第05讲 全称量词与存在量词（讲义，全国通用人教A版）数学初升高衔接

第05讲 全称量词与存在量词 预习目标 知识回顾 1．识记常见全称量词、存在量词，认识对应符号，能区分全称量词命题、存在量词命题，掌握两类命题的标准书写形式。 2．熟练掌握全称、存在量词命题的否定改写步骤，学会更换量词、否定结论，熟记各类常用正面词语对应的否定表述。 3．能准确判断命题与其否定的真假，利用 “原命题和否定真假相反” 的规律简化真假判断。 1．理解命题的定义与分类，掌握“若p，则q”的标准命题形式，能够准确拆分出命题的条件与结论。 2．熟记充分条件、必要条件、充要条件的概念及对应符号，熟练判断四种条件逻辑关系。 3．理解条件具有传递性，可借助集合包含关系，快速判定两个命题之间的条件类型。 新知导图 预习精讲 想一想 在我们的实际生活中，常遇到这样的命题： （1）任何中国公民的合法权利都受到法律的保护； （2）每一个学生都要接受爱国主义教育； （3）某些人没有环境保护意识； （4）有的人的身高超过两米 对于这类命题，我们将从理论上进行深层次的认识。 知识点01 全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、一切、每一个、任给 符号 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对中任意一个,有成立”，可用符号简记为“” 【即学即练】 1．下列命题与“，”的表述意义一致的是（    ） A．有且只有一个实数，使得成立 B．有些实数，使得成立 C．不存在实数，使得成立 D．有无数个实数，使得成立 【答案】C 【详解】与“，”表述一致的是“不存在实数，使得成立”. 故选：C. 2．“实数的平方大于等于0”用符号表示为__________. 【答案】 【详解】“实数的平方大于等于0”用符号表示为：. 故答案为：. 知识点02 存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 符号 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在中的一个,有成立”，可用符号简记为“” 【即学即练】 3．下列命题中，是存在量词命题的是（    ） A．正方形的四条边相等 B．有三个角是的三角形是等边三角形 C．正数的平方根不等于0 D．至少有一个正整数是奇数 【答案】D 【详解】A选项完整含义为“所有正方形的四条边相等”，隐含全称量词“所有”，属于全称量词命题； B选项完整含义为“所有有三个角是的三角形是等边三角形”，隐含全称量词“所有”，属于全称量词命题； C选项完整含义为“所有正数的平方根不等于0”，隐含全称量词“所有”，属于全称量词命题； D选项含有存在量词“至少有一个”，属于存在量词命题. 4．命题“存在正实数x，使得大于”，用符号语言可表示为________，该命题为________命题．（填“真”或“假”）． 【答案】 ， 假 【详解】命题“存在正实数，使得大于”， 用符号语言可表示为“，”. 因为时，，所以该命题为假命题. 故答案为：①，；②假. 知识点03 全称量词命题与存在量词命题的否定 1．全称量词命题的否定：存在量词命题； 具体步骤： ①改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．即：全称量词(∀)存在量词(∃)． ②否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等． 2．存在量词命题的否定：全称量词命题； 具体步骤： ①改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．即：存在量词(∃)全称量词(∀)． ②否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等． 注意 常用的正面叙述词语和它的否定词语 等于（）——不等于（），大于（）——不大于（），小于（）——不小于（）， 是——不是，都是——不都是，任意的——某个，所有的——某些，至多一个——至少两个， 至少一个——一个也没有 【即学即练】 5．命题“，”的否定是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】命题“，”的否定形式为：“，”. 知识点04 命题否定的真假判断方法 区分命题类型是写对命题否定的基础，做题时首先要分清该命题属于全称量词命题，还是存在量词命题。 命题与其否定的真假性始终相反，若直接判断命题否定的真假难度较大，可先判断原命题的真假：原命题为真，则它的否定为假；原命题为假，则它的否定为真。 【即学即练】 6．已知命题p：，，命题q：，，则（  ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】C 【详解】令，则显然成立，是真命题，是假命题， 当时，，故命题是假命题，是真命题． 题型速练 题型01 判断全称量词命题与存在量词命题 权臣 【例1】下列命题是全称量词命题的是（    ） A．存在一个实数的平方是负数 B．每个四边形的内角和都是 C．至少有一个整数是质数 D．有些实数满足 【答案】B 【详解】选项A，含有存在量词“存在一个”，该命题是存在量词命题，所以A错误； 选项B，含有全称量词“每个”，该命题是全称量词命题，所以B正确； 选项C，含有存在量词“至少有一个”，该命题是存在量词命题，所以C错误； 选项D，含有存在量词“有些”，该命题是存在量词命题，所以D错误． 故选：B． 【例2】判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题，并用量词符号“”或“”表述下列命题. (1)对任意，成立； (2)对所有实数，，方程恰有一个解； (3)有些整数既能被2整除，又能被3整除； (4)某个四边形不是平行四边形. 【答案】(1)全称量词命题，表示为， (2)全称量词命题，表示为，，方程恰有一个解 (3)存在量词命题，表示为，既能被2整除，又能被3整除 (4)存在量词命题，表示为，不是平行四边形 【详解】（1）全称量词命题，表示为，. （2）全称量词命题，表示为，，方程恰有一解. （3）存在量词命题，表示为，既能被2整除，又能被3整除. （4）存在量词命题，表示为，不是平行四边形. 必记结论 1．全称量词：，关键词：所有、任意、每一个、全部、任给；命题形式： 2．存在量词：，关键词：存在、有些、有的、至少一个、某些；命题形式： 【小试牛刀】 【变式1-1】命题“所有正方形都是矩形”是_____量词命题，命题“有的集合中不含有任何元素”是_____量词命题．（填“全称”或“存在”） 【答案】 全称 存在 【详解】因为命题“所有正方形都是矩形”中“所有”为全称量词， 故命题“所有正方形都是矩形”是全称量词命题； 因为命题“有的集合中不含有任何元素”中“有的”指的是存在量词， 故命题“有的集合中不含有任何元素”是存在量词命题. 故答案为：全称；存在. 【变式1-2】选择适当的符号“”､“”表示下列命题：有一个实数x，使：___________. 【答案】有． 【详解】有． 故答案为：有． 【变式1-3】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并指出其中的全称量词或存在量词： (1)所有的正方形都是平行四边形； (2)能被5整除的整数末位数字为0； (3)存在一个无理数x，使也是无理数； (4)使. 【答案】(1)全称量词命题，“所有”是全称量词 (2)全称量词命题，其中省略了全称量词“所有” (3)存在量词命题，“存在”是存在量词 (4)存在量词命题，“（即存在）”是存在量词 【详解】（1）“所有的正方形都是平行四边形”是全称量词命题，“所有”是全称量词； （2）“能被5整除的整数末位数字为0”可以表述为“所有能被5整除的整数，末位数字都为0”， 它是全称量词命题，其中省略了全称量词“所有”； （3）“存在一个无理数x，使也是无理数”是存在量词命题，“存在”是存在量词； （4）“使”是存在量词命题，“（即存在）”是存在量词. 题型02 全称量词命题与存在量词命题的否定 【例3】已知命题，则命题p的否定为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】由全称命题的否定知，命题p的否定为：，. 【例4】设命题p：，，则p的否定为________. 【答案】 【详解】命题p： ，，则p的否定为：. 易错点 1．只改结论、不改量词，或只改量词、不否定结论； 2．否定结论时词语出错：都是→不都是（不是都），不能写成“都不是”；至多一个→至少两个； 【小试牛刀】 【变式2-1】若命题，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】由题意，命题，， 则，． 【变式2-2】命题：“”的否定是______. 【答案】 【详解】“”的否定是“”. 【变式2-3】已知命题，则为_________________ 【答案】 【详解】根据全称量词命题的否定， 由命题， 则为. 题型03 量词命题的真假 【例5】已知集合 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于选项A， ，这是存在性命题，只需找到一个且的元素即可， 例如，满足 且，故选项A正确； 对于选项B， ，这是存在性命题， 因为集合是集合的真子集，故不存在集合中的元素不属于集合，故选项B错误； 选项C， ，这是全称量词命题，要求所有集合中的元素都不属于集合， 而属于集合，也属于集合，故选项C错误； 选项D，，，这是全称量词命题，要求所有集合中的元素都属于集合， 而属于集合，但不属于集合，故选项D错误． 【例6】已知命题，；命题，.则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】C 【详解】对于命题，，，则，故命题为真命题； 对于命题，由可得，解得，命题为假命题，故命题为真命题. 必记结论 1．为真：集合中全部元素满足；只需找到1个反例，命题为假。 为真：集合中至少1个元素满足；全部元素都不满足，命题才为假。 3．命题与它的否定真假互斥：原真 否定假，原假 否定真。 【小试牛刀】 【变式3-1】下列命题既是全称量词命题又是真命题的是（    ） A．所有的素数都是奇数 B．，使 C．矩形都有外接圆 D．都有平方根 【答案】C 【详解】A选项，素数2不是奇数，“所有的素数都是奇数”是全称量词命题，但是假命题，A选项错误； B选项，“，使”是存在量词命题，B选项错误； C选项，矩形的对角互补，都有外接圆，“矩形都有外接圆” 既是全称量词命题又是真命题，C选项正确； D选项，负整数没有平方根，“都有平方根” 是全称量词命题，但是假命题，D选项错误； 故选：C 【变式3-2】下列命题正确的是（    ） A．所有可以被5整除的整数，末尾数字都是0 B．任意一个偶数都不是素数 C．至少有一个整数n，使得是奇数 D．任意一个整数n，都不是4的倍数 【答案】D 【详解】对于A，可以被5整除的整数，但末尾数字是，故A错误； 对于B，为偶数且为素数，故B错误； 对于C，因为必有一个偶数，故必为偶数，故C错误； 对于D，若，则，故不是4的倍数， 若，则，因为4的倍数， 故不是4的倍数， 故任意一个整数n，都不是4的倍数，故D正确. 故选：D. 【变式3-3】（多选）下面四个命题错误的是（　　） A．，恒成立 B．， C．， D．， 【答案】ABC 【详解】对A：由或. 所以命题“，恒成立”为假命题； 对B：由或，所以为无理数，故“，”为假命题； 对C：对，，所以方程无解，故命题“，”为假命题； 对D：因为，恒成立，所以命题“，”为真命题. 故选：ABC 题型04 根据量词命题的真假求参数（判别式法） 【例7】已知命题“，使得”为真命题，则实数的取值范围为____. 【答案】 【详解】因为命题“，使得”为真命题，所以， 解得或，即实数的取值范围为. 【例8】若命题“任意，”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为“任意，”为假命题， 所以“，”是真命题， 即方程有实数根，则，解得， 即实数的取值范围是． 故选：B 必记结论 适用场景：命题含一元二次式，，结合分析恒成立/存在成立问题 核心结论 恒成立，则 有解，则或 【小试牛刀】 【变式4-1】若命题“，使得成立”为假命题，则实数的取值范围是______. 【答案】 【详解】根据题意，若命题“，使得成立”为假命题， 则一元二次方程无实数根， 必有，解得，故的范围是. 【变式4-2】命题“”为真命题，则实数的最大值为__________． 【答案】0 【详解】若命题“”为真命题，即， 因为，当且仅当时，等号成立， 可得，所以实数的最大值为0. 故答案为：0. 【变式4-3】已知命题p：，，若p的否定为假命题，则实数m的取值范围为_______． 【答案】 【详解】因为p的否定为假命题，所以命题p为真命题， 可化为， 即，成立，故只需， 故实数m的取值范围为． 题型05 根据量词命题的真假求参数（分离参数法） 【例9】若，使得成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将题中条件转化为不等式，在区间上至少有一个解， 这等价于的值大于该区间上x的最小值， 因为当时，x的最小值为， 所以必有，解得以. 故选：B. 【例10】已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【详解】因为，所以， 又命题“，”为假命题， 即，即． 易错点 1．只改结论、不改量把参数单独放一侧，转化为函数最值问题： 恒成立恒成立 有解有解 【小试牛刀】 【变式5-1】若“，”是真命题，则的取值范围是__________. 【答案】 【详解】因为“，”是真命题， 所以在上有解， 由，得，所以， 所以， 则的取值范围是. 故答案为： 【变式5-2】若命题“任意，”为假命题，则实数的取值范围是________． 【答案】 【详解】由命题“任意，”为假命题， 所以为真命题， 所以， 又在上的最大值为：， 所以， 故答案为：. 【变式5-3】已知命题．若命题为真命题，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【详解】因， 则，即， ∵命题为真命题，∴， 当时，，当时， 所以． 故答案为：． 题型06 量词命题与充分必要 【例11】已知函数，则“，使”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由” ，使”，即，所以， 即，充分性不成立； 已知函数，当“”时，，函数与轴有两个交点，所以“，使”成立，即必要性成立. 综述，已知函数，则“，使”是“”的必要而不充分条件. 故选：B. 【例12】已知命题 ： ， 为假命题． (1)求实数的取值集合； (2)设集合，若“ ”是“ ”的必要条件，求实数的取值集合． 【答案】(1) (2)或 【分析】 【详解】（1）命题 ： ， 为假命题， 当 时，方程为 ，解得，此时命题 为真命题，不符合题意； 当 时， ， 为假命题等价于一元二次方程 无实根， 所以 ，解得 . 故实数的取值集合. （2）由 ，得 ，即. 因为“ ”是“ ”的必要条件，所以 . 当 时， ，解得 ； 当 时，，解得 . 综上所述，实数的取值集合为或. 【小试牛刀】 【变式6-1】使为真命题的一个充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】要使为真命题，则只需，可得， 结合各项知，只有A中是该命题为真的一个充分条件. 故选：A 【变式6-2】（多选）设和是关于变量的谓词，为定义域，则下列命题中正确的是（   ） A．若命题“，”是“，”的充分条件，则 B．若命题“，”是“，”的必要条件，则 C．若命题“，”，则“，”是“，”的充分条件 D．若命题“，”，则“，”是“，”的充分条件 【答案】AD 【详解】对于A：由全称命题的充分条件关系可知，若“，”推出“，”， 则必有满足的元素都满足，即，故A正确； 对于B：存在命题的必要条件关系表明，若“，”是“，”的必要条件， 则所有满足的元素必须满足，即，故B不正确； 对于C：虽然“，”为真，但当时，“，”为假命题， 此时无法推出“，”的真假，因此该条件不构成充分条件，故C错误； 对于D：在和等价的条件下，存在满足当且仅当存在满足， 故二者互为充要条件，故D正确. 故选：AD. 【变式6-3】已知命题：“，使等式成立”是真命题. (1)求实数的取值集合； (2)设不等式的解集为，若是的必要条件，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】 【详解】（1）由题意，方程在上有解， 令，只需在的值域内， 当时，，当时，， 所以值域为， 的取值集合为； （2）由题意，，显然不为空集. ①当，即时，， ， ； ②当，即时，，不合题意舍去； ③当，即时，. ， ； 综上可得或. 基础过关 1．下列命题是全称量词命题且是真命题的是（    ） A．存在实数，使 B．所有的素数都是奇数 C．平面内存在一条直线与两条相交直线都平行 D．每个四边形的内角和都是360° 【答案】D 【详解】选项A：含存在量词“存在”，为存在量词命题，不符合要求；且对任意实数，均有，故，该命题为假命题，排除； 选项B：含全称量词“所有的”，为全称量词命题；但素数2是偶数，不是奇数，存在反例，故该命题为假命题，排除； 选项C：含存在量词“存在”，为存在量词命题，不符合要求；且平面内平行于同一直线的两条直线互相平行，不可能与两条相交直线同时平行，该命题为假命题，排除； 选项D：含全称量词“每个”，为全称量词命题；任意四边形均可分割为个不重叠的三角形，结合三角形内角和为，可得四边形内角和为，该命题为真命题，符合要求 2．已知命题：，，则是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】原命题为，， 因此其否定为，. 3．已知命题，则命题的真假以及否定分别为（   ） A．真， B．真， C．假， D．假， 【答案】B 【详解】，故命题为真． 又，． 4．已知命题，，命题，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】A 【详解】 由，得是真命题，是假命题； 命题，时，，， 故满足，为真命题. 故选：A. 5．已知，若是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由是假命题， 则是真命题， 即， 所以实数的取值范围是， 故选：C 6．已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】是的必要不充分条件，则是的子集， 又因为，或，所以. 故选：C. 7．（多选）已知集合，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】AD 【详解】因为，，所以是的真子集， 所以，；，；即AD选项正确，BC选项错误. 故选：AD. 8．（多选）若“，”为真命题，“，或”为假命题，则集合M可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】因为，或为假命题，所以，为真命题， 可得， 又，为真命题，可得，所以， 故集合可以是BD选项中的集合. 故选：BD． 9．“和都是有理数”的否定形式是___________. 【答案】和不都是有理数 【详解】命题“和都是有理数”等价于“且”，根据复合命题的否定规则，其否定为“或”，即“和不都是有理数”. 10．若命题p：“，”是假命题，命题q：，是真命题，则实数a的取值范围是__________． 【答案】 【详解】因为命题p：“，”是假命题， 所以命题p的否定“，”是真命题， 则方程无解，即，解得； 又因为命题q：，是真命题，所以， 对任意恒成立，故 应小于等于在的最小值， 当时最小值为，即 综上所述，实数a的取值范围是. 故答案为：. 11．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假． (1)存在这样的，使； (2)矩形的对角线垂直平分； (3)三角形两边之和大于第三边； (4)有些素数是奇数． 【答案】(1)存在量词命题，真 (2)全称量词命题，假 (3)全称量词命题，真 (4)存在量词命题，真 【分析】 【详解】（1）存在量词命题．时，成立．所以命题是真命题． （2）全称量词命题．邻边不相等的矩形的对角线不垂直， 所以全称量词命题“矩形的对角线垂直平分”是假命题． （3）全称量词命题．三角形中，两边之和大于第三边， 所以全称量词命题“三角形两边之和大于第三边”是真命题． （4）存在量词命题．3是素数也是奇数，所以，存在量词命题“有些素数是奇数”是真命题． 12．设命题，使得不等式恒成立；命题使得不等式成立. (1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围； (2)①写出命题q的否定； ②若命题p，q中有且仅有一个为真命题，求实数m的取值范围. 【答案】(1)； (2)①，不等式恒成立；②或. 【分析】 【详解】（1）不等式， 依题意，，不等式恒成立， 当时，，当且仅当时取等号，则， 所以实数m的取值范围是. （2）①命题使得不等式成立是存在量词命题，其否定是全称量词命题， 所以命题q的否定是：，不等式恒成立. ②不等式，依题意，，不等式成立， 则 m 需大于 2x 在该区间的最小值，当时，，当且仅当时取等号，则， 命题，由（1）知，命题，由命题p，q中有且仅有一个为真命题， 得真假，有且，即；或假真，有且，即， 因此或， 所以实数m的取值范围是或. 能力提升 13．已知集合，，如果命题“，使得”为假命题，则实数a的一个值可以为______. 【答案】（均可） 【详解】命题“，使得”为假命题，则其否定“，使得”为真命题. 当时，集合，符合. 当时，因为，所以由，使得， 得对于任意恒成立，又，所以. 综上，实数的取值范围为. 故答案为：（均可）. 14．已知命题，命题有实数根，若为真命题，为假命题，则实数的取值范围是__________. 【答案】. 【详解】由命题为真命题可得，，故； 由命题有实数根为真命题可得，，即. 而为假命题，则为真命题，即. 若为真命题，为假命题只需：，解得：， 故实数的取值范围是. 故答案为：. 15．设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为为真命题， 所以当时，不等式为，在上恒成立，符合题意； 当时，解得． 综上，实数的取值范围为． （2）若为真命题，即， 则对于． 由于， 所以，解得， 又因为有且只有一个是真命题， 所以当真假时， 解得； 当假真时， 解得． 所以实数的取值范围为． 16．已知集合，或． (1)求，； (2)若集合，且“，”为真命题，求实数m的取值范围． 【答案】(1)或， (2)或 【分析】 【详解】（1）集合，或， 则或，，则 （2），为真命题，即， 又，， 当时，，即，此时，符合题意； 当时，由可得或，解得， 综上，m的取值范围为：或． 挑战一刻 17．（多选）已知集合M，N的关系如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A． B．“”是真命题 C．“，使得”是真命题 D． 【答案】ACD 【详解】选项A：由图可知，集合 与集合 有重叠部分，即公共元素，所以 ，故选项A正确； 选项B： 表示集合 在全集 中的补集，即图中 圆圈外部的区域. 由图可知，集合 中有一部分元素在 的外部（即 独有的部分）， 这部分元素属于 但也属于 ，因此“”意味着 中没有元素在 外，即 ， 这与图形不符，故选项B错误； 选项C：命题“，使得”等价于 . 由图可知两集合有交集，故存在这样的元素，选项C正确； 选项D：根据集合运算的德·摩根定律， 恒成立， 表示既不在 中也不在 中的元素集合等于不在 与 并集中的元素集合，故选项D正确. 18．已知，且“对任意的，以1，2，为边长的三条线段不能构成三角形”是假命题，则的取值范围是______. 【答案】 【详解】由题意，“存在，使得以1，2，为边长的三条线段能构成三角形”是真命题， 则，即，则， 而，所以， 则的取值范围是. 故答案为：. 19．已知函数，函数若，，使得成立，则实数的取值范围为____________. 【答案】 【详解】当时，的取值范围是， 当时，的取值范围是， 由题意，总使， 即，总有， 所以是的子集， 所以，解得， 故所求为. 故答案为：. 20．（多选）设集合，若，使得（两两不等），则称为集，下列结论正确的是（    ） A．若是集，则或 B．若集合是集，集合是非空数集，则是集 C．若集合是集，集合，则为集 D．，且，使得是集 【答案】ACD 【详解】对于A：由集的定义及已知得，，或，或， 解得或（舍去），故A正确； 对于B：若取，则，，显然不符合集的定义，故B错误； 对于C：由是集，所以存在（两两不等），使得， 因为中的元素个数不小于，所以且，使得， 且两两不等，由，得，所以为集，故C正确； 对于D：设， 取， 满足（两两不等），存在, 是集，故D正确. 故选：ACD. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 全称量词与存在量词 预习目标 知识回顾 1．识记常见全称量词、存在量词，认识对应符号，能区分全称量词命题、存在量词命题，掌握两类命题的标准书写形式。 2．熟练掌握全称、存在量词命题的否定改写步骤，学会更换量词、否定结论，熟记各类常用正面词语对应的否定表述。 3．能准确判断命题与其否定的真假，利用 “原命题和否定真假相反” 的规律简化真假判断。 1．理解命题的定义与分类，掌握“若p，则q”的标准命题形式，能够准确拆分出命题的条件与结论。 2．熟记充分条件、必要条件、充要条件的概念及对应符号，熟练判断四种条件逻辑关系。 3．理解条件具有传递性，可借助集合包含关系，快速判定两个命题之间的条件类型。 新知导图 预习精讲 想一想 在我们的实际生活中，常遇到这样的命题： （1）任何中国公民的合法权利都受到法律的保护； （2）每一个学生都要接受爱国主义教育； （3）某些人没有环境保护意识； （4）有的人的身高超过两米 对于这类命题，我们将从理论上进行深层次的认识。 知识点01 全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、一切、每一个、任给 符号 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对中任意一个,有成立”，可用符号简记为“” 【即学即练】 1．下列命题与“，”的表述意义一致的是（    ） A．有且只有一个实数，使得成立 B．有些实数，使得成立 C．不存在实数，使得成立 D．有无数个实数，使得成立 2．“实数的平方大于等于0”用符号表示为__________. 知识点02 存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 符号 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在中的一个,有成立”，可用符号简记为“” 【即学即练】 3．下列命题中，是存在量词命题的是（    ） A．正方形的四条边相等 B．有三个角是的三角形是等边三角形 C．正数的平方根不等于0 D．至少有一个正整数是奇数 4．命题“存在正实数x，使得大于”，用符号语言可表示为________，该命题为________命题．（填“真”或“假”）． 知识点03 全称量词命题与存在量词命题的否定 1．全称量词命题的否定：存在量词命题； 具体步骤： ①改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．即：全称量词(∀)存在量词(∃)． ②否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等． 2．存在量词命题的否定：全称量词命题； 具体步骤： ①改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．即：存在量词(∃)全称量词(∀)． ②否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等． 注意 常用的正面叙述词语和它的否定词语 等于（）——不等于（），大于（）——不大于（），小于（）——不小于（）， 是——不是，都是——不都是，任意的——某个，所有的——某些，至多一个——至少两个， 至少一个——一个也没有 【即学即练】 5．命题“，”的否定是（     ） A．， B．， C．， D．， 知识点04 命题否定的真假判断方法 区分命题类型是写对命题否定的基础，做题时首先要分清该命题属于全称量词命题，还是存在量词命题。 命题与其否定的真假性始终相反，若直接判断命题否定的真假难度较大，可先判断原命题的真假：原命题为真，则它的否定为假；原命题为假，则它的否定为真。 【即学即练】 6．已知命题p：，，命题q：，，则（  ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 题型速练 题型01 判断全称量词命题与存在量词命题 【例1】下列命题是全称量词命题的是（    ） A．存在一个实数的平方是负数 B．每个四边形的内角和都是 C．至少有一个整数是质数 D．有些实数满足 【例2】判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题，并用量词符号“”或“”表述下列命题. (1)对任意，成立； (2)对所有实数，，方程恰有一个解； (3)有些整数既能被2整除，又能被3整除； (4)某个四边形不是平行四边形. 必记结论 1．全称量词：，关键词：所有、任意、每一个、全部、任给；命题形式： 2．存在量词：，关键词：存在、有些、有的、至少一个、某些；命题形式： 【小试牛刀】 【变式1-1】命题“所有正方形都是矩形”是_____量词命题，命题“有的集合中不含有任何元素”是_____量词命题．（填“全称”或“存在”） 【变式1-2】选择适当的符号“”､“”表示下列命题：有一个实数x，使：___________. 【变式1-3】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并指出其中的全称量词或存在量词： (1)所有的正方形都是平行四边形； (2)能被5整除的整数末位数字为0； (3)存在一个无理数x，使也是无理数； (4)使. 题型02 全称量词命题与存在量词命题的否定 【例3】已知命题，则命题p的否定为（   ） A．， B．， C．， D．， 【例4】设命题p：，，则p的否定为________. 易错点 1．只改结论、不改量词，或只改量词、不否定结论； 2．否定结论时词语出错：都是→不都是（不是都），不能写成“都不是”；至多一个→至少两个； 【小试牛刀】 【变式2-1】若命题，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式2-2】命题：“”的否定是______. 【变式2-3】已知命题，则为_________________ 题型03 量词命题的真假 【例5】已知集合 ，则（    ） A． B． C． D． 【例6】已知命题，；命题，.则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 必记结论 1．为真：集合中全部元素满足；只需找到1个反例，命题为假。 为真：集合中至少1个元素满足；全部元素都不满足，命题才为假。 3．命题与它的否定真假互斥：原真 否定假，原假 否定真。 【小试牛刀】 【变式3-1】下列命题既是全称量词命题又是真命题的是（    ） A．所有的素数都是奇数 B．，使 C．矩形都有外接圆 D．都有平方根 【变式3-2】下列命题正确的是（    ） A．所有可以被5整除的整数，末尾数字都是0 B．任意一个偶数都不是素数 C．至少有一个整数n，使得是奇数 D．任意一个整数n，都不是4的倍数 【变式3-3】（多选）下面四个命题错误的是（　　） A．，恒成立 B．， C．， D．， 题型04 根据量词命题的真假求参数（判别式法） 【例7】已知命题“，使得”为真命题，则实数的取值范围为____. 【例8】若命题“任意，”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 必记结论 适用场景：命题含一元二次式，，结合分析恒成立/存在成立问题 核心结论 恒成立，则 有解，则或 【小试牛刀】 【变式4-1】若命题“，使得成立”为假命题，则实数的取值范围是______. 【变式4-2】命题“”为真命题，则实数的最大值为__________． 【变式4-3】已知命题p：，，若p的否定为假命题，则实数m的取值范围为_______． 题型05 根据量词命题的真假求参数（分离参数法） 【例9】若，使得成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【例10】已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围是_____． 易错点 1．只改结论、不改量把参数单独放一侧，转化为函数最值问题： 恒成立恒成立 有解有解 【小试牛刀】 【变式5-1】若“，”是真命题，则的取值范围是__________. 【变式5-2】若命题“任意，”为假命题，则实数的取值范围是________． 【变式5-3】已知命题．若命题为真命题，则实数的取值范围是_______． 题型06 量词命题与充分必要 【例11】已知函数，则“，使”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【例12】已知命题 ： ， 为假命题． (1)求实数的取值集合； (2)设集合，若“ ”是“ ”的必要条件，求实数的取值集合． 【小试牛刀】 【变式6-1】使为真命题的一个充分条件是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（多选）设和是关于变量的谓词，为定义域，则下列命题中正确的是（   ） A．若命题“，”是“，”的充分条件，则 B．若命题“，”是“，”的必要条件，则 C．若命题“，”，则“，”是“，”的充分条件 D．若命题“，”，则“，”是“，”的充分条件 【变式6-3】已知命题：“，使等式成立”是真命题. (1)求实数的取值集合； (2)设不等式的解集为，若是的必要条件，求的取值范围. 基础过关 1．下列命题是全称量词命题且是真命题的是（    ） A．存在实数，使 B．所有的素数都是奇数 C．平面内存在一条直线与两条相交直线都平行 D．每个四边形的内角和都是360° 2．已知命题：，，则是（     ） A．， B．， C．， D．， 3．已知命题，则命题的真假以及否定分别为（   ） A．真， B．真， C．假， D．假， 4．已知命题，，命题，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 5．已知，若是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（多选）已知集合，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 8．（多选）若“，”为真命题，“，或”为假命题，则集合M可以是（ ） A． B． C． D． 9．“和都是有理数”的否定形式是___________. 10．若命题p：“，”是假命题，命题q：，是真命题，则实数a的取值范围是__________． 11．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假． (1)存在这样的，使； (2)矩形的对角线垂直平分； (3)三角形两边之和大于第三边； (4)有些素数是奇数． 12．设命题，使得不等式恒成立；命题使得不等式成立. (1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围； (2)①写出命题q的否定； ②若命题p，q中有且仅有一个为真命题，求实数m的取值范围. 能力提升 13．已知集合，，如果命题“，使得”为假命题，则实数a的一个值可以为______. 14．已知命题，命题有实数根，若为真命题，为假命题，则实数的取值范围是__________. 15．设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 16．已知集合，或． (1)求，； (2)若集合，且“，”为真命题，求实数m的取值范围． 挑战一刻 17．（多选）已知集合M，N的关系如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A． B．“”是真命题 C．“，使得”是真命题 D． 18．已知，且“对任意的，以1，2，为边长的三条线段不能构成三角形”是假命题，则的取值范围是______. 19．已知函数，函数若，，使得成立，则实数的取值范围为____________. 20．（多选）设集合，若，使得（两两不等），则称为集，下列结论正确的是（    ） A．若是集，则或 B．若集合是集，集合是非空数集，则是集 C．若集合是集，集合，则为集 D．，且，使得是集 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $