山东济南市槐荫区2025—2026学年第二学期期末考试八年级数学试题

2025~2026学年度第二学期期末质量检测 八年级数学 (2026.06) 本试题分试卷和答题卡两部分。第I卷满分为40分；第Ⅱ卷满分为110分。本试题共8 页，满分为150分。考试时间为120分钟。 答卷前，请考生务必将自己的姓名、准考证号、座号、考试科目涂写在答题卡上，并同 时将考点、姓名、准考证号、座号填写在试卷规定的位置。考试结束后，将试卷、答题卡一 并交回。本考试不允许使用计算器。 第I卷（选择题共40分） 注意事项： 第I卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑； 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答案写在试卷上无效。 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。) 1.下列方程是一元二次方程的是 A.x2-2x+1=0B.y+1=0 C.1-2x=0 D.2x3-1=3 2.中国传统六角宫灯广泛应用于节日装饰、文化主题创作等领域。六角宫灯的主体是一个正 六棱柱，从正面看到的图形是 B 正面 2题图 3.计算a+1 一的结果是 a+2 a+ A.1 B.、1 C.a2 D.a a+2 a+2 4.槐荫区某校兴趣小组在下午分三次测量了学校旗杆的影子长度，按时间顺序排列正确的是 A.6m,5m,4m B.4m,5m,6m C.4m,6m,5m D.5m,6m,4m 5.下列说法正确的是 A.平行四边形的对角线相等 B.菱形的四个内角都是直角 C.矩形的对角线互相垂直 D.正方形是轴对称图形也是中心对称图形 8年级数学试题第1页（共8页） 6.若x=1是一元二次方程x2+ax一10=0的一个根，则a的值为 A.9 B.10 C.-9 D.11 7.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若AC=6,BC=8,则CD的长为 A.10 B.8 C.5 D.4 A 的 D C D G B A E 中 7题图 8题图 10题图 8.如图，四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，连接BE,则∠ABE的度数为 A.10° B.15° C.20° D.25° 9.随着环保意识的增强和技术的进步，某品牌的电动汽车逐渐成为消费者的新宠，某销售商 的该品牌电动车今年1月份的销量为1000辆，由于国补政策的连月升温，3月份的销量比1 月份增加了2000辆。设每个月销量的平均增长率为x,则下列方程正确的是 A.1000(1+x)2=2000 B.1000(1+x)=2000 C.1000(1+x)=1000+2000 D.1000(1+x)2=1000+2000 10.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是AB、AD的中点，DE、BF相交于点 G,分别连接BD、CG,下列结论：①∠BGD=120°；②BG+DG=CG;③△BDF≌△CGB: ④SMBD=5AB2,其中正确的结论有 4 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 第Ⅱ卷（非选择题 共110分) 注意事项： 所有答案必须用0.5毫米的黑色签字笔（不得使用铅笔和圆珠笔）写在答题卡各题目指定区 域内（超出方框无效），不能写在试卷上，不能使用涂改液、修正带等。 不按以上要求作答，答案无效。 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分。把答案填在答题卡的横线上。） 11.因式分解：x2-2x= 12.宋代诗人释惠明所作《手影戏》中写道：“三尺生绡作戏台，全凭十指逞诙谐。有时明 月灯窗下，一笑还从掌握来。”如图，“手影戏”中的手影属于 (填“中心”或“平 行”)投影。 12题图 13.如果一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为 14.已知x1,2是方程x2一4x十3=0的两个实数根，则x2十22=」 15.不透明的口袋中装有8个黄球和若干个白球，它们除颜色以外完全相同，通过多次摸球 试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.2附近，估计口袋中白球大约有个。 8年级数学试题第2页（共8页） 16.将矩形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，折痕为GM,展开后，沿GE、GF折叠，使 点A、点B的对应点都落在折痕GM上，再次展开后，沿CH折叠，点B的对应点为点E。 点I为线段ED上一点，将纸片沿CI折叠，点D的对应点D1落在CE上，若AB=4,则EI 的长为 D M B 16题图 三、解答题（本大题共10个小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 17.(本小题满分6分) 因式分解：3x2-3y2 18.(本小题满分6分) 解方程：x2+5x一6=0 19.(本小题满分6分) a2 先化简，再求值： 22÷a+1’其中a=3 8年级数学试题第3页（共8页） 20.(本小题满分8分) 如图，BD是□ABCD的对角线，AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F。 求证：DE=BF。 D C E 20题图 21.(本小题满分8分) 现有三场网络直播，这三场直播分别以A:机器人技术、B:计算机视觉、C:自然语言 处理为主题，对人工智能分别进行讲解，这三场直播同时开始。 (1)欢欢随机选择一场进行观看，选择机器人技术A的概率为 (2)欢欢和乐乐随机选择一场进行观看，请用列表或画树状图的方法，求他们同时选择计 算机视觉B的概率。 8年级数学试题第4页（共8页） 22.(本小题满分8分) 已知：如图，在□ABCD中，M是AD边的中点，且MB=MC。 求证：四边形ABCD是矩形。 22题图 23.(本小题满分10分) 交警部门提醒市民：“出门头盔戴，放心平安归”。某商店销售一批头盔，进价为每顶 50元，售价为每顶78元，平均每周可售出200顶。商店计划将头盔降价销售，每顶售价高 于68元。经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶。设每顶头盔降价x元，平均 每周的销售量为y顶。 (1)每顶头盔降价x元后，每顶头盔的利润是元，销售量为顶（用含x的 代数式表示)； (2)若该商店希望平均每周获得7200元的销售利润，则每顶头盔应降价多少元？ 8年级数学试题第5页（共8页） 24.(本小题满分10分) 【先导问题】 我们已经学习过完全平方公式：(a士b)2=a2±2ab十b2,通过将代数式凑成完全平方式， 再利用“平方数是非负数”的性质，就能巧妙解决很多问题。 例1因式分解：x2+6x+8 原式=x2+6x+9-9+8=(x+3)2-1=(x+3一1)x+3+1)=(x+2)x+4). 例2已知M=x2-2xy十2y2-2y十2，其中x,y为任意实数，求M的最值。 M=x2-2y+2y2-2y+2=x2-2y+y2+y2-2y+1+1=(x-y)2+0y-1)2+1, .(x-y)2≥0,0y-1)2≥0， .当x=y=1时，M有最小值1。 【提炼模型】 通过先加上然后再减去一次项系数一半的平方，将代数式凑成完全平方式，这种解题方 法称为配方法。在此基础上再利用平方数的非负性，实现因式分解、求代数式最值或根据多 个非负数的和为0求解未知数。 请根据上述阅读材料，解决下列问题： 【识别、应用模型】 (1)因式分解：a2-10a+24= (2)若N=a2+4a-2022,其中a为任意实数，求N的最值； 【总结提升】 (3)已知a、b、c是△ABC的三边长，且a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,求△ABC的周长。 8年级数学试题第6页（共8页） 25.(本小题满分12分) 如图1，在平面直角坐标系中，矩形ABOD的顶点O、B、D的坐标分别是(0，O)、(0, 4)、(6,0)。点M从点A出发，沿AB方向在线段AB上匀速运动，速度为每秒1个单位长度； 同时，点N从点O出发，沿OD方向在x轴上匀速运动，速度为每秒2个单位长度。设运动 时间为t(s)(0<t<6)。 (1)AM= ND= (用含t的代数式表示)： (2)当MN=5时，求t的值； (3)如图2，y轴上有一动点E,连接ME和NE,在M、N运动过程中，当MN∥AD时， 请求出此时M的坐标和ME+NE的最小值。 B M MA E >N D x 25题图1 25题图2 25题备用图 8年级数学试题第7页（共8页） 26.(本小题满分12分) 在正方形ABCD中，边长为2，在射线BC上取一点E,连接AE、DE,将线段DE绕点 D逆时针旋转90°至DE1,连接EE1、CE1。 (1)如图1，当点E为线段BC中点时，则AE=,EE1= (2)如图2，当点E在线段BC的延长线上时，AE交DC于点F,CE1交DE于点G,AE 与CE1交于点H,猜想线段AE与CE1具有什么关系，并证明你的结论； (3)当点E在射线BC上时，连接AE1,M是AE1的中点，若2AB=EE1,连接BM,请直接 写出BM的长。 1E1 A D A D 6 B E B B C 26题图1 26题图2 26题备用图 8年级数学试题第8页（共8页） 八年级数学试题参考答案与评分标准 一、选择题 题号 1 2 3 8 9 10 答案 D B 0 二、填空题 11.x(x-2) 12.中心 13.6 14.10 15.32 16. 5-3 三、解答题 17.解：3x2-3y2 =3(x2-y2) …3分 =3(x十y)x-y)… …6分 评分细则：提公因式3分，公式法3分。 18. 方法1： 解：（比十6）x-1)=0,…2分 x十6=0，或x-1=0,…4分 x=-6,2=1。…6分 方法2： 解：q=1,b=5,C=一6…1分 .△=b2-4ac=25+24=49>0, …2分 =-b±VB2-4ae=-5±49 ……4分 2a 2 =-5+V49 =1,a=-5-4型 =-6。…6分 2 2 评分细则： ①方法1中，若没有x十6=0，或x一1=0，直接得结果，结果正确不扣分，结果错误只得第 一步的2分。 ②方法2中，第一步中a、b、c写错一个都不得分；第二步中25+24=49>0中不写>0不扣 分；第三步中公式得1分，代数正确得1分；第四步中两个结果各得1分。 19.解： q2 a2+2a+1 a+1 a+1 (a+1a ………2分 ……………4分 a+1 当a=3时，原式=3=3 。。。。。。 ........。e …6分 3+14 8年级数学第1页（共8页） 评分细则：因式分解正确和除法转化为乘法共得2分，化简正确得2分，求值2分。 20.证明：，四边形ABCD是平行四边形， AD=BC,AD∥BC, …2分 ∠ADE=∠CBF,…4分 AE⊥BD, .∠AED=90° CF⊥BD, ∴.∠CFB=90° ∴.∠AED=∠CFB, …6分 △ADE≌△CBF, …7分 DE=BF。 …8分 评分细则： ①证出AD=BC得1分，AD∥BC得1分。 ②由垂直得出角为90°各1分，全等1分，边相等1分。 21.解：(1} 2分 3 (2)方法1：树状图如下所示， 欢欢 乐乐 A(A,A) B(A,B) C(4,C) A(B,A) 开始 B(B,B) C(B,C) A(C,A) C B(C,B) c(c,c) …5分 :总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，其中他们同时选择计算机视觉B的可能性 有1种：(B,B), ∴，他们同时选择计算机视觉B的概率为二。 …8分 方法2：列表法如下所示， B C A (A,A)（A,B) (A,C) B (B,A) (B,B) (B,C) C (C,A) (C,B) (C,C) 8年级数学第2页（共8页） …5分 ,总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，其中他们同时选择计算机视觉B的可能性 有1种：(B,B) ∴他们同时选择计算机视觉B的概率为二 …8分 评分细则： ①树状图中没写“开始”扣1分。 ②结论中三句话各1分，第一句表述出等可能且9种结果得1分，没有写等可能不得分。 ③“其中他们同时选择计算机视觉B的可能性有1种：(B,B),”中没写(B,B)不扣分。 22.证明：，四边形ABCD是平行四边形， AB=DC,… …分 ,M是AD边的中点， AM=DM,… …2分 又、MB=MC, …3分 .△ABM≌△DCM, …4分 ∠A=∠D, …………… 5分 ,四边形ABCD是平行四边形， AB∥DC, ∴.∠A+∠D=180°， 6分 .2∠A=180° ∠A=90°， …7分 ,四边形ABCD是平行四边形， 四边形ABCD是矩形。 8分 评分细则： ①平行四边形中证出对边相等1分，对边平行1分。 ②不说明M是AD中点扣1分；全等得1分。 ③若没写∠A十∠D=180°，直接由∠A=∠D得∠A=90°扣1分。 23.解：(1)(28-x),(200十20x);… …4分 (2)根据题意得：(28-x)(200+20x)=7200, …5分 整理得，一20x2十360x-1600=0…6分 解得：x1=8,2=10,… …8分 当x=8时，78一x=78一8=70>68，符合题意； 当x=10时，78一x=78一10=68，不符合题意，舍去。… …10分 答：每顶头盔应降价8元。 评分细则： ①第一问中化不化简都得分，没有括号不得分。 ②第二问没有求解过程扣1分，解对一个答案得1分，没舍或舍错扣1分，没有答不扣分。 ③第二问用原始数据列式不扣分。 24.解：(1)(a-4)(a-6) …2分 (2)N=a2+4a-2022 =2+4a+22-22-2022, =(a+2)2-2026,… …4分 8年级数学第3页（共8页） (0十2)2≥0，… …5分 .当(a十2)2=0时，原式N有最小值，最小值为一2026。…6分 (3)a2+b2+c2+50=6a+8b+10c, a2+b2+c2+50-6a-8b-10c=0, a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0, (a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0,…8分 (a-3)2≥0，(b-4)2≥0，(c-5)2≥0 a-3=0 b-4=0, c-5=0 a=3 解得： b=4, 00090。e48eg。eg。g。 9分 c=5 ∴.C△4BC=a+b+c=3+4+5=12。 …10分 评分细则： ①第二问不写(a+2)2≥0直接得结果扣1分。 ②只要求出最小值为一2026，得1分，若没有写出当(a十2)2=0或a=一2时有最小值，不扣 分。 25解：(I)1,6-21…2分 (2)方法1： 四边形ABOD是矩形， ∴.∠A=∠ADO=90°， 过点M作MH⊥OD垂足为点H, …3分 则∠MHD=∠A=∠ADO=90°， .四边形AMHD是矩形， ..AM=DH,MH=AD=4, …4分 根据动点的速度可知AM=1,ON=21, .DH=1, WH=l6-3,…5分 .在Rt△NMH中，NH+MH=MN2, .'MN=5,MH=AD=4, ∴.(6-302+42=52，… …6分 解得1=1或3；… …8分 方法2（分类讨论）： ,四边形ABOD是矩形， ∴∠A=∠AD0=90°， ①当M在N的右侧时，过点M作MH⊥OD,垂足为点H1,如图，…3分 则∠MHD=∠A=∠ADO=90°， ∴.四边形AMHD是矩形， ∴.AM=DH1,MH=AD=4, .AM=1,ON=21, ∴.DH1=1,DN=6-21, .NH1=DN-DH=6-31,… …4分 ∴.在Rt△NMH1中，NH2+MH2=MW2, 8年级数学第4页（共8页） .MN=5,MH=AD=4, ∴.NH1=V52-42=3, 6-31=3, 解得t=1。 …5分 ②当M在N的左侧时，过点M作M2LOD,垂足为点2，如图，…6分 则∠MHD=∠A=∠ADO=90°， ∴.四边形AMHD是矩形， ∴.AM=DH,MH=AD=4, .AM=t,ON=2t, .DH=1,DN=6-2t, ..NH2=DH2-DN=31-6, 7分 ∴.在Rt△NMH2中，NH22+MH22=MN2, .MN=5,MH2=AD=4, NH2=√52-42=3， .3t-6=3, 解得t=3。 综上所述，1的值为1或3。 ……8分 y M H 25(2)题答案图 (3),四边形ABOD是矩形， ∴.∠A=∠ADO=90°， ,MN∥AD, ∴.∠MND+∠ADO=180°， ∴.∠MND=∠A=∠ADO=90°， ∴.四边形ADNM为矩形， ..AM=DN=t, ON=21, .ON+DN=OD, .21+1=6, =2,… …9分 ∴.AM=2, ∴.BM=AB-AM=4, ∴.M的坐标为(4,4)， …10分 如图，作点N关于y轴的对称点N,连接MW,交y轴于点E,连接EN, 8年级数学第5页（共8页） B M M D x 25(3)题答案图 、0N=21=4, N的坐标为(4,0)， 由轴对称的性质可得N(一4，O),EN=EN1, ME十NE=ME十NE≥MW,…ll分 、N1=W(-4-4)2+(0-4)2=4W5, ∴ME+WE的最小值为4√5。… …12分 评分细则： ①第二问用分类讨论时，每种情况各3分，没写综上所述不扣分。 ②描述ME十NE的最值时，需要同时具备作图和文字描述，缺一不可，但不影响后续得分。 26.解：()√5，√10… ……4分 (2)AE=CE1,AE LCE16分 证明： ①，四边形ABCD为正方形， ∴AD=CD,∠ADC=90°， 线段DE旋转90°到DE1, .DE=DE,∠EDE1=90°， ,∠ADE=∠ADC+∠CDE, ∠CDE1=∠EDE1+∠CDE, ∠ADE=∠CDE1,…7分 ∴.△ADE≌△CDE, AE=CE1:… …8分 ②，△ADE≌△CDE1, ,∴.∠DAE=∠DCE1,… …9分 .∠AFD=∠CFH, ∠DAE+∠AFD+∠ADF=180°， ∠DCE1+∠CFH+∠AHC=180°， ∴.∠AHC=∠ADF=90° 。AE⊥CE1… …10分 评分细则： ①写出数量关系和位置关系各得1分。 ②用数字表示角写解题过程但未在答题卡图上标注不得分。 ③由∠ADC=∠EDE1=90°直接得∠ADE=∠CDE1,扣1分，不影响后续得分。 ④求出∠AHC=90°但未写出AE与CE的位置关系不得分。 (3）)W5或√13 12分 评分细则：写对一个得1分，共2分。 8年级数学第6页（供8页） 参考答案： 方法1： ①当点E与点B重合时，如图，点E在BC的延长线上。 在正方形ABCD中，，AB=2,2AB=EE1, .EE1=4, 在Rt△AEE1中，AE=2,EE1=4, 由勾股定理得，AE1=√AE2+AE,2=2√5。 又，M是AE的中点， `.BM是Rt△AEE斜边AE1上的中线， Bw=48=5. ②当点E在BC的延长线上时，如图，AE与CD相交于点F,连接MF, ,线段DE绕点D逆时针旋转90°得到DE1,EE1=4, ∴.△DEE1是等腰直角三角形， ∴.DE=DE1=2N2, 又，CD=2,∠DCE=90°， ∴.CE=VDE2-DC2=2, ∴.△DCE为等腰直角三角形，∠DEC=45°， ∴.∠CEE1=∠DEC+∠DEE1=90°， ∴.∠CEE1=∠BCD=90°， ∴DC∥EE1, ,AD∥BE, ∴.∠DAE=∠AEB, 又，AD=CE=2,且∠AFD=∠EFC, ∴.△ADF≌△ECF, :.DF=CF=1DC=1, 2 F为CD的中点， 又，M为AE的中点， M=1EB,=2,MF∥EB, .F在线段DC上，且DC∥EE, .点MD、F、C四点共线， ∴.CM=MF+FC=3。 在Rt△BCM中，BC=2,MC=3, 由勾股定理得，BM=VBC2+MC2=√13。 综上所述，BM的值为√5或√13。 8年级数学第7页（共8页） E M D D G M B(E) E B C 26题(3)方法1答案图 E 方法2： 在正方形ABCD中，分别以BC所在的直线为x轴，BA所在的直线为y轴建立直角坐标系， ∴.A0,2),B(0,0), .AB=2,2AB=EE, .∴.EE1=4, 线段DE绕点D逆时针旋转90°得到DE, ∴DE=DE1=2W2, ①当点E与点B重合时，如图，点E在BC的延长线上， ∴.E0,0),E1(4,0), 又M为AE1的中点， .M2,1), BM=V(2-0)2+1-0)2=√5。 ②当点E在BC的延长线上时，如图 :CD=2,DE=DE1=2W2,∠DCE=90°， ..CE=2, ∴.△DCE为等腰直角三角形，∠DEC=45°， ∴.∠CEE1=90°， .E(4,0),E1(4,4), 又，M为AE的中点， .M2,3), .BM=√2-0)2+(3-0)2=13。 综上所述，BM的值为V5或√13。 g y y D D M BE) E BI E 26题(3)方法2答案图 8年级数学第8页（供8页）