第06讲 有理数的乘法与除法（知识点+题型+强化训练）2025-2026学年七年级数学上册同步讲义与测试（浙教版2024）

第06讲 有理数的乘法与除法（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.有理数的乘法法则 2.有理数的乘法法则的推广 3.倒数 4.有理数的乘法运算律 5.有理数的除法法则 6.有理数的混合运算 题型巩固 一、两个有理数的乘法运算 二、多个有理数的乘法运算 三、有理数乘法的实际应用 四、倒数 五、有理数乘法运算律 六、有理数的除法运算 七、有理数除法的应用 八、有理数乘除混合运算 九、有理数四则混合运算 强化训练 单选题（10） 填空题（5） 解答题（8） 知识梳理 知识点1.有理数的乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与零相乘，积为零。 说明： 一个数与1相乘等于它本身，与−1 相乘等于它的相反数。 知识点2.有理数的乘法法则的推广 1.多个不为0的有理数相乘时，积的符号由负乘数的个数决定。 （1）当负乘数的个数为奇数时，积的符号为负； （2）当负乘数的个数为偶数时，积的符号为正。 可简记为“奇负偶正”。 2.多个有理数相乘，若其中有一个乘数为0，则积为0，即“有0得0”。 3.多个有理数相乘的步骤： （1）看：看乘数是否有“0”，若有，则积为0。 （2）定：按照负乘数的个数（“奇负偶正”）确定积的符号。 （3）求：把几个乘数的绝对值相乘。 知识点3.倒数 1.倒数的定义：若两个有理数的乘积为1，就称这两个有理数互为倒数。0没有倒数。 注意： 倒数是两个数之间的一种关系，其中一个数叫作另一个数的倒数，单独的一个数不能称为倒数。 2.倒数的性质：如果,b互为倒数，那么×b=1 。 3.倒数的判定：若×b=1，则，b 两数互为倒数。 4.求倒数的方法： 类型 方法 示例 非零整数 的倒数 用这个数作分母，1作分子，即直接写成 。 3的倒数是 ，−3 的倒数是− 。 分数 的倒数 把这个分数的分子和分母交换位置， 即的倒数是 。 − 的倒数是− , 的倒数是 。 带分数的倒数 先把带分数化成假分数，再交换分子和分母 的位置。 −1=−，所以−1 的倒数是− 。 小数的倒数 先把小数化成分数，再求其倒数。 −0.5=− ，所以−0.5的倒数是−2 。 知识点4.有理数的乘法运算律 在有理数运算中，乘法的交换律、结合律和分配律同样成立。 运算律 文字叙述 用字母表示 示例 乘法交换律 两个数相乘，交换因 数的位置，积不变。 ×b=b× 。 5×(−6)=(−6)×5 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 (×b)×c=× (b×c) 。 [7×(−6)]×5=7×[(−6)×5] 。 分配律 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。 ×(b+c)=× b+×c 。 5×(−6+7)=5×(−6)+ 5×7 。 分配律也可以逆用：×b+×c=×(b+c)。 知识点5.有理数的除法法则 有理数的除法法则（一）： 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；零除以任何一个不等于零的数都得零。 说明：（1）0不能作为除数。 （2）两个有理数相除，若商为1，则这两个数相等；若商为−1 ，则这两个数互为相反数。 有理数的除法法则（二）： 除以一个数（不等于零），等于乘 这个数的倒数。 用字母表示：÷b=a×=(b≠0) 。 知识点6.有理数的混合运算 1.有理数的乘除混合运算： （1）计算顺序：按照从左往右的顺序计算，有括号的，先计算括号里面的。 （2）计算方法：先把除法转化为乘法，然后按照有理数的乘法法则求出结果。 注意： 将乘除运算统一为乘法运算后，可以运用乘法交换律、结合律或分配律简化运算。 2.有理数的加减乘除混合运算的顺序：先算乘除，再算加减，有括号的先算括号里面的，同级运算中，按照从左往右的顺序计算。 题型巩固 题型一、两个有理数的乘法运算 1．计算的结果是（    ） A．-3 B．3 C．-12 D．12 2．计算： ． 3．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 题型二、多个有理数的乘法运算 4．用2023减去它的，再减去余下的，再减去余下的……以此类推，一直减到余下的，则最后剩下的数是（　　） A． B．0 C． D．1 5．计算的结果为 ． 6．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型三、有理数乘法的实际应用 7．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）12米增加它的后，再减少米，结果是（   ） A．12米 B．米 C．米 8．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． 解答下列问题： （1）按以上规律写出第5个等式： ； （2） ． 9．某工厂设计了某款足球纪念品并进行生产，原计划每天生产10000个该款足球纪念品，但由于种种原因，实际每天的生产量与计划量相比有出入，下表是某一周的生产情况（超出记为正，不足记为负，单位：个）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知，本周最多的一天生产 个足球纪念品，最少的一天生产 个足球纪念品； (2)本周实际生产总量是否达到了计划数量？说明理由： (3)若该款足球纪念品每个生产成本25元，并按每个30元出售，则该工厂本周的生产总利润是多少元？ 题型四、倒数 10．（24-25七年级上·浙江绍兴·阶段练习）的倒数是（　　） A． B． C． D． 11．因为 ，所以的倒数是 ；因为 ，所以的倒数是 ． 12．（23-24七年级上·全国·课后作业）求下列各数的倒数： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型五、有理数乘法运算律 13．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）分配律用式子可表达为．下列四个计算：①；②；③；④．适合运用分配律来简化计算的算式有（   ）． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 14．化繁为简是数学常用的思想方法．用简便方法计算时，常用运算律对题目做变形，使运算量减小，达到简化运算的目的，请你在横线上补充完整： 原式 = ． 15．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）请选择你觉得最好的方法进行计算： (1)． (2)． 题型六、有理数的除法运算 16．（2024七年级上·浙江·专题练习）将转化为乘法运算正确的是（　　） A． B． C． D． 17．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习） 与的积为． 题型七、有理数除法的应用 18．小明用两天时间看完一本书，第一天看了，第二天看了余下的多30页，则这本书共有多少页？ 19．（2022七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)（﹣84）÷（﹣7）． (2) (3) (4) 题型八、有理数乘除混合运算 20．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，已知a是有理数，[a]表示不超过a的最大整数，如，，，等，那么的值是（　　） A． B． C． D． 21．若规定，则 ． 22．计算：． 23．利用运算律有时能进行简便计算． 例1：； 例2：． 解答下列问题： (1)方方同学计算：的过程如下： 原式． 请你判断方方同学的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程； (2)请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算（请写出具体的解题过程）： ①； ②． 题型九、有理数四则混合运算 24．（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 25．（2025七年级上·浙江宁波·专题练习）用合理的方法计算，并写出计算过程． (1) (2) (3) (4) 26．定义一种新运算“△”：，例如：．计算： (1)； (2)． 强化训练 一、单选题 1．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则的值（   ） A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．无法确定 2．在算式中，运用了（   ） A．分配律 B．分配律和乘法结合律 C．乘法交换律和乘法结合律 D．乘法交换律和分配律 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．计算的结果是（    ） A． B．1 C． D． 5．若，则①；②、互为相反数；③；④，上述命题正确的是（      ） A．①②③ B．①②④ C．④ D．①② 6．把转化为乘法是（   ） A． B． C． D． 7．若，则“”内应填的有理数是（    ） A． B．2019 C． D． 8．小丽做了四道题目，正确的是（    ） A． B． C． D． 9．下列算式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 10．下列各式中，运用运算律不正确的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．计算： ． 12．计算： ． 13．因为所以互为倒数，以上说法 （填“正确”或“错误”）． 14．计算： （ ）（ ） （ ）（ ） ． 15．化繁为简是数学常用的思想方法．用简便方法计算时，常用运算律对题目作变形，使运算量减小，达到简化运算的目的．请你在横线上补充完整计算过程：原式__________．横线上依次填写： 、 （填最终计算结果）． 三、解答题 16．计算： (1)． (2)． (3)． 17．用简便方法计算： (1)． (2)． 18．用简便方法计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 19．列式并计算： (1)两个有理数之积是，已知一个数是，求另一个数； (2)三个有理数之和是，其中两个加数分别为 11 和，求另一个加数． 20．计算：． 解：原式． 根据上述方法计算：． 21．请你先认真阅读材料： 计算 解：原式的倒数是 故原式等于 再根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法计算： 22．观察下列两个等式：①，②．给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数“，”为“共生有理数对”，记为．如：数对，都是“共生有理数对”． (1)判断数对是不是“共生有理数对”． (2)若是“共生有理数对”，判断是否为“共生有理数对”，并说明理由． 23．观察下列各式： ，，，…，， ， ， ， ． 阅读以上解题过程，解答下列问题： (1)计算：； (2)计算：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 有理数的乘法与除法（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.有理数的乘法法则 2.有理数的乘法法则的推广 3.倒数 4.有理数的乘法运算律 5.有理数的除法法则 6.有理数的混合运算 题型巩固 一、两个有理数的乘法运算 二、多个有理数的乘法运算 三、有理数乘法的实际应用 四、倒数 五、有理数乘法运算律 六、有理数的除法运算 七、有理数除法的应用 八、有理数乘除混合运算 九、有理数四则混合运算 强化训练 单选题（10） 填空题（5） 解答题（8） 知识梳理 知识点1.有理数的乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与零相乘，积为零。 说明： 一个数与1相乘等于它本身，与−1 相乘等于它的相反数。 知识点2.有理数的乘法法则的推广 1.多个不为0的有理数相乘时，积的符号由负乘数的个数决定。 （1）当负乘数的个数为奇数时，积的符号为负； （2）当负乘数的个数为偶数时，积的符号为正。 可简记为“奇负偶正”。 2.多个有理数相乘，若其中有一个乘数为0，则积为0，即“有0得0”。 3.多个有理数相乘的步骤： （1）看：看乘数是否有“0”，若有，则积为0。 （2）定：按照负乘数的个数（“奇负偶正”）确定积的符号。 （3）求：把几个乘数的绝对值相乘。 知识点3.倒数 1.倒数的定义：若两个有理数的乘积为1，就称这两个有理数互为倒数。0没有倒数。 注意： 倒数是两个数之间的一种关系，其中一个数叫作另一个数的倒数，单独的一个数不能称为倒数。 2.倒数的性质：如果,b互为倒数，那么×b=1 。 3.倒数的判定：若×b=1，则，b 两数互为倒数。 4.求倒数的方法： 类型 方法 示例 非零整数 的倒数 用这个数作分母，1作分子，即直接写成 。 3的倒数是 ，−3 的倒数是− 。 分数 的倒数 把这个分数的分子和分母交换位置， 即的倒数是 。 − 的倒数是− , 的倒数是 。 带分数的倒数 先把带分数化成假分数，再交换分子和分母 的位置。 −1=−，所以−1 的倒数是− 。 小数的倒数 先把小数化成分数，再求其倒数。 −0.5=− ，所以−0.5的倒数是−2 。 知识点4.有理数的乘法运算律 在有理数运算中，乘法的交换律、结合律和分配律同样成立。 运算律 文字叙述 用字母表示 示例 乘法交换律 两个数相乘，交换因 数的位置，积不变。 ×b=b× 。 5×(−6)=(−6)×5 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 (×b)×c=× (b×c) 。 [7×(−6)]×5=7×[(−6)×5] 。 分配律 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。 ×(b+c)=× b+×c 。 5×(−6+7)=5×(−6)+ 5×7 。 分配律也可以逆用：×b+×c=×(b+c)。 知识点5.有理数的除法法则 有理数的除法法则（一）： 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；零除以任何一个不等于零的数都得零。 说明：（1）0不能作为除数。 （2）两个有理数相除，若商为1，则这两个数相等；若商为−1 ，则这两个数互为相反数。 有理数的除法法则（二）： 除以一个数（不等于零），等于乘 这个数的倒数。 用字母表示：÷b=a×=(b≠0) 。 知识点6.有理数的混合运算 1.有理数的乘除混合运算： （1）计算顺序：按照从左往右的顺序计算，有括号的，先计算括号里面的。 （2）计算方法：先把除法转化为乘法，然后按照有理数的乘法法则求出结果。 注意： 将乘除运算统一为乘法运算后，可以运用乘法交换律、结合律或分配律简化运算。 2.有理数的加减乘除混合运算的顺序：先算乘除，再算加减，有括号的先算括号里面的，同级运算中，按照从左往右的顺序计算。 题型巩固 题型一、两个有理数的乘法运算 1．计算的结果是（    ） A．-3 B．3 C．-12 D．12 【答案】B 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】直接计算即可得到答案． 【详解】 = =3 故选：B． 【点睛】本题考查有理数的乘法，解题的关键是熟练掌握有理数乘法的知识． 2．计算： ． 【答案】10 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘法，将带分数化成假分数后，利用有理数的乘法法则运算即可，利用有理数的乘法法则首先确定积的符号，这是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：10． 3．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1)21 (2) (3) (4) 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查有理数的乘法，掌握有理数的乘法法则是解题的关键． （1）根据有理数的乘法法则进行计算即可； （2）根据有理数的乘法法则进行计算即可； （3）根据有理数的乘法法则进行计算即可； （4）根据有理数的乘法法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 题型二、多个有理数的乘法运算 4．用2023减去它的，再减去余下的，再减去余下的……以此类推，一直减到余下的，则最后剩下的数是（　　） A． B．0 C． D．1 【答案】D 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．根据题意，列出算式进行计算即可． 【详解】解：由题意，得： 故选：D． 5．计算的结果为 ． 【答案】1 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】根据有理数乘法运算法则求解即可得到答案． 【详解】解： 由于从到有个连续自然数，可知中有负号， 原式， 故答案为：． 【点睛】本题考查有理数乘法运算，熟记有理数乘法运算法则是解决问题的关键． 6．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)0 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查有理数的乘法，熟知有理数乘法运算法则是解答的关键． （1）根据有理数的乘法法则计算即可； （2）根据有理数的乘法法则计算即可； （3）根据有理数的乘法法则计算即可； （4）根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 题型三、有理数乘法的实际应用 7．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）12米增加它的后，再减少米，结果是（   ） A．12米 B．米 C．米 【答案】C 【知识点】有理数加减混合运算的应用、有理数乘法的实际应用 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据12米增加它的后，再减少米，列式，然后计算即可作答． 【详解】解：∵12米增加它的后，再减少米， ∴ （米）． 故选：C． 8．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． 解答下列问题： （1）按以上规律写出第5个等式： ； （2） ． 【答案】 【知识点】有理数乘法的实际应用 【分析】（1）根据题目所给规律，直接可写出第5个等式． （2）利用题目的规律，进行等式变形，提取，括号里面的前一项和后一项数可以抵消掉，最后求得结果． 【详解】 （1）解：由上述规律可知： 故答案为：． （2）解：原式= ． 故答案为：． 【点睛】本题主要是考查了数字的规律以及利用规律进行计算，通过题目所给条件，找到对应的规律，并应用规律进行求解，是解决本题的关键． 9．某工厂设计了某款足球纪念品并进行生产，原计划每天生产10000个该款足球纪念品，但由于种种原因，实际每天的生产量与计划量相比有出入，下表是某一周的生产情况（超出记为正，不足记为负，单位：个）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知，本周最多的一天生产 个足球纪念品，最少的一天生产 个足球纪念品； (2)本周实际生产总量是否达到了计划数量？说明理由： (3)若该款足球纪念品每个生产成本25元，并按每个30元出售，则该工厂本周的生产总利润是多少元？ 【答案】(1)10142，9918 (2)本周实际生产总量达到了计划数量，理由见解析 (3)该工厂本周的生产总利润是350050元 【知识点】正负数的实际应用、有理数加减混合运算的应用、有理数乘法的实际应用 【分析】本题考查有理数混合运算解应用题，涉及正负数的意义、有理数加减运算和有理数乘法运算，读懂题意，正确列出式子求解是解决问题的关键． （1）由表中与计划量的差值，找出最大和最小的，再由原计划生产个数要求即可得到答案； （2）根据表中数据，利用有理数求和运算得到结果为正即可判定； （3）根据题意得到每个足球纪念品利润为，乘以生产个数即可得到总利润． 【详解】（1）解：由表可知，与计划量的差值最大的是，最小的是， 由原计划每天生产10000个可得本周最多的一天生产10142个足球纪念品，最少的一天生产9918个足球纪念品， 故答案为：10142，9918； （2） 解：本周实际生产总量达到了计划数量， 理由如下： ， 本周实际生产总量达到了计划数量.； （3） 解：， 答：该工厂本周的生产总利润是350050元． 题型四、倒数 10．（24-25七年级上·浙江绍兴·阶段练习）的倒数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】倒数 【分析】本题考查倒数的概念，熟练掌握倒数的概念和计算是解题的关键，根据乘积为1的两个数互为倒数即可得到答案． 【详解】解：的倒数为：， 故选：C． 11．因为 ，所以的倒数是 ；因为 ，所以的倒数是 ． 【答案】 / 【知识点】倒数 【分析】根据乘积是的两个数互为倒数即可求得答案． 【详解】因为，所以的倒数是；因为，所以的倒数是． 故答案为：，，， 【点睛】本题主要考查有理数的乘法，牢记有理数乘法的性质（乘积是的两个数互为倒数）是解题的关键． 12．（23-24七年级上·全国·课后作业）求下列各数的倒数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】倒数 【分析】将小数化为分数，带分数化为假分数，根据倒数的定义求解即可． 【详解】（1）的倒数为． （2），所以1.2的倒数为． （3），所以的倒数为． （4），所以的倒数为． 【点睛】本题主要考查倒数，牢记倒数的定义以及求倒数的方法是解题的关键． 题型五、有理数乘法运算律 13．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）分配律用式子可表达为．下列四个计算：①；②；③；④．适合运用分配律来简化计算的算式有（   ）． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查乘法分配律，熟练掌握乘法分配律是解题的关键． 根据乘法分配律逐个判定即可 【详解】解：①，故①适合运用分配律来简化计算； ②不适合运用分配律来简化计算； ③，故③适合运用分配律来简化计算； ④，故④适合运用分配律来简化计算； 故选：D． 14．化繁为简是数学常用的思想方法．用简便方法计算时，常用运算律对题目做变形，使运算量减小，达到简化运算的目的，请你在横线上补充完整： 原式 = ． 【答案】 1 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】根据所给式子，提公因式得到，故第一个空填；从而根据同分母分数加减运算计算括号里的式子得到，故第二个空填1，从而得到答案． 【详解】解：由题意知 ， 故答案为：；1． 【点睛】本题考查利用乘法分配律对题目恒等变形，使运算量减小，达到简化运算的目的，读懂题意，掌握同分母分数加减运算法则及分数乘法运算法则是解决问题的关键． 15．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）请选择你觉得最好的方法进行计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)0 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题主要考查了有理数的运算，解题关键是熟练掌握乘法运算律进行简便计算． （1）先把写成的形式，然后利用乘法分配律进行计算即可； （2）先根据有理数的乘法法则，确定积的符号，再逆用乘法分配律进行简便计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型六、有理数的除法运算 16．（2024七年级上·浙江·专题练习）将转化为乘法运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数的除法运算 【分析】此题考查了有理数的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用除法法则变形即可得到结果． 【详解】解： 故选：C． 17．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习） 与的积为． 【答案】 【知识点】有理数的除法运算 【分析】用乘积除以已知的因数可以求出未知的因数，即除以计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查有理数的除法，掌握有理数的除法法则是解题的关键． 题型七、有理数除法的应用 18．小明用两天时间看完一本书，第一天看了，第二天看了余下的多30页，则这本书共有多少页？ 【答案】这本书共有75页 【知识点】有理数除法的应用 【分析】根据题意可直接进行求解． 【详解】解：由题意得： ． 答：这本书共有75页． 【点睛】本题主要考查有理数除法的应用，解题的关键是理解题意． 19．（2022七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)（﹣84）÷（﹣7）． (2) (3) (4) 【答案】(1)12 (2) (3) (4)-2 【知识点】有理数除法的应用 【分析】（1）根据有理数除法运算法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数，进而求出即可； （2）根据有理数混合运算法则先算乘除，除以一个数等于乘以这个数的倒数，进而求出即可； （3）根据有理数混合运算法则先算括号里面的，再算乘除，除以一个数等于乘以这个数的倒数，进而求出即可． （4）根据有理数除法运算法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数，进而求出即可； 【详解】（1）解： （2）解：； （3）解： （4）解： 【点睛】本题考查了有理数的除法法则的应用，主要考查学生的计算能力． 题型八、有理数乘除混合运算 20．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，已知a是有理数，[a]表示不超过a的最大整数，如，，，等，那么的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题主要考查有理数的乘除混合运算，根据新定义求出各个数，再进行乘除运算即可求解． 【详解】解： ， 故选：B． 21．若规定，则 ． 【答案】 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】利用新运算的规定先运算括号内的，再运算括号外的． 【详解】原式 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，本题是新定义型，理解并熟练应用新运算的规定是解题的关键． 22．计算：． 【答案】 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，解题关键是注意运算的顺序． 先将小数与带分数化为分数，同时将除法转化为乘法，再计算． 【详解】解： ． 23．利用运算律有时能进行简便计算． 例1：； 例2：． 解答下列问题： (1)方方同学计算：的过程如下： 原式． 请你判断方方同学的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程； (2)请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算（请写出具体的解题过程）： ①； ②． 【答案】(1)不正确，见解析 (2)①；②99900 【知识点】有理数乘法运算律、有理数的除法运算 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （1）方方同学的计算过程不正确，根据有理数的混合运算的运算方法，求出算式的值是多少即可． （2）① 把化成求解即可． ②变形后运用乘法分配律求解即可． 【详解】（1）解：方方同学的计算过程不正确， 正确的计算过程； （2）解：①； ② ． 题型九、有理数四则混合运算 24．（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数乘法运算律、有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、有理数乘法运算律等知识点，正确应用乘法分配律是解题的关键． 根据有理数混合运算法则以及乘法运算律逐项判断即可解答． 【详解】解：A：左边为，根据乘法分配律，应展开为，但选项A的右边为，符号错误，故A错误，不符合题意； B．左边为，正确展开应为，但选项B的右边为，导致结果错误，故B错误，不符合题意； C．左边为，根据分配律展开为，计算得，与左边结果一致，故C正确，符合题意； D．除法不满足分配律，左边，右边，明显不等，故D错误，不符合题意． 故选C． 25．（2025七年级上·浙江宁波·专题练习）用合理的方法计算，并写出计算过程． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)99990000 (2)10.4 (3)1 (4) 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练运用运算法则是解题的关键． （1）先提取公因式，再进行计算即可； （2）利用加法交换律进行简便运算即可； （3）先将括号内的换算为，再进行计算即可； （4）可以化为，可以化为，可以化为，再进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 26．定义一种新运算“△”：，例如：．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)10 (2) 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查新定义运算，解题的关键是理解并按照新运算的规则进行计算． （1）按照新运算规则计算． （2）先计算，再将结果与进行新运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 强化训练 一、单选题 1．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则的值（   ） A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．无法确定 【答案】B 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题考查了数轴、有理数的加法，关键是根据图形得出和的取值情况．根据有理数在数轴上的位置以及有理数的加法法则判断即可． 【详解】解：由图可得：，，， ． 故选：B ． 2．在算式中，运用了（   ） A．分配律 B．分配律和乘法结合律 C．乘法交换律和乘法结合律 D．乘法交换律和分配律 【答案】C 【知识点】有理数乘法运算律 【详解】本题考查乘法分配律、交换律、结合律的定义，解答时按照对应定义求解即可． 观察算式结构变化，判断所运用的运算律． 【分析】原式左边为，右边为． 乘法交换律：将与的位置交换，即． 乘法结合律：将与结合计算，即． 因此，运算中同时运用了乘法交换律和乘法结合律， 故选：C． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，需按照运算顺序和法则逐一验证各选项. 【详解】选项A：=，结果应为，故A错误. 选项B：=，结果应为，故B错误. 选项C：=，故C错误. 选项D：=，故D正确. 故选：D. 4．计算的结果是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查的是有理数的乘除混合运算，先将除法转化为乘法，再根据乘法法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：B． 5．若，则①；②、互为相反数；③；④，上述命题正确的是（      ） A．①②③ B．①②④ C．④ D．①② 【答案】B 【知识点】倒数、相反数的定义、有理数除法的应用、相反数的应用 【分析】本题考查有理数的相反数、倒数、加法和除法，熟练掌握互为相反数的两数和为，互为相反数的非零两数商为是解题的关键．利用，得出，再利用倒数的性质得，即可得解． 【详解】解：∵， ∴两数互为相反数，即，且，， 即， ∴， ∴，、互为相反数， ∴①②正确；③错误； ∵， ∴④正确； 综上，①②④正确， 故选：B． 6．把转化为乘法是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题考查有理数的除法运算，根据除法法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数，进行判断即可． 【详解】解：； 故选C． 7．若，则“”内应填的有理数是（    ） A． B．2019 C． D． 【答案】D 【知识点】倒数 【分析】本题考查倒数，根据互为倒数的两数之积为1，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴内应填的有理数是； 故选D． 8．小丽做了四道题目，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】两个有理数的乘法运算、有理数加法运算 【分析】本题主要考查了有理数的加法，有理数的乘法，解题关键是熟练掌握运算法则． 根据运算法则，对各选项进行计算判断即可． 【详解】解：A．，此选项的计算错误，故不符合题意； B．，此选项的计算错误，故不符合题意； C．，此选项的计算错误，故不符合题意； D．，此选项的计算正确，故符合题意； 故选：D． 9．下列算式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】多个有理数的乘法运算、有理数乘除混合运算 【分析】本题考查了有理数的乘法、有理数的除法，首先根据除以一个不为的数等于乘以这个数的倒数，把除法转化为乘法，然后再根据有理数的乘法法则进行计算，根据计算的结果判断正误． 【详解】解：A选项：，故A选项错误； B选项：，故B选项错误； C选项：，故C选项正确； D选项：，故D选项错误． 故选：C． 10．下列各式中，运用运算律不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数乘法运算律、多个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算、乘法运算律等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 根据有理数乘法运算、乘法运算律、有理数四则混合运算逐项化简即可． 【详解】解：A．符合乘法交换律，正确，不符合题意； B．符合乘法结合律，正确，不符合题意； C．符合乘法结合律，正确，不符合题意； D．，乘法和加法不能结合，错误，符合题意． 故选：D． 二、填空题 11．计算： ． 【答案】/ 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题考查了有理数的除法，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 根据有理数的除法法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为： ． 12．计算： ． 【答案】 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的除法运算，解题关键是熟练掌握除法运算法则．根据：除以一个数等于乘以这个数的倒数，将除法转化为乘法，然后根据乘法法则计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为： ． 13．因为所以互为倒数，以上说法 （填“正确”或“错误”）． 【答案】错误 【知识点】倒数 【分析】本题考查了倒数的定义，熟练掌握倒数的定义“两个数的乘积为1，则这两个数互为倒数”是解题的关键. 【详解】解：本题是三个数的乘积为， 不符合倒数的定义，故错误. 故答案为：错误 ． 14．计算： （ ）（ ） （ ）（ ） ． 【答案】 8 【知识点】有理数乘法运算律、多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律，解题的关键是熟练掌握有理数乘法的交换律和结合律． 根据有理数乘法的交换律和结合律求解即可． 【详解】 ． 故答案为：，，，8，． 15．化繁为简是数学常用的思想方法．用简便方法计算时，常用运算律对题目作变形，使运算量减小，达到简化运算的目的．请你在横线上补充完整计算过程：原式__________．横线上依次填写： 、 （填最终计算结果）． 【答案】 1 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则. 利用乘法分配律求解即可. 【详解】解：原式 故答案为：①；  ②1. 三、解答题 16．计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则. （1）原式先确定符号，运用有理数的乘除运算法则计算即可得到结果； （2）根据任何数与零相乘都得0计算即可； （3）原式先计算绝对值，再计算乘法运算即可. 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式. （3）解：原式． 17．用简便方法计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】题目主要考查运用有理数的乘法运算定律简化运算，熟练运用运算定律是解题关键． （1）根据乘法运算律计算即可； （2）运用乘法交换律求解即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）原式 ． 18．用简便方法计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数四则混合运算、有理数乘除中的简便运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，要注意使用运算律进行简便运算. （1）使用乘法交换律进行简便运算； （2）使用乘法交换律进行简便运算； （3）先确定符号以及统一为假分数形式，再使用乘法交换律进行简便运算； （4）先确定符号以及统一为假分数形式，再使用乘法交换律进行简便运算； 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 19．列式并计算： (1)两个有理数之积是，已知一个数是，求另一个数； (2)三个有理数之和是，其中两个加数分别为 11 和，求另一个加数． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数除法的应用、有理数的减法运算、有理数减法的实际应用、有理数的除法运算 【分析】（1）已知积和其中的一个因数，求另一个因数用除法．根据题意先列出除法算式，再计算出结果． （2）根据一个加数等于和减其余的加数列式计算可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：； （2）解：根据题意得：． 【点睛】此题考查了有理数的加减法，除法运算，关键是根据题意列出正确的算式，掌握有理数的加减运算之间和乘除运算之间的关系． 20．计算：． 解：原式． 根据上述方法计算：． 【答案】 【知识点】有理数乘法运算律、有理数的除法运算 【分析】本题考查了有理数的除法运算，解决本题的关键是掌握运算法则. 先将除法转化为乘法，再将带分数拆分成整数和分数的和，最后利用乘法分配律进行简便运算. 【详解】解：原式． 21．请你先认真阅读材料： 计算 解：原式的倒数是 故原式等于 再根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法计算： 【答案】 【知识点】有理数乘法运算律、倒数、有理数的除法运算 【分析】本题考查倒数的定义，有理数的混合计算，乘法分配律．读懂阅读材料，利用“倒数”求解是解题关键．根据阅读材料求出原计算式的倒数，即可求解． 【详解】解：原式的倒数是 ． 故原式． 22．观察下列两个等式：①，②．给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数“，”为“共生有理数对”，记为．如：数对，都是“共生有理数对”． (1)判断数对是不是“共生有理数对”． (2)若是“共生有理数对”，判断是否为“共生有理数对”，并说明理由． 【答案】(1)不是 (2)是，理由见解析 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】题目主要考查新定义理解，有理数的乘法运算，理解题意是解题关键． （1）根据有理数的乘法运算及新定义进行判断即可； （2）根据新定义及有理数的乘法运算即可判断． 【详解】（1）解：因为，， 所以， 所以不是“共生有理数对”． （2）是“共生有理数对”．理由如下： 因为是“共生有理数对”， 所以， 所以， 所以是“共生有理数对”． 23．观察下列各式： ，，，…，， ， ， ， ． 阅读以上解题过程，解答下列问题： (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数乘法的实际应用、有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解题意，按照例题将分数裂项为两个分数的差的形式是解答本题的关键． （1）仿照例题，将分数裂项为两个分数的差的形式，进行计算即可求解； （2）仿照例题，将分数裂项为两个分数的差的形式，原式化为，进行计算即可求解． 【详解】（1）解：原式， ， ， ； （2）解：原式， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$