【第一章 有理数 06讲 有理数的乘方】暑假小升初衔接讲义2025-2026学年七年级上册数学（新版湘教版专用）

第一章 有理数 06讲 有理数的乘方 目录 【知识点1. 有理数的乘方】…………………………………………………………… 1 【知识点2. 整数指数幂的符号规律】………………………………………………… 3 【知识点3. 科学记数法】……………………………………………………………… 4 【题型1. 有理数幂的概念理解】……………………………………………………… 5 【题型2. 有理数的乘方运算】………………………………………………………… 5 【题型3. 有理数乘方的逆运算】……………………………………………………… 6 【题型4. 乘方运算的符号规律】……………………………………………………… 7 【题型5. 乘方的应用】………………………………………………………………… 8 【题型6. 科学记数法】………………………………………………………………… 11 【题型7. 将科学记数法变回原数】…………………………………………………… 12 【课后作业】……………………………………………………………………………… 13 知识清单 1、有理数的乘方 ：一般地，a是有理数，n是正整数，则把简记为，n个a 即规定，其中，读作“a的n次方”或“a的n次幂”.n个a 乘方的概念：个相同因数的乘积的运算，叫做乘方.在中，叫做底数，叫做指数. 底数 指数 幂 注意：①乘方运算中的“1次方”通常把“1”省略，但不代表没有； ②乘方运算，代表的是多个相同乘数相乘，要与乘法运算区分开来； ③在运算时要注意看清楚底数和指数到底是谁； ④带分数的乘方运算，一定要先化成假分数后再运算。 巩固基础 1. 计算 知识清单 2、整数指数幂的符号规律 1）正数的任何正整数次幂都是正数； 2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，即“奇负偶正”； 3）0的任何正整数次幂都是0； 4）除0以外的任何数的“0次幂”结果为1。 巩固基础 1．当时，下列各式成立的有（　　） ①；②；③；④． A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④ 2．若 ，则一定有（   ） A． B． C． D． 3．如果一个有理数的奇次幂是正数，那么这个有理数（　　） A．一定是正数 B．是正数或负数 C．一定是负数 D．可以是任意有理数 4．下列计算各式中错误的是（　　） A． B． C． D． 5．通过计算器计算发现：，，……，按照以上的规律计算的结果是（    ） A．123454321 B．1234564321 C．1234567654321 D．123456787654321 6．当时，下列式子：①；②；③；④中，成立的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 知识清单 3、科学记数法：把一个大于（小于－10）的数记作的形式（其中，或，是正整数），这种记数法就是科学记数法． 如：340000000=3.4×108，－567000000=－5.67×108 注意：1）a的确定——所有数字照抄并写成一位整数的数，负数要保留前面的符号； 2）n的确定——计算小数点移动的位数，向左n为正，向右为负，对于大于10的数，n比整数位数少1，小于1的数，|n|等于第一个非0数字前0的个数。 巩固基础 1．2024年，模型发布，爆火全球，据AI数据统计，截止到2025年2月9日，该应用的下载量超过1.1亿次，周活跃用户达到了9700万．其中数据“9700万”用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 2．全国家电以旧换新活动如火如荼地进行，截至2024年12月24日有2963.8万消费者购买了8大类家电产品约4590万台．数据4590万用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．习近平同志在二十大报告中指出：全面建设社会主义现代化国家，最艰巨最繁重的任务仍然在农村，我国现有农村人口约为5.09亿人，将509000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 4．截至2025年3月25日，中国国家博物馆文创凤冠冰箱贴累计销量突破件，带动凤冠全系列产品销售额跨越亿元．用科学记数法表示的数原来是（ ） A．100000 B．1000000 C．10000000 D．0.000001 5．我国渤海、黄海、东海、南海海水含有不少化学元素，其中铝、锰元素总量均约为吨，则铝、锰元素总量的和约为（   ） A．8000000吨 B．160000000吨 C．16000000吨 D．80000000吨 直击考点 题型1：有理数幂的概念理解 例1．若为整数，则表示的是（   ） A．3个相乘 B．2个相加 C．3个相加 D．5个相乘 例2．对于与，下列叙述中正确的是（   ） A．底数相同，运算结果相同 B．底数相同，运算结果不同 C．底数不同，运算结果相同 D．底数不同，运算结果不同 例3．在中，底数是（    ） A．10 B．8 C． D． 变式1．计算与的和的式子为（　　） A． B． C． D． 变式2．式子可以表示为（  ） A． B． C． D． 变式3．的结果可表示为（   ） A． B． C． D． 题型2：有理数的乘方运算 题型3：有理数乘方的逆运算 例1．如果，则是（   ） A．8或 B． C．4 D．4或 例2．若，则的值可以表示为（    ） A． B． C． D． 例3．某学习小组学习了幂的有关知识发现：根据，知道，可以求的值．如果知道，可以求的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，则．例如：，则． (1)填空：______； (2)计算：． 变式1．《庄子·天下篇》讲到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”意思是说一尺长的木棍，每天截取它的一半，千秋万代也截不完．一天之后“一尺之棰”剩尺，两天之后剩尺，那么五天之后，这个“一尺之棰”还剩（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 变式2．计算：（    ） A． B．1 C．0 D．2023 变式3．定义运算：若，则，例如，则．运用以上定义，计算：（    ） A． B．2 C．1 D．4 变式4．已知，，，其中、、均为正整数， (1)根据题意，可求得 ， ， ； (2)计算的值； 变式5．阅读下列各式：，，，… 解答下列问题： (1)写出 ，猜想： ． (2)计算：． 题型4：乘方运算的符号规律 例1．有下列各数：①；②；③；④，其中结果等于的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 例2．在有理数、、、中负数有（    ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 例3．当时，下列各式不成立的是（　　） A． B． C． D． 变式1．若，则a，，由小到大排列正确的是（    ） A． B． C． D． 变式2．①；②；③；④；⑤；⑥，其结果为正数的有几个（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 变式3．下列各组数中，数值相等的一组是（    ） A．32和23 B．（﹣2）3和﹣23 C．﹣32和（﹣3）2 D．﹣（2×3）2和﹣2×32 题型5：乘方的应用 例1．我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，将二进制换算成十进制数的结果为（   ） A．8 B．9 C．14 D．15 例2．如图是一张长、宽的长方形纸片，第一次裁去一半，第2次裁去剩下部分的一半，…，按照此方式裁剪下去，第6次裁剪后剩下的长方形的面积是（   ）      A． B． C． D． 例3．某软件用户等级用四个标识图展示，从低到高分别为星星、月亮、太阳、皇冠，采用“满四进一”制，一开始是星星，个星星为级，个星星等于个月亮，个月亮等于个太阳，个太阳等于个皇冠．某用户的等级标识图为两个皇冠，则该用户的等级为（   ） A． B． C． D． 例4．生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10000转化为十进制数：； 其他进制也有类似的算法…… (1)根据以上信息，将二进制数“101110”转化为十进制数是________； (2)在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示表示的五进制数为132，求孩子已经出生的天数． 变式1．如图，圆的半径是，空白部分的圆心角分别是与，则阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 变式2．在一次数学兴趣小组活动中，老师和几个同学在一起探讨：在中，，，三者的关系，如果已知，的值，可以求的值吗?他们对此进行了研究，规定；若，则，例如；若，则． (1)______；(2)请你计算： 变式3．生活在数字时代的我们，很多场合使用二维码来表示不同的信息，类似地，可通过正方形网格中，对每个小正方格涂黑色或不涂色所得的图形来表示不同的信息．在代码编制上巧妙利用构成计算机内部逻辑基础的“0”，“1”，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图1是某校一次考试中三位同学的准考证号对应的二维码的简易编码．如图2是王芳同学准考证号的二维码简易编码，其中第一行代表二进制的数字11000，转化成10进制为：．同理，第二行至第五行代表二进制的数字分别为1100，111，11100，1101，转化成10进制为：12，07，28，变式4，将五行编码有序组合在一起就是王芳的准考证号2412072813，其中第一行编码“24”表示区县，第二行编码“12”表示学校，第三行编码“07”表示班级，第四行编码“28”表示考场号，第五行编码“13”表示座位号． (1)如图3是本次考试张亮同学准考证号的二维码简易编码，其中第四行代表二进制的数字是10101，转化成10进制后可得他的考场号是 ． (2)本次考试中，赵军的准考证号是2917021311，如图4是赵军为自己绘制的二维码简易编码，但少涂黑了几个小正方形，请你在图4中帮他补充完整． (3)随着学校办学规模不断扩大，班级及学生数量不断增加，该校准考证的编码识别系统能否一直适用？请通过计算说明理由． 题型6：科学记数法 例1．根据统计部门公布的数据，2025年1-2月份，安徽全省共实现地方财政收入883.5亿元，较上年同期增加了24.5亿元，同比增长率为2.9%，整体表现较为稳健．其中883.5亿用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 例2．今年 月 日是我国第四个文化和自然遗产日．目前我国世界遗产总数居世界首位，其中自然遗产总面积约 ．将 用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 例3．2025年《区域全面经济伙伴关系协定》（）正式生效满三年．据郑州海关统计，三年间，河南省项下599家进出口企业累计获关税减让6.6亿元，将数据“6.6亿”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 例4．广西区统计局公布了广西区2024年经济运行情况，统计显示，2024年广西区GDP总量为万亿元．“万亿”用科学记数法表示为 ． 变式1．电影《哪吒之魔童闹海》自2025年1月上映以来大受欢迎，好评如潮．截止2025年3月中旬，其票房收入（含预售）累计已达149亿元，数据149亿用科学记数法表示是（    ） A． B． C． D． 变式2．“海葵一号”是由中国自主设计建造的亚洲首艘圆筒型浮式生产储卸油装置，形似海上绽放的葵花而得名，由近60万个零部件组成，把60万用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 变式3．一个大正方体容器的棱长为，里面装满了水，一个小立方体容器的棱长为．将大正方体容器的水全部倒出，能装满 个小立方体容器．（用科学记数法表示） 变式4．预计今年寒假来哈尔滨旅游人数将达到308000000人次，数据308000000用科学记数法表示为 ． 变式5．资料表明，被称为“地球之肺”的森林正以每年约万公顷的速度从地球上消失，“万”用科学记数法表示是 ． 变式6．年月日，神舟十九号载人飞船取得圆满成功．发射场受到我国超过人的关注，这个数字用科学记数法表示为 ． 题型7：将科学记数法变回原数 例1．下列四个数中，值最大的是（   ） A． B． C． D． 例2．今年第一季度我国增值税、消费税比上年同期增收元，也就是说增收了（   ） A．亿元 B．亿元 C．亿元 D．万元 例3．减少过度包装既节约资源又保护环境，据测算，如果全国每年减少的过度包装纸用量，那么可减排二氧化碳吨，把写成原数为 ． 变式1．今年“五一”假期，湖南省文旅市场持续升温，文旅经济强劲复苏．根据全省十四个市州综合测算情况汇总，今年“五一”假期全省共接待游客人次，同口径比去年“五一”假期增长了，数据的位数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 变式2．截至2020年10月末，全国核酸日检测能力是人份，实现了“应检尽检”、“愿检尽检”．数据原来的数是（  ） A．576000 B．576万 C．57600000 D．57.6万 变式3．《康熙字典》是清朝康熙年间出版的图书，字典全书共收录汉字余个，则的原数为 ． 变式4．已知：，则a表示的数为 ． 变式5．莲花湖湿地公园占地面积用科学记数法表示为平方米，则原数为 万平方米． 课后作业 一、单选题 1．（23-24七年级上·四川乐山·期末）下列运算中，正确的是（    ）． A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）十一期间，伪满皇宫博物院从10月1日到10月3日共接待游客75000余人，数字75000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习）下列各组数相等的有（   ） A．与 B．与 C．与0.3 D．与a 4．（24-25七年级上·河北沧州·期中）计算：（   ） A． B． C． D． 5．（2024·四川眉山·模拟预测）预计到年我国高铁运营里程将达到，将数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）兰州牛肉面制作技艺是国家级非物质文化遗产，为了更好的弘扬优秀的传统文化，2024年秋季学期开始以来，兰州市部分中小学将兰州牛肉面纳入课程教学范畴，在每周的劳动教育课程中开展．制作时，拉面师傅，将一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条截成了许多细细的面条，如下图所示．请问这样第（   ）次捏合后可拉出128根面条． A．5 B．6 C．7 D．8 7．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）下列说法：①若a、b互为相反数，则；②若a为有理数，且，则；③若，且，则，④若，，，则，⑤若三个有理数a，b，c满足，则．其中正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 8．（24-25七年级上·河南焦作·期中）在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算，求解过程如图所示： 则第4个方框中最下面一行的数可能是（   ） A．1369 B．4489 C．4909 D．5729 9．（2024七年级上·云南·专题练习）某种细胞每分钟分裂成3个，一个细胞经过3分钟分裂成27个，再继续分裂分钟后共分裂成（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 10．（24-25七年级上·云南昆明·期末）二进制在计算机科学中有广泛的应用，计算机和依赖计算机的设备都使用二进制来表示数字和数据．二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1，并利用角标表示二进制数，例如，就是二进制数的简单写法．在学习教科书《进位制的认识与探究》以后，小明查阅了资料并进行了思考，发现以下两种方法均可实现二进制与十进制之间的转换． 以98为例： 方法一：因为 所以． 方法二：用如图的短除法算式表示： 请你根据以上材料，把转换为五进制数是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（24-25七年级上·陕西渭南·期中）将数据用科学记数法表示为 ． 12．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）目前全球的海洋总面积约为，这一数据用科学记数法表示是 ． 13．（24-25六年级上·上海·阶段练习）计算： ．（用2的乘方表示） 14．（24-25七年级上·重庆酉阳·期中）在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”．因此，二进制中只用两个数字0和1．二进制的计数单位分别是1、、、、……，二进制数也可以写作展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：．根据以上原则将转化为十进制， ．将十进位制数化成与其相等的二进制数，用十进制的数除以2，然后将商继续除以2，直至商为0，将所得的余数按照倒序从高位到低位排序即可，如右图的算法：则．根据以上原则，将23转换为二进制数表示，则 ． 15．（24-25七年级上·广东江门·期中）我们根据乘方运算：得出了一种新的运算，例如所对应的新运算分别为，；根据上述规律 ． 16．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）若，则记为，例如，则． （1）根据上述规定，直接写出 ． （2）若，，则 ． 17．（24-25七年级上·河南周口·期中）求的值时，可令，则，因此．依照以上推理，可以计算出的值为 ．（结果保留乘方的形式） 18．（2024七年级上·全国·专题练习）阅读理解：规定两数之间的一种运算，记作；如果，那么．例如：因为，所以．根据上述规定，填空：若，则 ． 19．（24-25七年级上·辽宁鞍山·期中）把十进制数47转化为二进制数为 ；把十进制数39转化为二进制数为 ；利用二进制加法计算它们的和为 ． 20．（24-25七年级上·广东佛山·期中）你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如草图所示．请问捏合到第 次后可拉出约8千多根面条． 三、解答题 21.计算 22．（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）观察下列两组算式： ①与； ②与． (1)每组两个算式的结果是否相等？ (2)根据（1）的结果猜想等于什么？ (3)用（2）的结论计算． 23．（24-25七年级上·四川眉山·期末）若与互为相反数． (1)求，的值； (2)规定一种新运算：，如 ，求的值． 24．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）阅读下面的材料，并解决后面的问题 材料：我们知道，n个相同的因数a相乘记为an，如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为．一般地若（且，），，则n叫做以a为底b的对数，记为，如，则4叫做以3为底81的对数，记为． (1)计算以下各对数的值：___________，_________，____________． (2)通过观察，4、16、64之间满足怎样的关系？、、之间又满足怎样的关系式？ (3)由（2）的猜想，归纳一个一般性的结论：____________（且，，）． 25．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）某快递站一名快递员以配送中心为基地，分别向东、西两方向各个小区送货，向东最远的洪林小区距离配送中心5000米，规定向东走为正，某一趟行程记录如下（单位：米） (1)他最终有没有到达洪林小区？如果没有，那么他离该小区还差多少米？ (2)送货时，这名快递员全程都使用电动三轮车，且每米要消耗电动三轮车的电量0.85毫安时，问他共消耗了多少毫安时电量？（将结果用科学记数法表示．） 26．（24-25七年级上·贵州黔东南·期中）用“”定义新运算：对于任意有理数，当时，都有；当时，都有． (1)求的值； (2)定义一种运算，就要研究它的运算律： ①求和的值； ②这个计算结果说明了这个运算满足 律． 27．（24-25七年级上·江苏常州·期中）【提出问题】怎样比较与的大小？ 【分析问题】为了解决这个问题，我们先写出它的一般形式，即比较与的大小（n是正整数），然后我们从分析……中发现规律，经归纳、猜想，得出结论． 【探究过程】 （1）从简单的开始，比较下列各组中两数的大小（在横线上填写“”“”或“”）： ①_______；②_______；③_______；…… （2）根据上面的结果，经过归纳，猜想与有怎样的大小关系？ 【解决问题】 （3）根据以上探究，我们可得结论（在横线上填写“”“”或“”）：_______． 28．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）数学兴趣小组在合作学习过程中，获得知识的同时，也提出新的问题，例如：若对于正整数，，有，那么称为的劳格数，记为（，为正整数），例如：，则． 根据他们的研究结果，完成下列各题： (1)填空：______，______； (2)计算：______； (3)若，，求的值． 29．（24-25七年级上·辽宁铁岭·期末）【探索发现】 如图1，将一张边长为1的正方形纸片分割成7部分，部分①的面积是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依此类推． （1）阴影部分的面积是______； ②请根据①的结论计算． 【问题解决】 如图2，第1次分割，把正方形的面积三等分；第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，…根据以上信息解决问题： （2）计算； 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 有理数 06讲 有理数的乘方 目录 【知识点1. 有理数的乘方】…………………………………………………………… 1 【知识点2. 整数指数幂的符号规律】…………………………………………………… 3 【知识点3. 科学记数法】……………………………………………………………… 6 【题型1. 有理数幂的概念理解】……………………………………………………… 8 【题型2. 有理数的乘方运算】………………………………………………………… 10 【题型3. 有理数乘方的逆运算】……………………………………………………… 11 【题型4. 乘方运算的符号规律】……………………………………………………… 15 【题型5. 乘方的应用】………………………………………………………………… 17 【题型6. 科学记数法】………………………………………………………………… 22 【题型7. 将科学记数法变回原数】…………………………………………………… 25 【课后作业】……………………………………………………………………………… 28 知识清单 1、有理数的乘方 ：一般地，a是有理数，n是正整数，则把简记为，n个a 即规定，其中，读作“a的n次方”或“a的n次幂”.n个a 乘方的概念：个相同因数的乘积的运算，叫做乘方.在中，叫做底数，叫做指数. 底数 指数 幂 注意：①乘方运算中的“1次方”通常把“1”省略，但不代表没有； ②乘方运算，代表的是多个相同乘数相乘，要与乘法运算区分开来； ③在运算时要注意看清楚底数和指数到底是谁； ④带分数的乘方运算，一定要先化成假分数后再运算。 巩固基础 1. 计算 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 知识清单 2、整数指数幂的符号规律 1）正数的任何正整数次幂都是正数； 2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，即“奇负偶正”； 3）0的任何正整数次幂都是0； 4）除0以外的任何数的“0次幂”结果为1。 巩固基础 1．当时，下列各式成立的有（　　） ①；②；③；④． A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④ 【分析】本题考查乘方的运算，掌握乘方的运算法则是解题的关键． 根据乘方的意义进行判断即可． 【详解】解：当时， ①，正确． ②，正确． ③，故错误． ④，则，故错误． 故选：A． 2．若 ，则一定有（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查的是乘方运算的符号规律，分别根据，，进行探究即可得到答案． 【详解】解：当，则， 当，则， 当，则，则， ∴当，则， 故选：C 3．如果一个有理数的奇次幂是正数，那么这个有理数（　　） A．一定是正数 B．是正数或负数 C．一定是负数 D．可以是任意有理数 【分析】根据有理数的乘方法则进行判断即可．此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方运算法则是解本题的关键． 【详解】解：∵正数的任何次幂是正数，负数的奇次幂数负数，0正整数次幂是0 ∴一个有理数的奇次幂是正数，这个数一定是正数． 故选：A． 4．下列计算各式中错误的是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查绝对值的化简，多重符号的化简，乘方运算，掌握化简绝对值的法则是解题的关键． 【详解】解：A.当时，，故错误； B.时， ，故正确； C. ，故正确； D. ，故正确； 故选：A． 5．通过计算器计算发现：，，……，按照以上的规律计算的结果是（    ） A．123454321 B．1234564321 C．1234567654321 D．123456787654321 【分析】根据已知条件可以得到这样的规律：对于由1组成的数字，当平方后最中间的数字是几，这个数字就是由几个1组成． 【详解】解：根据已知条件可以得到这样的规律： 11的平方是121，中间的数字是2，111的平方是12321，中间的数字是3，…… 由此可以推断出：对于由1组成的数字，当平方后最中间的数字是几，这个数字就是由几个1组成；所以的结果是1234567654321， 故选C． 6．当时，下列式子：①；②；③；④中，成立的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【分析】根据负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数即可解答． 【详解】解：当时， 是负数，故①正确； ，故②正确，④错误； ，故③正确； 综上所述，①②③正确． 故选：A． 知识清单 3、科学记数法：把一个大于（小于－10）的数记作的形式（其中，或，是正整数），这种记数法就是科学记数法． 如：340000000=3.4×108，－567000000=－5.67×108 注意：1）a的确定——所有数字照抄并写成一位整数的数，负数要保留前面的符号； 2）n的确定——计算小数点移动的位数，向左n为正，向右为负，对于大于10的数，n比整数位数少1，小于1的数，|n|等于第一个非0数字前0的个数。 巩固基础 1．2024年，模型发布，爆火全球，据AI数据统计，截止到2025年2月9日，该应用的下载量超过1.1亿次，周活跃用户达到了9700万．其中数据“9700万”用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：9700万． 故选C． 2．全国家电以旧换新活动如火如荼地进行，截至2024年12月24日有2963.8万消费者购买了8大类家电产品约4590万台．数据4590万用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了科学记数法表示较大的数，科学记数法中的要求和10的指数的表示规律为关键， 绝对值大于10的数用科学记数法表示一般形式为，为整数位数减1． 【详解】解：4590万． 故选：C． 3．习近平同志在二十大报告中指出：全面建设社会主义现代化国家，最艰巨最繁重的任务仍然在农村，我国现有农村人口约为5.09亿人，将509000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：将数据509000000用科学记数法表示为； 故选A． 4．截至2025年3月25日，中国国家博物馆文创凤冠冰箱贴累计销量突破件，带动凤冠全系列产品销售额跨越亿元．用科学记数法表示的数原来是（ ） A．100000 B．1000000 C．10000000 D．0.000001 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大（或较小）的数，一般形式为，其中，n为整数，确定a与n的值是解题的关键．根据科学记数法的方法进行解题即可． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意．故选：B． 5．我国渤海、黄海、东海、南海海水含有不少化学元素，其中铝、锰元素总量均约为吨，则铝、锰元素总量的和约为（   ） A．8000000吨 B．160000000吨 C．16000000吨 D．80000000吨 【分析】本题主要考查了科学记数法还原，科学记数法的表达方法：其中，确定n的值是解题的关键．直接将铝、锰元素总量相加，再将其用科学记数法表示即可得到答案． 【详解】铝、锰元素总量的和约是：吨． 故选：C． 直击考点 题型1：有理数幂的概念理解 例1．若为整数，则表示的是（   ） A．3个相乘 B．2个相加 C．3个相加 D．5个相乘 【分析】本题考查幂的乘方运算，熟练掌握并理解幂的乘方等于底数不变，指数相乘是解题的关键．根据幂的乘方法则：，即幂的乘方等于底数不变，指数相乘，进行分析即可． 【详解】解：表示3个相乘或者表示6个相乘． 故选：A． 例2．对于与，下列叙述中正确的是（   ） A．底数相同，运算结果相同 B．底数相同，运算结果不同 C．底数不同，运算结果相同 D．底数不同，运算结果不同 【分析】本题主要考查了幂的认识和运算，准确分析判断是解题的关键． 根据幂的性质判断即可． 【详解】∵，， ∴与，底数不同，运算结果相同． 故选：C． 例3．在中，底数是（    ） A．10 B．8 C． D． 【分析】本题考查了有理数幂的概念，根据有理数幂的概念解答即可，熟练掌握有理数幂的概念是解此题的关键． 【详解】解：在中，底数是10， 故选：A． 变式1．计算与的和的式子为（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查了乘方的意义和乘法的意义，解题关键是根据乘方的意义和乘法的意义写出算式． 【详解】解：，， 它们的和为：， 故选：A． 变式2．式子可以表示为（  ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了有理数乘方的定义，根据多个相同的单项式相乘可以表示为幂的形式，即，a表示相同的单项式，m表示单项式的个数．据此即可解答． 【详解】解：， 故选：C． 变式3．的结果可表示为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了用代数式表示数，有理数幂等知识，先得出m个3相加表示为，n个2相乘表示为，然后相加即可得出答案． 【详解】解：m个3相加表示为：，n个2相乘表示为， 故的结果可表示为， 故选：D． 题型2：有理数的乘方运算 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 题型3：有理数乘方的逆运算 例1．如果，则是（   ） A．8或 B． C．4 D．4或 【分析】此题考查有理数的乘方．直接利用有理数的乘方运算法则计算得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴a是：4或−4． 故选：D． 例2．若，则的值可以表示为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了有理数的乘方，乘方的逆运算，等式的性质等知识点，根据有理数乘方的运算法则即可得解，熟练掌握有理数的乘方的意义是解题关键． 【详解】∵ ∴ ∴ ∴， 故选：D． 例3．某学习小组学习了幂的有关知识发现：根据，知道，可以求的值．如果知道，可以求的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，则．例如：，则． (1)填空：______； (2)计算：． 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，读懂题意掌握运算法则是解题关键． （1）根据规定，进行求解即可； （2）先根据规定，求出，再进行加法运算即可； 【详解】（1）解：因为，所以． 故答案为： （2）因为，所以． 又因为， 所以． 所以． 变式1．《庄子·天下篇》讲到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”意思是说一尺长的木棍，每天截取它的一半，千秋万代也截不完．一天之后“一尺之棰”剩尺，两天之后剩尺，那么五天之后，这个“一尺之棰”还剩（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，弄懂题意并掌握乘方的运算法则是解答的关键． 【详解】解：根据题意，第一天后剩尺， 两天之后剩（尺）， 第三天后剩（尺）， … 第n天后剩（尺）， 第五天后这个“一尺之棰”还剩（尺）． 故选：D． 变式2．计算：（    ） A． B．1 C．0 D．2023 【分析】根据有理数乘方的逆运算法则计算即可得． 【详解】解：原式 ． 故选：B． 变式3．定义运算：若，则，例如，则．运用以上定义，计算：（    ） A． B．2 C．1 D．4 【分析】先根据乘方确定，根据新定义求出，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ， ． 故选：A． 变式4．已知，，，其中、、均为正整数， (1)根据题意，可求得 ， ， ； (2)计算的值； 【分析】本题主要考查了有理数乘方的运算，熟知乘方运算法则是正确解决本题的关键． （1）先根据，可得，即可求出n，a； （2）将数值代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵，即， ∴． ∵，即，且a为正整数， ∴． 故答案为：3，2，1； （2）解：原式． 变式5．阅读下列各式：，，，… 解答下列问题： (1)写出 ，猜想： ． (2)计算：． 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，乘方的运算，理解题意，总结规律再运用规律解题是关键． （1）由题干阅读部分信息，再总结可得答案； （2）利用（1）中规律结合乘方的含义把原式化为，再计算即可． 【详解】（1）解：，； （2）解： ． 题型4：乘方运算的符号规律 例1．有下列各数：①；②；③；④，其中结果等于的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【分析】根据有理数的乘方，以及相反数的求法，逐项判定即可． 【详解】解：①， ②， ③， ④， ∴其中结果等于的是：①②③④． 故选：D． 例2．在有理数、、、中负数有（    ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】将有理数化简计算出来，再判断正负性，即可得到答案． 【详解】解：，为正数； ，为正数； ，为负数； ，为负数．故选：C． 例3．当时，下列各式不成立的是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查有理数的乘方、偶次方的非负性、绝对值，根据有理数的乘方、偶次方的非负性、绝对值的性质进行逐一判断即可． 【详解】解：只要，恒有，故A选项成立； ∵，故B选项不成立，C成立； ∵， ∴， ∴，故D选项成立， 故选：B． 变式1．若，则a，，由小到大排列正确的是（    ） A． B． C． D． 【分析】根据倒数、平方等性质，求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴，即 故选：C 变式2．①；②；③；④；⑤；⑥，其结果为正数的有几个（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【分析】根据相反数的意义，化简绝对值以及乘方的运算化简各数即可求解． 【详解】解：①是正数； ②，是负数； ③，是正数； ④，是负数； ⑤，是负数； ⑥，是正数， ①③⑥为正数．故选C． 变式3．下列各组数中，数值相等的一组是（    ） A．32和23 B．（﹣2）3和﹣23 C．﹣32和（﹣3）2 D．﹣（2×3）2和﹣2×32 【分析】根据乘方的定义逐一计算判断即可，注意符号． 【详解】解：A．32＝9，23＝8，故选项A不符合题意； B．（﹣2）3＝﹣8，﹣23＝﹣8，故选项B符合题意； C．﹣32＝﹣9，（﹣3）2＝9，故选项C不符合题意； D．﹣（2×3）2＝﹣36，﹣2×32＝﹣2×9＝﹣18，故选项D不符合题意． 故选：B． 题型5：乘方的应用 例1．我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，将二进制换算成十进制数的结果为（   ） A．8 B．9 C．14 D．15 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是弄清二进制数转化为十进制数的计算方法．根据已知，从个位数字起，将二进制的每一位数分别乘以，再把所得结果相加即可得． 【详解】解：由题意得： ． 故选：B． 例2．如图是一张长、宽的长方形纸片，第一次裁去一半，第2次裁去剩下部分的一半，…，按照此方式裁剪下去，第6次裁剪后剩下的长方形的面积是（   ）      A． B． C． D． 【分析】本题考查了有理数的乘方，分别求出第1次和第2次裁剪后剩下的图形的面积是解题的关键． 先求出第1次和第2次裁剪后剩下的图形的面积，总结出一般变化规律，即可解答． 【详解】解：长方形的面积为：， 第1次裁剪后剩下的长方形的面积， 第2次裁剪后剩下的长方形的面积， …… 第6次裁剪后剩下的长方形的面积． 故选：A． 例3．某软件用户等级用四个标识图展示，从低到高分别为星星、月亮、太阳、皇冠，采用“满四进一”制，一开始是星星，个星星为级，个星星等于个月亮，个月亮等于个太阳，个太阳等于个皇冠．某用户的等级标识图为两个皇冠，则该用户的等级为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了有理数乘方的应用，根据题意列出算式，然后求解即可，正确列出运算式子是解题的关键． 【详解】解：由题意得，两个皇冠的等级是， 故选：． 例4．生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10000转化为十进制数：； 其他进制也有类似的算法…… (1)根据以上信息，将二进制数“101110”转化为十进制数是________； (2)在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示表示的五进制数为132，求孩子已经出生的天数． 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，正确理解题中二进制转换十进制的计算方法是解题的关键． （1）根据二进制转换十进制的方法列式计算即可； （2）满五进一，类似于五进制数，仿照二进制转换十进制的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解：101110转化为十进制数是， 故答案为：； （2）解：由于满五进一，类似于五进制数，图示表示的五进制数为132，转化为十进制数为， 孩子已经出生了42天． 变式1．如图，圆的半径是，空白部分的圆心角分别是与，则阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查圆的面积公式，熟练掌握圆形面积公式是解题的关键； 根据题意，先求出阴影部分的圆心角，再利用圆形面积公式即可求解 【详解】解：因为阴影部分的圆心角度数之和为，， 所以． 故选：B 变式2．在一次数学兴趣小组活动中，老师和几个同学在一起探讨：在中，，，三者的关系，如果已知，的值，可以求的值吗?他们对此进行了研究，规定；若，则，例如；若，则． (1)______；(2)请你计算： 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，熟记有理数乘方运算法则是解答本题的关键． （1）结合有理数的乘方，根据新定义运算即可； （2）结合有理数的乘方，根据新定义运算即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：； （2），， ． 变式3．生活在数字时代的我们，很多场合使用二维码来表示不同的信息，类似地，可通过正方形网格中，对每个小正方格涂黑色或不涂色所得的图形来表示不同的信息．在代码编制上巧妙利用构成计算机内部逻辑基础的“0”，“1”，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图1是某校一次考试中三位同学的准考证号对应的二维码的简易编码．如图2是王芳同学准考证号的二维码简易编码，其中第一行代表二进制的数字11000，转化成10进制为：．同理，第二行至第五行代表二进制的数字分别为1100，111，11100，1101，转化成10进制为：12，07，28，变式4，将五行编码有序组合在一起就是王芳的准考证号2412072813，其中第一行编码“24”表示区县，第二行编码“12”表示学校，第三行编码“07”表示班级，第四行编码“28”表示考场号，第五行编码“13”表示座位号． (1)如图3是本次考试张亮同学准考证号的二维码简易编码，其中第四行代表二进制的数字是10101，转化成10进制后可得他的考场号是 ． (2)本次考试中，赵军的准考证号是2917021311，如图4是赵军为自己绘制的二维码简易编码，但少涂黑了几个小正方形，请你在图4中帮他补充完整． (3)随着学校办学规模不断扩大，班级及学生数量不断增加，该校准考证的编码识别系统能否一直适用？请通过计算说明理由． 【分析】（1）根据二维码编码规则即可确定第四行代表二进制的数字，再将其转化为10进制数字即可； （2）根据题意可知赵军的准考证号是2917021311，由二进制和十进制数字转化规则确定各行编码二进制数字，即可获得答案； （3）计算该编号识别系统中班级、考场号、座位号的最大值即可解答． 【详解】（1）解：根据题意得，第四行代表二进制的数字是10101， 二进制的数字10101，转化成10进制为：， ∴转化成10进制后可得他的考场号是21， 故答案为：21； （2）解：准考证号2917021311，分别将29，17，02，13，11转化为二进制， ，29转化为二进制为：11101， ，17转化为二进制为：10001， ，02转化为二进制为：10， ，13转化为二进制为：1101， ，11转化为二进制为：1011， 如图所示： （3）解：∵，∴班级、考场号、座位号的最大值都是31， ∴随着学校规模的不断扩大，班级数在不断增加，该编号识别系统不能一直适用． 题型6：科学记数法 例1．根据统计部门公布的数据，2025年1-2月份，安徽全省共实现地方财政收入883.5亿元，较上年同期增加了24.5亿元，同比增长率为2.9%，整体表现较为稳健．其中883.5亿用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法.直接根据科学记数法的表示方法作答即可. 【详解】883.5亿 故选：B. 例2．今年 月 日是我国第四个文化和自然遗产日．目前我国世界遗产总数居世界首位，其中自然遗产总面积约 ．将 用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同． 【详解】解： 故选：B． 例3．2025年《区域全面经济伙伴关系协定》（）正式生效满三年．据郑州海关统计，三年间，河南省项下599家进出口企业累计获关税减让6.6亿元，将数据“6.6亿”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：6.6亿元． 故选D． 例4．广西区统计局公布了广西区2024年经济运行情况，统计显示，2024年广西区GDP总量为万亿元．“万亿”用科学记数法表示为 ． 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将“万亿”写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：“万亿”． 故答案为：． 变式1．电影《哪吒之魔童闹海》自2025年1月上映以来大受欢迎，好评如潮．截止2025年3月中旬，其票房收入（含预售）累计已达149亿元，数据149亿用科学记数法表示是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据科学记数法的表示方法进行解答即可． 【详解】解：149亿用科学记数法表示为． 故选：C． 变式2．“海葵一号”是由中国自主设计建造的亚洲首艘圆筒型浮式生产储卸油装置，形似海上绽放的葵花而得名，由近60万个零部件组成，把60万用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：60万， 故选：B． 变式3．一个大正方体容器的棱长为，里面装满了水，一个小立方体容器的棱长为．将大正方体容器的水全部倒出，能装满 个小立方体容器．（用科学记数法表示） 【分析】本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键；先计算大正方形的体积，再计算小正方形的体积，进而求解即可； 【详解】解：， ； （个）； 故答案为： 变式4．预计今年寒假来哈尔滨旅游人数将达到308000000人次，数据308000000用科学记数法表示为 ． 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．根据科学记数法进行解题即可．将一个数表示成，其中，为整数． 【详解】解：308000000用科学记数法表示为， 故答案为：． 变式5．资料表明，被称为“地球之肺”的森林正以每年约万公顷的速度从地球上消失，“万”用科学记数法表示是 ． 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，熟练掌握科学记数法的定义是解答本题的关键． 根据科学记数法的定义解答即可． 【详解】解：万， 故答案为：． 变式6．年月日，神舟十九号载人飞船取得圆满成功．发射场受到我国超过人的关注，这个数字用科学记数法表示为 ． 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，熟练掌握科学记数法的定义是解答本题的关键． 根据科学记数法的定义解答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 题型7：将科学记数法变回原数 例1．下列四个数中，值最大的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了科学记数法和有理数大小比较，首先将用科学记数法表示的四个数还原成原数，再比较大小． 【详解】解：∵，，，，， ∴值最大的是， 故选：A． 例2．今年第一季度我国增值税、消费税比上年同期增收元，也就是说增收了（   ） A．亿元 B．亿元 C．亿元 D．万元 【分析】此题考查了科学记数法表示的数还原成原数，把写成原数，则需把小数点向右移动为即可，解题的关键是正确理解科学记数法的表示形式中，原数的整数位为，原数等于把小数点向右移动位所得的数，若向右移动，位数不够用补上． 【详解】解：元元亿元， 故选：． 例3．减少过度包装既节约资源又保护环境，据测算，如果全国每年减少的过度包装纸用量，那么可减排二氧化碳吨，把写成原数为 ． 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：把写成原数为， 故答案为：． 变式1．今年“五一”假期，湖南省文旅市场持续升温，文旅经济强劲复苏．根据全省十四个市州综合测算情况汇总，今年“五一”假期全省共接待游客人次，同口径比去年“五一”假期增长了，数据的位数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法把数据还原，然后可得答案． 【详解】解：∵， ∴数据的位数是8， 故选：C． 变式2．截至2020年10月末，全国核酸日检测能力是人份，实现了“应检尽检”、“愿检尽检”．数据原来的数是（  ） A．576000 B．576万 C．57600000 D．57.6万 【分析】将科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数． 【详解】解：=5760000=576万． 故选：B． 变式3．《康熙字典》是清朝康熙年间出版的图书，字典全书共收录汉字余个，则的原数为 ． 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．据此解答即可． 【详解】解：． 故答案为：47000． 变式4．已知：，则a表示的数为 ． 【分析】本题考查科学记数法，利用有理数的乘方运算，把科学记数法表示的数还原即可． 【详解】解：； 故答案为： 变式5．莲花湖湿地公园占地面积用科学记数法表示为平方米，则原数为 万平方米． 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数，科学记数法的表示形式为为正整数，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 根据科学记数法表示形式解答即可． 【详解】解： 平方米，则原数为792万平方米． 故答案为：792． 课后作业 一、单选题 1．（23-24七年级上·四川乐山·期末）下列运算中，正确的是（    ）． A． B． C． D． 【分析】本题主要考查有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方的定义是解题的关键． 根据有理数的乘方的定义和运算法则计算，逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A．，此选项错误； B．，此选项错误； C．，此选项错误； D．，此选项正确； 故选：D． 2．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）十一期间，伪满皇宫博物院从10月1日到10月3日共接待游客75000余人，数字75000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于1与小数点移动的位数相同． 【详解】解：数字75000用科学记数法表示为． 故选：C． 3．（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习）下列各组数相等的有（   ） A．与 B．与 C．与0.3 D．与a 【分析】本题考查了乘方、化简绝对值，先把每个选项的式子化简，再把式子的结果进行比较，即可作答． 【详解】解：A、，则与不相等，故该选项不符合题意； B、，则与相等，故该选项符合题意； C、，则与0.3不相等，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：B 4．（24-25七年级上·河北沧州·期中）计算：（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查有理数的加法与乘方运算，解题的关键是正确计算分子的和以及分母的乘方结果，再进行除法运算． 先分别计算分子中加法的结果和分母中乘法（乘方形式）的结果，然后进行分数的化简得出答案． 【详解】， ， 原式． 故选：B． 5．（2024·四川眉山·模拟预测）预计到年我国高铁运营里程将达到，将数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，熟练掌握科学记数法的定义是解答本题的关键． 根据科学记数法的定义解答即可． 【详解】解：， 故选：B． 6．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）兰州牛肉面制作技艺是国家级非物质文化遗产，为了更好的弘扬优秀的传统文化，2024年秋季学期开始以来，兰州市部分中小学将兰州牛肉面纳入课程教学范畴，在每周的劳动教育课程中开展．制作时，拉面师傅，将一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条截成了许多细细的面条，如下图所示．请问这样第（   ）次捏合后可拉出128根面条． A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】本题考查了图形类规律探究，有理数的乘方，先探究规律：第次捏合可拉出根细面条，然后根据规律列式计算，理解乘方的意义是解题的关键． 【详解】解：根据题意有， 第一次捏合可拉出根细面条， 第二次捏合可拉出根细面条， 第三次捏合可拉出根细面条， …， 第次捏合可拉出根细面条， 令：，解得：， 故选：C． 7．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）下列说法：①若a、b互为相反数，则；②若a为有理数，且，则；③若，且，则，④若，，，则，⑤若三个有理数a，b，c满足，则．其中正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】此题考查了相反数、绝对值、平方和大小比较的应用能力，运用相反数、绝对值、平方和大小比较的知识进行逐一辨别、求解，关键是能准确理解并运用以上知识． 【详解】解：∵若a、b互为相反数，当时，； 当时，无意义， ∴说法①不正确； ∵若a为有理数，且， 则当时，； 当时，， ∴说法②不正确； ∵若，且，则， ∴说法③正确； ∵若，，， ∴，， 则， ∴说法④正确； ∵若三个有理数a，b，c满足，则． ∴说法⑤正确， ∴其中正确的有3个， 故选：C． 8．（24-25七年级上·河南焦作·期中）在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算，求解过程如图所示： 则第4个方框中最下面一行的数可能是（   ） A．1369 B．4489 C．4909 D．5729 【分析】本题考查数字找规律，根据题意可知两位数的平方，第二行为，进而得到，再结合有理数的乘方运算求解，即可解题． 【详解】解：根据题意可知两位数的平方， 第一行为， 第二行为， 第三行为， ，则， 或（不合题意，舍去）， 又，， 最下面一行的数可能是1369， 故选：A． 9．（2024七年级上·云南·专题练习）某种细胞每分钟分裂成3个，一个细胞经过3分钟分裂成27个，再继续分裂分钟后共分裂成（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【分析】本题考查了乘方的意义．熟练掌握乘方的意义是解决本题的关键． 根据每分钟分裂成3个，共分裂分钟，根据乘方的意义即得结论． 【详解】∵3分钟分裂了3次，再过分钟共分裂了次， 由题意可知，每分钟分裂成3个，3分钟分裂成个， ∴再过分钟后共分裂成了．故选C． 10．（24-25七年级上·云南昆明·期末）二进制在计算机科学中有广泛的应用，计算机和依赖计算机的设备都使用二进制来表示数字和数据．二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1，并利用角标表示二进制数，例如，就是二进制数的简单写法．在学习教科书《进位制的认识与探究》以后，小明查阅了资料并进行了思考，发现以下两种方法均可实现二进制与十进制之间的转换． 以98为例： 方法一：因为 所以． 方法二：用如图的短除法算式表示： 请你根据以上材料，把转换为五进制数是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了乘方的应用；仿照二进制与十进制之间的转换的方法进行计算即可求解． 【详解】解：方法一：∵ 所以． 方法二 所以． 故选：C． 二、填空题 11．（24-25七年级上·陕西渭南·期中）将数据用科学记数法表示为 ． 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：将数据用科学记数法表示为， 故答案为：． 12．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）目前全球的海洋总面积约为，这一数据用科学记数法表示是 ． 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．据此解答即可． 【详解】解：将361 000 000用科学记数法表示为． 故答案为：． 13．（24-25六年级上·上海·阶段练习）计算： ．（用2的乘方表示） 【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算，把原式变形为，据此计算求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 14．（24-25七年级上·重庆酉阳·期中）在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”．因此，二进制中只用两个数字0和1．二进制的计数单位分别是1、、、、……，二进制数也可以写作展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：．根据以上原则将转化为十进制， ．将十进位制数化成与其相等的二进制数，用十进制的数除以2，然后将商继续除以2，直至商为0，将所得的余数按照倒序从高位到低位排序即可，如右图的算法：则．根据以上原则，将23转换为二进制数表示，则 ． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解二进制和十进制的互换规则是解题关键．根据二进制和十进制的互换规则即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ∴， 故答案为：13；． 15．（24-25七年级上·广东江门·期中）我们根据乘方运算：得出了一种新的运算，例如所对应的新运算分别为，；根据上述规律 ． 【分析】本题考查定义新运算，根据题意，得到，则：，根据，即可得出结果． 【详解】解：由题意，得：则：， ∵， ∴； 故答案为：4． 16．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）若，则记为，例如，则． （1）根据上述规定，直接写出 ． （2）若，，则 ． 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法的运算法则是关键． （1）直接根据规定的定义解答即可； （2）根据规定的定义先求得a、b的值，再按定义解答即可． 【详解】解：（1）∵， ∴． 故答案为：5； （2）∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 17．（24-25七年级上·河南周口·期中）求的值时，可令，则，因此．依照以上推理，可以计算出的值为 ．（结果保留乘方的形式） 【分析】本题考查了有理数的乘方，有理数的减法运算，熟练掌握有理数的乘方，有理数的减法运算是解题的关键． 由题意可令，则，再把两个式子相减即可求得结果． 【详解】解：令， 则， 得：， ∴， 故答案为： 18．（2024七年级上·全国·专题练习）阅读理解：规定两数之间的一种运算，记作；如果，那么．例如：因为，所以．根据上述规定，填空：若，则 ． 【分析】本题考查新定义下的运算，根据运算规则可知，其实质就是求立方，解题的关键是：读懂题意，明确题目所给新定义的运算顺序和运算法则． 【详解】 由题意得： ∴ 故答案为：64 19．（24-25七年级上·辽宁鞍山·期中）把十进制数47转化为二进制数为 ；把十进制数39转化为二进制数为 ；利用二进制加法计算它们的和为 ． 【分析】本题考查了将十进制的数转化为二进制的数，考查了运算求解能力，属于基础题．将十进制的数化为和的形式即可化为二进制的数，利用竖式计算它们的和即可，注意二进制的数是满二进一． 【详解】解：∵， ∴十进制数转化为二进制数为， 同理，， ∴十进制数转化为二进制数为， 列竖式得： ∴它们的和为； 故答案为：；；． 20．（24-25七年级上·广东佛山·期中）你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如草图所示．请问捏合到第 次后可拉出约8千多根面条． 【分析】本题主要考查了有理数的乘方的定义，根据有理数的乘方的定义表示出第n次捏合后的根数，然后求解即可． 【详解】解：第一次捏合为2根， 第二次捏合为4根，， 第三次捏合为8根，， …， 所以，第n次捏合为根， ∵当时，， ∴捏合到第13次时，可拉出约8千多根面条． 故答案为：13． 三、解答题 21.计算 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 22．（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）观察下列两组算式： ①与； ②与． (1)每组两个算式的结果是否相等？ (2)根据（1）的结果猜想等于什么？ (3)用（2）的结论计算． 【分析】本题考查有理数的混合运算： （1）根据运算法则进行计算后，判断即可； （2）利用（1）中规律即可得出结论； （3）利用规律得到，计算即可． 【详解】（1）解：相等： ， ∴； ，， ∴； （2）由（1）可得： （3）． 23．（24-25七年级上·四川眉山·期末）若与互为相反数． (1)求，的值； (2)规定一种新运算：，如 ，求的值． 【分析】本题主要考查了相反数的概念，绝对值和偶次幂的非负性，有理数的运算，掌握运算法则是解题的关键． （）根据相反数的概念和平方，绝对值的非负性即可得出，的值； （）根据新定义运算列式即可求解； 【详解】（1）解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，； （2）解：由（）得：，， ∴ ． 24．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）阅读下面的材料，并解决后面的问题 材料：我们知道，n个相同的因数a相乘记为an，如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为．一般地若（且，），，则n叫做以a为底b的对数，记为，如，则4叫做以3为底81的对数，记为． (1)计算以下各对数的值：___________，_________，____________． (2)通过观察，4、16、64之间满足怎样的关系？、、之间又满足怎样的关系式？ (3)由（2）的猜想，归纳一个一般性的结论：____________（且，，）． 【分析】本题考查学生对指数的理解和掌握；要求学生不但能灵活、准确的应用其运算法则，还要会类比、归纳，推测出对数应有的性质． （1）根据对数的定义求解； （2）认真观察，不难找到规律：，； （3）由特殊到一般，得出结论：． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，，， 故答案为：2、4、6； （2）解：， 由题意可得：，，， ∴； （3）解：由（2）知， 故答案为：． 25．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）某快递站一名快递员以配送中心为基地，分别向东、西两方向各个小区送货，向东最远的洪林小区距离配送中心5000米，规定向东走为正，某一趟行程记录如下（单位：米） (1)他最终有没有到达洪林小区？如果没有，那么他离该小区还差多少米？ (2)送货时，这名快递员全程都使用电动三轮车，且每米要消耗电动三轮车的电量0.85毫安时，问他共消耗了多少毫安时电量？（将结果用科学记数法表示．） 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算以及绝对值的性质，关键是熟练利用加法的运算法则进行运算． （1）根据记录情况求和，进而得出计算得结果； （2）利用绝对值的性质以及有理数加法法则先求出总路程，进而求出即可． 【详解】（1）解：依题意得： （米） （米） 答：他们最终没有到达洪林小区，离小区还差1700米． （2）依题意得： （米） （毫安时） ， 答：他们共使用了氧气毫安时． 26．（24-25七年级上·贵州黔东南·期中）用“”定义新运算：对于任意有理数，当时，都有；当时，都有． (1)求的值； (2)定义一种运算，就要研究它的运算律： ①求和的值； ②这个计算结果说明了这个运算满足 律． 【分析】本题考查新定义运算，读懂题意，理解新定义运算法则，代值求解是解决问题的关键． （1）理解新定义运算，按照当时，都有，代值计算即可得到答案； （2）①理解新定义，根据新定义当时，都有；当时，都有分别计算和即可得到答案；②由①中的计算结果即可得到这个运算满足乘法交换律． 【详解】（1）解：当时，都有， 当时，， ； （2）解：①当时，都有， 当时，， ； 当时，都有， 当时，， ； ②由上述计算结果可知，， 这个计算结果说明了这个运算满足乘法交换律， 故答案为：②乘法交换． 27．（24-25七年级上·江苏常州·期中）【提出问题】怎样比较与的大小？ 【分析问题】为了解决这个问题，我们先写出它的一般形式，即比较与的大小（n是正整数），然后我们从分析……中发现规律，经归纳、猜想，得出结论． 【探究过程】 （1）从简单的开始，比较下列各组中两数的大小（在横线上填写“”“”或“”）： ①_______；②_______；③_______；…… （2）根据上面的结果，经过归纳，猜想与有怎样的大小关系？ 【解决问题】 （3）根据以上探究，我们可得结论（在横线上填写“”“”或“”）：_______． 【分析】本题考查了有理数的乘方、有理数的大小比较，熟练掌握有理数的乘方运算法则是解题关键． （1）先计算有理数的乘方，再比较有理数的大小即可得； （2）根据（1）的结果，进行归纳即可得； （3）根据（2）的结果，取即可得． 【详解】解：（1）①∵，，， ∴； ②∵，，， ∴； ③∵，，， ∴； 故答案为：①；②；③． （2）根据（1）的结果，经过归纳得：当时，；当时，． （3）∵， ∴，即， 故答案为：． 28．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）数学兴趣小组在合作学习过程中，获得知识的同时，也提出新的问题，例如：若对于正整数，，有，那么称为的劳格数，记为（，为正整数），例如：，则． 根据他们的研究结果，完成下列各题： (1)填空：______，______； (2)计算：______； (3)若，，求的值． 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，有理数的加法运算等知识点，理解劳格数的定义并正确的列式计算是解题的关键． （1）根据劳格数的定义即可求出答案； （2）根据劳格数的定义列式计算即可； （3）根据劳格数的定义先求出，的值，然后再求出的值即可． 【详解】（1）解：，， ，， 故答案为∶，； （2）解：，， ，， ， 故答案为∶； （3）解：， ， ， ， 为正整数， ， ． 29．（24-25七年级上·辽宁铁岭·期末）【探索发现】 如图1，将一张边长为1的正方形纸片分割成7部分，部分①的面积是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依此类推． （1）阴影部分的面积是______； ②请根据①的结论计算． 【问题解决】 如图2，第1次分割，把正方形的面积三等分；第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，…根据以上信息解决问题： （2）计算； 【分析】本题考查了图形的变化规律，有理数的乘方，读懂题意，得出图形的变化规律是解本题的关键． （1）①根据题目规律进行计算即可；②根据①的结论即可求解； （2）分别计算图形中阴影部分的面积以及空白部分的面积，得出第次分割后，阴影部分的面积和为，空白部分的面积是，由此可得答案； （3）根据（2）的方法进行计算即可求解． 【详解】解：（1）①观察图形可知：部分①的面积为：，部分②的面积为，部分③的面积为，部分④的面积为，部分⑤的面积为， 阴影部分的面积是， 故答案为：； ②观察图形可知： ； （2）根据题意：设正方形的面积为1，第1次分割， 把正方形的面积三等分，阴影部分的面积为，空白部分面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分， 阴影部分的面积之和为，空白部分面积为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分， 阴影部分的面积之和为， 空白部分面积为……， 则第次分割阴影部分的面积和为， 两边同除以2，得， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$