2025- 2026学年山东省滕州市鲍沟中学八年级下册期末复习卷数学试题

**基本信息** 八年级下册期末复习卷，以平行四边形、分式方程等核心知识为载体，融入天山胜利隧道、邮票等真实情境，通过“智慧数”“兄弟分式”等新定义及物理力学跨学科设计，考查抽象能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题|平行四边形内角、分式值变化、正多边形内角和|结合文明驾车标志（正八边形）考查内角和公式| |填空题|6题|平移坐标、平行四边形法则、智慧数规律|物理力学中用平行四边形法则求合力大小| |解答题|7题|分式方程、平行四边形证明、姬曼定理因式分解|新定义“兄弟分式”考查分式运算，姬曼定理拓展因式分解方法|

2025-2026学年山东省滕州市鲍沟中学八年级下册期末复习卷 数学试题 一、单选题 1．如图，是中国邮政与西班牙邮政联合发行的平行四边形邮票，若其中一个锐角约为，则其一个钝角的度数约为（     ） A． B． C． D． 2．已知时，二次根式有意义，则（     ）内的代数式可能是（     ） A． B． C． D． 3．文明驾车，礼让行人，一定程度上反映了城市的文明程度．如图，交通指示牌的停车让行标志是正八边形，它的内角和等于（    ） A． B． C． D． 4．目前世界上最长的高速公路隧道是乌尉高速公路天山胜利隧道，它全长约千米．该隧道启用了我国自主研发的硬岩掘进机，其挖掘速度是传统钻爆法的倍，用时缩短约个月．设传统钻爆法挖掘速度为千米/月，可列方程（    ） A． B． C． D． 5．在如图所示的平行四边形中，P在边上移动（不与端点重合），连接，，则下列不为定值的是（     ） A． B． C．的面积 D．面积与面积之和 6．要使分式的值变大，有下列描述：①不变，变大；②不变，变小；③不变，变大；④不变，变小．其中正确的序号是（     ） A．①② B．③④ C．②③ D．①④ 7．李伟在一次课外阅读中遇到一个解一元二次不等式的问题：．经过思考，他给出了下列解法： 解：左边因式分解可得：， ，解得或． 请根据上述思想求一元三次不等式的解集（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 8．对于一个关于的整式，我们可以通过因式分解，分解为不能再分解的非常数因式的乘积，将其写成个整式的乘积，取的值为，这个整式的和记作整式的解码值．如当时，因式分解的结果为，则的值为，，，由此可以得到整式的解码值为．当时，整式的解码值是（     ） A． B． C． D． 9．定义：关于同一个未知数的不等式A和B，若不等式A的解集包含了不等式B的解集，则称不等式B是A的子集，例如不等式A：，不等式B：，因为包含了所以我们称A是B的子集．已知，若A是B的子集，则符合要求的正整数的值有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图， 两单位分别位于一条封闭街道的两旁（直线、是街道两边沿），现准备合作修建一座过街人行天桥．根据图中提供的数据计算由经过天桥走到的最短路线的长为（  ） A． B． C． D． 二、填空题 11．成都“机场直通道”设置在天府机场高速成都至机场方向左侧第一车道，起于龙泉山隧道入口处，止于天府机场，站分流匝道处．请根据图中所示限速牌用数学符号表示该公路段汽车行驶速度v的范围是______．（单位：） 12．若等式成立，则________，若，则________． 13．如图，将线段平移至线段的位置，且点与点对应，点与点对应．如果点、、的坐标分别为、、，那么点的坐标为_______． 14．在物理学中，作用于同一点的两个力的合成符合“平行四边形法则”，即两个共点力合成时，以表示这两个力的线段为邻边作平行四边形，则这两个邻边之间的对角线就代表合力的大小和方向，如图．如果两个共点力、如图所示，若方格图中每个小正方形的边长都表示，则合力的大小为________． 15．在中，，对角线与相交于点O．已知点E，F分别在边，上，且，连接与．若点M，N分别为，的中点，连接，则=_______． 16．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为智慧数.例如，，，；因此3，5，7这三个数都是“智慧数”．如果将智慧数从小到大进行排列，那么第5个智慧数是______，第2026个智慧数是______． 三、解答题 17．根据题目条件，解答下列问题 (1)解分式方程： (2)反思：在解分式方程的过程中，需要注意哪些事项，请你给其他同学提一条建议． 18．A、B、C三点在单位长度为1的直角坐标系内位置如图． (1)在平面直角坐标系中以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，在图中画出所有情况并写出D点坐标； (2)求出你作出的其中一个平行四边形的面积． 19．某水果店积极参与助农惠农活动，从果农处采购优质苹果助力乡村振兴．该水果店第一次花费500元购进一批苹果，由于销售状况良好，又花费1000元以相同的价格购进该品种苹果，所购质量比第一次购进质量多100千克． (1)求这种苹果的进价是多少元每千克？ (2)已知该水果店内苹果和香蕉的单价分别为元每千克和元每千克，甲共购买了千克水果，其中苹果千克，香蕉千克；乙共花费了元，其中买苹果元，买香蕉元．若甲和乙的花费相同，通过计算说明甲、乙两人谁购买水果的总质量更大． 20．如果两个分式和满足（为整数），则称，为“兄弟分式”，整数称为的“信度值”如分式，，满足，则称，为“兄弟分式”，整数称为的“信度值”． (1)已知分式，，判断，是否为“兄弟分式”，若不是，说明理由；若是，请求出为的“信度值”． (2)已知“兄弟分式”，，分式为分式的“信度值”是，求（用含的代数式表示）； (3)已知，均为非零实数，分式，属于“兄弟分式”，且两个分式的“信度值”为，求分式的值． 21．在对多项式进行因式分解时，如果多项式既无公因式可提，又不能直接利用公式，怎么办呢？ 有许多数学学者都对此加以研究．如：利用面积或体积的等积变换数形结合因式分解，十字相乘法因式分解，求根分解法因式分解等等，还有许多有趣的方法等待同学们解锁．请同学们阅读以下材料，尝试解决问题： 材料1：整体设元法 利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 材料2：姬曼定理 请看这个问题：把分解因式；19世纪的法国数学家苏菲·姬曼抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得 ； 人们为了纪念苏菲·姬曼给出这一解法，就把它叫做“姬曼定理”． 根据材料，请你尝试对以下多项式进行因式分解： (1)因式分解：； (2)因式分解：____________（直接写出结果）； (3)因式分解：． 22．在不等式的专题拓展学习中，杨老师给出一个新定义：对于同一个未知数的两个不等式，如果它们的解集完全相同，则称这两个不等式为同解不等式．同解不等式在方程、函数、最值问题中有着广泛的作用，是连接等式与不等式的重要桥梁．根据定义，完成下列探究： (1)不等式与______同解不等式；（填“是”或者“不是”） (2)若关于的不等式，不等式是同解不等式，请求出a的值； (3)若关于的不等式，不等式是同解不等式，其中，是正整数，请求出，的值． 23．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，直线经过点与，的延长线相交于点，． (1)求证：； (2)为了判定“以B，E，D，F为顶点的四边形为平行四边形”，嘉琪和珍珍分别给出了下面两个思路： 嘉琪：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 珍珍：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 请你任选一个人的思路进行解答． 试卷第6页，共7页 试卷第7页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D A A B C C C C 11． 【详解】解：由图可知，． 12． 【分析】（1）等式两边分母的最简公分母为，再利用平方差公式和完全平方公式求解的表达式； （2）等式两边分母的最简公分母为，再展开得到的表达式． 【详解】解：根据题意得：； ． 13． 【分析】先确定点A到点C的坐标的变化特征，再根据此特征解答即可． 【详解】解：∵点经过平移的对应点， ∴横坐标加6，纵坐标加4， ∴点的对应点的坐标为， 即． 14． 【分析】先在网格中取格点构造平行四边形，再通过勾股定理计算各边长度，验证四边形为平行四边形后，其对角线长度即为两个力的合力大小． 【详解】解：如图，取格点、、，连接、、， 由勾股定理得，， ， ∴四边形是平行四边形， ∴合力的大小为． 15． / 【分析】连接，利用平行四边形对角线互相平分得出点为中点，再根据三角形中位线定理求出，的长及，与，的位置关系，进而求出的度数，判定为等边三角形即可求解． 【详解】解：连接， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 点，分别为，的中点， 是的中位线， ，， 点在边上， ， 同理可得是的中位线， ，， 点在边上， ， ，，，， ， ， ， ， 是等边三角形， ． 16． 【分析】先根据定义推导不同正整数是否为智慧数，总结智慧数的分布规律，再根据规律计算指定序号的智慧数． 【详解】解：设正整数为智慧数，则存在正整数，使得，由平方差公式得： 因为与同奇偶， 因此只能为奇数或的倍数， 若为形如的正整数，为偶数但不是的倍数，因此一定不是智慧数； 对任意大于的奇数，有，因此所有大于的奇数都是智慧数； 对任意大于的的倍数，有，因此所有大于的的倍数都是智慧数； 因此可得规律：将正整数从开始每个分为一组，第一组仅有个智慧数，其余每组都有个智慧数； 从小到大列举智慧数得：第个是，第个是，第个是，第个是，第个是； 计算第个智慧数，第一组有个，剩余需要个，每组有个，因此需要组， 即第个智慧数是第组的最后一个数，为． 17．(1)原方程无解 (2)在解分式方程的过程中，需要注意，检验未知数的值是否是方程的解非常重要，因为分式方程可能产生增根，所以分式方程必须检验 【详解】（1）解： 方程两边同乘 得= 去括号,得= 移项、合并同类项,得, 系数化为1,得, 检验：当时，=0, 是原方程的增根，原方程无解. （2）略 18．(1)如图，四边形，四边形，四边形为满足条件平行四边形， 点； (2)10 【分析】（1）由A，B，C各点坐标，利用平行四边形对角线互相平分和中点坐标公式，分别求D坐标，画图即可； （2）由每个平行四边形的面积都是二倍，求出面积即可求出平行四边形面积． 【详解】（1）图略， 由已知，A，B，C坐标分别为，当四边形为平行四边形时，设点坐标为，由中点坐标公式可知，，， 解得，，故坐标为； 同理可得，坐标为，坐标为； （2） 由平行四边形性质可知，平行四边形面积为． 19．(1)这种苹果的进价是元每千克 (2)乙购买水果的总质量更大 【分析】（1）通过设单价是x元每千克，列出分式方程，解分式方程即可； （2）通过作差法计算两个代数式的差，化简后根据已知条件判断正负，从而比较大小． 【详解】（1）解：设这种苹果的进价是x元每千克，根据题意可得： ， ， ， ， 经检验，是原分式方程的根， 所以，这种苹果的进价为5元每千克； （2）由题意可知，甲共购买了千克水果，花费元， 甲和乙的花费相同，所以乙花费元，则，所以， 乙共购买了千克水果， ， 因为， 所以乙购买水果的总质量更大． 【点睛】解分式方程一定要进行检验，且分式方程的分母不为0，异分母分式进行相加减，先通分，化为同分母的分式进行计算． 20．(1)，是“兄弟分式”，信度值 (2) (3)或 【分析】根据题目中定义的“兄弟分式”和“信度值”列式进行求解， （1）计算，观察结果是否为整数即可判断，是否为“兄弟分式”，求解的值； （2）列式，即可解得； （3）列式或，分别解得与的关系式，代入即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴，是“兄弟分式”，信度值； （2）解：∵分式为分式的“信度值”是， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵分式，属于“兄弟分式”，且两个分式的“信度值”为， ∴，或， ∴由得，， ∴， ∴， ∴， ∴， 把代入中， 则有； 由得，， ∴， ∴， ∴， ∴， 把代入中， 则有． 21．(1) (2) (3) 【分析】（1）设，则原式变形为，把展开，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）把原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （3）把原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解：设， ∴ ； （2）解： ； （3）解： ． 22．(1)是 (2) (3)或或 【分析】（1）先分别求出两个不等式的解集，再根据同解不等式的定义判断即可； （2）先分别求出两个不等式的解集，再根据同解不等式的定义列方程求解即可； （3）先分别求出两个不等式的解集，进而得到，的关系，根据，是正整数求解即可． 【详解】（1）解：解不等式得， 解不等式得， ∵两个不等式解集相同， ∴不等式与是同解不等式； （2）解：解不等式得， 解不等式得， 两个不等式是同解不等式，解集相同， ， 解得； （3）解：解不等式得， 解不等式得， 两个不等式是同解不等式，解集相同， ， 整理得． ，是正整数， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得； 综上，结果为或或． 23．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证明，然后根据全等三角形的性质即可得证； （2）分别按照嘉琪、珍珍的思路，结合（1）的结论即可判断. 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ； （2）解：选择珍珍的思路： 由（1）可知， ， 又由（1）知， ， 四边形是平行四边形； 选择嘉琪的思路： 由（1）可知，， 四边形是平行四边形. 答案第10页，共10页 答案第1页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $