第05讲 有理数的乘法和除法（暑假预习讲义）新七年级数学新教材湘教版

第05讲 有理数的乘法和除法 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型 1 两个有理数相乘 题型 2 多个有理数相乘 题型 3 倒数 题型 4 运用乘法运算律进行简便计算 题型 5 有理数的除法 题型 6 有理数的乘除混合运算 题型 7 有理数乘除法与数轴的综合 题型 8 有理数乘除法与相反数、倒数、绝对值的综合 题型 9有理数乘除法在实际生活中的应用 题型 10 有理数乘除法的程序计算题 题型 11 有理数乘除法的新定义运算问题 题型 12 有理数乘除法材料阅读问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩 关键词 学习目标导航 有理数乘法法则、倒数、多个有理数相乘符号规律、乘法交换 / 结合 / 分配律、有理数除法、 1.掌握两数相乘法则，能判断积的符号并计算乘积；理解倒数概念，会求非 0 有理数的倒数。 2.掌握多个有理数相乘符号判定方法：负因数个数决定积的正负。 3.熟练运用乘法三条运算律进行简便计算。 4.掌握除法法则，将除法转化为乘法计算，能完成乘除混合运算。 学习重点：有理数乘、除法运算法则；倒数概念、乘法分配律简便运算。 学习难点：多个负因数相乘时符号判断；乘法分配律的逆用、含分数小数的乘除混合简便运算。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 有理数的乘法 ◆有理数的乘法法则： 1. 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.． 2．任何数同 0 相乘，都得 0. ◆有理数乘法的求解步骤: (1)确定积的符号； (2)确定积的绝对值． 【注意】在进行有理数乘法运算时，首先判断两个因数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定积的符号，在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”． 即时即练计算（﹣1）×（）的结果是（　　） A．1 B．﹣1 C． D． 【分析】先把假分数化为带分数，再确定积的符号，最后按分数的乘法法则求值． 【详解】解：原式1． 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数的乘法，掌握有理数的乘法法则是解决本题的关键． 知识点02 倒数 ◆倒数:乘积是 1 的两个数互为倒数． 一般地，a•1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是． ◆方法指引： ①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的． ②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同． 【注意】 倒数是两个数之间的一种关系，其中一个数叫另一个数的倒数，单独一个数不能称其为倒数． 即时即练下列说法正确的是（　　） A．2的倒数是﹣2 B．3的相反数是 C．绝对值最小的数是1 D．0的相反数是0 【分析】乘积是1的两数互为倒数，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，有理数的绝对值都是非负数，由此即可得到答案． 【详解】解：A、2的倒数是，故A不符合题意； B、3的相反数是﹣3，故B不符合题意； C、绝对值最小的数是0，故C不符合题意； D、0的相反数是0，正确，故D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查倒数，相反数，绝对值，关键是掌握倒数、相反数的定义，绝对值的意义． 知识点03多个有理数的乘法 ◆几个不等于零的数相乘 几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定． 当负因数有奇数个时，积为负； 当负因数有偶数个时，积为正． ◆几个数相乘，如果其中有因数为 0，积等于0. 即时即练如果四个数的积为负数，其中有两个数异号，则另外两个数（　　） A．一定都是正数 B．一定都是负数 C．一定也异号 D．一定同号 【分析】根据有理数的乘法法则即可确定另外两个数的符号． 【详解】解：∵四个数的积为负数，其中有两个数异号， ∴①两个数异号，另外两个数都是正数，则四个数的积为负数， ②两个数异号，另外两个数都是负数，则四个数的积为负数， ∴另外两个数一定是同号， 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的乘法，正数和负数，掌握有理数的乘法法则是解决问题的关键． 知识点04有理数的乘法运算律 ◆1、有理数的乘法交换律： 两个数相乘，交换两个因数的位置，积相等. 即a b = b a. ◆2、有理数的乘法结合律： 三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积相等. 用字母表示为：(a b) c = a (b c). 【注意】用字母表示乘数时，“×”号可以写成“·”或省略，如 a×b 可以写成 a·b 或 ab. ◆3、有理数的乘法分配律： 一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加. 用字母表示为：a(b+c) = a b +ac 即时即练运用运算律填空． （1）﹣2×（﹣3）＝（﹣3）×（　 　）． （2）[（﹣3）×2]×（﹣4）＝（﹣3）×[（　 　）×（　 ）]． （3）（﹣5）×[（﹣2）+（﹣3）]＝（﹣5）×（　 　）+（　 　）×（﹣3）． 【分析】（1）根据乘法交换律即可得出结果； （2）根据乘法结合律即可得出结果； （3）根据乘法分配律即可得出结果． 【详解】解：（1）∵ab＝ba， ∴﹣2×（﹣3）＝（﹣3）×（﹣2）， 故答案为：﹣2； （2）∵（ab）c＝a（bc）， ∴[（﹣3）×2]×（﹣4）＝（﹣3）×[（ 2）×（﹣4）]， 故答案为：2，﹣4； （3）∵a（b+c）＝ab+ac， ∴（﹣5）×[（﹣2）+（﹣3）]＝（﹣5）×（﹣2）+（﹣5）×（﹣3）， 故答案为：﹣2，﹣5． 知识点05有理数的除法 ◆1、有理数的除法法则： 有理数除法法则（一）： 除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数. 用字母表示为：a÷b=a·(b≠0)； 有理数除法法则（二）： 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 0除以任何一个不等于0的数，都得0. ◆2、方法指引： ①能整除时，将商的符号确定后，直接将绝对值相除； ②不能整除时，将除数变为它的倒数，再用乘法计算； ◆3、有理数的乘除混合运算： 乘除混合运算往往先将除法化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果（乘除混合运算按从左到右的顺序进行计算） 即时即练计算的结果为（　　） A． B． C．18 D．﹣18 【答案】D． 【分析】根据有理数的除法运算即可求出答案． 【详解】解：原式＝﹣9×2 ＝﹣18． 故选：D． 【点睛】本题考查有理数的除法，正确掌握运算法则是解题的关键． 知识点06有理数的乘除混合运算 ◆有理数的乘除混合运算 在只有有理数的来法和除法运算时，如果没有括号，则按照从左到右的序依次计算，并可以把除法转化为乘法，然后再按照柔法法则进行计算;如果有括号，就先做括号内的运算 即时即练计算： ①； ②． 【分析】①利用有理数的乘法法则原式即可； ②将有理数的除法转化成乘法后，利用有理数的乘法法则原式即可． 【详解】解：①原式＝5×6 ＝6； ②原式＝﹣9×（﹣10）×（） ＝﹣9 ＝﹣25． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘、除法，正确利用有理数的乘除法则运算是解题的关键． 题型1 两个有理数相乘 【例1】若，5，这三个数的积是一个负数，则的值可以是（ ） A．15 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查了多个有理数相乘的乘法法则，熟练掌握有理数的乘法法则是解此题的关键． 根据多个数相乘法则：积的符号由负因数的个数决定，负因数是奇数个时积为负，即可得出答案． 【详解】解： ，，这三个数的积是一个负数， 只能是正数，即 的值可以是 故选：A． 【技巧归纳】 1. 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.． 2．任何数同 0 相乘，都得 0. 【变式1-1】（25-26七年级上·湖南长沙·期中）在，，，中，任取两个数相乘，所得的积中最大的是（   ） A．15 B．35 C． D．28 【答案】D 【分析】本题主要考查的是有理数的乘法，以及有理数大小的比较，熟练掌握运算法则是解题的关键；找出两个数字，使得其乘积最大即可． 【详解】解：∵同号相乘得正，异号相乘得负，且正数大于负数， ∴最大积应来自两个同号数相乘； ∴ ； ∴所得积中最大的是28； 故选：D. 【变式1-2】已知，则a ________b（填“”“”“”号）． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘法计算，有理数的大小比较，掌握有理数的乘法法则和正数负数是解题关键．根据有理数的乘法法则可确定，，再根据正数负数解答即可． 【详解】解：因为， ， 所以． 故答案为：． 【变式1-3】（24-25七年级上·湖南株洲·期末）如图，小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各题； (1)若从中抽出2张卡片，且这2个数字的差最小，应如何抽取？最小值是多少？ (2)若从中抽出2张卡片，且这2个数字的积最大，应如何抽取？最大值是多少？ 【答案】(1)抽取的2张卡片是、6，差的最小值是 (2)抽取的2张卡片是、，它们积最大，最大值是 【分析】（1）先将数排大小得，抽取最大数，最小数，且计算最小数与最大数的差，此时2个数字的差最小解答即可． （2）抽取同号两数，计算积比较解答即可． 本题考查了数的大小比较，有理数的减法，有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得，最大数是6，最小数是， 故差的最小值是：． 故抽取的2张卡片是、6，差的最小值是． （2）解：根据题意，得， 同号数组为3，6，积为； 同号数组为，，积为；同号数组为，，积为；同号数组为，，积为；又， 故抽取的2张卡片是、，它们积最大，最大值是． 题型2 多个有理数相乘 【例2】绝对值不大于的所有整数的积等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的定义和有理数的乘法法则，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据绝对值的定义和有理数的乘法法则解答即可． 【详解】解：绝对值不大于的整数有：、、、、、、， 则绝对值不大于的所有整数的积等于， 故选：B． 【技巧归纳】 多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 【变式2-1】（23-24七年级上·吉林长春·期中）下列式子中，积的符号为负的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据有理数乘法的运算法则，几个非0的有理数的乘法，积的符号由因数中负号的个数决定，奇负偶正，进行判断即可． 【详解】解：A、原式有2个负号，积的符号为正，不符合题意； B、原式有4个负号，积的符号为正，不符合题意； C、原式有一个因数为0，故积为0，不符合题意； D、原式有3个负号，积的符号为负，符合题意； 故选D． 【变式2-2】（24-25七年级上·湖南衡阳·阶段检测）计算：=______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法运算． 根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式2-3】已知六个数：，，，，，； (1)在数轴上表示这六个数； (2)求这六个数中所有非负数的乘积． 【答案】(1)数轴见解析 (2)0 【分析】本题考查有理数的运算，熟练掌握绝对值的定义、正负数的定义是解题的关键． （1）正数在原点右侧，负数在原点左侧，先化简各数，再在数轴上表示出来即可； （2）由（1）数轴可知，非负数有，，，，再求出乘积即可． 【详解】（1）解：，， 各数在数轴上表示为： （2）解：非负数有：，，，， 则所有非负数的乘积为：． 题型3倒数 【例3】两个有理数之积是1，已知一个数是，则另一个数是　 　． 【答案】． 【分析】两个有理数之积是1，则这两个有理数互为倒数，本题即求的倒数． 【详解】解：∵（）＝1， ∴的倒数是． 答：另一个数是． 【点睛】倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数． 【技巧归纳】 1、乘积是 1 的两个数互为倒数． 2、求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一． 3、求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置． 【变式3-1】（2026·四川凉山·中考真题）2026的倒数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】乘积为的两个数互为倒数. 【详解】解：， 的倒数是. 【变式3-2】（25-26七年级下·湖南郴州·开学考试）一个数的倒数是，那么这个数的相反数是（   ） A． B． C． D．2025 【答案】C 【分析】先根据倒数定义求出原数，再根据相反数定义“只有符号不同的两个数互为相反数”得到结果． 【详解】解：∵该数的倒数是， ∴ 这个数为， ∴ 2025的相反数是． 【变式3-3】（25-26七年级上·湖南株洲·期末）的倒数是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查倒数的概念，乘积为1的两个数互为倒数，0没有倒数，将带分数化为假分数，再根据倒数定义求解． 【详解】解：， ∵， ∴的倒数是，即的倒数是， 故答案为：． 题型4 运用乘法运算律进行简便计算 【例4】在中，运用了（   ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．分配律 D．乘法交换律和乘法结合律 【答案】D 【分析】本题考查了乘法的运算律，熟练掌握乘法交换律和乘法结合律是解答本题的关键，根据算式结合乘法运算律判断即可． 【详解】解：在中，运用了乘法交换律和乘法结合律， 故选：D． 【技巧归纳】 在有理数的范围内，运用乘法的的交换律、结合律和分配律可以简化计算. （1）乘法交换律：两个有理数相乘，交换因数的位置，积不变. 用字母表示为：ab＝ba. （2）乘法结合律：对于三个有理数相乘，可以先把前面两个数相乘，再把结果与第三个数相乘；或者先把后两个数相乘，再把第一个数与所得结果相乘，积不变. 用字母表示为：(ab)c=a(bc). （3）乘法对加法的分配律：一个有理数与两个有理数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加.用字母表示为：a(b＋c)＝ab＋ac 【变式4-1】（24-25七年级上·全国·课后作业）下列各式运用运算律不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律，根据有理数的乘法运算律进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D 【变式4-2】请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算： 利用运算律有时能进行简便计算． 例1：； 例2：． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)99900 【分析】本题考查有理数乘法分配律． （1）将999写作，然后使用乘法分配律进行计算使得计算简便； （2）使用乘法分配律使得计算简便． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式4-3】（25-26七年级上·湖南永州·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查有理数的乘法运算，根据有理数的乘法运算法则以及运算律进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： （4）解： 题型5 有理数的除法 【例5】（25-26七年级上·湖南长沙·阶段检测）化简后的值为（    ） A．9 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是化简多重符号及分数的约分，根据相反数的定义化简后再约分即可． 【详解】解：化简后的值为， 故选：C． 【技巧归纳】 1、能整除时，将商的符号确定后，直接将绝对值相除； 2、不能整除时，将除数变为它的倒数，再用乘法计算； 【变式5-1】在﹣1，2，﹣3，5这四个数中，任意取两个数相除，其中最小的商是　 　． 【答案】﹣5． 【分析】两个数相除，同号得正，异号得负，且正数大于一切负数，即可解答． 【详解】解：5÷（﹣1）＝﹣5． 故答案为：﹣5． 【点睛】本题考查了有理数的除法，解决本题的根据是熟记两个数相除，同号得正，异号得负． 【变式5-2】若a+b＜0，0，则下列成立的是（　　） A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＜0 D．a＜0，b＞0 【答案】C． 【分析】利用有理数的加法与除法法则判断即可． 【详解】解：∵a+b＜0，0， ∴a与b同号，且同时为负数， 则a＜0，b＜0， 故选：C． 【点睛】此题考查了有理数的除法，以及有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式5-3】化简下列分数： （1）； （2）； （3）； （4）． 【分析】两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，依此即可求解． 【详解】解：（1）2； （2）； （3）4.5； （4）． 【点睛】本题考查了有理数的除法，有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分． 题型6 有理数的乘除混合运算 【例6】（25-26七年级上·湖南郴州·期中）计算的结果是（   ） A． B．4 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算，除法变乘法，进行约分计算即可． 【详解】解：； 故选A． 【技巧归纳】 (1) 有理数除法化为有理数乘法以后，可以利用有理数乘法的运算律简化运算； (2) 乘除混合运算往往先将除法化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果 (乘除混合运算按从左到右的顺序进行计算). 【变式6-1】（24-25七年级上·山东菏泽·期末）计算：________． 【答案】 / 【分析】本题考查了有理数的乘除运算法则． 根据有理数的乘除运算法则，从左到右依次计算，将除法转化为乘法运算，并注意符号规则． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式6-2】（2025七年级上·全国·专题练习）计算下列各题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先将带分数化为假分数，再将除法转化成乘法运算即可； （2）先将带分数化为假分数，再将除法转化成乘法运算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）原式 ． 【变式6-3】计算： (1)． (2). (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)2994 【分析】本题主要考查有理数的乘除混合运算，熟练掌握相关运算是解答的关键． （1）先将除法转化为乘法，再利用乘法运算法则求解即可； （2）先计算括号内的乘法，再利用除法运算法则求解即可； （3）先将小数化为分数，除法转化为乘法，再利用乘法运算法则求解即可； （4）先将原算式化为，再利用乘法分配律去掉括号，再利用乘法和减法运算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 题型7有理数乘除法与数轴的综合 【例7】（25-26九年级下·湖南长沙·期中）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴上点的位置得到，，进而推出，，由此即可得到答案． 【详解】解：由数轴，得 ，，故A错误，B正确， ∴，，故C，D错误． 【技巧归纳】 有理数乘除法与数轴的综合主要是根据数轴的意义和有理数的乘除法法则即可解决问题. 【变式7-1】（24-25七年级上·湖南益阳·期中）已知a，b，c三个数在数轴上对应的点的位置如图所示：有下列各式：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】先根据数轴判断数的大小关系，再判断式子的符号即可． 【详解】解：由数轴可知：， ∴，，， ∴； 综上，只有④正确，共1个． 【变式7-2】（25-26七年级下·湖南衡阳·开学考试）如图，数轴上的点分别表示数．下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴确定数的正负性与绝对值大小关系：由数轴可得，且．接下来根据有理数的加减乘除运算法则，逐一分析每个选项的正误即可． 【详解】解：由数轴可知，，且． 选项A：∵， ∴，故A选项正确； 选项B：∵，，， ∴，故B选项正确； 选项C：∵，，且， ∴，故C选项正确； 选项D：∵，， ∴，故D选项错误． 综上，结论错误的是D选项． 【变式7-3】（24-25七年级上·湖南长沙·期中）已知，，三点在数轴上如图所示，它们表示的数分别是，，． (1)____，____，____（填“”“”或“”）； (2)求代数式的值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）由图可知：，，，且，然后根据有理数的加法法则、乘法法则和除法法则逐个式子进行判断即可； （2）由图可知：，，于是可得，进而可得，，，代入原式即可得出答案． 【详解】（1）解：由图可知：，，，且， ， ， ， 故答案为：，，； （2）解：由图可知：，， ， ，，， ． 【点睛】本题主要考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，有理数的加法法则，有理数的乘法法则，有理数的除法法则，化简绝对值，代数式求值等知识点，运用数形结合思想是解题的关键． 题型8 有理数乘除法与相反数、倒数、绝对值的综合 【例8】（23-24七年级上·河南平顶山·阶段检测）已知，，且，则的值为（    ） A．0 B．0或1 C．0或或1 D．0或1或 【答案】A 【分析】本题主要考查代数式求值问题，利用绝对值的基本性质，以及正数与负数的性质，便得所求结果．可由已知，三个数中有两个正数，一个负数，故可得，，进而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴得三个数中有两个正数，一个负数， ∴，且， 故得． 故选：A． 【技巧归纳】 此类题考查了有理数的乘法，有理数的除法，相反数的性质、绝对值的性质，倒数的定义，熟记运算法则是解题的关键，难点在于绝对值的化简要分情况讨论． 【变式8-1】若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值等于5. (1)填空：__________；__________；__________； (2)求的值． 【答案】(1)0；1； (2)或 【分析】本题考查了有理数的相反数、倒数和绝对值以及代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据相反数的定义、倒数的定义和绝对值的定义解答； （2）把（1）的结果代入求解即可，注意分类． 【详解】（1）解： 、互为相反数，、互为倒数，的绝对值等于． ，，， 故答案为：0；1；； （2）解：当时， ， ， ； 当时， ， ， ； 综上，原式的值为或． 【变式8-2】（23-24七年级下·湖南湘潭·期中）已知、互为倒数，、互为相反数（、不为0），，根据已知条件请回答： (1)_____，_____，_____，_____； (2)求的值． 【答案】(1)，，，； (2) 【分析】本题考查了倒数、相反数、绝对值，有理数除法，代数式求值，掌握相关定义和运算法则是解题关键． （1）根据倒数、相反数、绝对值以及有理数除法法则求解即可； （2）将（1）所得式子值代入计算即可． 【详解】（1）解：、互为倒数，、互为相反数（、不为0），， ，，， ， ， 故答案为：，，，； （2）解： ， ． 【变式8-3】在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的【探究】． 【提出问题】 两个不为0的有理数a、b满足a、b同号，求的值． 【解决问题】 解：由a、b同号且都不为0可知a、b有两种可能；①a，b都是正数；②a，b都是负数． ①若a、b都是正数，即，，有，，则 ②若a、b都是负数，即，，有，，则，所以的值为2或． 【探究】 请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值； (3)已知，，求的值． 【答案】(1)0； (2)1或； (3)． 【分析】本题考查了阅读理解问题，涉及了绝对值、有理数的混合运算、分类讨论等，熟练掌握相关知识并能运用分类讨论思想是解题的关键． （1）由分2种情况讨论：①，；②，，分别求解即可； （2）由题意得：a，b，c三个有理数都为负数或其中一个为负数，另两个为正数．然后分情况讨论计算即可； （3）由，得，，，再根据得：a，b，c三个有理数中必然是一个为负数，另两个为正数．据此计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴①，；②，， 当，时，，，则； 当，时，，，则， 综上，的值为0； （2）∵，且a，b，c是有理数， ∴a，b，c三个有理数均为负数或其中一个为负数，另两个为正数， ①当a，b，c三个有理数均为负数时，即，，， ∴原式， ②当a，b，c中一个为负数，另两个为正数时，不妨设，，， ∴原式， 综上，的值为1或； （3）∵， ∴，，， ∴ ， ∵，，且a，b，c是有理数， ∴a，b，c中一个为负数，另两个为正数，不妨设，，， ∴原式， ∴的值为． 题型9有理数乘除法在实际生活中的应用 【例9】（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段检测）某同学上学时步行，回家时坐车，路上一共要用90分钟，若往返都坐车，全部行程只需30分钟，如果往返都步行，那么需要的时间是（    ）分钟． A．120 B．130 C．150 D．180 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是根据往返都坐车，全部行程只需30分钟，得出坐车去学校用15分钟；又上学时步行，回家时坐车，路上一共用90分钟，可得步行的时间，进而可求出结论． 【详解】解：∵往返都坐车，全部行程只需30分钟， ∴坐车去学校的时间为（分钟）， ∵上学时步行，回家时坐车，路上一共用90分钟， ∴步行上学的时间为（分钟）， 所以往返都步行的时间为（分钟）． 故选：C． 【技巧归纳】 用有理数的乘除法求解实际问题时，关键是审清题意，把实际问题转化成数学问题. 【变式9-1】（25-26七年级上·湖南长沙·自主招生）一件羊绒混纺大衣的标签上写着：“羊毛，羊绒．”这件羊绒大衣重克，制作这件羊绒大衣需要羊绒_____克． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘法应用，理解题意列出算式是解决问题的关键． 羊绒占大衣总重的，根据百分比的意义，用总重乘以羊绒的百分比即可求出羊绒的重量． 【详解】解：（克）． 故答案为：． 【变式9-2】（25-26七年级上·湖南·期末）一个粮库月日有存粮吨，从月日至月日，该粮库由汽车运送粮食进出情况如下表．记进库为正 日期 日 日 日 日 日 日 日 日 日 日 数量吨 (1)至月日运粮食结束时，仓库内存粮食多少吨 (2)若每吨粮食的运费为元，问这天共需运费多少元 【答案】(1)至月日运粮食结束时，仓库内存粮食吨 (2)共花运费元 【分析】本题考查了正数和负数，利用有理数的运算是解题关键． （1）用粮库存粮加上天的进出的变化量，进行计算即可得解； （2）求出天变化量的绝对值的和，再乘以3，计算即可得解． 【详解】（1）解：吨， 答：至月日运粮食结束时，仓库内存粮食吨； （2）解：吨， 元， 答：共花运费元． 【变式9-3】（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）岳阳楼区某中学积极倡导阳光体育运动，为提高中学生身体素质，举行了排球垫球比赛．如表为七年级某班50人参加排球垫球比赛的情况，若标准数量为每人垫球30个． 垫球个数与标准数量的差值 0 8 10 15 人数 5 16 11 5 9 4 (1)求这个班50人平均每人垫球多少个？ (2)规定垫球达到标准数量记0分，规定垫球超过标准数量，每多垫1个加2分；规定垫球未达到标准数量，每少垫1个，扣1分，求这个班垫球总共获得多少分？ 【答案】(1)这个班50人平均每人垫球31个 (2)这个班垫球总共获得240分 【分析】本题考查了有理数四则混合运算的应用，正确列出运算式子是解题关键． （1）根据表格求出这个班垫球的总数量，再除以这个班的总人数即可得； （2）根据得分规则，将扣的分、不得分、加的分进行列式求和，计算加减法与乘法即可得． 【详解】（1）解： （个）． 答：这个班50人平均每人垫球31个． （2）解： （分）． 答：这个班垫球总共获得240分． 题型10有理数乘除法的程序计算题 【例10】如图，是一个简单的数值运算程序，当输入x的值为时，则输出的数值为______． 【答案】6 【分析】本题考查了程序流程图中有理数四则混合运算，根据程序流程图中的运算法则代入数据进行求解即可． 【详解】解：当时， ， 故答案为：6． 【技巧归纳】 利用有理数的加减乘除混合运算解决程序计算题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序，根据程序列出算式解答即可． 【变式10-1】在计算机上可以设置运算程序，输入一组数据，计算机就会呈现运算结果，就好像是一个“数值转换机”．如图，是一个“数值转换机”，当输入x为2时，输出的结果是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算． 根据“数值转换机”的运算顺序计算即可． 【详解】解：当输入x为2时，输出的结果是． 故选：A． 【变式10-2】[新视角 程序计算题]如图是一个简单的数值运算程序图，当输入x的值为时，输出的数值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算，观察数值运算程序图，且结合输入x的值为，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵输入x的值为， ∴观察数值运算程序图，得， 故选：D 【变式10-3】如图是一个“数值转换机”，按下面的运算过程输入一个数，若输入的数，则输出的结果为（    ） A．11 B．21 C．31 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数混合运算顺序和运算法则，根据数值转换机列出对应算式． 把代入数值转换机中计算并判断与10的大小关系即可求出结果． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，， ∴输出， 故选：B． 题型11 有理数乘除法的新定义运算问题 【例11】若“！”是一种数学运算符号，并且，则的值为（　　） A． B． C．2450 D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了有理数的乘除法的运算方法，以及阶乘的含义和求法，要熟练掌握．根据阶乘的定义，，再代入计算即可． 【详解】解：． 故选：C． 新定义运算问题主要是运用题目中所给的新定义的运算方式进行计算即可，注意计算时的运算顺序，也是对有理数的混合运算的考查. 【变式11-1】（24-25七年级上·陕西西安·开学考试）如果规定符号“△”为选择两数中的较大的数，“⊙”为选择两数中较小的数，例如：，，那么( )． 【答案】25 【分析】本题主要考查了新定义运算，根据题干提供的信息列出算式，进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：25． 【变式11-2】规定a※b，例如2※3，则[2※（﹣5）]※4＝　 　． 【答案】﹣2.5 【分析】根据题意知道a※b等于，用此方法计算[2※（﹣5）]※4的值． 【解答】解：由题意可得：2※（﹣5）， ※4， 故答案为：﹣2.5 【点评】此题考查有理数的除法，关键是根据题意得出新的运算方法，再利用新的运算方法解决问题． 【变式11-3】（23-234七年级上·湖南永州·期末）已知有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是．如果，是的差倒数，是的差倒数，……，依次类推，那么的值是__________． 【答案】 【分析】根据差倒数的定义，求出的值，确定数字规律，进而求出的值． 【详解】解： 由题意，得：，， ， ∴每四个数一循环，， ∵， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查数字规律探究，有理数的乘法运算．理解并掌握差倒数，是解题的关键． 题型12有理数乘除法材料阅读问题 【例12】（25-26七年级上·湖南常德·期中）下面是乐乐同学进行有理数运算的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： ……第一步 …第二步 …第三步 ．…第四步 (1)填空：以上运算步骤中，第一步依据的运算律是________；第________步开始出现错误． (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)乘法分配律；二 (2) 【分析】本题考查了有理数的加减法和乘法，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据乘法分配律和去括号法则分析即可； （2）先根据乘法分配律展开，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解：以上运算步骤中，第一步依据的运算律是乘法分配律；第二步开始出现错误，错误的原因是计算时符号出现错误， 故答案为：乘法分配律；二； （2）解： ． 【技巧归纳】 材料阅读题要根据题中的材料来分析并解决问题，此题中是根据倒数法进行有理数的混合运算，有些含分数的数学问题直接求解比较麻烦，而若把分子、分母上下颠倒，则可立即找到突破口，这种解法称为倒数法，本题中先将被除数与除数的位置互换，先求其结果，再求出原式的结果. 【变式12-1】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）错题是最好的素材，识错和辨错能有效的检测我们的知识漏洞，纠错和改错则能培养我们严谨高阶的学科素养．请你仔细阅读以下的计算过程并完成相应任务． 计算：． 解：原式第一步 第二步 ．第三步 任务： (1)上面解题过程中，第________步开始就出现了错误，错误的原因是________； (2)把正确的解题过程写出来． 【答案】(1)一；较小的数减去较大的数，差是负数，而解答中的结果写成正的了 (2)解题过程见解析 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据乘除法的运算法则进行分析即可； （2）根据有理数混合运算法则即可求解． 【详解】（1）解： ， ∴原解题过程中，第一步出错，较小的数减去较大的数，差是负数，而解答中的结果写成正的了， 故答案为：一；较小的数减去较大的数，差是负数，而解答中的结果写成正的了； （2）解：原式 ． 【变式12-2】（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）有理数加减乘除混合计算，要注意运算律和运算法则的使用，下面是小马和小虎两位同学做的两道计算题： (1)小马做的计算题： (第一步) (第二步) (第三步)． 小马的计算是从第________ 步出错的； (2)小虎做的计算题： (第一步) (第二步) (第三步)． 小虎的计算是从第________ 步开始出错的； 请你把第（2）题正确的解题过程写出来． 【答案】(1)一 (2)一；正确解题过程见详解 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算的运算法则是解题的关键． （1）第一步运算错误，错误地使用了乘法分配律； （2）先算小括号，再算除法和乘法． 【详解】（1）解：∵ ， ∴小马的计算是从第一步出错的． （2）解：∵， ∴小虎的计算是从第一步出错的． 正确的解法：． 【变式12-3】（23-24七年级上·陕西宝鸡·期中）阅读下列材料： 计算：． 解法一：原式． 解法二：原式的倒数，所以原式． (1)上述两种解法得到的结果不同，你认为解法_____是正确的； (2)请你选择合适的解法计算：． 【答案】(1)二 (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数相关的运算法则和运算律． （1）根据除法没有分配律，即可判断解法一错误，解法二正确． （2）先求出倒数，再求原式的值． 【详解】（1）解：除法没有分配律，故解法一错误，解法二正确． 故答案为：二 （2）解：原式的倒数： 所以原式 1．生活情境·气温变化用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负，登山队攀登一座山峰，每登高气温的变化量为，攀登后，气温（　　） A．上升 B．下降 C．上升 D．下降 【答案】D 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数乘法的应用，分析得出变化量，再结合正负数的意义是解题的关键； 根据，表示为下降 ，气温变化用即可解答． 【详解】解：， 因为，上升为正，下降为负， 所以，攀登后，气温下降． 故选：D． 2．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）数a、b在数轴上表示的点如图所示，下列关于a、b的说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的符号法则，数轴上比较有理数大小、有理数的加法、减法、乘法法则等知识点，先利用数轴判断a、b的正负，再利用有理数的加法法则、乘法法则、减法法则得结论． 【详解】由数轴可知，，且 ，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； ， ，则，故D错误． 故选：B． 3．（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）数轴上A，B，C，D，E五个点所对应的数分别为a，b，c，d，e，则下列代数式为负数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查利用数轴比较大小，有理数的运算等知识， 根据数轴及有理数的运算法则判断式子的正负即可． 【详解】解：由数轴可知：， ，，，， 故选：A． 4．若，则的取值不可能是（   ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的性质以及有理数的乘法，能够正确将，的符号分类讨论，是解本题的关键． 根据，分两种情况进行讨论：①、同号；②、异号；然后根据绝对值的性质进行化简即可． 【详解】解：， ，， ①当、同号时，原式或原式； ②当、异号时，原式， 故的值不可能是， 故选B． 5．（25-26七年级上·湖南岳阳·阶段检测）有理数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列说法一定正确的是（　） ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则． A．①④ B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘法法则以及数轴的相关知识，解题的关键在于根据数轴判断出、、、的正负性． 依据有理数乘法法则“两数相乘，同号得正，异号得负”来判断各选项的正确性． 【详解】解：由数轴可知， ①若，说明、同号，所以， 故①正确， ②若，存在，，可得， 所以②错误， ③因为，异号两数相乘结果为负，则即， 所以③正确． ④若，因为，，可存在为，，即， 所以④错误． 故选：B． 6．（25-26七年级上·河北保定·阶段检测）下列说法： 的相反数是；如果一个数的绝对值大于另一个数的绝对值，那么这两个数的和可能是；两个正数中，较大数的倒数反而小；一个数和它的相反数可能相等； 若为正数， ，， 则，， ． 其中正确的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值的定义，倒数，以及有理数的乘法法则，根据相反数的定义可判断和；根据绝对值的定义可判断；根据倒数的定义可判断；根据多个有理数的乘法法则可判断；掌握相关知识的应用是解题的关键． 【详解】解： 的相反数是，正确； 如果一个数的绝对值大于另一个数的绝对值，那么这两个数的和不可能是，故不正确； 两个正数中，较大数的倒数反而小，正确； 一个数和它的相反数可能相等，正确； 若为正数，，，则，，，不正确； 综上可得：正确，共个， 故选：． 7．（25-26七年级上·湖南长沙·阶段检测）下列式子中，积的符号为负的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘法运算，根据有理数乘法的符号法则，同号为正，异号为负，积的符号由负号的个数决定，奇负偶正，进行判断即可． 【详解】解：A、有2个负号，积的符号为正，不符合题意； B、有3个负号，积的符号为负，符合题意； C、积为0，不符合题意； D、有4个负号，积的符号为正，不符合题意； 故选B． 8．有个有理数相乘，如果积为，那么在这个有理数中（　　） A．全部为 B．只有一个为 C．至少有一个为 D．有两个互为相反数 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘法，根据乘以任何数都等于即可求解，掌握有理数的乘法法则是解题的关键． 【详解】解：∵个有理数相乘，积是， ∴这个数中至少有一个数是， 故选：． 9．（24-25七年级上·四川宜宾·期末）在，，，这四个数中，任意取两个数相乘，所得的积最大是______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法，有理数大小比较，要使两个数相乘的积最大，应选择同号的两个数，因为同号得正，异号得负，正数大于负数．比较正数乘积和负数乘积的大小即可． 【详解】解：要使所得的积最大，两个数必定同号， ，， ， 任意取两个数相乘，所得的积最大是． 故答案为：． 10．已知，，且，则的值为______． 【答案】或 【分析】本题考查绝对值的概念，根据绝对值的定义进行分类讨论是解题关键． 根据绝对值的定义，x和y各有两种可能值，再根据确定x和y异号，从而得到两种组合，分别计算的值． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴，或，， ∴或． 故答案为：或． 11．（25-26七年级上·湖南长沙·阶段检测）规定符号的意义为：，那么___________． 【答案】 【分析】本题主要考查新定义下的实数运算，根据新定义进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 12．（2022七年级上·湖南张家界·竞赛）简便运算：________． 【答案】 【分析】根据积的变化规律，将各项变形得到相同公因数，再逆用乘法分配律计算即可． 【详解】解： ． 13．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合运算，掌握有理数的乘法和除法法则是解题的关键，注意运算顺序． （1）先将带分数化成假分数，再根据有理数的乘法法则和除法法则求解即可； （2）先将带分数化成假分数，再根据有理数的乘法法则和除法法则求解即可； （3）根据有理数的乘法法则和除法法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 14．（2024七年级上·湖南张家界·竞赛）李经理的司机每天早上7：30到达李经理家接他上班．有一天李经理7点从家步行去公司，路上遇到按时来接他的车，再乘车去公司，结果早到5分钟． (1)李经理什么时候遇上汽车的？ (2)汽车速度是李经理步行速度的几倍？ 【答案】(1) 7时27分30秒 (2) 11倍 【分析】(1)汽车早到5分钟，是因为省去了从相遇点到李经理家再返回相遇点的时间，所以汽车从相遇点到李经理家单程需要(分钟)，即2分30秒，可得相遇时间为7时27分30秒； (2)开车2分30秒的路程李经理走了 27分30秒， 可得车速是李经理步行速度的11倍． 【详解】（1）解：汽车从相遇点到李经理家单程需要：(分钟)， 司机原计划7:30到家，故相遇时间为 7时30分 分 时27分30秒． 答：李经理是7时27分30秒遇上汽车的； （2）解：李经理步行时间为 7时27分30秒 时 (分钟)， 汽车速度是李经理步行速度的：． 答：汽车速度是李经理步行速度的11倍． 15．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）有理数的混合运算，按照运算等级确定运算顺序，适当选用运算律可以使得运算更加简单． (1)下面是计算主要过程，请在如表的方框中选择与计算步骤对应的依据，并将它前面的序号填入相应的横线中． ①有理数加法法则；②加法交换律；③加法结合律；④分配律；⑤有理数乘法法则；⑥有理数除法法则． （依据：______） （依据：______） （依据：______） （依据：______） （依据：______） （依据：______） ． (2)请使用适当的运算律计算： 【答案】(1)⑥，④，⑤，②，③，① (2) 【分析】本题考查了有理数的运算法则． （1）根据有理数的运算法则，运算律解答即可； （2）将除法转化为乘法，根据乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： （依据：有理数的除法法则） （依据：分配律） （依据：有理数乘法法则） （依据：加法交换律） （依据：加法结合律） （依据：有理数加法法则） ． 故答案为：⑥，④，⑤，②，③，①； （2）解： ． 16．（25-26七年级上·湖南永州·阶段检测）材料分析题： 已知；；； 所以 根据上述材料回答下列问题： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的运算，解题的关键是根据题意发现规律进行解答． （1）观察阅读材料中的运算过程，得到拆项规律，将所求式子变形，计算即可得到结果． （2）观察阅读材料中的运算过程，得到拆项规律，将所求式子变形，计算即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2） ． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 有理数的乘法和除法 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型 1 两个有理数相乘 题型 2 多个有理数相乘 题型 3 倒数 题型 4 运用乘法运算律进行简便计算 题型 5 有理数的除法 题型 6 有理数的乘除混合运算 题型 7 有理数乘除法与数轴的综合 题型 8 有理数乘除法与相反数、倒数、绝对值的综合 题型 9有理数乘除法在实际生活中的应用 题型 10 有理数乘除法的程序计算题 题型 11 有理数乘除法的新定义运算问题 题型 12 有理数乘除法材料阅读问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩 关键词 学习目标导航 有理数乘法法则、倒数、多个有理数相乘符号规律、乘法交换 / 结合 / 分配律、有理数除法、 1.掌握两数相乘法则，能判断积的符号并计算乘积；理解倒数概念，会求非 0 有理数的倒数。 2.掌握多个有理数相乘符号判定方法：负因数个数决定积的正负。 3.熟练运用乘法三条运算律进行简便计算。 4.掌握除法法则，将除法转化为乘法计算，能完成乘除混合运算。 学习重点：有理数乘、除法运算法则；倒数概念、乘法分配律简便运算。 学习难点：多个负因数相乘时符号判断；乘法分配律的逆用、含分数小数的乘除混合简便运算。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 有理数的乘法 ◆有理数的乘法法则： 1. 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.． 2．任何数同 0 相乘，都得 0. ◆有理数乘法的求解步骤: (1)确定积的符号； (2)确定积的绝对值． 【注意】在进行有理数乘法运算时，首先判断两个因数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定积的符号，在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”． 即时即练计算（﹣1）×（）的结果是（　　） A．1 B．﹣1 C． D． 知识点02 倒数 ◆倒数:乘积是 1 的两个数互为倒数． 一般地，a•1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是． ◆方法指引： ①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的． ②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同． 【注意】 倒数是两个数之间的一种关系，其中一个数叫另一个数的倒数，单独一个数不能称其为倒数． 即时即练下列说法正确的是（　　） A．2的倒数是﹣2 B．3的相反数是 C．绝对值最小的数是1 D．0的相反数是0 知识点03多个有理数的乘法 ◆几个不等于零的数相乘 几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定． 当负因数有奇数个时，积为负； 当负因数有偶数个时，积为正． ◆几个数相乘，如果其中有因数为 0，积等于0. 即时即练如果四个数的积为负数，其中有两个数异号，则另外两个数（　　） A．一定都是正数 B．一定都是负数 C．一定也异号 D．一定同号 知识点04有理数的乘法运算律 ◆1、有理数的乘法交换律： 两个数相乘，交换两个因数的位置，积相等. 即a b = b a. ◆2、有理数的乘法结合律： 三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积相等. 用字母表示为：(a b) c = a (b c). 【注意】用字母表示乘数时，“×”号可以写成“·”或省略，如 a×b 可以写成 a·b 或 ab. ◆3、有理数的乘法分配律： 一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加. 用字母表示为：a(b+c) = a b +ac 即时即练运用运算律填空． （1）﹣2×（﹣3）＝（﹣3）×（　 　）． （2）[（﹣3）×2]×（﹣4）＝（﹣3）×[（　 　）×（　 ）]． （3）（﹣5）×[（﹣2）+（﹣3）]＝（﹣5）×（　 　）+（　 　）×（﹣3）． 知识点05有理数的除法 ◆1、有理数的除法法则： 有理数除法法则（一）： 除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数. 用字母表示为：a÷b=a·(b≠0)； 有理数除法法则（二）： 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 0除以任何一个不等于0的数，都得0. ◆2、方法指引： ①能整除时，将商的符号确定后，直接将绝对值相除； ②不能整除时，将除数变为它的倒数，再用乘法计算； ◆3、有理数的乘除混合运算： 乘除混合运算往往先将除法化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果（乘除混合运算按从左到右的顺序进行计算） 即时即练计算的结果为（　　） A． B． C．18 D．﹣18 知识点06有理数的乘除混合运算 ◆有理数的乘除混合运算 在只有有理数的来法和除法运算时，如果没有括号，则按照从左到右的序依次计算，并可以把除法转化为乘法，然后再按照柔法法则进行计算;如果有括号，就先做括号内的运算 即时即练计算： ①； ②． 题型1 两个有理数相乘 【例1】若，5，这三个数的积是一个负数，则的值可以是（ ） A．15 B． C．0 D． 【技巧归纳】 1. 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.． 2．任何数同 0 相乘，都得 0. 【变式1-1】（25-26七年级上·湖南长沙·期中）在，，，中，任取两个数相乘，所得的积中最大的是（   ） A．15 B．35 C． D．28 【变式1-2】已知，则a ________b（填“”“”“”号）． 【变式1-3】（24-25七年级上·湖南株洲·期末）如图，小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各题； (1)若从中抽出2张卡片，且这2个数字的差最小，应如何抽取？最小值是多少？ (2)若从中抽出2张卡片，且这2个数字的积最大，应如何抽取？最大值是多少？ 题型2 多个有理数相乘 【例2】绝对值不大于的所有整数的积等于（   ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 【变式2-1】（23-24七年级上·吉林长春·期中）下列式子中，积的符号为负的是（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25七年级上·湖南衡阳·阶段检测）计算：=______． 【变式2-3】已知六个数：，，，，，； (1)在数轴上表示这六个数； (2)求这六个数中所有非负数的乘积． 题型3倒数 【例3】两个有理数之积是1，已知一个数是，则另一个数是　 　 ． 【技巧归纳】 1、乘积是 1 的两个数互为倒数． 2、求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一． 3、求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置． 【变式3-1】（2026·四川凉山·中考真题）2026的倒数是（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26七年级下·湖南郴州·开学考试）一个数的倒数是，那么这个数的相反数是（   ） A． B． C． D．2025 【变式3-3】（25-26七年级上·湖南株洲·期末）的倒数是_____． 题型4 运用乘法运算律进行简便计算 【例4】在中，运用了（   ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．分配律 D．乘法交换律和乘法结合律 【技巧归纳】 在有理数的范围内，运用乘法的的交换律、结合律和分配律可以简化计算. （1）乘法交换律：两个有理数相乘，交换因数的位置，积不变. 用字母表示为：ab＝ba. （2）乘法结合律：对于三个有理数相乘，可以先把前面两个数相乘，再把结果与第三个数相乘；或者先把后两个数相乘，再把第一个数与所得结果相乘，积不变. 用字母表示为：(ab)c=a(bc). （3）乘法对加法的分配律：一个有理数与两个有理数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加.用字母表示为：a(b＋c)＝ab＋ac 【变式4-1】（24-25七年级上·全国·课后作业）下列各式运用运算律不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算： 利用运算律有时能进行简便计算． 例1：； 例2：． (1)； (2)． 【变式4-3】（25-26七年级上·湖南永州·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型5 有理数的除法 【例5】（25-26七年级上·湖南长沙·阶段检测）化简后的值为（    ） A．9 B． C． D． 【技巧归纳】 1、能整除时，将商的符号确定后，直接将绝对值相除； 2、不能整除时，将除数变为它的倒数，再用乘法计算； 【变式5-1】在﹣1，2，﹣3，5这四个数中，任意取两个数相除，其中最小的商是　 　． 【变式5-2】若a+b＜0，0，则下列成立的是（　　） A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＜0 D．a＜0，b＞0 【变式5-3】化简下列分数： （1）； （2）； （3）； （4）． 题型6 有理数的乘除混合运算 【例6】（25-26七年级上·湖南郴州·期中）计算的结果是（   ） A． B．4 C．1 D． 【技巧归纳】 (1) 有理数除法化为有理数乘法以后，可以利用有理数乘法的运算律简化运算； (2) 乘除混合运算往往先将除法化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果 (乘除混合运算按从左到右的顺序进行计算). 【变式6-1】（24-25七年级上·山东菏泽·期末）计算：________． 【变式6-2】（2025七年级上·全国·专题练习）计算下列各题： (1)； (2)． 【变式6-3】计算： (1)． (2). (3)． (4)． 题型7有理数乘除法与数轴的综合 【例7】（25-26九年级下·湖南长沙·期中）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 有理数乘除法与数轴的综合主要是根据数轴的意义和有理数的乘除法法则即可解决问题. 【变式7-1】（24-25七年级上·湖南益阳·期中）已知a，b，c三个数在数轴上对应的点的位置如图所示：有下列各式：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式7-2】（25-26七年级下·湖南衡阳·开学考试）如图，数轴上的点分别表示数．下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（24-25七年级上·湖南长沙·期中）已知，，三点在数轴上如图所示，它们表示的数分别是，，． (1)____，____，____（填“”“”或“”）； (2)求代数式的值． 题型8 有理数乘除法与相反数、倒数、绝对值的综合 【例8】（23-24七年级上·河南平顶山·阶段检测）已知，，且，则的值为（    ） A．0 B．0或1 C．0或或1 D．0或1或 【技巧归纳】 此类题考查了有理数的乘法，有理数的除法，相反数的性质、绝对值的性质，倒数的定义，熟记运算法则是解题的关键，难点在于绝对值的化简要分情况讨论． 【变式8-1】若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值等于5. (1)填空：__________；__________；__________； (2)求的值． 【变式8-2】（23-24七年级下·湖南湘潭·期中）已知、互为倒数，、互为相反数（、不为0），，根据已知条件请回答： (1)_____，_____，_____，_____； (2)求的值． 【变式8-3】在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的【探究】． 【提出问题】 两个不为0的有理数a、b满足a、b同号，求的值． 【解决问题】 解：由a、b同号且都不为0可知a、b有两种可能；①a，b都是正数；②a，b都是负数． ①若a、b都是正数，即，，有，，则 ②若a、b都是负数，即，，有，，则，所以的值为2或． 【探究】 请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值； (3)已知，，求的值． 题型9有理数乘除法在实际生活中的应用 【例9】（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段检测）某同学上学时步行，回家时坐车，路上一共要用90分钟，若往返都坐车，全部行程只需30分钟，如果往返都步行，那么需要的时间是（    ）分钟． A．120 B．130 C．150 D．180 【技巧归纳】 用有理数的乘除法求解实际问题时，关键是审清题意，把实际问题转化成数学问题. 【变式9-1】（25-26七年级上·湖南长沙·自主招生）一件羊绒混纺大衣的标签上写着：“羊毛，羊绒．”这件羊绒大衣重克，制作这件羊绒大衣需要羊绒_____克． 【变式9-2】（25-26七年级上·湖南·期末）一个粮库月日有存粮吨，从月日至月日，该粮库由汽车运送粮食进出情况如下表．记进库为正 日期 日 日 日 日 日 日 日 日 日 日 数量吨 (1)至月日运粮食结束时，仓库内存粮食多少吨 (2)若每吨粮食的运费为元，问这天共需运费多少元 【变式9-3】（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）岳阳楼区某中学积极倡导阳光体育运动，为提高中学生身体素质，举行了排球垫球比赛．如表为七年级某班50人参加排球垫球比赛的情况，若标准数量为每人垫球30个． 垫球个数与标准数量的差值 0 8 10 15 人数 5 16 11 5 9 4 (1)求这个班50人平均每人垫球多少个？ (2)规定垫球达到标准数量记0分，规定垫球超过标准数量，每多垫1个加2分；规定垫球未达到标准数量，每少垫1个，扣1分，求这个班垫球总共获得多少分？ 题型10有理数乘除法的程序计算题 【例10】如图，是一个简单的数值运算程序，当输入x的值为时，则输出的数值为______． 【技巧归纳】 利用有理数的加减乘除混合运算解决程序计算题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序，根据程序列出算式解答即可． 【变式10-1】在计算机上可以设置运算程序，输入一组数据，计算机就会呈现运算结果，就好像是一个“数值转换机”．如图，是一个“数值转换机”，当输入x为2时，输出的结果是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式10-2】[新视角 程序计算题]如图是一个简单的数值运算程序图，当输入x的值为时，输出的数值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式10-3】如图是一个“数值转换机”，按下面的运算过程输入一个数，若输入的数，则输出的结果为（    ） A．11 B．21 C．31 D． 题型11 有理数乘除法的新定义运算问题 【例11】若“！”是一种数学运算符号，并且，则的值为（　　） A． B． C．2450 D． 新定义运算问题主要是运用题目中所给的新定义的运算方式进行计算即可，注意计算时的运算顺序，也是对有理数的混合运算的考查. 【变式11-1】（24-25七年级上·陕西西安·开学考试）如果规定符号“△”为选择两数中的较大的数，“⊙”为选择两数中较小的数，例如：，，那么( )． 【变式11-2】规定a※b，例如2※3，则[2※（﹣5）]※4＝　 　． 【变式11-3】（23-234七年级上·湖南永州·期末）已知有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是．如果，是的差倒数，是的差倒数，……，依次类推，那么的值是__________． 题型12有理数乘除法材料阅读问题 【例12】（25-26七年级上·湖南常德·期中）下面是乐乐同学进行有理数运算的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： ……第一步 …第二步 …第三步 ．…第四步 (1)填空：以上运算步骤中，第一步依据的运算律是________；第________步开始出现错误． (2)请写出正确的解答过程． 【技巧归纳】 材料阅读题要根据题中的材料来分析并解决问题，此题中是根据倒数法进行有理数的混合运算，有些含分数的数学问题直接求解比较麻烦，而若把分子、分母上下颠倒，则可立即找到突破口，这种解法称为倒数法，本题中先将被除数与除数的位置互换，先求其结果，再求出原式的结果. 【变式12-1】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）错题是最好的素材，识错和辨错能有效的检测我们的知识漏洞，纠错和改错则能培养我们严谨高阶的学科素养．请你仔细阅读以下的计算过程并完成相应任务． 计算：． 解：原式第一步 第二步 ．第三步 任务： (1)上面解题过程中，第________步开始就出现了错误，错误的原因是________； (2)把正确的解题过程写出来． 【变式12-2】（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）有理数加减乘除混合计算，要注意运算律和运算法则的使用，下面是小马和小虎两位同学做的两道计算题： (1)小马做的计算题： (第一步) (第二步) (第三步)． 小马的计算是从第________ 步出错的； (2)小虎做的计算题： (第一步) (第二步) (第三步)． 小虎的计算是从第________ 步开始出错的； 请你把第（2）题正确的解题过程写出来． 【变式12-3】（23-24七年级上·陕西宝鸡·期中）阅读下列材料： 计算：． 解法一：原式． 解法二：原式的倒数，所以原式． (1)上述两种解法得到的结果不同，你认为解法_____是正确的； (2)请你选择合适的解法计算：． 1．生活情境·气温变化用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负，登山队攀登一座山峰，每登高气温的变化量为，攀登后，气温（　　） A．上升 B．下降 C．上升 D．下降 2．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）数a、b在数轴上表示的点如图所示，下列关于a、b的说法正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）数轴上A，B，C，D，E五个点所对应的数分别为a，b，c，d，e，则下列代数式为负数的是（   ） A． B． C． D． 4．若，则的取值不可能是（   ） A．0 B．1 C．2 D． 5．（25-26七年级上·湖南岳阳·阶段检测）有理数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列说法一定正确的是（　） ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则． A．①④ B．①③ C．②③ D．②④ 6．（25-26七年级上·河北保定·阶段检测）下列说法： 的相反数是；如果一个数的绝对值大于另一个数的绝对值，那么这两个数的和可能是；两个正数中，较大数的倒数反而小；一个数和它的相反数可能相等； 若为正数， ，， 则，， ． 其中正确的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 7．（25-26七年级上·湖南长沙·阶段检测）下列式子中，积的符号为负的是（   ） A． B． C． D． 8．有个有理数相乘，如果积为，那么在这个有理数中（　　） A．全部为 B．只有一个为 C．至少有一个为 D．有两个互为相反数 9．（24-25七年级上·四川宜宾·期末）在，，，这四个数中，任意取两个数相乘，所得的积最大是______． 10．已知，，且，则的值为______． 11．（25-26七年级上·湖南长沙·阶段检测）规定符号的意义为：，那么___________． 12．（2022七年级上·湖南张家界·竞赛）简便运算：________． 13．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 14．（2024七年级上·湖南张家界·竞赛）李经理的司机每天早上7：30到达李经理家接他上班．有一天李经理7点从家步行去公司，路上遇到按时来接他的车，再乘车去公司，结果早到5分钟． (1)李经理什么时候遇上汽车的？ (2)汽车速度是李经理步行速度的几倍？ 15．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）有理数的混合运算，按照运算等级确定运算顺序，适当选用运算律可以使得运算更加简单． (1)下面是计算主要过程，请在如表的方框中选择与计算步骤对应的依据，并将它前面的序号填入相应的横线中． ①有理数加法法则；②加法交换律；③加法结合律；④分配律；⑤有理数乘法法则；⑥有理数除法法则． （依据：______） （依据：______） （依据：______） （依据：______） （依据：______） （依据：______） ． (2)请使用适当的运算律计算： 16．（25-26七年级上·湖南永州·阶段检测）材料分析题： 已知；；； 所以 根据上述材料回答下列问题： (1) (2) 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $