专题07 平面与平面间的位置关系（2）讲义-2025年高二数学暑假班预习提升（沪教版2020）

上海高中数学2020必修第三册第11章空间直线与平面（预修课程） 专题07 平面与平面间的位置关系（2） 知识点一、二面角及其相关概念 （1）定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面； (如图)．直线AB叫做二面角的棱，半平面α和β叫做二面角的面． 记法：α­AB­β，在α，β内，分别取点P，Q时，可记作P­AB­Q； 当棱记为l时，可记作α­l­β或P­l­Q. （2）二面角的平面角： ①定义：在二面角α­l­β的棱l上任取一点O，如图所示，以点O为垂足， 在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB 构成的∠AOB叫做二面角的平面角． 符号：⇒∠AOB是二面角的平面角； ②直二面角：平面角是直角的二面角； 【说明】1、二面角的平面角的定义是两条“射线”的夹角，不是两条直线的夹角，因此，二面角θ的取值范围是0°≤θ≤180°（或）；2、面角的大小与垂足O在l上的位置无关．一个二面角的平面角有无数个，它们的大小是相等的；3、构成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面内”“垂直”．即二面角的平面角的顶点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都与棱垂直，这三个条件缺一不可．这三个要素决定了二面角的平面角大小的唯一性和平面角所在的平面与棱垂直 知识点二：求解二面角的常用方法： 1、定义法：过二面角的棱上任一点在两个面内分别作垂直于棱的直线，则两直线所构成的角即为二面角的平面角，继而在平面中求出其平面角的一种方法； 2、三垂线法：利用三垂线定理，根据 “与射影垂直 ，则也与斜线垂直”的思想构造出二面角的平面角，继而求出平面角的方法； 3、垂面法：指用垂直于棱的平面去截二面角，则截面与二面角的两个面必有两条交线，这两条交线构成的角即为二面角的平面角，继而再求出其平面角的一种方法； 4、面积射影法：根据图形及其在某一个平面上的射影面积之间的关系，利用射影的面积比上原来的面积等于二面角的余弦值，来计算二面角。此法常用于无棱的二面角； 5、法向量法：通过求与二面角垂直的两个向量所成的角，继而利用这个角与二面角的平面角相等或互补的关系，求出二面角的一种方法。 题型1：二面角的有关概念与辨析 【例1】如图，已知，，垂足为、，若，则二面角的大小是 ． 【例2】判断正误. （1）两个相交平面组成的图形叫做二面角. ( ) （2）异面直线a，b分别和一个二面角的两个半平面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补. ( ) （3）二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个半平面内作射线所成角的最小角. ( ) （4）二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系. ( ) 题型2：二面角的范围 【例3】二面角的取值范围是 ． 【例4】已知二面角的大小为，直线，与所成的角为，则（    ） A． B． C．当时，；当时， D．以上说法都不对 题型3：求二面角大小 【例5】在正方体ABCD­A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成 锐二面角A1­BD­A的正切值为（　　） A．　　　　　　　　B． C．　　　　 D． 【例6】一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系为（　） A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．不确定 【例7】如图，在正方体中， 二面角的大小是 ； 二面角的大小是 ； 二面角的大小是 ． 【例8】已知如图边长为a的正方形ABCD外有一点P且PA⊥平面ABCD，，二面角的大小为 ． 【例9】已知三棱锥D­-ABC的三个侧面与底面全等，且AB＝AC＝，BC＝2，则二面角D-BC-A的余弦值为（    ） A． B． C．0 D．－ 【例10】已知为锐二面角内一点，且到两个半平面及棱的距离之比为，则此二面角的度数为 ． 【例11】设P为一圆锥的顶点，A，B，C是其底面圆周上的三点，满足，M为AP的中点.若，，，则二面角的正切值为 . 题型4：根据二面角的大小求其他 【例12】如图，在四面体中，，二面角的大小为60°，则的长为 ． 【例13】把边长为4的正方形ABCD沿对角线BD折成空间四边形ABCD，使得平面平面CBD.则空间四边形ABCD的对角线AC的长为 . 【例14】如图，位于山西省朔州市应县佛宫寺内的释迦塔，俗称应县木塔，是我国现存最高最古老的木结构塔式建筑，木塔顶部可以近似地看成一个正八棱锥，其侧面和底面的夹角大小为，则该正八棱锥的高和底面边长之比为 .(参考数据：) 【例15】已知二面角，，的平面角都相等，则点在平面BCD上的射影是的（    ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 题型5：动点问题 【例16】如图，已知平面α⊥平面β，A、B是平面α与平面β的交线上的两个定点，DA⊂β，CB⊂β，且DA⊥α，CB⊥α，AD＝4，BC＝8，AB＝6，在平面α内有一个动点P，使得∠APD＝∠BPC，当平面PAD与平面PBC所成二面角的平面角为90°时，则△PAB的面积的是（　　） A．12 B．16 C． D． 题型6：翻折问题 【例17】如图下图①，等边三角形的边长为，是边上的高，，分别是和边上的点，且满足，现将△沿翻折成直二面角，如图下图②. (1)试判断翻折后直线与平面的位置关系，并说明理由； (2)求二面角的正切值． 题型7：存在性问题 【例18】如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，E为线段PB的中点，若F为线段BC上的动点（不含B）． (1)平面AEF与平面PBC是否相互垂直？若是，请证明；若不是，请说明理由； (2)若为何值时？二面角B—AF—E为． 【例19】如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD． (1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD； (2)求证：AD⊥PB； (3)求二面角A﹣BC﹣P的大小； (4)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找一点F，使得平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论． 题型8：综合压轴 【例20】如图，把等腰直角三角形ABC沿斜边AB旋转至△ABD的位置，使CD＝AC. （1）求证：平面ABD⊥平面ABC. （2）求二面角C­BD­A的余弦值． 【例21】如图，四棱锥的底面是边长为的菱形，，平面，，为的中点，为底面对角线的交点； （1）求证：平面； （2）求二面角的正切值. 一、填空题 1、如图所示，三棱锥P­ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是(　　) A．一条线段B．一条直线C．一个圆D．一个圆，但要去掉两个点 2、如图，在正方体ABCD­A′B′C′D′中： ①二面角D′­AB­D的大小为________． ②二面角A′­AB­D的大小为________． 3、如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、B) 且PA＝AC，则二面角P­BC­A的大小为 4、如图,二面角的大小是,线段点,与所成的角为,则与平面所成角的正弦值是________.  5．空间中二面角的大小为，则取值范围是_________。 6。在正方体ABCD﹣A1B1C1D1，二面角A﹣BD﹣A1的大小为_____． 7．直二面角－－的棱上有一点，在平面内各有一条射线，与均成，则 。 8．如图，在长方体中，，则二面角的大小为______． 9．已知是等腰直角三角形斜边的高，将三角形沿翻折成直二面角，此时，___________. 二、选择题 10．如图，已知直三棱柱，所有棱长均为2，则二面角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 11．如图，正方体，则下列四个命题： ①点在直线上运动时，直线与直线所成角的大小不变 ②点在直线上运动时，直线与平面所成角的大小不变 ③点在直线上运动时，二面角的大小不变 ④点在直线上运动时，三棱锥的体积不变 其中的真命题是 （ ） A．①③ B．③④ C．①②④ D．①③④ 三、解答题 13、如图，已知Rt△ABC，斜边BC⊂α，点A∉α，AO⊥α，O为垂足，∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，求二面角A­BC­O的大小． 14、如图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′=O，求： （1）AO与A′C′所成角的度数； （2）AO与平面ABCD所成角的正切值； （3）平面AOB与平面AOC所成角的度数. 15．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面QAD是正三角形，侧面底面，M是QD的中点．    (1)求证：平面； (2)求侧面QBC与底面所成二面角的余弦值； (3)在棱QC上是否存在点N使平面平面AMC成立？如果存在，求出，如果不存在，说明理由． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海高中数学2020必修第三册第11章空间直线与平面（预修课程） 专题07 平面与平面间的位置关系（2） 知识点一、二面角及其相关概念 （1）定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面； (如图)．直线AB叫做二面角的棱，半平面α和β叫做二面角的面． 