1.2矩形的性质与判定（题型专练）数学北师大版九年级上册

1.2 矩形的性质与判定 题型一 利用矩形的性质求角度 1．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）如图，在矩形中，对角线、相交于点O，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 由矩形的性质可得，根据等边对等角可得，最后根据三角形内角和即可解答． 【详解】解：∵矩形中，对角线、相交于点O， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选A． 2．（2025·内蒙古·模拟预测）如图，直线，矩形的顶点在直线上．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的性质及平行线的性质，根据矩形的性质得出，再结合平行线的性质即可解决问题． 【详解】解：延长与直线b交于点M， ∵， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 3．（24-25九年级下·甘肃兰州·期中）如图，在矩形中，相交于点O，平分交于点E．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，证明是等边三角形，是等腰直角三角形是解题的关键． 根据矩形的性质可得，再证明是等边三角形，可得，，然后得到是等腰直角三角形，可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 4．（2025·四川成都·二模）如图，是矩形的对角线，平分交于点．若，则 ． 【答案】/度 【分析】此题考查了矩形的性质、角平分线的定义等知识，先根据矩形的性质和角平分线求出，再用平行线的性质进行解答即可． 【详解】解：∵是矩形的对角线， ∴， ∵平分交于点． ∴ ∴ ∵ ∴， 故答案为： 5．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在矩形中，、相交于点，于点．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 由矩形的性质得出，得出，由直角三角形的性质求出，即可得出答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，， ， ， ， ，， ， ， ； ∴的度数为． 题型二 利用矩形的性质求线段长 1．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，矩形中，，，则的长是（    ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 先求出，再由矩形性质得，则可证得是等边三角形，则，即可求得长． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：D． 2．（24-25八年级下·贵州黔南·期中）如图，矩形的对角线与相交于点O，，P，Q分别为，的中点，则的长为（     ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理；由矩形的性质得，由三角形中位线定理，即可求解；掌握矩形的性质，三角形中位线定理是解题的关键． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， P，Q分别为，的中点， ； 故选：A． 3．（24-25八年级下·河南商丘·期中）如图，在矩形中， ，对角线与相交于点O， ，垂足为E，，则的长为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质与判定，由矩形的性质得出，由已知条件得出，，由线段垂直平分线的性质得出，最后由勾股定理即可求出的长． 【详解】解；∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得： ， 故选：． 4．（24-25八年级下·江苏南通·期中）如图，已知四边形是矩形，，点E在上，．若平分则的长为 ． 【答案】10 【分析】由矩形的性质可得，，由角平分线和平行线的性质可证，由勾股定理可求解．本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，勾股定理，掌握矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：平分， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：10． 5．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在矩形中，E是上的一点，交于点F，，矩形的周长为16．求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，根据矩形的性质得到，再证明得到，则，再根据矩形周长计算公式得到，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵矩形的周长为16， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型三 利用矩形的性质求面积 1．（24-25九年级下·江苏常州·期中）如图，在矩形中，，的角平分线交于点P，连接，刚好，则矩形的面积是（   ） A．12 B．15 C．18 D．24 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 由矩形的性质可得，，由角平分线的性质和直角三角形的性质可求，，即可求解． 【详解】∵四边形是矩形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴矩形的面积， 故答案为：C． 2．（24-25八年级下·江西宜春·期中）两张全等的矩形纸片，按如图所示的方式交叉叠放，，．与交于点G，与交于点H，且，则四边形的面积为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，矩形的性质，平行四边形的性质和判定，证明四边形是平行四边形是解题的关键．证明四边形是平行四边形，根据含角的直角三角形的性质求得的长，即可求解． 【详解】解： 由题意可得，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形的面积为， 故选：D． 3．（24-25八年级下·四川南充·阶段练习）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，与相交于点，连接、．若，则四边形的面积为（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】C 【分析】本题主要考查矩形的性质、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识．掌握菱形的判定与性质是解本题的关键． 由矩形的性质得，则，由垂直平分得，而，即可证明，得，因为，所以，可证明四边形是菱形；由勾股定理得，而，，所以，求得，从而可得答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形． ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． ∴四边形的面积为． 故选：C 4．（2025·陕西咸阳·三模）如图，矩形的对角线、相交于点，点为的中点，连接，若，则的面积为（   ） A．3 B．6 C．1.5 D．2 【答案】A 【分析】此题考查了矩形的性质，三角形中线的性质，首先求出矩形的面积为，得到，进而求解即可． 【详解】∵矩形，， ∴矩形的面积为， ∴， ∵点为的中点， ∴． 故选：A． 5．（24-25八年级下·浙江·阶段练习）如图，，都是矩形，而且点在边上，其中，，则矩形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行线的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．由，，得出，求出，再利用矩形的性质得出，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 故答案为：． 题型四 利用矩形的性质证明 1．（2025·福建泉州·一模）如图，在矩形中，点是上一点，连接，，点是上一点，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，两直线平行内错角相等等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 由矩形的性质可得，，由两直线平行内错角相等可得，再结合，可得，利用可证得，由全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】证明：四边形是矩形， ，， ， 又， ， 在和中， ， ， ． 2．（2025·福建·二模）如图，已知四边形是矩形，连接对角线，过点B作于点E，过点D作于点F．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，，得，再结合四边形是矩形，证明，即可作答． 【详解】∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 3．（2024•碑林区校级一模）如图，矩形ABCD，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且EF＝BC．求证：△ABE≌△DCF． 【答案】见详解 【分析】由矩形的性质可得AB＝CD，∠ABC＝∠DCB＝90°，AD＝BC，AD∥BC，由“SAS”可证△ABE≌△DCF． 【详解】证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，∠ABC＝∠DCB＝90°， ∴∠ABE＝∠DCF＝90°， ∵EF＝BC， ∴BC﹣EC＝EF﹣EC， ∴BE＝CF， 在△ABE和△DCF中， ， ∴△ABE≌△DCF（SAS）． 4．（2024•淮安）已知：如图，在矩形ABCD中，点E、F在BD上，BE＝DF．求证：△ABE≌△CDF． 【答案】见详解 【分析】根据矩形的性质，可以得到AB＝CD，AB∥CD，再根据平行线的性质，即可得到∠ABE＝∠CDF，然后根据SAS即可证明结论成立． 【详解】证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠ABE＝∠CDF， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SAS）． 5．（2024春•江西月考）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，连接OE，若∠AOB＝60°，求证：△OBE是等腰三角形． 【答案】见详解 【分析】根据矩形的性质可得△AOB为等边三角形．然后根据角平分线可得△ABE是等腰直角三角形，进而可以解决问题． 【详解】证明：∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， ∴OA＝OB， 又∵∠AOB＝60°， ∴△AOB为等边三角形． ∴OA＝OD＝OB＝AB＝OC， ∵AE平分∠BAD交BC于点E， ∴∠BAE＝45°， ∴AB＝BE， ∴BE＝OB， ∴△OBE是等腰三角形． 题型五 直角三角形斜边上中线的性质 1．（2025八年级下·湖北·专题练习）如图，在中，，点D为边的中点，若，，则的长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形斜边的中线，勾股定理，关键是由直角三角形斜边中线的性质求出，由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：在中，，点D为边的中点，， 则， 由勾股定理得：， 故选：A． 2．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，连接．若＝，则菱形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，以及直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键在于熟练掌握相关性质．根据菱形的性质得到，再结合直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半推出，即可求出菱形的周长． 【详解】解：菱形的对角线相交于点O， ，即， E是的中点，， ， 菱形的周长为， 故选：B． 3．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）如图，在中，，，点是的中点，点是内一点，且，连接并延长，交于点．若，则的长为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形斜边中线性质以及梯形中位线性质，熟练掌握“平行四边形对边相等、直角三角形斜边中线等于斜边一半、梯形中位线平行于两底且等于两底和的一半”是解题的关键．先利用直角三角形斜边中线性质求出的长度，再结合平行四边形性质与的条件，得出是梯形的中位线，进而求出的长度，最后根据平行四边形对边相等求出． 【详解】解：∵，点是中点，， ∴ ． ∵四边形是平行四边形， ∴，又， ∴， ∴是梯形的中位线． ∴， ∵，， ∴， 解得 ． ∵四边形是平行四边形，， ∴ ． 故选：C ． 4．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在△ABC中，，点D、E分别是边的中点，点F是线段上的一点且，连接，若，则线段的长是 ． 【答案】12 【分析】本题考查了三角形的中位线定理的应用，利用三角形中位线定理得到．由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到．所以由图中线段间的和差关系来求线段的长度即可．解题的关键是了解三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，题目比较好，难度适中． 【详解】解：点、分别是边、的中点， 是的中位线， ， ，是的中点，， ， ． ， 故答案为：12． 5．（2024秋•沭阳县期中）如图，在△ABC中，BD⊥AC于点E，CE⊥AB于点E，点M，N分别是BC，DE的中点． （1）求证：MN⊥DE； （2）若∠ECB+∠DBC＝45°，DE＝10，求MN的长． 【答案】见详解 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MD＝MEBC，再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MD＝ME＝BM＝CM，进而得到∠DBM＝∠BDM，∠MEC＝∠MCE，由三角形外角定理及∠ECB+∠DBC＝45°得到∠EMB+∠DMC＝90°，即∠EMD＝90°，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得MN． 【详解】（1）证明：连接EM、DM， ∵BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠BDC＝∠BEC＝90°， ∵在Rt△DBC中和Rt△EBC中，M是BC的中点， ∴DMBC，EMBC， ∴DM＝EM， ∵N是DE的中点， ∴MN⊥ED； （2）解：在Rt△DBC中，M是BC的中点， ∴DMBC＝BM， ∴∠DBM＝∠BDM， 同理∠MEC＝∠MCE， ∵∠ECB+∠DBC＝45°， ∴∠EMB+∠DMC＝2（∠ECB+∠DBC）＝90°， ∴∠EMD＝90°， ∵N是DE的中点，DE＝10， ∴MNDE＝5． 题型六 添加一个条件证明矩形 1．（2025·河南周口·三模）如图所示，线段的端点B在直线上，过线段上的一点O作的平行线，分别交和的平分线于点C，D，连接，要使四边形为矩形，则可添加下列条件中的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查矩形的判定；根据矩形的判定条件进行解答即可． 【详解】解：添加条件为：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形． 故选：A． 2．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，在中，为上一点，，．增加下列条件能判定四边形为矩形的是（    ） A． B． C．点在的平分线上 D．点为的中点 【答案】A 【分析】本题考查添加条件使四边形为矩形，先根据，，得到四边形为平行四边形，再根据有一个角为直角的平行四边形为矩形，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为矩形，故A选项符合题意； 当，点在的平分线上，点为的中点时，均不能得到四边形为矩形；故B，C，D选项不符合题意； 故选A． 3．（2025·四川南充·一模）如图，在中，E,F分别是边的中点，M，N在对角线上，．要使四边形是矩形，可添加下列条件（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定问题，解题的关键是熟练掌握平行线、全等三角形的性质，并能够作简单的辅助线辅助求解．根据平行四边形的性质，通过证明，推导得，，易证四边形是平行四边形；连接，证明四边形是平行四边形，推出；再根据各选项结合矩形的判定定理，即可完成解答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵点E，F分别是边，的中点， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形； 连接， ∵点E，F分别是边，的中点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； ∴； A、若，则， ∴，不能使四边形是矩形； B、若，则不一定与相等，不能使四边形是矩形； C、若，不一定相等，则不一定与相等，不能使四边形是矩形； D、若，则一定与相等， ∴平行四边形是矩形，能使四边形是矩形； 故选：D． 4．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，在中，对角线，相交于点O，点E，F在上，且，连接，，，．若添加一个条件使四边形是矩形，则该条件可以是 ．（填写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质．根据平行四边形的判定和性质定理以及矩形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：， 理由：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴． 即． ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 故答案为：（答案不唯一）． 5．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，的对角线、相交于点，，，与交于点． (1)在不添加新的点和线的前提下，增加一个条件：_____________，使得四边形是矩形，并说明理由； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)（答案不唯一），理由见解析 (2)240 【分析】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定及性质，菱形的判定及性质． （1）由，可得四边形是平行四边形，只需添加条件使得即可得到矩形； （2）由（1）可得当时，四边形是矩形，得到，根据平行四边形的对角线互相平分并结合勾股定理求出，证明是菱形，根据菱形的性质即可求出面积． 【详解】（1）解：添加条件：，理由如下： ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴是矩形． （2）解：由（1）可得当时，四边形是矩形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴在中，， ∴在中，， ∵， ∴是菱形， ∴． 题型七 矩形条件的判段 1．（24-25八年级下·广东东莞·期中）下列命题中正确的是（   ） A．有一组邻边相等的四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形 C．对角线垂直的四边形是菱形 D．一组对边平行的四边形是平行四边形 【答案】B 【分析】本题主要考查了判断命题真假，菱形，矩形和平行四边形的判定定理，根据菱形，矩形和平行四边形的判定定理逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，原命题错误，不符合题意； B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，原命题正确，符合题意； C、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，原命题错误，不符合题意； D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，原命题错误，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级下·浙江·阶段练习）如图，用一根绳子检测一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量两条对角线就可以判断了．这种检测方法用到的数学依据是（　　） A．两条对角线互相平分的平行四边形是矩形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D．对角线平分每组对角的平行四边形是矩形 【答案】B 【分析】本题考查矩形的判定，根据对角线相等的平行四边形是矩形可作出选择． 【详解】解：需要用绳子分别测量两条对角线就可以判断是矩形的理论依据是对角线相等的平行四边形是矩形， 故选：B． 3．（24-25九年级下·重庆巴南·期中）满足下列条件的四边形是矩形的是（   ） A．对角线互相垂直的平行四边形 B．对角线相等的平行四边形 C．对角线互相平分且垂直的四边形 D．四边相等的四边形 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定、菱形的判定，平行四边形的性质，熟练运用这些性质是本题的关键．利用矩形的判定定理进行判断即可． 【详解】解：A. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不一定是矩形，故该选项不符合题意； B. 对角线相等的平行四边形是矩形，故该选项符合题意； C. 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，不一定是矩形，故该选项不符合题意； D. 四边相等的四边形是菱形，不一定是矩形，故该选项不符合题意； 故选：B． 4．（24-25八年级下·河南周口·期中）如图，在中，对角线与相交于点，则添加下列选项的条件后，能判定是矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及矩形的判定．根据对角线相等的平行四边形是矩形或者有一个直角的平行四边形是矩形进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、∵四边形是平行四边形，添加，则，不能证明平行四边形是矩形，故该选项不符合题意； B、∵四边形是平行四边形，添加，则四边形是菱形，不能证明平行四边形是矩形，故该选项不符合题意； C、∵四边形是平行四边形，添加，不能证明平行四边形是矩形，故该选项不符合题意； D、∵四边形是平行四边形，添加，则四边形是矩形，故该选项符合题意； 故选：D． 