论，则下列推理正确的是（   ） A．由正方形面积大于8个朱色图形面积得 B．由正方形面积大于4个朱色图形面积得 C．由三角形面积大于黄色图形面积得 D．由正方形面积的2倍大于正方形面积得 【答案】ABD 【详解】对于A，由正方形的面积为，8个朱色图形的面积为，显然，故A正确； 对于B，由图得正方形的面积为，4个朱色图形的面积为，由图可知，故B正确； 对于C，由三角形面积大于黄色图形面积得，所以，故C错误； 对于D，由正方形面积的2倍大于正方形面积得，故D正确. 8．（多选）已知，，则下列正确的是（    ） A． B．的最小值为2 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【详解】选项A：由得，， 又，，所以， 所以， 因为，所以，所以.故选项A正确. 选项B：由得，， 则， 又，所以，当且仅当即时，等号成立.故选项B错误. 选项C：， 又，所以，当且仅当即时，等号成立. 故选项C正确. 选项D：由得，， 所以， 由选项C知，当时，取得最小值， 故的最小值为.故选项D正确. 故选：ACD 9．已知实数，满足，则的最大值为________． 【答案】 【详解】由，等式两边平方得：展开得. 由于对任意实数，有， 将其代入上式：，则. 当且仅当时取等号，代入,解得或，此时，满足取等条件,因此的最大值为1. 10．某公司计划一年共购买材料200吨，设每次购买吨，运费为8万元/次，一年固定存储费用为万元，要使一年的总费用最少，则每次应购买___________吨 【答案】 【详解】由一年共购买吨，每次购买吨，则一年共购买次， 由运费为万元/次，则一年运费共万元， 所以一年的总费用， 当且仅当时，等号成立. 故答案为：. 11．已知，均为正数，. (1)求的最小值； (2)求的最小值； (3)求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）因为，均为正数，， 所以即，当且仅当时等号成立， 所以，即的最小值为； （2）由题可得，当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为； （3）由（1）可得，当且仅当时等号成立， 所以的最小值. 12．完成下面问题： (1)现用篱笆围一个面积为的矩形花园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？ (2)用一段长为25m的篱笆围成一个矩形花园，当这个矩形的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)当且仅当时，所用篱笆最短，最短为32. (2)当这个矩形花园的边长为时，花园的面积取最大值，花园的面积最大值为. 【分析】 【详解】（1）设矩形花园的长为，宽为 由题意可知：（面积） 由得 ∴当且仅当时，所用篱笆最短，最短为32m. （2）已知（周长），矩形花园的面积为 由 当且仅当时．上式等号成立 ∴当这个矩形花园的边长为时，花园的面积取最大值，花园的面积最大值为. 能力提升 13．已知满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】D 【详解】由，得． 令，则，解得， 则， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为6． 故选：D． 14．已知均为正数，且，则的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【详解】因为，所以， 则 ， 当且仅当，时取等，此时解得， 则的最小值为，故B正确. 故选：B 15．已知正实数满足，则的最小值为___________． 【答案】/ 【详解】，可得， 则. 又因为，即， 所以， 故， 即（当且仅当，即时取等）， 所以， 故答案为：. 16．如图，有一块边长为1（单位：百米）的正方形区域，在点处有一个可转动的探照灯，其照射角始终为（其中点分别在边上），设，． (1)用表示出的长度，并探求的周长是否为定值； (2)问探照灯照射在正方形内部区域的面积最大为多少? 【答案】(1)，为定值2 (2)平方百米 【分析】 【详解】（1）由，得，可得， ， ，， ， 的周长为定值． （2） ， 当且仅当，即时等号成立． 所以探照灯照射在正方形内部区域的面积最大为平方百米． 挑战一刻 17．已知，若存在实数，使成立.则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，有解，即， 因为，所以， 那么 ， 当且仅当，即时等号成立， 故，则的最小值为. 故选：D. 18．（多选）定义运算（其中），则下列结论正确的是（    ） A． B．对任意 C．对任意，，都有 D．对任意，都有 【答案】ACD 【详解】先化简定义的运算， 所以，故选项A正确； 当时， ，所以选项B错误； 因为， 即对任意，，都有，故选项C正确； 因为， 又因为，所以，即， 即对任意，都有，故选项D正确. 故选：ACD. 19．设，则当取最小值时，______． 【答案】 【详解】令，则，即， 当且仅当时取等，即（负根舍去）取等号， 也即 故答案为： 20．已知，，且，则的最小值为________. 【答案】 【详解】因为，，且， 所以，则， 整理得， 又，，所以， 所以. 因此， 当且仅当，即时取等号. 此时，满足题意. 故答案为： 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $