精品解析：山东省枣庄市滕州市2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题

2024~2025学年度第二学期期末考试 八年级数学试题 一、选择题：每题3分，共30分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确答案的代号涂在答题卡上． 1. 下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式从左到右的变形一定正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若点在第二象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 4. 如图，在中，，，是的角平分线，于点．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，把绕点C顺时针旋转，得到，交于点D，若，则度数为（ ） A. B. C. D. 6. 若，则k的值是（ ） A 10 B. C. D. 14 7. 如图，在中，交于点，经过点的直线分别交直线于点，下列结论错误的是（ ） A B. C. D. 8. 如图，在中，，平分交于点D，点F在上，且，连接，E为的中点，连接，则的长为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 关于的分式方程的解为正数，则的取值范围为（    ） A. B. 且 C. D. 且 10. 掀起了“人工智能+”的热潮，某单位利用公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少3小时，若两模型合作处理，仅需2小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：每题3分，共18分，将答案填在答题卡的相应位置上． 11. 若，，则________． 12. 已知两个多边形内角总和为，且边数之比为，则这两个多边形的边数分别是_____． 13. 如图，在中，于点D，平分，于点E，于点F．若，则长为_________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，以A（－1，0），B（2，0），C（0，1）为顶点构造平行四边形，第四个顶点的坐标的是___________． 15. 如图，设点是平行四边形的边上任意一点，设的面积为，的面积为，的面积为，则 ______________． 16. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“方佳数”．例如：四位数4385，因为，所以4385是“方佳数”；四位数4238，因为，所以4238不是“方佳数”．若是“方佳数”，则这个数最小是______． 三、解答题：共8小题，满分72分，解答应写出文字说明过程或演算步骤． 17. （1）因式分解：； （2）解方程：． 18. 先化简，再求值：，其中 19. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）将向右平移6个单位长度得到，请画出； （2）画出关于点O的中心对称图形； （3）若将绕某一点旋转可得到，请直接写出旋转中心的坐标． 20. 生物实验课上要求：制作并观察洋葱鳞片叶肉内表皮细胞临时装片，上周生物老师用20元购买了一部分洋葱，本周实验时发现洋葱不够用，由于天气原因，本周洋葱单价上涨了20%，生物老师花了30元，但只比上周多买了10斤洋葱． （1）求上周生物老师买的洋葱单价为每斤多少元？ （2）经调查发现，一个洋葱可供12名同学使用，两个洋葱正好1斤，本校参加生物实验的同学共2784人，如果本周洋葱价格不变，那么生物老师至少应再买多少斤洋葱才能供给本校参加生物实验的同学所用？ 21. 如图，在中，，点D，E分别在，边上，分别连接、，点M、N、H分别是、、的中点，连接、、． （1）试猜想是何特殊三角形，并说明理由； （2）若，，求线段的长． 22. 定义：若分式与分式的差等于它们的积．即，则称分式是分式的“友好分式”．如与．因为，．所以是的“友好分式”． （1）填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”） （2）已知分式是分式A的“友好分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，求分式A的值． 23. 如图，在中，点是对角线的中点．某数学学习小组要在上找两点，使四边形为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下： 甲方案 乙方案 分别取的中点E，F 作于点E，于点F 请回答下列问题： （1）以上方案能得到四边形为平行四边形的是______，选择其中一种并证明，若不能，请说明理由； （2）若，，求的面积． 24. 【提出问题】 利用“图形”能够证明“等式”，如“完全平方公式”、“平方差公式”都可以用图形进行证明，那么“图形”能否证明“不等式”呢？请完成以下探究性学习内容． 【自主探究】 用直角边分别为a和b的两个等腰直角三角形进行拼图，由图①得到图②． （1）请你仔细观察图形变化，解决下列问题． （ⅰ）图①中两个三角形的面积分别为___________和___________，图②中长方形的面积为___________．（用含a，b的字母表示） （ⅱ）当时，比较大小：__________．（填“>”或“<”） （ⅲ）当a和b满足什么条件时，与相等？甲同学说：我可以通过计算进行说明．乙同学说：我可以通过画图进行说明．请你选择其中一人的方法，进行说明． 【知识应用】 （2）已知，，且，利用（1）发现结论求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度第二学期期末考试 八年级数学试题 一、选择题：每题3分，共30分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确答案的代号涂在答题卡上． 1. 下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，“轴对称图形是指一个图形可以沿着一条直线（对称轴）折叠，使得直线两侧的图形能够完全重合”，“中心对称图形是把一个图形绕着某一个点（即对称中心）旋转后，能够与原图完全重合”，准确掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义即可得到答案． 【详解】解：A选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B选项中的图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； C选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列各式从左到右的变形一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了判断分式变形是否正确，掌握分式的性质是解题关键． 【详解】解：若，可得；； 故等式只有当时才成立，故A不符合题意； 若，可得或； 故等式只有当或时才成立，故B不符合题意； 当时，分式无意义，故C不符合题意； ∵分式的分子和分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变， ∴，故D符合题意； 故选：D 3. 若点在第二象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式组，根据第二象限内点的横坐标小于零，纵坐标大于零，可得不等式组，根据解不等式组，可得答案． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴ 解得：， 故选：D． 4. 如图，在中，，，是的角平分线，于点．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等腰三角形性质和三角形内角和定理得到，利用角平分线性质得到，利用三角形内角和定理得到，进而得到，利用勾股定理得到，进而得到，再证明，利用全等三角形性质得到，即可求得的长． 【详解】解：，， ， 是的角平分线，于点，， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查等腰三角形性质，三角形内角和定理，角平分线性质，勾股定理，全等三角形性质和判定，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 5. 如图，把绕点C顺时针旋转，得到，交于点D，若，则度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据旋转的定义可得，再根据角的和差即可得． 【详解】解：由旋转的定义得：和均为旋转角， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的定义，熟练掌握旋转的概念是解题关键． 6. 若，则k的值是（ ） A. 10 B. C. D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，多项式乘以多项式法则的应用，能正确根据法则进行计算是解此题的关键． 把等号右边利用多项式乘以多项式法则展开，再根据对应系数相等求解． 【详解】解： ∴， 解得：， 故选：B． 7. 如图，在中，交于点，经过点的直线分别交直线于点，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，利用全等三角形的判定和性质一一判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同法可证， ∴， ∴， 故选项B，C，D正确． 故选：A． 8. 如图，在中，，平分交于点D，点F在上，且，连接，E为的中点，连接，则的长为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，中位线．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，中位线是解题的关键． 由题意知，，由，平分，可得，即为的中点，进而可得，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵，平分， ∴，即为的中点， ∵E为的中点， ∴． 故选：B． 9. 关于的分式方程的解为正数，则的取值范围为（    ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，分式有意义的条件，熟练解分式方程是解题的关键．根据题意，解分式方程，得到，结合条件，得到，结合分式有意义的条件，得，从而得到结果． 【详解】解：关于的分式方程， 去分母得，， 移项、合并同类项得，， 系数化为1得，， 分式方程解是正数， ， ， 时，分式方程无意义， ， ， ， 综上所述，且， 故选：． 10. 掀起了“人工智能+”的热潮，某单位利用公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少3小时，若两模型合作处理，仅需2小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是列出等量关系．设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时，根据两模型合作处理，仅需2小时即可完成，可得出方程． 【详解】解：∵单独处理数据的时间比少3小时， ∴当设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时， ∵两模型合作处理，仅需2小时即可完成． ∴， 故选：A． 二、填空题：每题3分，共18分，将答案填在答题卡的相应位置上． 11. 若，，则________． 【答案】24 【解析】 【分析】先对后面的式子进行因式分解，然后根据已知条件代值即可． 【详解】 ，， 故答案为：24． 【点睛】本题主要考查提取公因式进行因式分解，属于基础题，比较容易，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 12. 已知两个多边形的内角总和为，且边数之比为，则这两个多边形的边数分别是_____． 【答案】4，6 【解析】 【分析】设这两个多边形的边数分别为．根据两个多边形的内角总和是列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设这两个多边形的边数分别为． 根据多边形内角和公式，得， 解得． 所以，， 即这两个多边形的边数分别是4，6． 故答案为：4，6． 13. 如图，在中，于点D，平分，于点E，于点F．若，则的长为_________． 【答案】6 【解析】 【分析】由全等三角形的性质得，，得到是的面积的两倍，然后用等面积法求得和的关系，进而得到的长．本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形中线与面积，解题的关键是熟练应用等面积法求高． 【详解】解：∵于点D，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 是的中线， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：6． 14. 如图，在平面直角坐标系中，以A（－1，0），B（2，0），C（0，1）为顶点构造平行四边形，第四个顶点的坐标的是___________． 【答案】（-3，1）或（1，-1）或（3，1） 【解析】 【分析】分别以AC、AB、BC为对角线画平行四边形，再分别写出各点的坐标，即可选出答案． 【详解】如图所示： ①以AC为对角线，可以画出▱AFCB，F（﹣3，1）； ②以AB为对角线，可以画出▱ACBE，E（1，﹣1）； ③以BC为对角线，可以画出▱ACDB，D（3，1）． 故答案（-3，1）或（1，-1）或（3，1）． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，关键是考虑各种情况，正确画出图形． 15. 如图，设点是平行四边形的边上任意一点，设的面积为，的面积为，的面积为，则 ______________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边相等是解题的关键． 过作，则、、上的高相同，根据平行四边形的性质并结合题意可得，然后分别表示出三角形的面积，最后进行变形即可解答． 【详解】解：如图，过作， ∵点是平行四边形的边上任意一点， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： ． 16. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“方佳数”．例如：四位数4385，因为，所以4385是“方佳数”；四位数4238，因为，所以4238不是“方佳数”．若是“方佳数”，则这个数最小是______． 【答案】3162 【解析】 【分析】本题考查新定义，根据新定义得到，进而得到当时，最小为3，即可得出结果． 【详解】解：由题意，， ∵均为正整数，且是最小的方佳数， ∴当时，， ∴最小， ∴这个数最小是3162． 故答案为：3162 三、解答题：共8小题，满分72分，解答应写出文字说明过程或演算步骤． 17. （1）因式分解：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）原方程无解 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，解分式方程，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先利用平方差公式分解因式，再去括号合并同类项，最后提取公因数分解因式即可； （2）先把原方程化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【详解】解：（1） ； （2） 去分母得：， 去括号得：， 解得， 检验，当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 18. 先化简，再求值：，其中 【答案】； 【解析】 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再整体代入进行计算即可． 【详解】原式= ∵ ∴ ∴原式= 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 19. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）将向右平移6个单位长度得到，请画出； （2）画出关于点O的中心对称图形； （3）若将绕某一点旋转可得到，请直接写出旋转中心的坐标． 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查作图—旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质． （1）利用平移变换的性质分别作出的对应点，再顺次连接即可； （2）利用中心对称的性质分别作出的对应点，再顺次连接即可； （3）结合图形并根据平移的性质、中心对称的性质求出点的坐标，连接，则的交点，即为旋转中心的坐标． 【小问1详解】 如图所示， 【小问2详解】 如图所示， 【小问3详解】 由图可知，，， ，， 则的中点为，即， 则的中点为，即， 的中点均为， 与 是以点为对称中心的中心对称图形， 旋转中心的坐标为． 20. 生物实验课上要求：制作并观察洋葱鳞片叶肉内表皮细胞临时装片，上周生物老师用20元购买了一部分洋葱，本周实验时发现洋葱不够用，由于天气原因，本周洋葱单价上涨了20%，生物老师花了30元，但只比上周多买了10斤洋葱． （1）求上周生物老师买的洋葱单价为每斤多少元？ （2）经调查发现，一个洋葱可供12名同学使用，两个洋葱正好1斤，本校参加生物实验的同学共2784人，如果本周洋葱价格不变，那么生物老师至少应再买多少斤洋葱才能供给本校参加生物实验的同学所用？ 【答案】（1）上周生物老师购买洋葱的单价为0.5元/斤 （2）生物老师至少要再购买26斤洋葱 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出分式方程与一元一次不等式是解此题的关键． （1）设上周生物老师购买洋葱的单价为x元/斤，则本周所买洋葱的单价为元/斤，根据“生物老师花了30元，但只比上周多买了10斤洋葱葱”列出分式方程，求解即可得出答案； （2）设生物老师还需再购买洋葱m斤，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得出答案． 【小问1详解】 解：设上周生物老师购买洋葱的单价为元斤，则本周所买洋葱的单价为元斤， 根据题意可列方程：， 解得， 经检验：是原方程的根且符合题意． 答：上周生物老师购买洋葱的单价为0.5元斤； 【小问2详解】 解：设生物老师还需再购买洋葱斤， 则有， 解得， 答：生物老师至少要再购买26斤洋葱． 21. 如图，在中，，点D，E分别在，边上，分别连接、，点M、N、H分别是、、中点，连接、、． （1）试猜想是何特殊三角形，并说明理由； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1）直角三角形且． （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了中位线的性质和勾股定理等性质，解决此题的关键是合理利用中位线的性质． （1）根据中位线的性质可知，，所以可得，，因为，进而可得到答案； （2）根据中位线的性质：中位线等于第三边的一半，再根据勾股定理即可得到答案； 【小问1详解】 解：是直角三角形，且，理由如下： ∵是的中位线， ∴， ∴， 同理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且． 【小问2详解】 解：∵是的中位线，， ∴， 同理得：， 由（1）可知：， ∴． ∴线段的长为． 22. 定义：若分式与分式的差等于它们的积．即，则称分式是分式的“友好分式”．如与．因为，．所以是的“友好分式”． （1）填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”） （2）已知分式是分式A的“友好分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，求分式A的值． 【答案】（1）是 （2）①；② 1​, 3​ 或 4​ 【解析】 【分析】分析 ​​（1）计算  和 ​，判断是否相等． ​​（2）​​​①​ 设分式A，由定义 ，解方程求A． ​②​ 令A为正整数，求整数x，再得A的值． 【小问1详解】 解：设． ， ， 故​ 是“友好分式”， 故答案为： ​是； 【小问2详解】 ​​​①​分式是分式A“友好分式”， 设分式． 则 移项，得， ， ， ， 分式A为 ​​． ​②​，要求A为正整数，x为整数且 ． 令（k正整数），则：， ， ， ， x整数，故 k−2 整除2，即： 当时， 当时，， 当时， 当时（舍去，非正整数） A的值为 1​, 3​ 或 4​． 【点睛】本题考查了分式运算（减法、乘法）、分式有意义的条件，解方程、整数解问题．解题的​关键​是理解新定义“友好分式”（差等于积），并转化为方程求解． 23. 如图，在中，点是对角线的中点．某数学学习小组要在上找两点，使四边形为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下： 甲方案 乙方案 分别取的中点E，F 作于点E，于点F 请回答下列问题： （1）以上方案能得到四边形为平行四边形的是______，选择其中一种并证明，若不能，请说明理由； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）甲、乙两种方案，证明见解析 （2）48 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定等知识点，熟练地掌握平行四边形的判定方法和性质是解题的关键． （1）根据题意结合平行四边形的判定和全等三角形的性质与判定证明即可，甲方案：两条对角线相互平分的四边形为平行四边形；乙方案：一组对边平行且相等的四边形为平行四边形； （2）根据，结合四边形为平行四边形的性质可得到，，即，已知，可求得，故． 【小问1详解】 证明：甲方案：如图，连接， ∵在中，点是对角线的中点， ∴，， ∵，分别为，的中点， ∴， ∴四边形为平行四边形； 乙方案： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形． 故答案为：甲方案和乙方案； 【小问2详解】 ∵四边形和四边形都为平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 答：的面积为． 24. 【提出问题】 利用“图形”能够证明“等式”，如“完全平方公式”、“平方差公式”都可以用图形进行证明，那么“图形”能否证明“不等式”呢？请完成以下探究性学习内容． 【自主探究】 用直角边分别为a和b的两个等腰直角三角形进行拼图，由图①得到图②． （1）请你仔细观察图形变化，解决下列问题． （ⅰ）图①中两个三角形的面积分别为___________和___________，图②中长方形的面积为___________．（用含a，b的字母表示） （ⅱ）当时，比较大小：__________．（填“>”或“<”） （ⅲ）当a和b满足什么条件时，与相等？甲同学说：我可以通过计算进行说明．乙同学说：我可以通过画图进行说明．请你选择其中一人的方法，进行说明． 【知识应用】 （2）已知，，且，利用（1）发现的结论求的最小值． 【答案】（1）（ⅰ），，；（ⅱ）（ⅲ）见详解（2） 【解析】 【分析】本题考查了利用图形面积证明不等式； （1）（ⅰ）根据图形即可求解； （ⅱ）由图②中的矩形面积及两个三角形的面积和即可求解； （ⅲ）甲同学：当时，分别计算即可求解；乙同学：画出图形即可求解； （2）由（1）得，即可求解； 理解图形面积与不等式之间的关系是解题的关键． 【详解】解：（1）（ⅰ）由题意得 ①中两个三角形的面积分别为和，图②中长方形ABCD的面积为， 故答案：，，； （ⅱ）由图②得 当时，， 故答案：； （ⅲ）当时，， 甲同学：当时， ， ， 当时，； 乙同学： 当时，； （2） ， 由（1）得： ， ， ， 的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$