5．（2024秋•昌图县期末）在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，在下列条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（　　） A．AO＝CO，BO＝DO，∠BAD＝90° B．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD C．∠BAD＝∠BCD，∠ABC+∠BCD＝180°，AC⊥BD D．∠BAD＝∠ABC＝90°，AC＝BD 【答案】C． 【分析】由平行四边形的判定与性质、矩形的判定以及菱形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【解答】解：A、∵AO＝CO，BO＝DO， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵∠BAD＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意； B、∵AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意； C、∵∠ABC+∠BCD＝180°， ∴AB∥CD， ∵∠BAD＝∠BCD， ∴∠ABC+∠BAD＝180°， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形，故选项C符合题意； D、∵∠BAD＝∠ABC＝90°， ∴AD∥BC， 在Rt△ABD和Rt△BAC中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△BAC（HL）， ∴AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、菱形的判定以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定和菱形的判定是解题的关键． 题型八 矩形判定的证明 1．已知，如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，DF、DE分别是△BDC、△ADC的角平分线．求证：四边形DECF是矩形． 【分析】利用等腰△ADC“三合一”的性质证得DE⊥AC，同理得DF⊥BC，根据有三个角是直角的四边形是矩形，证四边形DECF是矩形． 【解答】证明：如图， ∵∠ACB＝90°，D是AB的中点， ∴AD＝CD， ∵DE是∠ADC的角平分线， ∴DE⊥AC． ∴∠DEC＝90°， 同理得∠CFD＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴四边形DECF是矩形． 2．（2024春•崇阳县期末）在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．求证：四边形BFDE是矩形． 【分析】根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∵BE∥DF，BE＝DF， ∴四边形BFDE是平行四边形， ∵DE⊥AB， ∴∠DEB＝90°， ∴四边形BFDE是矩形． 3．（2024秋•天府新区期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E． 求证：四边形ADCE为矩形； 【分析】根据三个角是直角是四边形是矩形即可证明； 【解答】证明：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线， ∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD． ∴∠ADC＝90°， ∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线， ∴∠MAN＝∠CAN． ∴∠DAE＝90°， ∵CE⊥AN， ∴∠AEC＝90°． ∴四边形ADCE为矩形． 4．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，E，G分别是AC，DC的中点，F为DE延长线上的点，∠FCA＝∠CEG． （1）求证：AD∥CF； （2）求证：四边形ADCF是矩形． 【分析】（1）先证EG是△ACD的中位线，得EG∥AD，再由∠FCA＝∠CEG证出EG∥CF，即可得出结论； （2）先证△ADE≌△CFE（AAS），得AD＝CF，则四边形ADCF是平行四边形，再由等腰三角形的在得∠ADC＝90°，即可得出结论． 【解答】证明：（1）∵E，G分别是AC，DC的中点， ∴EG是△ACD的中位线， ∴EG∥AD， ∵∠FCA＝∠CEG， ∴EG∥CF， ∴AD∥CF； （2）由（1）得：AD∥CF， ∴∠DAE＝∠FCE，∠ADE＝∠CFE， ∵E是AC的中点， ∴AE＝CE， ∴△ADE≌△CFE（AAS）， ∴AD＝CF， ∴四边形ADCF是平行四边形， 又∵AB＝AC，AD是BC边上的中线， ∴AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴平行四边形ADCF是矩形． 5．（2024秋•福田区校级期中）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABD＝∠CDB，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，且BE＝DF． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）若AB＝BO，当∠ABE等于多少度时，四边形ABCD是矩形？ 【分析】（1）由∠ABD＝∠CDB得出AB∥CD，再证明△ABE≌△CDF（AAS）得出AB＝CD，即可得证； （2）证明△ABO是等边三角形，得出AO＝BO，结合平行四边形的性质得出AC＝BD，即可得证． 【解答】（1）证明：∵∠ABD＝∠CDB， ∴AB∥CD， ∴∠BAE＝∠CDF， ∵BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F， ∴∠AEB＝∠CFD＝90°， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（AAS）， ∴AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形； （2）解：当∠ABE＝30°时，四边形ABCD是矩形，理由如下： ∵AB＝BO，BE⊥AO， ∴∠ABO＝2∠ABE＝60°， ∴△ABO是等边三角形， ∴AO＝BO， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AC＝2AO，BD＝2BO， ∴AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形． 题型一 利用矩形的性质与判定求角度 1．（2024•西乡塘区校级四模）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F，且AE＝DF． （1）求证：四边形ABCD是矩形． （2）若，求∠AOE的度数． 【答案】（1）见解析；（2）60°． 【分析】（1）证△AEO≌△DFO（AAS），得出OA＝OD，则AC＝BD，即可得出四边形ABCD是矩形． （2）由矩形的性质得出∠ABC＝∠BAD＝90°，OA＝OB，则∠OAB＝∠OBA，然后在直角三角形ABE中，∠ABE＝90°﹣∠BAE＝60°＝∠OAB，进一步解答即可． 【解答】（1）证明：∵AE⊥BD，DF⊥AC， ∴∠AEO＝∠DFO＝90°， 在△AEO和△DFO中， ， ∴△AEO≌△DFO（AAS）， ∴AO＝DO， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO＝DO＝BO， ∴AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形； （2）解：由（1）得：四边形ABCD是矩形， ∴，AO＝BO， ∴∠OAB＝∠ABE， 在直角三角形ABE中，∠ABE＝90°﹣∠BAE＝60°＝∠OAB， ∴∠AOE＝180°﹣∠OAB﹣∠ABE＝60°． 【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 2．（2024秋•秦都区校级期中）如图，点E是▱ABCD对角线AC上的点（不与A，C重合），连接BE，过点E作EF⊥BE交CD于点F．连接BF交AC于点G，BE＝AD，∠FEC＝∠FCE． （1）求证：▱ABCD是矩形； （2）若点E为AC的中点，求∠ABE的度数． 【答案】（1）见解析；（2）30°． 【分析】（1）先由平行四边形的性质得到AD＝BC，则BE＝BC，由等边对等角得到∠ECB＝∠CEB，则可证明∠FEB＝∠BCD＝90°，进而可证明平行四边形ABCD是矩形； （2）由矩形的性质得到，则可证明△BCE是等边三角形，得到∠CBE＝60°，则∠ABE＝30°． 【详解】（1）证明：点E是▱ABCD对角线AC上的点，BE＝AD， ∴AD＝BC＝BE， ∴∠ECB＝∠CEB， ∵∠FEC＝∠FCE， ∴∠FEC+∠CEB＝∠FCE+∠BCE， ∴∠BEF＝∠BCF， ∵EF⊥BE交CD于点F， ∴∠FEB＝∠BCD＝90°， ∴▱ABCD是矩形； （2）解：∵▱ABCD是矩形，点E为AC的中点， ∴， ∴BE＝CE＝BC， ∴△BCE是等边三角形， ∴∠CBE＝60°， ∴∠ABE＝30°． 3．（2024秋•沈河区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC 中点，四边形ACDE是平行四边形． （1）求证：四边形ADBE是矩形； （2）过点E作EH⊥AB于点H，若∠HEB＝4∠HEA，求∠EBH的度数． 【分析】（1）由平行四边形的性质得AE∥CD，AE＝CD，由AB＝AC，点D是BC的中点，得BD＝CD，AD⊥BC，所以AE∥BD，AE＝BD，则四边形ADBE是平行四边形，而∠ADB＝90°，则四边形ADBE是矩形． （2）根据矩形的性质得出∠AEB＝90°，进而解答即可． 【详解】（1）证明：∵四边形ACDE是平行四边形， ∴AE∥CD，AE＝CD， ∵AB＝AC，点D是BC的中点， ∴BD＝CD，AD⊥BC， ∵AE∥BD，AE＝BD， ∴四边形ADBE是平行四边形， ∵∠ADB＝90°， ∴四边形ADBE是矩形． （2）解：由（1）可知四边形ADBE是矩形， ∴∠AEB＝90°， ∴∠HEB+∠HEA＝90°， ∵∠HEB＝4∠HEA， ∴∠HEA＝18°， ∴∠HEB＝72°， ∵EH⊥AB， ∴∠EBH＝90°﹣72°＝18°． 4．（2024春•思明区期中）如图所示，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO＝10，BO＝DO，且AB＝12，BC＝16． （1）求证：四边形ABCD是矩形． （2）若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC于点E，求∠BDF的度数． 【分析】（1）先证明四边形ABCD是平行四边形，利用勾股定理逆定理，得到∠ABC＝90°，即可得证； （2）求出∠FDC的度数，根据三角形的内角和，求出∠DCO，然后根据OD＝OC，得到∠CDO，即可求出∠BDF的度数． 【详解】（1）证明：∵在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO＝10，BO＝DO， ∴四边形ABCD是平行四边形，AC＝AO+CO＝20， ∵AB＝12，BC＝16， ∴AB2+BC＝122+162＝202＝AC2， ∴∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形； （2）∵四边形ABCD是矩形 ∴∠ADC＝90°， ∵∠ADF：∠FDC＝3：2，∠ADF+∠FDC＝∠ADC， ∴， ∵DF⊥AC， ∴∠DCO＝90°﹣36°＝54°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴CO＝OD， ∴∠ODC＝∠DCO＝54°， ∴∠BDF＝∠ODC﹣∠FDC＝18°． 题型二 利用矩形的性质与判定求长度 1．（24-25八年级下·甘肃定西·阶段练习）如图，在中，、、分别是边、、的中点，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形中位线定理，直角三角形的性质，熟知矩形的性质与判定定理是解题的关键。 （1）由三角形中位线定理得到，则可证明四边形是平行四边形，再证明，即可证明四边形是矩形， （2）由矩形的性质得到，则由直角三角形的性质得到，证明是等边三角形，即可得到． 【详解】（1）解：证明：、、分别是、、的中点， 、、是的中位线， ， 四边形是平行四边形， ∵， ∴， 四边形是矩形， （2）四边形是矩形， ， 是的中线， ， ， 是等边三角形， ． 2．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，在中，于点，延长至点，使，连接与交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理及其逆定理等知识点，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）先证明四边形为平行四边形，再根据有一个角为直角的平行四边形是矩形，即可得证； （2）矩形的性质，得到，勾股定理逆定理，得到，等积法求出的长即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形为矩形； （2）解：由（1）知：四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴． 3．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，菱形的对角线相交于点O，过B点作，且，连结． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质、矩形的判定、矩形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）由菱形的性质可得，再证明四边形是平行四边形，最后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明结论； （2）根据菱形的性质、勾股定理可得，由矩形的性质可得，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ． ， ， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是矩形． （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴根据勾股定理得：， ， 由（1）知四边形是矩形， ， 在中，， ． 4．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作，且，连接． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的性质，矩形的判定，勾股定理，熟练掌握相关性质，定理是解题的关键： （1）根据菱形的性质，得到，，进而得到，得到四边形为平行四边形，再根据，即可得证； （2）勾股定理求出的长，进而求出的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：∵菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为矩形； （2）∵，， ∴， ∴， ∵矩形， ∴， ∴． 题型三 利用矩形的性质与判定求面积 1．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图，平行四边形中，，过点D作交的延长线于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理： （1）利用平行四边形的性质和平行线的性质分析可得，从而求证四边形是矩形； （2）利用勾股定理求得的长度，从而利用矩形和平行四边形的性质求出的长度，再根据梯形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：在中，， 在平行四边形中，， 在矩形中，， ∴四边形的面积． 2．（24-25八年级下·江西宜春·期中）如图，在平行四边形中，过点D作于点E，，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)80 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握平行四边形对边平行且相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形． （1）根据平行四边形的性质得出，，则，通过证明四边形是平行四边形，结合，即可求证； （2）根据题意推出，则，根据勾股定理得出，最后根据矩形的面积公式，即可解答． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴矩形的面积是：． 3．（2023秋•丹东期末）如图，在△ABC中，点O是AB边的中点，过点O作直线MN∥BC，∠ABC的平分线和外角∠ABD的平分线分别交MN于点E，F． （1）求证：四边形AEBF是矩形； （2）若∠ABC＝60°，AB＝6cm，求四边形AEBF的面积． 【分析】（1）由已知MN∥BC得到两对内错角相等，再由BE、BF分别平分∠ABC和∠ABD，根据等量代换可推出∠OEB＝∠OBE，∠OFB＝∠OBF，分别根据等角对等边得出的EO＝BO＝FO，点O是AB的中点，则由EO＝BO＝FO＝AO，根据对角线互相平分且相等的四边形为矩形得证； （2）由已知和（1）得到的结论，可得∠AEB＝90°，根据股定理求出边即可． 【详解】（1）证明：∵MN∥BC， ∴∠OEB＝∠CBE，∠OFB＝∠DBF， ∵BE平分∠ABC，BF平分∠ABD， ∴∠OBE＝∠EBC，∠OBF＝∠DBF， ∴∠OEB＝∠OBE，∠OFB＝∠OBF， ∴EO＝BO，FO＝BO ∴EO＝FO＝BO． ∵点O是AB的中点， ∴AO＝BO， ∴四边形AEBF是平行四边形， ∵EO＝BO＝FO＝AO， ∴AB＝EF， ∴四边形AEBF是矩形； （2）解：由（1）知，四边形AEBF是矩形，∠AEB＝90°， 又∵BE为∠ABC的平分线， ∴∠OBE＝∠EBC∠ABC＝30°， ∴AEAB＝3， ∴BE3， ∴四边形AEBF的面积AE•BE＝3×39． 4．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，的对角线，相交于点O，是等边三角形，． (1)求证：四边形是矩形； (2)求四边形的面积； (3)若，，连接，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质，注意准确作出辅助线是解此题的关键． （1）由是等边三角形，，可得，根据四边形是平行四边形，进而可得，即可证明平行四边形是矩形． （2）根据四边形是矩形，利用勾股定理即可求解； （3）作的延长线于点H．证明四边形是平行四边形．得，根据，得，进而可得，， 用勾股定理即可求解。 【详解】（1）证明：是等边三角形，， ， ∵四边形是平行四边形， ，， ， ∴平行四边形是矩形． （2）解：∵四边形是矩形． ． 在中， ， ∴． （3）解：作的延长线于点H． ，， ∴四边形是平行四边形． ， ， ，， ∴，， ∴， ∴． 题型一 矩形与其它平行四边形的综合题 1．（2025·湖南长沙·一模）如图，在矩形中，对角线，相交于点，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求矩形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键． （1）先根据矩形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据平行线的判定可得，则可得四边形是平行四边形，最后根据菱形的判定即可得证； （2）先根据菱形的性质可得，再证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，然后根据矩形的性质和勾股定理可得，由此即可得． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． （2）解：由（1）已证：四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴矩形的面积为． 2．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，在中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2.4 【分析】本题考查矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，关键是由平行四边形的性质推出，由勾股定理的逆定理判定是直角三角形， （1）由平行四边形的性质推出，，得到，判定四边形是平行四边形，而，即可证明四边形是矩形． （2）由勾股定理的逆定理判定是直角三角形，由三角形面积公式得到，即可求出． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：由（1）知：四边形是矩形，又， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形， ∴的面积， ∴， ∴． 3．（24-25八年级下·山东泰安·期中）如图，点、在菱形的对角线上，，点、分别在菱形的边、上，且，． (1)求证：； (2)求证：四边形为矩形； (3)若为中点，，求菱形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)菱形的周长为16 【分析】（1）根据菱形的性质，选择适当的全等判定定理证明即可； （2）根据矩形的判定定理证明即可； （3）若为中点，，求菱形的周长． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ，， ， ， ，即， 又， ． （2）证明：， ，， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形． （3）解：如图所示，连接， 四边形是菱形， ，， 为中点 ，由（1）可得， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形，， ， ， 菱形的周长． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 4．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，矩形中，点O是对角线的中点，过点O作的垂线分别交，于点E，F． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由垂直平分线的性质得到，，证明，得到，则，即可得出结论； （2）根据勾股定理求出，设，则，再根据勾股定理求出，由菱形的性质得到，，，求出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵点O是对角线的中点，， ∴垂直平分， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 在中，， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴． 5．（24-25八年级下·贵州黔南·期中）如图，的对角线相交于点O，过点D作且，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求证：四边形为菱形； (3)在（2）的条件下，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等，能够综合应用上述知识是解题的关键． （1）由平行四边形对角线互相平分，可得，结合，，可得且，即可证明四边形是平行四边形； （2）先证四边形是矩形，推出，即可证明四边形为菱形； （3）先证是等边三角形，再用勾股定理解求出，由四边形是矩形可得，再用勾股定理解即可． 【详解】（1）证明：四边形为平行四边形， ， ，， 且， 四边形是平行四边形； （2）证明：由（1）知四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ， 平行四边形为菱形； （3）解：菱形中， ，， 是等边三角形， ， ， 菱形中， ， 由（2）知四边形是矩形， ，， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2 矩形的性质与判定 题型一 利用矩形的性质求角度 1．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）如图，在矩形中，对角线、相交于点O，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·内蒙古·模拟预测）如图，直线，矩形的顶点在直线上．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·甘肃兰州·期中）如图，在矩形中，相交于点O，平分交于点E．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·四川成都·二模）如图，是矩形的对角线，平分交于点．若，则 ． 5．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在矩形中，、相交于点，于点．若，求的度数． 题型二 利用矩形的性质求线段长 1．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，矩形中，，，则的长是（    ） A．2 B． C．4 D．8 2．（24-25八年级下·贵州黔南·期中）如图，矩形的对角线与相交于点O，，P，Q分别为，的中点，则的长为（     ） A． B．3 C． D． 3．（24-25八年级下·河南商丘·期中）如图，在矩形中， ，对角线与相交于点O， ，垂足为E，，则的长为（    ） A． B．4 C． D． 4．（24-25八年级下·江苏南通·期中）如图，已知四边形是矩形，，点E在上，．若平分则的长为 ． 5．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在矩形中，E是上的一点，交于点F，，矩形的周长为16．求的长． 题型三 利用矩形的性质求面积 1．（24-25九年级下·江苏常州·期中）如图，在矩形中，，的角平分线交于点P，连接，刚好，则矩形的面积是（   ） A．12 B．15 C．18 D．24 2．（24-25八年级下·江西宜春·期中）两张全等的矩形纸片，按如图所示的方式交叉叠放，，．与交于点G，与交于点H，且，则四边形的面积为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．（24-25八年级下·四川南充·阶段练习）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，与相交于点，连接、．若，则四边形的面积为（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 4．（2025·陕西咸阳·三模）如图，矩形的对角线、相交于点，点为的中点，连接，若，则的面积为（   ） A．3 B．6 C．1.5 D．2 5．（24-25八年级下·浙江·阶段练习）如图，，都是矩形，而且点在边上，其中，，则矩形的面积为 ． 题型四 利用矩形的性质证明 1．（2025·福建泉州·一模）如图，在矩形中，点是上一点，连接，，点是上一点，．求证：． 2．（2025·福建·二模）如图，已知四边形是矩形，连接对角线，过点B作于点E，过点D作于点F．求证：． 3．（2024•碑林区校级一模）如图，矩形ABCD，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且EF＝BC．求证：△ABE≌△DCF． 4．（2024•淮安）已知：如图，在矩形ABCD中，点E、F在BD上，BE＝DF．求证：△ABE≌△CDF． 5．（2024春•江西月考）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，连接OE，若∠AOB＝60°，求证：△OBE是等腰三角形． 题型五 直角三角形斜边上中线的性质 1．（2025八年级下·湖北·专题练习）如图，在中，，点D为边的中点，若，，则的长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 2．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，连接．若＝，则菱形的周长为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）如图，在中，，，点是的中点，点是内一点，且，连接并延长，交于点．若，则的长为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 4．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在△ABC中，，点D、E分别是边的中点，点F是线段上的一点且，连接，若，则线段的长是 ． 5．（2024秋•沭阳县期中）如图，在△ABC中，BD⊥AC于点E，CE⊥AB于点E，点M，N分别是BC，DE的中点． （1）求证：MN⊥DE； （2）若∠ECB+∠DBC＝45°，DE＝10，求MN的长． 题型六 添加一个条件证明矩形 1．（2025·河南周口·三模）如图所示，线段的端点B在直线上，过线段上的一点O作的平行线，分别交和的平分线于点C，D，连接，要使四边形为矩形，则可添加下列条件中的（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，在中，为上一点，，．增加下列条件能判定四边形为矩形的是（    ） A． B． C．点在的平分线上 D．点为的中点 3．（2025·四川南充·一模）如图，在中，E,F分别是边的中点，M，N在对角线上，．要使四边形是矩形，可添加下列条件（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，在中，对角线，相交于点O，点E，F在上，且，连接，，，．若添加一个条件使四边形是矩形，则该条件可以是 ．（填写一个即可） 5．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，的对角线、相交于点，，，与交于点． (1)在不添加新的点和线的前提下，增加一个条件：_____________，使得四边形是矩形，并说明理由； (2)若，，，求的面积． 题型七 矩形条件的判段 1．（24-25八年级下·广东东莞·期中）下列命题中正确的是（   ） A．有一组邻边相等的四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形 C．对角线垂直的四边形是菱形 D．一组对边平行的四边形是平行四边形 2．（24-25八年级下·浙江·阶段练习）如图，用一根绳子检测一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量两条对角线就可以判断了．这种检测方法用到的数学依据是（　　） A．两条对角线互相平分的平行四边形是矩形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D．对角线平分每组对角的平行四边形是矩形 3．（24-25九年级下·重庆巴南·期中）满足下列条件的四边形是矩形的是（   ） A．对角线互相垂直的平行四边形 B．对角线相等的平行四边形 C．对角线互相平分且垂直的四边形 D．四边相等的四边形 4．（24-25八年级下·河南周口·期中）如图，在中，对角线与相交于点，则添加下列选项的条件后，能判定是矩形的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024秋•昌图县期末）在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，在下列条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（　　） A．AO＝CO，BO＝DO，∠BAD＝90° B．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD C．∠BAD＝∠BCD，∠ABC+∠BCD＝180°，AC⊥BD D．∠BAD＝∠ABC＝90°，AC＝BD 题型八 矩形判定的证明 1．已知，如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，DF、DE分别是△BDC、△ADC的角平分线．求证：四边形DECF是矩形． 2．（2024春•崇阳县期末）在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．求证：四边形BFDE是矩形． 3．（2024秋•天府新区期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E． 求证：四边形ADCE为矩形； 4．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，E，G分别是AC，DC的中点，F为DE延长线上的点，∠FCA＝∠CEG． （1）求证：AD∥CF； （2）求证：四边形ADCF是矩形． 5．（2024秋•福田区校级期中）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABD＝∠CDB，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，且BE＝DF． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）若AB＝BO，当∠ABE等于多少度时，四边形ABCD是矩形？ 题型一 利用矩形的性质与判定求角度 1．（2024•西乡塘区校级四模）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F，且AE＝DF． （1）求证：四边形ABCD是矩形． （2）若，求∠AOE的度数． 2．（2024秋•秦都区校级期中）如图，点E是▱ABCD对角线AC上的点（不与A，C重合），连接BE，过点E作EF⊥BE交CD于点F．连接BF交AC于点G，BE＝AD，∠FEC＝∠FCE． （1）求证：▱ABCD是矩形； （2）若点E为AC的中点，求∠ABE的度数． 3．（2024秋•沈河区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC 中点，四边形ACDE是平行四边形． （1）求证：四边形ADBE是矩形； （2）过点E作EH⊥AB于点H，若∠HEB＝4∠HEA，求∠EBH的度数． 4．（2024春•思明区期中）如图所示，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO＝10，BO＝DO，且AB＝12，BC＝16． （1）求证：四边形ABCD是矩形． （2）若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC于点E，求∠BDF的度数． 题型二 利用矩形的性质与判定求长度 1．（24-25八年级下·甘肃定西·阶段练习）如图，在中，、、分别是边、、的中点，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 2．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，在中，于点，延长至点，使，连接与交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求的长． 3．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，菱形的对角线相交于点O，过B点作，且，连结． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 4．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作，且，连接． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，求的长． 题型三 利用矩形的性质与判定求面积 1．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图，平行四边形中，，过点D作交的延长线于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 2．（24-25八年级下·江西宜春·期中）如图，在平行四边形中，过点D作于点E，，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求四边形的面积． 3．（2023秋•丹东期末）如图，在△ABC中，点O是AB边的中点，过点O作直线MN∥BC，∠ABC的平分线和外角∠ABD的平分线分别交MN于点E，F． （1）求证：四边形AEBF是矩形； （2）若∠ABC＝60°，AB＝6cm，求四边形AEBF的面积． 4．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，的对角线，相交于点O，是等边三角形，． (1)求证：四边形是矩形； (2)求四边形的面积； (3)若，，连接，求线段的长． 题型一 矩形与其它平行四边形的综合题 1．（2025·湖南长沙·一模）如图，在矩形中，对角线，相交于点，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求矩形的面积． 2．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，在中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 3．（24-25八年级下·山东泰安·期中）如图，点、在菱形的对角线上，，点、分别在菱形的边、上，且，． (1)求证：； (2)求证：四边形为矩形； (3)若为中点，，求菱形的周长． 4．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，矩形中，点O是对角线的中点，过点O作的垂线分别交，于点E，F． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 5．（24-25八年级下·贵州黔南·期中）如图，的对角线相交于点O，过点D作且，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求证：四边形为菱形； (3)在（2）的条件下，若，求的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$