记法：α­AB­β，在α，β内，分别取点P，Q时，可记作P­AB­Q； 当棱记为l时，可记作α­l­β或P­l­Q. （2）二面角的平面角： ①定义：在二面角α­l­β的棱l上任取一点O，如图所示，以点O为垂足， 在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB 构成的∠AOB叫做二面角的平面角． 符号：⇒∠AOB是二面角的平面角； ②直二面角：平面角是直角的二面角； 【说明】1、二面角的平面角的定义是两条“射线”的夹角，不是两条直线的夹角，因此，二面角θ的取值范围是0°≤θ≤180°（或）；2、面角的大小与垂足O在l上的位置无关．一个二面角的平面角有无数个，它们的大小是相等的；3、构成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面内”“垂直”．即二面角的平面角的顶点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都与棱垂直，这三个条件缺一不可．这三个要素决定了二面角的平面角大小的唯一性和平面角所在的平面与棱垂直 知识点二：求解二面角的常用方法： 1、定义法：过二面角的棱上任一点在两个面内分别作垂直于棱的直线，则两直线所构成的角即为二面角的平面角，继而在平面中求出其平面角的一种方法； 2、三垂线法：利用三垂线定理，根据 “与射影垂直 ，则也与斜线垂直”的思想构造出二面角的平面角，继而求出平面角的方法； 3、垂面法：指用垂直于棱的平面去截二面角，则截面与二面角的两个面必有两条交线，这两条交线构成的角即为二面角的平面角，继而再求出其平面角的一种方法； 4、面积射影法：根据图形及其在某一个平面上的射影面积之间的关系，利用射影的面积比上原来的面积等于二面角的余弦值，来计算二面角。此法常用于无棱的二面角； 5、法向量法：通过求与二面角垂直的两个向量所成的角，继而利用这个角与二面角的平面角相等或互补的关系，求出二面角的一种方法。 题型1：二面角的有关概念与辨析 【例1】如图，已知，，垂足为、，若，则二面角的大小是 ． 【答案】/ 【分析】根据与二面角大小互补进行求解. 【解析】设二面角的大小为， 因为，，垂足为、， 所以，又，所以. 故答案为： 【例2】判断正误. （1）两个相交平面组成的图形叫做二面角. ( ) （2）异面直线a，b分别和一个二面角的两个半平面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补. ( ) （3）二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个半平面内作射线所成角的最小角. ( ) （4）二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系. ( ) 【答案】 错误 正确 错误 正确 【分析】根据二面角的定义，对每个选项进行逐一分析，即可判断. 【解析】（1）根据二面角的定义，两个相交半平面组成的图形叫做二面角，不是平面，故错误； （2）根据二面角的定义，显然正确； （3）因为表述中射线没有垂直于二面角的棱，且最小角不一定是垂直状态，故错误； （4）根据二面角的定义，显然正确； 故答案为：错误；正确；错误；正确. 【点睛】本题考查二面角的定义，需严格把握细节，属基础题. 题型2：二面角的范围 【例3】二面角的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据二面角的定义直接作答. 【解析】二面角的取值范围是. 故答案为： 【例4】已知二面角的大小为，直线，与所成的角为，则（    ） A． B． C．当时，；当时， D．以上说法都不对 【答案】A 【分析】根据二面角定义，线面角定义，线面垂直的性质定理即可判断选项. 【解析】   当时，由知， 当时，若，则， 若和不垂直，设， 过上的点作于， 作于，连接， 则， ， 在中，， . 故选：A 题型3：求二面角大小 【例5】在正方体ABCD­A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成 锐二面角A1­BD­A的正切值为（　　） A．　　　　　　　　B． C．　　　　 D． 【提示】注意：找、证、算、答解答二面角的基本步骤； 【答案】C 【解析】如图所示，连接AC交BD于点O，连接A1O， O为BD的中点，因为A1D＝A1B， 所以在△A1BD中，A1O⊥BD. 又因为在正方形ABCD中，AC⊥BD， 所以∠A1OA为二面角A1­BD­A的平面角. 设AA1＝1，则AO＝.所以tan∠A1OA＝＝. 【说明】本题考查了二面角的概念及其大小的计算基本方法； 求二面角大小的步骤：作：作出平面角；证：证明所作的角满足二面角的平面角定义；求：将作出的角放在三角形中，计算出平面角的大小；答：根据题设回答所求二面角的大小； 简称为“一作二证三求四答”； 【例6】一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系为（　） A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．不确定 【答案】 D； 【解析】反例：如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别 是CD，C1D1的中点，二面角D­AA1­E与二面角B1­AB­C的 两个半平面就是分别对应垂直的，但是这两个二面角既不相等， 也不互补. 【说明】作出二面角的平面角的方法 方法一：（定义法）在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内 分别作垂直于棱的射线. 如图所示，∠AOB为二面角α­a­β的平面角. 方法二：（垂线法）过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线， 过垂足作棱的垂线，连接该点与垂足，利用线面垂直可找到二面角 的平面角或其补角. 如图所示，∠AFE为二面角A­BC­D的平面角. 方法三：（垂面法）过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的 两个半平面产生交线，这两条交线所成的角即为二面角的平面角. 如图所示，∠AOB为二面角α­l­β的平面角； 【提醒】二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点；　 【例7】如图，在正方体中， 二面角的大小是 ； 二面角的大小是 ； 二面角的大小是 ． 【答案】 / / / 【分析】先找到二面角的平面角，再求平面角的大小即可求解 【解析】因为， 所以为二面角的平面角， 又， 所以二面角的大小是； 因为， 所以为二面角的平面角， 又为等腰直角三角形， 所以 所以二面角的大小是； 因为， 所以为二面角的平面角， 又为等腰直角三角形， 所以 所以二面角的大小是； 故答案为：；； 【例8】已知如图边长为a的正方形ABCD外有一点P且PA⊥平面ABCD，，二面角的大小为 ． 【答案】 【分析】由三垂线定理得，从而得是二面角的平面角，在直角三角形中求得此角即可． 【解析】设，连接， PA⊥平面ABCD，则是在平面内的射影，， 平面内，，所以， 所以是二面角的平面角， 由，， ， 所以． 故答案为：． 【例9】已知三棱锥D­-ABC的三个侧面与底面全等，且AB＝AC＝，BC＝2，则二面角D-BC-A的余弦值为（    ） A．B．C．0D．－ 【答案】C 【分析】取BC的中点E，连接AE，DE，由AB＝AC＝BD＝DC＝，则DE⊥BC，AE⊥BC，从而∠AED为二面角A­-BC­-D的平面角求解． 【解析】如图， 由题可知AB＝AC＝BD＝DC＝，AD＝BC＝2， 取BC的中点E，连接AE，DE， 则DE⊥BC，AE⊥BC， ∴∠AED为二面角A­-BC­-D的平面角． 在DAE中，AD＝2，AE＝DE＝， 由于AE2＋DE2＝2＋2＝4＝AD2， ∴∠AED＝90°， ∴其余弦值为0． 故选：C 【例10】已知为锐二面角内一点，且到两个半平面及棱的距离之比为，则此二面角的度数为 ． 【答案】 【分析】画图，设锐二面角为，作，，，连接，再分别计算正弦值可得，，进而求得此二面角的度数. 【解析】设锐二面角为，作，，，连接. 易得为二面角的平面角，又，故,，且锐二面角.故，. 故，即此二面角的度数为. 故答案为： 【点睛】本题考查了三角函数的运用、二面角的计算等，需要根据题意作出对应的角度求解.属于基础题. 【例11】设P为一圆锥的顶点，A，B，C是其底面圆周上的三点，满足，M为AP的中点.若，，，则二面角的正切值为 . 【答案】 【解析】设底面圆圆心为O，连接PO，设H为点M在底面上的射影，在底面中作于点K，连接MK，求出为二面角的平面角，在中即可求解. 【解析】由知，AC为底面圆的直径. 如图所示，设底面圆圆心为O，连接PO，则平面ABC， 易知，. 设H为点M在底面上的射影，则H为AO的中点. 在底面中作于点K，连接MK，则平面HMK，， 从而为二面角的平面角. 因为，，所以，得， 所以，故二面角的正切值为. 故答案为： 【点睛】本题考查了求二面角的大小，按照二面角的求法步骤：“作、证、求”是解题的关键，属于中档题. 题型4：根据二面角的大小求其他 【例12】如图，在四面体中，，二面角的大小为60°，则的长为 ． 【答案】 【分析】取的中点E，连接，则可得即为二面角的平面角，则，在中，根据余弦定理可得答案 【解析】取的中点E，连接． ∵， ∴， ∴即为二面角的平面角， ∴． ∵，∴． 在中，根据余弦定理可得， ∴． 故答案为： 【点睛】此题考查由二面角求线段的长度问题，考查空间想象能力和计算能力，属于基础题 【例13】把边长为4的正方形ABCD沿对角线BD折成空间四边形ABCD，使得平面平面CBD.则空间四边形ABCD的对角线AC的长为 . 【答案】 【解析】取的中点，连接，，，则可求出，，再利用平面平面CBD，可知，利用勾股定理即可求出AC的长. 【解析】 如图所示：取的中点，连接，， 在直角三角形中，，为的中点，所以， 且， 同理在直角三角形中，， 所以即为二面角的平面角， 因为平面平面CBD， 所以，所以， 故答案为： 【点睛】 本题主要考查了图形翻折问题，考查了二面角的定义，涉及勾股定理，属于中档题. 【例14】如图，位于山西省朔州市应县佛宫寺内的释迦塔，俗称应县木塔，是我国现存最高最古老的木结构塔式建筑，木塔顶部可以近似地看成一个正八棱锥，其侧面和底面的夹角大小为，则该正八棱锥的高和底面边长之比为 .(参考数据：) 【答案】 【分析】设底面边长为a，根据正八棱锥底边所对的圆心角为，求得圆心到底边的距离，再由侧面与底面成求解. 【解析】如图所示: 点是正八棱锥的顶点，点是底面的中心，是底面的一条边，是的中点, 根据题意知， 因为， 设，则， 又因为二面角的大小为，即， 所以， 即正八棱锥的高和底面边长之比为. 故答案为： 【例15】已知二面角，，的平面角都相等，则点在平面BCD上的射影是的（    ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 【答案】A 【分析】根据二面角的平面角都相等，可得点在平面上的射影到的三边的距离都相等，可得其为的内心. 【解析】因为二面角，，的平面角都相等， 所以点在平面上的射影到的三边的距离都相等， 所以点在平面上的射影是的内心. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解三角形的四心的概念及二面角的概念. 题型5：动点问题 【例16】如图，已知平面α⊥平面β，A、B是平面α与平面β的交线上的两个定点，DA⊂β，CB⊂β，且DA⊥α，CB⊥α，AD＝4，BC＝8，AB＝6，在平面α内有一个动点P，使得∠APD＝∠BPC，当平面PAD与平面PBC所成二面角的平面角为90°时，则△PAB的面积的是（　　） A．12 B．16 C． D． 【答案】C 【分析】由DA⊥α，CB⊥α，证得∠APB为平面PAD与平面PBC所成二面角的平面角为90°，再由∠APD＝∠BPC，可证得PB＝2PA．从而可求得的长，得三角形面积． 【解析】解：由题意，平面α⊥平面β，A、B是平面α与平面β的交线上的两个定点，DA⊂β，CB⊂β， 且DA⊥α，CB⊥α，∴△PAD与△PBC是直角三角形， 又∠APD＝∠BPC，∴△PAD∽△PBC， 又AD＝4，BC＝8，∴PB＝2PA． 由DA⊥α，CB⊥α，平面α，所以DA⊥且DA，CB平行， 所以DA与平面PAD与平面PBC的交线平行， 则∠APB为平面PAD与平面PBC所成二面角的平面角为90°， ∵AB＝6，设PA＝x，则PB＝2x，∴x2+4x2＝36，得． ∴△PAB的面积的是S． 故选：C． 题型6：翻折问题 【例17】如图下图①，等边三角形的边长为，是边上的高，，分别是和边上的点，且满足，现将△沿翻折成直二面角，如图下图②. (1)试判断翻折后直线与平面的位置关系，并说明理由； (2)求二面角的正切值． 【答案】(1)//平面，理由见解析； (2) 【分析】（1）通过题目所给比例条件，证明//，可证明//平面； （2）作出二面角的平面角，在直角三角形中，求出二面角的平面角的正切值. （1） //平面，理由如下： ∵，分别是和边上的点，且满足， ∴所以//， ∵平面，平面， ∴//平面. （2） 如图所示，过点在平面内作于点，连接， ∵，， ∴是直二面角的平面角， ∴，即. ∵，，平面，平面， ∴平面 ∵平面，∴， 又∵，，平面，平面， ∴平面 ∵平面，∴ ∵ ∴是直二面角的平面角， 在Rt△中，，，， ∴. ∵平面，平面， ∴ 在Rt△中，， ∴二面角的正切值为. 题型7：存在性问题 【例18】如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，E为线段PB的中点，若F为线段BC上的动点（不含B）． (1)平面AEF与平面PBC是否相互垂直？若是，请证明；若不是，请说明理由； (2)若为何值时？二面角B—AF—E为． 【答案】(1)平面AEF与平面PBC是相互垂直；证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直的性质，结合正方形的性质、线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理进行证明即可； （2）根据二面角的定义，结合锐角三角函数定义进行求解即可. 【解析】（1）因为，E为线段PB的中点，所以，因为底面ABCD，平面ABCD，所以，又因为底面ABCD为正方形，所以，又，所以平面PAB，∵平面PAB，∴，因为，所以平面PBC，因为平面AEF，所以平面平面PBC （2）如图，取AB的中点M，作交AF于点N，连接EM，EN， 因为EM为的中位线，所以，又平面ABCD，线段BC 故平面ABF，，， 故平面EMN，所以即为二面角的平面角，即 设，则， 因为，即，所以 又，即，得 【例19】如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD． (1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD； (2)求证：AD⊥PB； (3)求二面角A﹣BC﹣P的大小； (4)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找一点F，使得平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)45° (4)能，证明见解析 【分析】（1）根据题意可得BG⊥AD，根据面面垂直的性质可证；（2）根据题意得PG⊥AD，BG⊥AD根据线面垂直的判定定理可证AD⊥平面PGB；（3）根据二面角的平面角的定义可得：∠PBG为二面角A﹣BC﹣P的平面角，结合题意求解；（4）先证平面DEF∥平面PGB，再说明平面PGB⊥平面ABCD即可． 【解析】（1）在底面菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD边的中点，所以BG⊥AD， 又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD， 所以BG⊥平面PAD． （2）连接PG，因为△PAD为正三角形，G为AD边的中点， 得PG⊥AD，由（1）知BG⊥AD， PG⊂平面PGB，BG⊂平面PGB，PG∩BG＝G， 所以AD⊥平面PGB，因为PB⊂平面PGB． 所以AD⊥PB． （3）由（2）可得PB⊥AD，BG⊥AD， ∵AD∥BC，所以PB⊥BC，BG⊥BC， 所以∠PBG为二面角A﹣BC﹣P的平面角 因为PG＝BG＝，所以∠PBG＝45°； （4）当F为PC边的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD，证明如下： 取PC 的中点F，连接DE、EF、DF， 在△PBC中，FE∥PB，FE平面PGB，PB平面PGB ∴FE∥平面PGB 在菱形ABCD中，DG∥BE且DGBE BEDG为平行四边形，则DE∥BG，DE平面PGB，BG平面PGB ∴DE∥平面PGB EF∩DE＝E，所以平面DEF∥平面PGB， 因为BG⊥平面PAD，所以BG⊥PG， 又因为PG⊥AD，AD∩BG＝G， ∴PG⊥平面ABCD，而PG⊂平面PGB， 所以平面PGB⊥平面ABCD， 所以平面DEF⊥平面ABCD． 题型8：综合压轴 【例20】如图，把等腰直角三角形ABC沿斜边AB旋转至△ABD的位置，使CD＝AC. （1）求证：平面ABD⊥平面ABC. （2）求二面角C­BD­A的余弦值． 【解析】（1）证明：取AB的中点O，连接OD， 因为，△ABD是等腰直角三角形， 所以，DO⊥AB，且DO＝AD. 连接OC，同理得CO⊥AB， 且CO＝AC， 又因为，AD＝AC，所以，DO＝CO＝AC. 因为，CD＝AC，所以，DO2＋CO2＝CD2， 所以，△CDO为等腰直角三角形，DO⊥CO， 又AB∩CO＝O，所以，DO⊥平面ABC； 又因为，DO⊂平面ABD，所以，平面ABD⊥平面ABC； （1）取BD的中点E，连接CE，OE. 因为，△BCD为等边三角形，所以，CE⊥BD. 又因为，△BOD为等腰直角三角形，所以，OE⊥BD. 所以，∠OEC为二面角C­BD­A的平面角． 由（1）可证得OC⊥平面ABD，所以，OC⊥OE. 所以，△COE为直角三角形． 设BC＝1，则CE＝，OE＝，所以，cos∠OEC＝＝，即二面角C­BD­A的余弦值为. 【例21】如图，四棱锥的底面是边长为的菱形，，平面，，为的中点，为底面对角线的交点； （1）求证：平面； （2）求二面角的正切值. 【答案】（1）证明见详解（2） 【分析】（1）连接，通过求证即可求证； （2）设中点为，连接，可证即为二面角的平面角，再结合几何关系求解即可； 【解析】 （1）如图，连接，为的中点，为菱形对角线的交点，为中点，，又平面，，又菱形的对角线互相垂直平分，，又，平面； （2） 如图，设中点为，由底面为菱形可知，为等边三角形，， 又平面，，平面，，为二面角的平面角，，故 【点睛】本题考查线面垂直的证明，求二面角的正切值，属于中档题 一、填空题 1、如图所示，三棱锥P­ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是(　　) A．一条线段 B．一条直线 C．一个圆 D．一个圆，但要去掉两个点 【答案】D 【解析】∵平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AC⊂平面PAC，∴AC⊥平面PBC. 又∵BC⊂平面PBC，∴AC⊥BC，∴∠ACB＝90°. ∴动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点． 2、如图，在正方体ABCD­A′B′C′D′中： ①二面角D′­AB­D的大小为________． ②二面角A′­AB­D的大小为________． 【答案】①45°　②90° 【解析】①在正方体ABCD­A′B′C′D′中，AB⊥平面AD′， 所以AB⊥AD′，AB⊥AD，因此∠D′AD为二面角D′­AB­D的平面角； 在Rt△D′DA中，∠D′AD＝45°，所以二面角D′­AB­D的大小为45°. ②因为AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD，AB⊥AA′，因此∠A′AD为二面角A′­AB­D的平面角， 又∠A′AD＝90°，所以二面角A′­AB­D的大小为90°. 3、如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、B) 且PA＝AC，则二面角P­BC­A的大小为 【答案】45°； 【解析】由条件得：PA⊥BC，AC⊥BC，又PA∩AC＝C， ∴BC⊥平面PAC，∴∠PCA为二面角P­BC­A的平面角； 在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°； 4、如图,二面角的大小是,线段点,与所成的角为,则与平面所成角的正弦值是________.  【答案】 【解析】如图，作于，于,连接,则， 所以是二面角的平面角，所以 由已知，，设与平面所成角为,则, 则 所以 或者 5．空间中二面角的大小为，则取值范围是_________。 【答案】 【分析】根据空间中二面角的定义即可求解。 【详解】二面角是指从一条直线出发的两个半平面所组成的图形；以二面角的公共直线上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于公共直线的两条射线，则两条射线所成的角的范围即为二面角的范围。 【点睛】本题考查二面角的定义，二面角的大小用二面角的平面角度量，平面角的范围即为二面角的范围。6。）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1，二面角A﹣BD﹣A1的大小为_____． 【答案】 【分析】连接，交于，连，可得是二面角A﹣BD﹣A1的平面角，在直角三角形中可求得结果. 【详解】连接，交于，连， 如图所示： 因为，且在底面内的射影是， 所以由三垂线定理可得， 所以是二面角A﹣BD﹣A1的平面角， 设正方体的棱长为1，则，， 所以， 因为， 所以. 故答案为：. 【点睛】本题考查了三垂线定理，考查了求二面角，关键是作出二面角的平面角，属于基础题. 7．直二面角－－的棱上有一点，在平面内各有一条射线，与均成，则 。 【答案】60°或120° 【详解】如图，在上取D，设DB⊥AD，DC⊥AD， ∵二面角是直二面角， ∴CD⊥DB， 设AD＝1，则DC＝DB＝1，AB＝AC＝BC＝， ∴△ABC是等边三角形 ∴∠BAC＝60°， 如果在位置，则∠AC＝180°−60°＝120°， 故答案为：60°或120° 8．如图，在长方体中，，则二面角的大小为______． 【答案】 【分析】连接AC交BD于点E，连接，证明为二面角的平面角，即可利用三角函数求. 【详解】连接AC交BD于点E，连接， ，底面ABCD是正方形，则即， 又底面ABCD，根据三垂线定理可知， 为二面角的平面角， 不妨设，则，， ，又，. 故答案为： 9．已知是等腰直角三角形斜边的高，将三角形沿翻折成直二面角，此时，___________. 【答案】 【分析】翻拍后三棱锥中相等且两两垂直，由此可得是等边三角形，得出结论． 【详解】由题意翻折后，相等且两两垂直，因此，是等边三角形.，． 故答案为：． 二、选择题 10．如图，已知直三棱柱，所有棱长均为2，则二面角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 取BC中点O，连结AO、，则，，从而是二面角的平面角，由此能求出二面角的余弦值． 【详解】 取BC中点O，连结AO、， 直三棱柱，所有棱长均为2， ，， ，， 是二面角的平面角， ，， ． 二面角的余弦值为． 故选：C． 【点睛】 本题主要考查了二面角的余弦值的求法，二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，属于中档题． 11．如图，正方体，则下列四个命题： ①点在直线上运动时，直线与直线所成角的大小不变 ②点在直线上运动时，直线与平面所成角的大小不变 ③点在直线上运动时，二面角的大小不变 ④点在直线上运动时，三棱锥的体积不变 其中的真命题是 （ ） A．①③ B．③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】 ①由与平面的位置关系判断直线与直线所成角的大小变化情况； ②考虑与平面所成角的大小，然后判断直线与平面所成角的大小是否不变； ③根据以及二面角的定义判断二面角的大小是否不变； ④根据线面平行的性质以及三棱锥的体积计算公式判断三棱锥的体积是否不变. 【详解】 ①如下图，连接， 因为，所以平面， 所以，所以直线与直线所成角的大小不变； ②如下图，连接，记到平面的距离为， 设正方体棱长为，所以，所以， 又因为，所以， 所以与平面所成角的正弦值为：， 又因为，所以， 所以所以与平面所成角的正弦值为：， 显然，所以直线与平面所成角的大小在变化； ③因为，所以四点共面，又在直线上，所以二面角的大小不变； ④因为，平面，平面，所以平面， 所以当在上运动时，点到平面的距离不变，所以三棱锥的体积不变. 所以真命题有：①③④. 故选：D. 【点睛】 本题考查空间中点、线、面的位置关系的判断，难度一般.(1)已知直线平行平面，则该直线上任意一点到平面的距离都相等；(2)线面角的计算方法：<1>作出线段的射影，计算出射影长度，利用比值关系即可求解线面角的大小；<2>计算线段在平面外的一个端点到平面的距离，该距离比上线段长度即为线面角的正弦. 三、解答题 13、如图，已知Rt△ABC，斜边BC⊂α，点A∉α，AO⊥α，O为垂足， ∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，求二面角A­BC­O的大小． 【解析】如图，在平面α内，过O作OD⊥BC，垂足为点D， 连接AD，设CO＝a. ∵AO⊥α，BC⊂α，∴AO⊥BC. 又AO∩OD＝O，∴BC⊥平面AOD. 而AD⊂平面AOD， ∴AD⊥BC，∴∠ADO是二面角A­BC­O的平面角． 由AO⊥α，OB⊂α，OC⊂α，知AO⊥OB，AO⊥OC. ∵∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，CO＝a， ∴AO＝a，AC＝a，AB＝2a. 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∴BC＝＝a， ∴AD＝＝＝a. 在Rt△AOD中，sin∠ADO＝＝＝. ∴∠ADO＝60°，即二面角A­BC­O的大小是60°. 【说明】找二面角的平面角的方法； 1、定义法：在二面角的棱上找一点，在两个半平面内过该点分别作垂直于棱的射线． 2、垂面法：过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面形成交线，这两条射线(交线)所成的角，即为二面角的平面角． 3、垂线法：利用线面垂直的性质来寻找二面角的平面角，这是最常用也是最有效的一种方法； 14、（2020·荆州市沙市第四中学高二月考）如图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′=O，求： （1）AO与A′C′所成角的度数； （2）AO与平面ABCD所成角的正切值； （3）平面AOB与平面AOC所成角的度数. 【答案】（1）.（2）.（3） 【分析】（1）由//，即可知所求异面直线夹角为，在中解三角形即可容易求得； （2）过作，通过证明平面，结合棱长关系，即可求得即为所求； （3）由题可证平面AOB⊥平面AOC，则二面角的平面角为. 【详解】（1）∵A′C′∥AC，∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC. ∵AB⊥平面BC′，OC⊂平面BC′，∴OC⊥AB， 又OC⊥BO，AB∩BO=B.∴OC⊥平面ABO. 又OA⊂平面ABO，∴OC⊥OA. 在Rt△AOC中，OC=，AC=，sin∠OAC=， ∴∠OAC=30°， 即AO与A′C′所成角的度数为30°. （2）如图，作OE⊥BC于E，连接AE. ∵平面BC′⊥平面ABCD，且其交线为，又平面， ∴OE⊥平面ABCD， ∴∠OAE为OA与平面ABCD所成的角. 在Rt△OAE中，OE=，AE=， ∴tan∠OAE=. （3）∵OC⊥OA，OC⊥OB，OA∩OB=O，∴OC⊥平面AOB. 又∵OC⊂平面AOC，∴平面AOB⊥平面AOC. 即平面AOB与平面AOC所成角的度数为90°. 【点睛】 本题考查异面直线的夹角、线面夹角、与二面角的求解，属综合基础题. 15．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面QAD是正三角形，侧面底面，M是QD的中点．    (1)求证：平面； (2)求侧面QBC与底面所成二面角的余弦值； (3)在棱QC上是否存在点N使平面平面AMC成立？如果存在，求出，如果不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得面，再根据线面垂直的性质可得，再根据线面垂直的判定定理即可得证； （2）取的中点，的中点，连接，证明平面，从而可得即为侧面QBC与底面所成二面角的平面角，进而可得答案； （3）连接交于点，连接，易得，当面，证明此时平面平面，再根据相似比即可求出. 【解析】（1）因为侧面QAD是正三角形，M是QD的中点， 所以， 因为，面面，面面，面， 所以面， 又面，所以， 又平面， 所以平面； （2）取的中点，的中点，连接， 则且，， 故， 因为面面，面面，面， 所以面， 因为面，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以， 则即为侧面QBC与底面所成二面角的平面角， 设，则，故， 所以， 即侧面QBC与底面所成二面角的余弦值为； （3）当面时，平面平面，证明如下： 如图，连接交于点，连接， 因为底面是正方形，所以， 由（2）得面， 因为面，所以， 因为面时，，所以， 又平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面， 因为，所以， 因为，所以， 所以在棱QC上是否存在点N，当时，平面平面AMC.    【点睛】方法点睛：求二面角常用的方法： （1）几何法：二面角的大小常用它的平面角来度量，平面角的作法常见的有： ①定义法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性质； （2）空间向量法：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求二面角是锐角还是钝角. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$