2.2有理数的减法（讲义，3个知识点7大题型）数学新教材浙教版七年级上册

本讲义聚焦有理数减法核心知识点，系统梳理减法法则（a-b=a+(-b)）、转化“两变一不变”逻辑、加减混合运算统一及简便技巧，前承有理数加法，后接数轴距离计算与实际应用，构建从基础到综合的学习支架。 资料特色在于结合温差等生活情境引入，培养数学眼光，通过“两变一不变”强化转化逻辑提升运算能力（数学思维），设计数轴综合、收支问题等题型及分层练习，课中辅助教学，课后助力学生查漏补缺。

第二章 有理数的运算 2.2 有理数的减法 课标要点 1.结合温差、海拔差、收支差值等真实生活情境，借助数轴理解有理数减法的实际意义，推导有理数减法运算法则。 2.掌握“减去一个数，等于加上这个数的相反数”的减法转化法则，熟练完成减法到加法的变形，理清“两变一不变”转化逻辑。 3.能独立完成整数、分数、小数形式的有理数减法运算，规范书写转化、计算完整步骤，准确判定结果符号。 4.能根据实际差值问题列出有理数减法算式并求解，串联加法、减法运算逻辑，巩固“符号 +绝对值”的有理数运算核心思维。 5.能运用有理数减法解决数轴上两点距离相关问题，建立数形结合解题思路。 学习重难点 重点：1.有理数减法法则，掌握减法转化为加法的“两变一不变”操作。 2.各类有理数减法算式的规范计算，准确完成变号转化。 难点：1.减法变加法时符号的准确转换，多重负号化简容易出错。 2.分数、小数混合的有理数减法综合运算，步骤不遗漏、符号不出错。 3.利用有理数减法计算数轴上两点间距离，结合生活情境列式说理。 知识点 有理数减法法则（重点） 1.法则内容：减去一个数，等于加上这个数的相反数。 2.字母表达式：a-b=a+(-b) 3.转化两步变化：①减号变加号，②减数变为它的相反数。 易错提醒 只改变减号与减数，被减数保持不变，不可同时改动被减数的符号。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）比小的数是______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的减法运算，正确理解题意是解题的关键，根据“比一个数小另一个数”的含义，用减法计算即可． 【详解】解：“比小”表示从中减去，即． 故答案为：． 2．（25-26七年级上·浙江温州·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查有理数加减法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式运用有理数加法法则进行计算即可； （2）原式运用有理数加法法则进行计算即可； （3）原式运用有理数减法法则进行计算即可； （4）原式根据有理数减法法则变形后再进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： =； （3）解： ； （4）解： ． 知识点 加减混合运算统一成加法（重点） 1. 化简原理：所有减法改写为加法后，算式可写成省略加号、括号的和式； 2.和式读法：-8-4-5+2可读作“负8、负4、负5、正2的和”，也可读“负8减4减5加 2”。 特别提醒 省略括号的和式中，数字前的符号兼具运算符号与性质符号双重含义。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，运算律，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据有理数加减混合运算法则，运算律进行简便运算即可求解； （）根据有理数加减混合运算法则即可求解； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，熟知有理数的加减计算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加减计算法则求解即可； （2）根据有理数的加法计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 知识点 有理数加减混合简便运算技巧（重点、难点） 1.同号分组：正数、负数分别结合相加； 2.凑零分组：互为相反数的两项优先合并； 3.凑整分组：小数、分数搭配凑整数简化计算。 教材延伸 数轴上两点距离公式|a-b|本质为有理数减法，利用减法可求解两点间线段长度，是数形结合常考题型。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算． （1）先将减法转化为加法，再利用有理数的加法法则计算即可； （2）先将小数化为带分数，再所有的带分数进行拆分，紧接着将减法转化为加法，再利用加法交换律和结合律，将同分母分数结合进行简便计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 2．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的加减运算． （1）根据有理数加减运算法则计算即可； （2）先化简多重符号，再进行加减运算； （3）先化简多重符号，再利用加法交换律与结合律进行简便计算； （4）先通分，再进行加减运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 题型 有理数的减法运算 ▌例1 （25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）下列运算中正确的个数有（   ） ①；②；③；④；⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加减法法则．根据有理数的加减法法则作答即可． 【详解】解：①，正确； ②，正确； ③，正确； ④，故④错误； ⑤，故⑤错误． 所以，正确的结论有3个， 故选：C． 解题贴士 变号要点：减号变加号，减数变相反数，被减数不变。 ▌对点练1-1 （25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）在计算的□中填上一个数，使结果等于11，这个数是（   ） A．16 B．6 C． D．16或 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加减运算，根据可知，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． ▌对点练1-2 （2024七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的减法运算，掌握有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，是解题的关键． （1）根据减去一个数，等于加上这个数的相反数计算即可． （2）根据减去一个数，等于加上这个数的相反数计算即可． （3）根据减去一个数，等于加上这个数的相反数计算即可． （4）根据减去一个数，等于加上这个数的相反数计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 题型 有理数的减法与数轴综合 ▌例2 （25-26七年级上·浙江衢州·期末）如图，若将点沿数轴同一方向移动3个单位长度得到点，则点表示的数是（   ） A．1 B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查数轴，有理数的加减运算，根据数轴上点的移动：左减右加，从而可以解答本题． 【详解】解：∵点表示的数为，将点沿数轴同一方向移动3个单位长度得到点， ∴点表示的数是或 故选：D． 解题贴士 左减右加：向左移动用减法，向右移动用加法。 ▌对点练2-1 （25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知数轴上的点、分别表示数，其中，，且，若，数在数轴上用点表示，则点在数轴上的位置可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数轴与有理数，根据，，且，得到点和点在与0之间，且点在点的左侧，且，进而得到，得到点的位置在中间，即可得出结果． 【详解】解：∵，，且， ∴点和点在与0之间，且点在点的左侧，， ∴， ∴点的位置在中间， 故满足题意的只有选项A； 故选A ▌对点练2-2 （25-26七年级上·浙江台州·期中）如图，为数轴上的三点，为数轴的原点，点表示的数为6，线段的长为的长为12． (1)求点在数轴上表示的数． (2)点从出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时，点从出发，每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为（单位：秒）．请写出动点所表示的数（分别用含的整式表示）． 【答案】(1)点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为2 (2)点所表示的数为，点所表示的数为 【分析】本题考查了数轴、有理数的减法、列代数式，熟练掌握数轴的性质是解题关键． （1）根据数轴的性质列式，计算有理数的减法即可得； （2）根据数轴的性质可得点所表示的数等于点所表示的数加上点的运动距离，点所表示的数等于点所表示的数减去点的运动距离，由此即可得． 【详解】（1）解：∵点表示的数为6，线段的长为4，且点在点的左侧， ∴点在数轴上表示的数为， ∵的长为12，且点在点的左侧， ∴点在数轴上表示的数为． （2）解：设运动时间为秒， ∵点从出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，且点在数轴上表示的数为， ∴点所表示的数为， ∵点从出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，且点在数轴上表示的数为6， ∴点所表示的数为． 题型 有理数减法的实际应用 ▌例3 （2026·浙江·模拟预测）如图是某城市某天的气象信息，当天该城市的最高气温比最低气温高（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意得：当天该城市的最高气温比最低气温高． 解题贴士 温差/高度差：高−低，结果正负代表高低。 ▌对点练3-1 （25-26七年级上·浙江金华·期中）如图，小义设计了一个“幻圆”游戏，现在将，，，，，，，分别填入图中圆圈内，使横、竖以及内外两个圆上的个数字之和都相等，则______． 【答案】 【分析】先计算所有数的和，结合横、竖及内外圆的和的关系求出公共和，再确定、的值．本题主要考查了有理数的加减运算，熟练掌握有理数的运算及找到数的和的等量关系是解题的关键． 【详解】解：∵ 所有数的和为，横、竖及内外两个圆的和相等，且横、竖的和包含了所有数（内外圆的和也包含所有数），设内外两个圆的和为，则， ∴ ． ∵ 横线上的数为、、、，其和为， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为：． ▌对点练3-2 （25-26七年级上·浙江台州·期末）小薇汇总了近一周微信账单的每日收支（规定收入记为正，支出记为负），数据如下： 星期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 收支（元） (1)这一周中，星期______收入最多，星期______支出最多，这两天的收支差额是______元； (2)计算这一周的收支总额． 【答案】(1)二，一，； (2)元． 【分析】本题考查了有理数的加减运算的实际应用，正负数的实际应用． （1）根据正负数的意义及有理数的减法作答即可； （2）将各数相加即可． 【详解】（1）解：收入最多即数据中的最大值，为星期二的元； 支出最多即数据中的最小值，为星期一的元； 这两天的收支差额是（元）． 故答案为：二，一，； （2）解： （元）． 题型 有理数加减混合运算 ▌例4 （23-24七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减运算，正确掌握相关内容是解题的关键． （1）直接根据有理数的减法法则计算即可； （2）先把减法运算化为加法运算，再将带分数化为假分数，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 解题贴士 先用减法法则统一成加法，再使用加法法则运算。 ▌对点练4-1 （24-25七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)12 (2)107.5 【分析】本题考查了有理数的加法混合运算，掌握有理数的加减混合运算法则是关键． （1）根据去括号法则，可变为，计算可得； （2）可变为，然后利用加法的结合律将两个加数相加． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型 有理数加减运算中的简便运算 ▌例5 （2024七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)100 (2)7 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，注意明确有理数混合运算顺序． （1）根据有理数的加减法可以解答本题； （2）根据有理数的加减法可以解答本题． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 解题贴士 · 统一成加法：减号变加相反数； · 巧用交换结合律，凑 0、凑整、同号分组； · 移数连带数字前符号，最后合并计算。 ▌对点练5-1 （2026七年级上·浙江·专题练习）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)23 (3) (4) 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，熟知运算法则及加法的运算律是正确解决本题的关键． 各个小题均先根据有理数的减法法则，把减法化成加法，写成省略加号和的形式，然后交换加数位置，进行简便计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． ▌对点练5-2 （25-26七年级上·浙江金华·期中）阅读下列的计算方法，解决问题： (1)． 解：原式． 上面这种方法叫拆项法．按这种方法，可将拆为_____，拆为______． (2)类比上述计算方法，请计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了有理数的加减运算，正确理解题意、掌握解答的方法是关键； （1）根据有理数的加法作答即可； （2）按照题干中的拆项法结合有理数的加减混合运算法则求解即可． 【详解】（1）解：可将拆为，拆为； 故答案为：，； （2）解： ． 题型 有理数加减混合运算的实际应用 ▌例6 （26-27七年级·浙江·暑假作业）某电业局要对某市区的电路进行巡检，某检修小组从A地出发，在东西向的马路上进行检修，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，检修车一天中八次行驶记录如下：（单位：千米）． (1)收工时该检修小组距离A地多远？ (2)该检修小组这一天行驶的总路程为多少千米？ 【答案】(1)收工时该检修小组在A地的东边，距离A地5千米 (2)该检修小组这一天行驶的总路程为千米 【详解】（1）解：（千米）， 答：收工时该检修小组在A地的东边，距离A地5千米； （2）解：（千米）， 答：该检修小组这一天行驶的总路程为千米．解题贴士 · 定正负：规定基准，明确增减对应的符号； · 列式转化：全部统一为加减混合算式； · 简便分组：相反数、整数优先合并； · 结合题意解读结果正负含义。 ▌对点练6-1 （25-26七年级上·浙江金华·期中）小明从金华乘坐轻轨去义乌，从轨道大厦站出发，途经金华南站、塘雅站、车辆段站、综保区站和新区站，小明记录了所在车厢上下车的人数变化情况，记下车人数为负． 站点 金华南站 塘雅站 车辆段站 综保区站 新区站 上、下车人数 (1)在塘雅站上车______人，下车_____人． (2)已知小明所在车厢在轨道大厦站时的人数是9人，在轻轨离开新区站时，该车厢内还剩多少人？ 【答案】(1)3；5 (2)18人 【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数加减混合运算的应用． （1）根据表格即可求解； （2）将表格中的数据全部相加，再加上起始轨道大厦站时的人数即可． 【详解】（1）解：由表格可得在塘雅站上车人，下车人， 故答案为：3；5； （2）解：由题意得，（人）， 答：在轻轨离开新区站时，该车厢内还剩人． ▌对点练6-2 （25-26七年级上·浙江·期中）某天下午，出租车司机小王的营运路线都在东西走向的国庆大街上，如果规定出发地为原点，向东为正，向西为负，他这一天下午载客行车里程（单位：千米）如下：，，，，． (1)最后一次营运结束后，小王在出发地的什么方向？距离出发地多远？ (2)若汽车的耗油量为0.2升/千米，小王送完最后一位乘客后又回到出发地，这天下午共耗油多少升？ (3)该市出租车按里程计费标准为：不超过3千米的部分，收费9元，超过3千米的部分，按每千米2元收费，则这天下午小王共收入多少元？ 【答案】(1) 出发地的正东方向，距离出发地8千米 (2) 6升 (3) 65元 【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数的加减混合运算，有理数的乘法，熟练掌握有理数的加减混合运算法则是解题的关键． (1)计算各里程的和，正表示在东，负表示在西，绝对值表示距离． (2) 计算各里程的绝对值的和，再加上8，计算出耗油量较即可． (3)计算里程的绝对值，与3比较，后按照收费标准计算即可 【详解】（1）解：∵(千米)， ∴出租车最后到达的地方在出发点的正东方向，距出发地有8千米． （2）解：∵千米， ∴耗油量为：（升）． （3）解：∵， ∴收费用：（元）． 答：收取费用为65元． 题型 省略加法和括号的形式 ▌例7 （25-26七年级上·浙江·阶段检测）将算式写成省略括号的和的形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的加减法，去括号时注意符号变化．根据有理数运算法则，加上一个负数等于减去这个数，减去一个负数等于加上这个数解答即可． 【详解】解：． 故选：B． 解题贴士 化简规则：减负=加正，减正=加负。 ▌对点练7-1 （25-26七年级上·浙江金华·期中）将算式写成省略括号的和的形式，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了省略加法和括号的形式，根据，故写成省略括号的和的形式为，即可作答． 【详解】解：依题意，将算式写成省略括号的和的形式 故选：A ▌对点练7-2 （25-26七年级上·浙江温州·期中）不计算，把式子写成省略加号的和的形式：______． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减混合运算的符号简化，解题的关键是掌握“减去一个数等于加上它的相反数”的运算法则． 先将式子中的减法转化为加法，再省略加号和括号，写成和的形式． 【详解】根据有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数， 因为可以转化为+5， 所以原式可转化为， 省略加号和括号后，得到． 故答案为：． 基础通关 1．（25-26七年级上·浙江台州·期末）有理数减法运算可以转化为加法运算．对的运算进行转化，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数减法法则的应用，减去一个数等于加上这个数的相反数，据此可得答案． 【详解】解：∵有理数减法法则为：减去一个数，等于加上这个数的相反数． ∴． 故选：A． 2．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）下列各组运算结果符号为负的有（　　） ；；； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法运算和减法运算，根据有理数的加法法则和减法法则计算即可判断． 【详解】解：； ； ； ， 运算结果为负的有共2个， 故选：B． 3．（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）若，则以下四个结论中，正确的是（   ） A．一定是正数 B．可能是负数 C．一定是正数 D．可能是正数 【答案】C 【分析】此题主要考查了有理数的加减法以及正数与负数，根据a，b，c    的符号得出关系式是解题关键． 根据逐项求解判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴符号无法确定，故此选项错误； B、∵， ∴不可能是负数，故此选项错误； C、∵， ∴一定是正数，故此选项正确； D、∵， ∴一定是负数，故此选项错误； 故选：C． 4．（25-26七年级上·浙江台州·期中）小红在计算时，误将“”看成了“”，得到错误的运算结果为，则正确的运算结果为（　　） A．18 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的加减运算，解题的关键是掌握有理数加减运算的法则． 通过错误运算结果求出a的值，再代入正确表达式计算． 【详解】解：∵ 小红误算为， ∴ ， ∴ 正确运算为， 故选：B． 5．（25-26七年级上·浙江金华·期中）把写成省略括号和加号的形式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，先把减法统一成加法，再省去括号和括号前的加号． 【详解】解：原式 ， 故选：B． 6．（2026·浙江杭州·一模）小明在某气象网站查询到某地连续四天的天气情况，信息如表所示，则这四天中温差最大的一天是（    ） 周三 周四 周五 周六 − 3 ~ 7 ° C − 2 ~ 13 ° C 0 ~ 8 ° C − 1 ~ 8 ° C A．周三 B．周四 C．周五 D．周六 【答案】B 【分析】分别计算每天的最大温差，比较大小即可． 【详解】解：周三的温差为， 周四的温差为， 周五的温差为， 周六的温差为， ， ∴这四天中温差最大的一天是周四． 7．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）数轴上到表示数2的点距离6个单位的点所表示的数为（　　　） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离，根据数轴特点，分别考虑点在已知点的右边或左边两种情况分别求解即可． 【详解】解：当点在表示数2的点的右边距离6个单位时，此时数为； 当点在表示2的点的左边距离6个单位时，此时数为 ∴数轴上到表示数2的点距离6个单位的点所表示的数为或， 故选：D． 8．（25-26七年级上·浙江宁波·阶段检测）若被减数是17，差是，则减数是______． 【答案】25 【分析】本题主要考查有理数减法，根据被减数差=减数进行解答即可． 【详解】解：， 故答案为：25． 9．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）小明在计算时，不小心把一个运算符号写错了（“”错写成“”或“”错写成“”），结果算成了，则原式从左往右数，第______个运算符号写错了． 【答案】22 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算、有理数的四则混合运算，根据计算得出是奇数前面的“”错写成了“”是解题的关键． 先求出没有写错时的正确答案，再比较错误答案与正确答案相差多少，从而即可推出是哪一个数字前面的符号错了． 【详解】解： ， 结果算成了比小， 是奇数前面的“”错写成了“”， ， 写错的是23前面的符号，把“”错写成了“”， 原式从左往右数，第22个运算符号写错了， 故答案为：22． 10．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的减法计算： （1）根据有理数的减法法则进行计算即可； （2）先去括号，再根据有理数的减法法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 11．（23-24七年级上·浙江台州·阶段检测）阅读下列解题过程： 解：原式① …② …③ ． (1)上面解题过程在第 步出现错误； (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)① (2)见解析 【分析】本题主要考查了有理数的加减混运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）观察已知条件中的算式，找出出现错误的步骤即可； （2）按照混合运算法则，把减法化成加法，写成省略加号和的形式进行简便计算即可． 【详解】（1）解：∵①， ∴上面解题过程在第①步出现错误， 故答案为：①； （2）解：正确的解题过程如下： ． 12．（24-25七年级上·浙江金华·阶段检测）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了有理数的加减混合运算． （1）把减法变为加法后利用加法交换律和结合律进行计算即可； （2）把减法变为加法后利用加法交换律和结合律进行计算即可． 【详解】（1）解： （2） 13．（24-25七年级上·浙江温州·阶段检测）对于有理数a，b，现定义运算“”对于任意两个整数，， (1)计算的值； (2)计算的值 【答案】(1) (2)7 【分析】考查了有理数的混合运算，此题是定义新运算题型． （1）根据新定义得到的值即可； （2）先根据新定义得到的值，再根据新定义得到的值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 素养提升 14．（25-26七年级上·浙江金华·期中）已知表示不大于的最大整数，如：．现定义：，如：，则计算的结果为（   ） A．0.7 B．1.9 C．2.9 D．3.1 【答案】A 【分析】本题考查了新定义，以及有理数的减法，理解新定义是解答本题的关键． 根据新定义，先分别计算 和，再求它们的差． 【详解】解：∵， ∴， ∵（不大于的最大整数）， ∴， ∴． 故选：A． 15．（25-26七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）某一电子昆虫落在数轴上的某点，从点开始跳动，第次向左跳个单位长度到，第次由向右跳个单位长度到，第次由向左跳个单位长度到，第次由向右跳个单位长度到，依此规律跳下去，当它跳第次落下时，电子昆虫在数轴上的落点表示的数恰好是，则电子昆虫的初始位置所表示的数是______． 【答案】 【分析】本题考查了数轴与有理数，正负数的实际应用，有理数加减的实际应用，根据题意列出算式即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：设所表示的数是， 则， ∴， 故答案为：． 16．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）七年级二班的班长小明对早自习同学的到校时间进行了统计，以上课铃声为准，“”表示提前5分钟到校，下表为全班同学到校情况： 到校时间 0 3 人数 8 13 9 6 4 (1)全班有多少人? (2)早自习有多少人早到? (3)最早到校与最晚到校的同学相差多少分钟?请写出计算过程． 【答案】(1)全班有40人； (2)早自习有30人早到； (3)最早到校与最晚到校的同学相差13分钟． 【分析】本题考查了有理数加减的应用． （1）将表格中人数相加即可； （2）因为“”表示提前5分钟到校，所以表格中到校时间为：、、对应的人数之和即为早到的人数； （3）计算即可求出最早到校与最晚到校的同学的时间差． 【详解】（1）解：全班人数为：（人）； 答：全班有40人； （2）解：早自习到校的人数为：（人）； 答：早自习有30人早到； （3）解：最早到校与最晚到校的同学时间差为：（分钟）． 答：最早到校与最晚到校的同学相差13分钟． 17．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段检测）阅读下面的解题过程，并用解题过程中的解题方法解决问题． 示例：计算：． 解：原式 ． 以上解题方法叫做拆项法． 请你利用拆项法计算下面式子的值． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，利用题目提供的方法计算即可，正确理解题干提供的计算方法是解题的关键． 【详解】解： ． 18．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示1和3两点之间的距离是 __________； 数轴上表示2和的两点之间的距离是 __________； 数轴上表示和的两点之间的距离是__________； (2)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为 __________； (3)若x表示一个有理数，且，则__________； 【答案】(1)2，7，6 (2) (3)6 【分析】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键． （1）根据两点间距离的计算方法分别列式计算即可； （2）根据两点间距离的计算方法分别列式计算即可； （3）根据两点间距离的计算方法分别列式计算即可． 【详解】（1）解：数轴上表示1和3两点之间的距离是； 数轴上表示2和的两点之间的距离是； 数轴上表示和的两点之间的距离是 故答案为：2；7；6； （2）解：因为在数轴上、两点之间的距离 所以数轴上表示和的两点之间的距离表示为．； 故答案为：； （3）解：表示数x表示的点到数2和表示点的距离之和， ∵， ∴． 故答案为：6． 迁移创新 19．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）在“□2□4□6□8□10□12□14□16”的“□”中填上“”或“”号，若运算结果为，则称数是“可被表示的数”．例如，，则称是“可被表示的数”．下列各数中是“可被表示的数”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加减运算，整除．先计算所有数的总和，再根据符号变化对结果的影响，推导可被表示的数的特征，进而判断选项． 【详解】解：∵， 设被改为“”号的数的和为，则运算结果， ∵所有数均为偶数，偶数的和为偶数，即为偶数， ∴是的倍数，又是的倍数， ∴必为的倍数， A．不是的倍数，不符合要求， B．不是的倍数，不符合要求， C．不是的倍数，不符合要求， D．是的倍数，符合条件， 故选：D． 20．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，数轴的单位长度为1，若点和点所表示的两个数互为相反数． (1)请在数轴上标出原点，并写出点，，所表示的数． (2)若数轴上一点位于点，之间，点到点的距离是它到点距离的3倍，求点所表示的数及点到点的距离． (3)若数轴上一点到点的距离是3.5，求点到点的距离． 【答案】(1)数轴见解析，点A，B，C所表示的数分别是，， (2)点P所表示的数为，距离是4 (3)1.5或5.5 【分析】本题考查数轴上的点和两点间的距离，掌握两点间的距离公式是解题的关键． （1）根据点的位置和相反数的定义得到原点的位置，并写出点，，所表示的数； （2）根据点到点的距离是它到点距离的3倍得到点表示的数，然后利用两点间距离公式计算即可； （3）先根据点到点的距离是3.5得到点P所表示的数是或，然后计算即可． 【详解】（1）数轴上原点O如图所示，点A，B，C所表示的数分别是，，． （2）解：∵点到点的距离是它到点距离的3倍， ∴点P所表示的数为， 即点到点的距离为：， 所以点P到点C的距离为4； （3）因为点P到点O的距离是3.5， 所以点P所表示的数是或， 当点P所表示的数是时，点P到点A点的距离是； 当点P所表示的数是时，点P到点A点的距离是； 所以点P到点A点的距离是1.5或5.5． 21．（24-25七年级上·浙江·期中）小强同学类比加法的学习过程，对有理数“”运算进行了如下探究． （一）法则探究 根据探究，小强发现有理数“”运算有下面的规律： （1），． （2），． （3），． 观察上面算式中“”运算的两数及所得结果的符号和绝对值，归纳“”运算的法则：两数进行“”运算时，同号______，异号______，并把绝对值______．特别地，0和任何数进行“”运算或任何数和0进行“”运算，______． （二）法则应用 （1）填空：______，______． （2）小强发现有理数“”运算符合有括号先算括号的运算顺序，请计算下列式子： ． （三）运算律探究 我们知道在有理数的加法运算中，有加法交换律．小强类比有理数“”运算法则的探究，分类举例探究了有理数“”运算的交换律，请完成小强的探究过程． 【答案】（一）法则探究：得正，得负，相加，结果为该数的相反数；（二）法则应用：（1）17，；（2）22；（三）运算律探究：见解析 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，正确理解新定义的运算法则是解题的关键． （一）根据上述计算，归纳“”运算的法则即可； （二）（1）根据（1）中的法则进行计算即可； （2）根据（1）中的法则进行计算即可； （三）根据题意，举例说明即可． 【详解】解：（一）根据上述运算，归纳“”运算的法则： 两数进行“”运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加； 特别地，0与任何数进行“”运算或任何数与0进行“”运算结果为该数的相反数； 故答案为：得正，得负，相加，结果为该数的相反数； （二）（1）； 故答案为：17，； （2） ； （三） ， ， 所以， 所以满足结合律． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 有理数的运算 2.2 有理数的减法 课标要点 1.结合温差、海拔差、收支差值等真实生活情境，借助数轴理解有理数减法的实际意义，推导有理数减法运算法则。 2.掌握“减去一个数，等于加上这个数的相反数”的减法转化法则，熟练完成减法到加法的变形，理清“两变一不变”转化逻辑。 3.能独立完成整数、分数、小数形式的有理数减法运算，规范书写转化、计算完整步骤，准确判定结果符号。 4.能根据实际差值问题列出有理数减法算式并求解，串联加法、减法运算逻辑，巩固“符号 +绝对值”的有理数运算核心思维。 5.能运用有理数减法解决数轴上两点距离相关问题，建立数形结合解题思路。 学习重难点 重点：1.有理数减法法则，掌握减法转化为加法的“两变一不变”操作。 2.各类有理数减法算式的规范计算，准确完成变号转化。 难点：1.减法变加法时符号的准确转换，多重负号化简容易出错。 2.分数、小数混合的有理数减法综合运算，步骤不遗漏、符号不出错。 3.利用有理数减法计算数轴上两点间距离，结合生活情境列式说理。 知识点 有理数减法法则（重点） 1.法则内容：减去一个数，等于加上这个数的相反数。 2.字母表达式：a-b=a+(-b) 3.转化两步变化：①减号变加号，②减数变为它的相反数。 易错提醒 只改变减号与减数，被减数保持不变，不可同时改动被减数的符号。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）比小的数是______． 2．（25-26七年级上·浙江温州·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 知识点 加减混合运算统一成加法（重点） 1. 化简原理：所有减法改写为加法后，算式可写成省略加号、括号的和式； 2.和式读法：-8-4-5+2可读作“负8、负4、负5、正2的和”，也可读“负8减4减5加 2”。 特别提醒 省略括号的和式中，数字前的符号兼具运算符号与性质符号双重含义。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）计算： (1)； (2)． 2．（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）计算： (1)； (2)． 知识点 有理数加减混合简便运算技巧（重点、难点） 1.同号分组：正数、负数分别结合相加； 2.凑零分组：互为相反数的两项优先合并； 3.凑整分组：小数、分数搭配凑整数简化计算。 教材延伸 数轴上两点距离公式|a-b|本质为有理数减法，利用减法可求解两点间线段长度，是数形结合常考题型。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)． 2．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型 有理数的减法运算 ▌例1 （25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）下列运算中正确的个数有（   ） ①；②；③；④；⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解题贴士 变号要点：减号变加号，减数变相反数，被减数不变。 ▌对点练1-1 （25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）在计算的□中填上一个数，使结果等于11，这个数是（   ） A．16 B．6 C． D．16或 ▌对点练1-2 （2024七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型 有理数的减法与数轴综合 ▌例2 （25-26七年级上·浙江衢州·期末）如图，若将点沿数轴同一方向移动3个单位长度得到点，则点表示的数是（   ） A．1 B．或 C． D．或 解题贴士 左减右加：向左移动用减法，向右移动用加法。 ▌对点练2-1 （25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知数轴上的点、分别表示数，其中，，且，若，数在数轴上用点表示，则点在数轴上的位置可能是（   ） A． B． C． D． ▌对点练2-2 （25-26七年级上·浙江台州·期中）如图，为数轴上的三点，为数轴的原点，点表示的数为6，线段的长为的长为12． (1)求点在数轴上表示的数． (2)点从出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时，点从出发，每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为（单位：秒）．请写出动点所表示的数（分别用含的整式表示）． 题型 有理数减法的实际应用 ▌例3 （2026·浙江·模拟预测）如图是某城市某天的气象信息，当天该城市的最高气温比最低气温高（     ） A． B． C． D． 解题贴士 温差/高度差：高−低，结果正负代表高低。 ▌对点练3-1 （25-26七年级上·浙江金华·期中）如图，小义设计了一个“幻圆”游戏，现在将，，，，，，，分别填入图中圆圈内，使横、竖以及内外两个圆上的个数字之和都相等，则______． ▌对点练3-2 （25-26七年级上·浙江台州·期末）小薇汇总了近一周微信账单的每日收支（规定收入记为正，支出记为负），数据如下： 星期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 收支（元） (1)这一周中，星期______收入最多，星期______支出最多，这两天的收支差额是______元； (2)计算这一周的收支总额． 题型 有理数加减混合运算 ▌例4 （23-24七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1) (2) 解题贴士 先用减法法则统一成加法，再使用加法法则运算。 ▌对点练4-1 （24-25七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)． 题型 有理数加减运算中的简便运算 ▌例5 （2024七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)． 解题贴士 · 统一成加法：减号变加相反数； · 巧用交换结合律，凑 0、凑整、同号分组； · 移数连带数字前符号，最后合并计算。 ▌对点练5-1 （2026七年级上·浙江·专题练习）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． ▌对点练5-2 （25-26七年级上·浙江金华·期中）阅读下列的计算方法，解决问题： (1)． 解：原式． 上面这种方法叫拆项法．按这种方法，可将拆为_____，拆为______． (2)类比上述计算方法，请计算：． 题型 有理数加减混合运算的实际应用 ▌例6 （26-27七年级·浙江·暑假作业）某电业局要对某市区的电路进行巡检，某检修小组从A地出发，在东西向的马路上进行检修，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，检修车一天中八次行驶记录如下：（单位：千米）． (1)收工时该检修小组距离A地多远？ (2)该检修小组这一天行驶的总路程为多少千米？ 解题贴士 · 定正负：规定基准，明确增减对应的符号； · 列式转化：全部统一为加减混合算式； · 简便分组：相反数、整数优先合并； · 结合题意解读结果正负含义。 ▌对点练6-1 （25-26七年级上·浙江金华·期中）小明从金华乘坐轻轨去义乌，从轨道大厦站出发，途经金华南站、塘雅站、车辆段站、综保区站和新区站，小明记录了所在车厢上下车的人数变化情况，记下车人数为负． 站点 金华南站 塘雅站 车辆段站 综保区站 新区站 上、下车人数 (1)在塘雅站上车______人，下车_____人． (2)已知小明所在车厢在轨道大厦站时的人数是9人，在轻轨离开新区站时，该车厢内还剩多少人？ ▌对点练6-2 （25-26七年级上·浙江·期中）某天下午，出租车司机小王的营运路线都在东西走向的国庆大街上，如果规定出发地为原点，向东为正，向西为负，他这一天下午载客行车里程（单位：千米）如下：，，，，． (1)最后一次营运结束后，小王在出发地的什么方向？距离出发地多远？ (2)若汽车的耗油量为0.2升/千米，小王送完最后一位乘客后又回到出发地，这天下午共耗油多少升？ (3)该市出租车按里程计费标准为：不超过3千米的部分，收费9元，超过3千米的部分，按每千米2元收费，则这天下午小王共收入多少元？ 题型 省略加法和括号的形式 ▌例7 （25-26七年级上·浙江·阶段检测）将算式写成省略括号的和的形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 解题贴士 化简规则：减负=加正，减正=加负。 ▌对点练7-1 （25-26七年级上·浙江金华·期中）将算式写成省略括号的和的形式，正确的是（ ） A． B． C． D． ▌对点练7-2 （25-26七年级上·浙江温州·期中）不计算，把式子写成省略加号的和的形式：______． 基础通关 1．（25-26七年级上·浙江台州·期末）有理数减法运算可以转化为加法运算．对的运算进行转化，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）下列各组运算结果符号为负的有（　　） ；；； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）若，则以下四个结论中，正确的是（   ） A．一定是正数 B．可能是负数 C．一定是正数 D．可能是正数 4．（25-26七年级上·浙江台州·期中）小红在计算时，误将“”看成了“”，得到错误的运算结果为，则正确的运算结果为（　　） A．18 B． C． D． 5．（25-26七年级上·浙江金华·期中）把写成省略括号和加号的形式是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·浙江杭州·一模）小明在某气象网站查询到某地连续四天的天气情况，信息如表所示，则这四天中温差最大的一天是（    ） 周三 周四 周五 周六 − 3 ~ 7 ° C − 2 ~ 13 ° C 0 ~ 8 ° C − 1 ~ 8 ° C A．周三 B．周四 C．周五 D．周六 7．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）数轴上到表示数2的点距离6个单位的点所表示的数为（　　　） A． B．或 C． D．或 8．（25-26七年级上·浙江宁波·阶段检测）若被减数是17，差是，则减数是______． 9．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）小明在计算时，不小心把一个运算符号写错了（“”错写成“”或“”错写成“”），结果算成了，则原式从左往右数，第______个运算符号写错了． 10．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1)． (2)． 11．（23-24七年级上·浙江台州·阶段检测）阅读下列解题过程： 解：原式① …② …③ ． (1)上面解题过程在第 步出现错误； (2)请写出正确的解题过程． 12．（24-25七年级上·浙江金华·阶段检测）计算： (1) (2) 13．（24-25七年级上·浙江温州·阶段检测）对于有理数a，b，现定义运算“”对于任意两个整数，， (1)计算的值； (2)计算的值 素养提升 14．（25-26七年级上·浙江金华·期中）已知表示不大于的最大整数，如：．现定义：，如：，则计算的结果为（   ） A．0.7 B．1.9 C．2.9 D．3.1 15．（25-26七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）某一电子昆虫落在数轴上的某点，从点开始跳动，第次向左跳个单位长度到，第次由向右跳个单位长度到，第次由向左跳个单位长度到，第次由向右跳个单位长度到，依此规律跳下去，当它跳第次落下时，电子昆虫在数轴上的落点表示的数恰好是，则电子昆虫的初始位置所表示的数是______． 16．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）七年级二班的班长小明对早自习同学的到校时间进行了统计，以上课铃声为准，“”表示提前5分钟到校，下表为全班同学到校情况： 到校时间 0 3 人数 8 13 9 6 4 (1)全班有多少人? (2)早自习有多少人早到? (3)最早到校与最晚到校的同学相差多少分钟?请写出计算过程． 17．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段检测）阅读下面的解题过程，并用解题过程中的解题方法解决问题． 示例：计算：． 解：原式 ． 以上解题方法叫做拆项法． 请你利用拆项法计算下面式子的值． 18．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示1和3两点之间的距离是 __________； 数轴上表示2和的两点之间的距离是 __________； 数轴上表示和的两点之间的距离是__________； (2)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为 __________； (3)若x表示一个有理数，且，则__________； 迁移创新 19．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）在“□2□4□6□8□10□12□14□16”的“□”中填上“”或“”号，若运算结果为，则称数是“可被表示的数”．例如，，则称是“可被表示的数”．下列各数中是“可被表示的数”的是（    ） A． B． C． D． 20．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，数轴的单位长度为1，若点和点所表示的两个数互为相反数． (1)请在数轴上标出原点，并写出点，，所表示的数． (2)若数轴上一点位于点，之间，点到点的距离是它到点距离的3倍，求点所表示的数及点到点的距离． (3)若数轴上一点到点的距离是3.5，求点到点的距离． 21．（24-25七年级上·浙江·期中）小强同学类比加法的学习过程，对有理数“”运算进行了如下探究． （一）法则探究 根据探究，小强发现有理数“”运算有下面的规律： （1），． （2），． （3），． 观察上面算式中“”运算的两数及所得结果的符号和绝对值，归纳“”运算的法则：两数进行“”运算时，同号______，异号______，并把绝对值______．特别地，0和任何数进行“”运算或任何数和0进行“”运算，______． （二）法则应用 （1）填空：______，______． （2）小强发现有理数“”运算符合有括号先算括号的运算顺序，请计算下列式子： ． （三）运算律探究 我们知道在有理数的加法运算中，有加法交换律．小强类比有理数“”运算法则的探究，分类举例探究了有理数“”运算的交换律，请完成小强的探究过程． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $