辽宁葫芦岛市2025-2026学年高二下学期数学期末复习卷（四）

**基本信息** 辽宁葫芦岛高二数学期末复习卷，以非遗盲盒、端午节节目安排等文化情境为载体，融合数列、导数、概率等核心知识，通过多问递进设计考查数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|函数单调性、充要条件|文化情境（第3题节目安排）| |多选题|3/18|统计方差、函数性质|概念辨析（第9题方差计算）| |填空题|3/15|不等式最值、数列求和|简洁计算（第12题均值不等式）| |解答题|5/77|数列、导数应用、不等式证明|多问递进（第17题从证明到零点分析）|

辽宁葫芦岛市2025-2026学年高二下学期数学期末复习卷（四） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.82 【分析】利用给定单调性求出的取值范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】函数，函数的单调递增区间是， 由函数在上单调递增，得，则，因此， 所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件. 2．函数的单调递增区间为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【分析】先对函数求导，再由导数可得到函数的单调递增区间. 【详解】函数的定义域为，求导得 ， 根据导数与函数单调性的关系，令 ， 整理得，解得， 因此函数的单调递增区间为. 3．为庆祝端午节，某班级组织了一台晚会，有3个唱歌节目、2个小品节目和1个戏曲节目，要求3个唱歌节目互不相邻，则这台晚会节目的不同安排方法种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.7 【详解】先排列2个小品和1个戏曲节目，排列数为：， 3个非唱歌节目排好后，形成4个空位，将3个唱歌节目插入4个空位中， 排列数为：， 故总安排方法数为：． 4．已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.72 【分析】利用已知条件对所求表达式变形，结合基本不等式求最小值，即可得取值范围. 【详解】∵， ， 当且仅当，即，时等号成立. 的取值范围是. 5．已知等差数列的前项和为，且，若，则可能的值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【分析】先利用等差数列前n项和公式结合推导公差与首项的关系，再由余弦函数值得到的表达式，结合选项确定的值. 【详解】设等差数列的公差为，. 因为，，所以，整理得. 所以. 已知，因此，即. 则. 结合选项，取，得. 6.为推广非遗文化，某文创店推出“非遗主题盲盒”，每个盲盒内装有1张对应非遗项目的卡片，共有剪纸、陶艺、戏曲、书法4款不同卡片，每款卡片在盲盒中出现的概率均等，且不同盲盒开出的卡片相互独立．某同学一次性购买了3个盲盒，设该同学抽到的不同卡片款式的数量为随机变量，则下列说法正确的是（   ） A．随机变量 B． C． D． 【答案】D 【难度】0.62 【分析】先确定随机变量的取值范围，计算各取值对应的概率，再结合期望、方差的公式及性质逐一验证选项. 【详解】3个盲盒的总基本事件数为，随机变量的可能取值为， 计算各取值的概率：，， 由对立事件概率得 选项A：二项分布对应次独立重复试验的成功次数，为不同卡片款式数，不服从二项分布，A错误； 选项B：，B错误； 选项C：期望， 由期望性质得，C错误； 选项D：计算得， 由方差公式，D正确. 故选：D. 7．已知存在使不等式成立，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【分析】首先分离参数得，针对能成立问题，对右侧构造函数，根据导数求其最小值，进而得解. 【详解】由得， 移项得， 因存在使不等式成立，则可得. 令，则， 令，则，所以在上是增函数， 又当时，，当时，， 所以在上有且仅有一个零点，设为，则. 又，所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以， 所以，解得. 8．已知函数，定义域均为，函数为偶函数，函数是奇函数，若，，则（    ） A．1000 B．2000 C．3000 D．4000 【答案】B 【难度】0.4 【分析】利用两函数的奇偶性推得的周期性，求出在1个周期内的函数值，利用周期性求解. 【详解】因为函数为偶函数，所以，则可得①， 因为函数为奇函数，所以 ，即， 已知，则可得， 则，即②， 将①代入，可得，则得， 两式相减得，即 4 为的1个周期， 由可得 4 也是函数的1个周期， 因，由②式，令得，令，得，即 令，得，故，, 又由，可得， ，故有， 又，故. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列说法正确的有（     ） A．若数据，，…，的方差为3，则数据，，…，的方差为9 B．若随机变量，则， C．若随机变量，则 D．已知，，，则 【答案】BCD 【难度】0.7 【详解】A选项，新数据的方差为，故A错误； B选项，因为，所以，故B正确； C选项，因为，所以，故C正确； D选项，由题意得， ，故D正确. 10．下列选项中说法正确的是（     ） A．函数的单调增区间为 B．幂函数过点，则 C．函数的定义域为，则函数的定义域为 D．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 【答案】BC 【难度】0.65 【详解】对于选项A：函数需满足定义域条件，解得或. 令，外层函数为增函数，内层函数的对称轴为，在上单调递增， 根据复合函数“同增异减”原则，的单调增区间为，故A错误. 对于选项B：∵ 为幂函数，根据幂函数定义，系数， 又∵ 函数过点，∴ 代入得，解得， ∴ ，故B正确. 对于选项C：∵ 函数的定义域为， ∴ 函数需满足， ∴ 解得，即的定义域为，故C正确. 对于选项D：∵ 函数的定义域为，即对任意恒成立， 当时，不等式化为，显然不能对所有实数恒成立； 当时，需满足， 解得，即实数的取值范围为，故D错误. 【点睛】方法归纳： 1. 求解复合函数单调区间时，优先求解定义域，再结合“同增异减”原则判断； 2. 幂函数需满足自变量前系数为1； 3. 抽象函数定义域遵循“括号内整体取值范围一致”的原则； 4. 二次型不等式恒成立问题需分二次项系数为0和不为0两种情况讨论. 11．已知函数的定义域为，，，为奇函数，则（    ） A． B．为偶函数 C． D． 【答案】BCD 【难度】0.32 【分析】令可得，再由为奇函数可得，令可得，令，可得，可判断A；令，可得，可判断B；由，可得，从而，可判断C；计算、、、、和的值，结合函数的周期性计算可判断D. 【详解】由， 令，得，即，， 由为奇函数，可得， 即，即， 所以函数关于点对称，令可得， 令，得，可得，故A错误； 令，可得，即， 则，所以，或， 当 时，， 当时，用替换得 ，所以 ，解得 ，满足， 所以，，即，则为偶函数，故B正确； 由，，可得，即， 所以，则是以6为周期的周期函数，则，故C正确； 由，，，，为偶函数，是以6为周期的周期函数，可得 ，，，， 所以，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知正实数，满足，则的最大值是__________． 【答案】4 【难度】0.75 【详解】因为为正实数，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立； 正实数满足，得，代入上述不等式可得：， 令，由得，不等式转化为：，整理得，即， 因为，所以，因此，即，故， 得，当且仅当时等号成立，因此的最大值为4. 13．已知数列满足，则数列前项和为_______． 【答案】 【难度】0.68 【分析】先利用递推式作差求出数列的通项公式，再通过裂项相消法求解新数列的前项和. 【详解】已知①. 当时，代入①式得. 当时，有②. ①-②得： ∵ ，∴ 两边同除以得（），且时也满足该式，故对任意，. ∴ . 设数列的前项和为，则 【点睛】方法归纳：对于形如的递推式，常通过作差法消去前项求通项；裂项相消法适用于通项可拆为两项差的数列求和，相消后剩余首尾对称的项. 14．已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【难度】0.46 【分析】对求导，化简得到，令，转化为直线与有两个交点，求解即可. 【详解】由题意可得，，所以等价于， 即在时，有两个不同的解，所以，令， 问题转化为直线与有两个交点时，的取值范围，所以， 令，解得，解得，当时，，单调递增， 当时，，单调递减，因此在处，取得最大值，所以， 当时，，当时，，所以. 四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知数列满足，，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)，； (2) 【难度】0.62 【详解】（1）由已知，， 可得，， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，则 数列是以为首项，2为公差的等差数列， 从而可以得到，； （2）由（1）可得， 设数列的前项和为， 所以， ， 错位相减得 ， 所以. 16．（15分）已知函数，其中． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围； 【答案】(1) (2) 【难度】0.5 【分析】（1）根据条件，利用导数的几何意义，即可求解； （2）分三种情况，利用导数与函数单调性的关系及函数的性质，分别求出的最大值，再结合题设条件，即可求解； （3）利用（2）中的结果，即可求解. 【详解】（1）当时，，则，， 又，则曲线在点处的切线方程为. （2）因为，易知的定义域为， ， 当时，，当时，，当时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，满足题意， 当时，令，得到或 当时，当时，，当时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以， 因为对任意恒成立，所以，解得， 当时，，当时，， 所以时不合题意， 综上所述，实数的取值范围为. 17．（15分）已知函数． (1)求证：； (2)求证：（）； (3)设是函数的两个零点，当时，求的取值范围． 【答案】(1)令函数，求导得，当时，； 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即，因此， 所以. (2)由（1）得，当且仅当时取等号，取，得， 因此，， 则，于是， 所以. (3). 【难度】0.45 【分析】（1）根据给定条件，构造函数，利用导数求出最小值，再利用不等式性质推理得证. （2）由（1）中信息，利用赋值法，结合放缩法、裂项相消法求和即可推理得证. （3）利用函数零点的意义变形得，令，把表示为的函数，利用导数确定单调性，结合给定范围求解. 【详解】（1）略 （2）略 （3）依题意，函数的定义域为R，由，得，令函数， 求导得，当或时，，当时，， 函数在上单调递减，；函数在上单调递减，， 函数在上单调递增，，由是函数的两个零点， 得，，则， 令，则，即， 则，由， 得，令函数，求导得， 令函数，求导得， 函数在上单调递增，则当时，，即， 函数在上单调递增，又，不等式， 因此，令函数，求导得， 函数在上单调递增，则，即，不等式恒成立， 所以的取值范围是. 18．（17分）已知函数（）． (1)若在处取得极值，求的值； (2)求函数的最值； (3)设，若，，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，函数无最值；当时，函数的最大值为，无最小值 (3) 【难度】0.4 【分析】（1）利用求得，并进行检验. （2）对进行分类讨论，根据的单调性确定的最值. （3）将问题转化为，结合导数分别求得的最大值和的最小值，由此列不等式求得的取值范围. 【详解】（1）因为，所以，其中． 因为函数在处取得极值，所以，解得． 经检验，符合题意，所以． （2）由（1）知． 当时，，所以函数在上单调递增，无最值． 当时，，所以函数在上单调递增，无最值． 当时，令，得；令，得． 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值，也是最大值为，无最小值． 综上，当时，函数无最值； 当时，函数的最大值为，无最小值． （3）因为， 恒成立， 所以． 由（2）知，只有当时，． 因为，其中， 所以． 令，其中，则， 所以函数在区间上单调递增． 因为， 所以由零点存在定理可知，存在唯一的， 使得，即，即． 令，其中，则， 所以函数在上单调递增． 因为，所以． 由，可得，则，所以． 又当时，，即； 当时，，即． 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以． 因为， 所以实数的取值范围是． 19．（17分）在数列中，. (1)求的通项公式. (2)已知集合，记的非空子集为，中的所有元素的和为，记. （i）求数列的前2n项和 （ii）记中最大的元素为，求 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【难度】0.33 【分析】（1）根据给定的递推公式，构造常数列求出通项公式. （2）（i）利用组合计数问题求出中每个元素出现的次数，再利用等差数列前项和公式求出，然后利用并项求和法求出； （ii）利用组合计数问题求出中的每个元素为最大元素的个数，再利用错位相减法求和即得. 【详解】（1）在数列中，由，得， 因此数列是常数列，则，， 所以的通项公式为； （2）（i）集合的每个元素在非空子集中出现的次数均为 ， 因此 ， ， 所以 ； （ii）依题意，的非空子集有个， 其中最大元素为的子集中，含1个元素的子集有1个，含2个元素的子集有个， 含3个元素的子集有个，，含个元素的子集有个， 因此最大元素为的子集有个， 同理得最大元素为的集有个， 最大元素为1的子集有个， 则=， 记， 则， 两式相减得 =， 所以=. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁葫芦岛市2025-2026学年高二下学期数学期末复习卷（四） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．函数的单调递增区间为（     ） A． B． C． D． 3．为庆祝端午节，某班级组织了一台晚会，有3个唱歌节目、2个小品节目和1个戏曲节目，要求3个唱歌节目互不相邻，则这台晚会节目的不同安排方法种数为（    ） A． B． C． D． 4．已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知等差数列的前项和为，且，若，则可能的值为（   ） A． B．1 C． D． 6.为推广非遗文化，某文创店推出“非遗主题盲盒”，每个盲盒内装有1张对应非遗项目的卡片，共有剪纸、陶艺、戏曲、书法4款不同卡片，每款卡片在盲盒中出现的概率均等，且不同盲盒开出的卡片相互独立．某同学一次性购买了3个盲盒，设该同学抽到的不同卡片款式的数量为随机变量，则下列说法正确的是（   ） A．随机变量 B． C． D． 7．已知存在使不等式成立，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．已知函数，定义域均为，函数为偶函数，函数是奇函数，若，，则（    ） A．1000 B．2000 C．3000 D．4000 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列说法正确的有（     ） A．若数据，，…，的方差为3，则数据，，…，的方差为9 B．若随机变量，则， C．若随机变量，则 D．已知，，，则 10．下列选项中说法正确的是（     ） A．函数的单调增区间为 B．幂函数过点，则 C．函数的定义域为，则函数的定义域为 D．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 11．已知函数的定义域为，，，为奇函数，则（    ） A． B．为偶函数 C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知正实数，满足，则的最大值是__________． 13．已知数列满足，则数列前项和为_______． 14．已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围是________． 四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知数列满足，，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 16．（15分）已知函数，其中． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围； 17．（15分）已知函数． (1)求证：； (2)求证：（）； (3)设是函数的两个零点，当时，求的取值范围． 18．（17分）已知函数（）． (1)若在处取得极值，求的值； (2)求函数的最值； (3)设，若，，恒成立，求实数的取值范围． 19．（17分）在数列中，. (1)求的通项公式. (2)已知集合，记的非空子集为，中的所有元素的和为，记. （i）求数列的前2n项和 （ii）记中最大的元素为，求 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $