第11讲 相似多边形与位似图形（暑假预习讲义）新九年级数学新教材沪教版五四制

第11讲 相似多边形与位似图形 内容导航 01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型一、位似图形的识别 题型二、位似图形的识别 题型三、位似图形相关概念辨析 题型四、求两个位似图形的相似比 题型五、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 题型六、求位似图形的对应坐标 题型七、在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 题型八、在坐标系中画位似图形 题型九、在坐标系中画位似中心 04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 相似多边形、对应角、对应边、位似图形、位似中心、位似比、相似比、坐标变换、网格作图 1．掌握相似多边形的定义（对应角相等、对应边成比例），理解位似图形是具有特殊位置关系的相似图形。 2．能识别位似图形，掌握位似图形的性质（对应点连线交于一点、对应边平行、位似比等于相似比）。 3．掌握在平面直角坐标系中，以原点为位似中心时，图形放大或缩小后的坐标变化规律 或 。 4．能利用位似变换的性质，在网格中确定位似中心、画出位似图形或将图形进行放大与缩小。 5．能利用位似比与相似比的关系，求解线段长、周长、面积及坐标。 学习重点：1．理解并应用＂对应点到位似中心的距离之比等于位似比＂及＂对应边互相平行＂。 2．重点掌握以坐标原点为位似中心时，点的坐标变化规律（分同侧与异侧两种情况）。 3．通过连接对应点并延长，找到其交点即为位似中心。 4．明确位似比即为相似比，能利用该比值进行线段、周长、面积的计算。 学习难点：1．在坐标系中作位似图形时，容易混淆图形位于位似中心同侧还是异侧，导致坐标符号错误（正负号）。 2．在无坐标系的几何图形中，准确找到对应点并确定位似中心的位置。 3．在涉及位似变换后的图形中，灵活运用＂周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方＂进行综合计算。 4．在网格中按指定比例如 或 进行放大或缩小时，精确计算格点位置。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01相似多边形 1.相似多边形的相关定义 对两个边数相同的多边形，如果将一个多边形的顶点同另一个多边形的顶点依次对应，使得对应角相等，对应边成比例，那么称这两个多边形相似。 两个多边形相似也可以表述为＂两个多边形是相似多边形＂或＂一个多边形与另一个多边形相似＂． 2.相似多边形的性质 对应角相等,对应边成比例 注意 判定两个多边形相似，必须同时具备三个条件:(1)边数相同;(2)对应角分别相等:(3)对应边成比例 3.相似多边形与全等多边形的边、角特征: 相似多边形 全等多边形 对应边 成比例 相等 对应角 相等 相等 下列命题中，正确的是（    ） A．两个等腰三角形一定相似 B．两个等腰梯形一定相似 C．两个菱形一定相似 D．两个正方形一定相似 知识点02 位似图形 1.位似图形 一般地，如果两个图形满足以下两个条件:①所有经过对应点的直线都相交于同一点:②这个交点到两个对应点的距离之比都相等,那么这两个图形就叫做位似图形 2.位似中心 经过各对应两点的直线的交点叫做位似中心 3.位似比 位似中心到两个对应点的距离之比叫做位似比. 如图所示的各组图形都是位似图形，位似中心都是点0. 提示 （1）位似是一种具有特殊位置关系的相似,位似一定相似，但相似不一定位似. （2）位似图形的位似中心只有一个 （3）位似中心可能位于位似图形的同侧;也可能位于位似图形之间;还可能位于位似图形的内部、边上或某一顶点处. 下列三个关于位似图形的表述： ①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形； ②位似图形一定有位似中心； ③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形； 其中正确命题的序号是（     ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 如图，BC∥ED，下列说法不正确的是（　　） A．两个三角形是位似图形 B．点A是两个三角形的位似中心 C．B与D、C与E是对应位似点 D．AE：AD是相似比 知识点03 位似多边形的性质和画法 1.位的性质 位似图形是特殊的相似图形，因此它具有相似图形的所有性质 两个位似多边形的位似比等于它们的相似比 归纳:(1)根据位似多边形的性质可知，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比;(2)经过位似图形的对应点的直线相交于一点(即位似中心);(3)位似图形的对应边互相平行(或在同一条直线上) 2.画位似图形的一般步骤 (1)定点:确定位似中心; (2)连线:分别连结位似中心与原图形中的关键点 (3)作点:根据位似比，作出原图形中的关键点的对应点; (4)构图:按照原图形的形状,顺次连结上述各对应点，得到放大或缩小后的图形 已知在平面直角坐标系中，的顶点分别为，若以原点为位似中心，相似比为2，将放大，则点A的对应点的坐标为 ． 如图，线段两个端点的坐标分别为，，以原点O为位似中心，将线段缩小为原来的后得到线段，则端点C的坐标为 ．    知识点04 以坐标原点为位似中心的坐标变换规律 1.位似变换 把一个图形按一定的位似比改变成它的位似图形,叫做位似变换 2.位似变换的坐标变化规律 以坐标原点为位似中心的位似变换有以下性质:当以坐标原点为位似中心时，若原图形上点的坐标为(x,y),位似图形与原图形的位似比为则位他图形上的对应点的坐标为(kx,ky)或(-kx,ky) 提示： (1) 运用此性质可在平面直角坐标系中对图形进行放大或缩，小所得到的两个图形是以原点为位似中心的位似图形 (2) 当位似图形上对应点的坐标为(kx,ky)时,两个图形在位似中心的同侧; (3) 当位似图形上对应点的坐标为(-kx,ky)时,两个图形在位似中心的两侧. 如图、在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、．    (1)在y轴右侧、以O为位似中心，将按相似比为缩小，画出 (2)写出各顶点的坐标； (3)若内部一点M的坐标为，则点M的对应点的坐标是 ． △ABC的三个顶点的坐标分别为，，，以原点O为位似中心，在第三象限内，画出的位似图形，使与的相似比为，并写出，B'，的坐标．    题型一、位似图形的识别 2026年央视春晚的图标如图所示，其可以看作是由其中一个基本图形经过下面哪种图形变换得到（     ） A．平移 B．翻折 C．旋转 D．位似 下列是相似图形但不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 从物体上出发的光，沿直线穿过小孔，照在小孔另一侧的屏上会形成像，这就是小孔成像现象．大约在公元前四世纪，《墨经》中就记载了小孔成像的实验．如图是小孔成像的示意图（物距小于像距），其中体现的变换是（   ） A．位似变换 B．对称变换 C．旋转变换 D．平移变换 如图所示的是位似图形的4种画法，其中正确的个数是 ． 如图，在正方形网格中，以点O为位似中心，格点的位似图形是格点______，（三角形的顶点为M，N，P，Q，K，T中的三点），该三角形与 的位似比为_____．    题型二、位似图形的识别 如图，在平面直角坐标系中，与位似，则下列对两位同学说法的判断正确的是（   ）． 嘉嘉：与的相似比为． 淇淇：位似中心为． A．只有嘉嘉正确 B．只有淇淇正确 C．两人都正确 D．两人都不正确 在如图所示的的方格中，是格点，线段是由线段位似放大得到的，则它们的位似中心可以是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 如图，在平面直角坐标系中，四边形的各顶点坐标分别是 ， ， ， ，四边形的各顶点坐标分别是 ， ， ， ．有下列说法：①四边形 与四边形的形状相同；②；③ ；④连接各对应顶点的直线相交于一点．其中说法正确的有（    ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为______．    如图，在边长为1的正方形网格中，两个三角形的顶点都在小正方形的顶点，且两个三角形是位似图形，点O和点P也在小正方形的顶点，则这两个三角形的位似中心是点_____．    题型三、位似图形相关概念辨析 如图，图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为，点，的对应点分别为点，．若，则的长为（     ） A．6 B．9 C．10 D．25 如图，以点为位似中心，画一个四边形，使它与四边形位似，且四边形与四边形的相似比为，则下列说法错误的是（   ） A．四边形四边形 B．点，，三点在同一直线上 C． D． 如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若，的面积是1，则的面积是______． 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在原点的同侧画，使与成位似图形，且相似比为，则线段的长度为_______． 如图，线段、相交于点，请你补充一个条件：______，使与是以点为位似中心的位似图形． 如图，与位似，点为位似中心． (1)若与的相似比为，，求的长； (2)若，，求的度数． 题型四、求两个位似图形的相似比 如图，与是位似图形，且位似中心为点O，，则等于（     ） A． B． C． D． 如图，与是位似图形，点是位似中心，若位似比为，的周长为6，则的周长等于（    ） A．6 B．8 C．9 D．12 如图，在平面直角坐标系中，两个矩形的对称中心与原点重合，且它们是位似图形，位似中心为点．若点，的对应点为点，已知点，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 如图，四边形 和' 是以点O为位似中心的位似图形，若，四边形 的面积为8，那么四边形的面积为 ______ 如图，已知与位似，位似中心为O，且与的周长之比是，则的值为______． 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，．将点的横坐标、纵坐标都乘，得到点． (1)请写出点的坐标，并在所给的坐标系中画出； (2)与位似吗？如果位似，直接写出位似中心的坐标和相似比；否则，说明理由． 题型五、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 直角坐标系用来表示复数的平面叫做复平面，复数可用点表示，比如，复数对应复平面内点；复数对应复平面内点．若点A对应复数，点B对应复数；以原点O为位似中心，作的位似图形，且点A对应点，若与的位似比为，则对应的复数是__________． 如图，在网格图中，已知和点． (1)以点为位似中心，在轴右侧画出，使它与位似，且位似比为； (2)写出各顶点的坐标． 在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)将绕点顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标； (2)以点为位似中心，将放大得到，相似比为，在网格图中画出． 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中有和格点（网格线的交点）O． (1)以点O为位似中心，在网格内将放大为原来的2倍，得到，画出放大后的； (2)将绕点O顺时针旋转，得到，请你画出，并直接写出边在旋转过程中扫过的面积． 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点为格点． (1)以原点O为位似中心在第一象限画出，使它与的相似比为2； (2)无刻度直尺作图，在线段上找一点，使得． 题型六、求位似图形的对应坐标 如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，在原点O的另一侧按的相似比将缩小得到，点E，F的对应点分别为，．若，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 如图，在平面直角坐标系中，两个矩形的对称中心与原点重合，且它们是位似图形，位似中心为点O．若点，点，点，则点的坐标为（） A． B． C． D． 是由以原点O为位似中心扩大2倍得到的，已知点，那么点C的坐标是_____________． 如图，在平面直角坐标系中，与位似，点为位似中心，点，在轴正半轴上，，若点的坐标为，则点的坐标为_____． 已知在平面直角坐标系中，点、、，以原点为位似中心，位似比为，则点的对应点的坐标为________． 如图，三个顶点坐标分别为，请以O为位似中心，把的边长放大为原来的2倍．要求画出满足条件的所有图形并写出放大后三角形各自的顶点坐标． 题型七、在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 如图，在平面直角坐标系中，已知，，与位似，原点O是位似中心．若的面积为4，则的面积为（     ）    A．12 B．18 C．36 D．48 如图，四边形,是以点为位似中心的位似图形．已知，则四边形与四边形的周长之比是（     ） A． B． C． D． 如图，矩形，是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点，的坐标分别为，．若的长为3，则的长为（   ） A． B．7 C． D．8 如图，与是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A的坐标为，点D的坐标为 ．则的值为_______． 38．如图，在平面直角坐标系中，以点为位似中心，将放大后得到．若，则的长为______． 如图，在正方形网格中，点A，B，C都在格点上，利用格点按要求完成下列作图，（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） (1)在图1中，以C为位似中心，位似比为，在格点上将放大得到，请画出，此时与的面积比为________； (2)在图2中，线段上作点M，利用格点作图使得． 题型八、在坐标系中画位似图形 已知：如图三个顶点的坐标分别为、、，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点C为位似中心，在网格中画出，使与位似，且与的位似比为2：1，此时点的坐标为_____．    如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均在格点上（网格线的交点）． (1)画出先向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得到的； (2)以原点为位似中心，在轴的上方画出，使与位似，且位似比为； (3)和关于点位似，直接写出点的坐标为______________． 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． (1)以坐标原点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，使与位于位似中心的两侧，请在平面直角坐标系中画出； (2)设与的周长分别为、，则________． 如图，在边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上（网格线的交点）． (1)以点为位似中心，画出的位似图形，使与位于点的两侧，且与的相似比为； (2)将绕点逆时针旋转得到，画出． 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)以原点为位似中心，在图中画出的位似图形，使与的相似比为，点分别与点对应，且点在第二象限． (2)在（1）的条件下，写出与的面积比：___________． 如图，点和在平面直角坐标系中，点的坐标是，根据下列要求，解答相应的问题： (1)作关于轴对称的，直接写出点的对应点的坐标； (2)作关于点成位似中心的位似，与的相似比为，且这两个三角形在点同侧，直接写出点的对应点的坐标． 题型九、在坐标系中画位似中心 如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 与为位似图形其位似中心为P，则的坐标为___________． 如图，在坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似形，则位似中心的坐标为______ 如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系，与的顶点均为格点，点的坐标为． (1)求证：； (2)把向右平移6个单位长度得到，画出平移后的三角形，并判断与是否位似，如果是，请写出位似中心的坐标，如果不是，请说明理由． 已知，△ABC在平面直角坐标系的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为．与是以点P为位似中心的位似图形． (1)在图中找出点P并写出点P的坐标； (2)以点O为位似中心，在y轴左侧画出△ABC的位似图形，使与相似比为； (3)若点为内一点，则点M在内的对应点的坐标为______． 图中的与位似，则位似中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 中国古代器物与装饰纹饰在构图上多遵循主从分明、比例相宜的传统布局原则，常将主体纹样放大突出，辅助纹样缩小衬托，其构图方式蕴含位似变换的数学思想．如图，若某主体纹饰与辅助纹饰的相似比为，辅助纹饰的宽度，则主体纹饰的宽度为（    ） A． B． C． D． 如图，用放大镜观察一个三角形，下列说法错误的是（   ） A．三角形各角的度数扩大 B．三角形的各边的长度扩大 C．三角形的周长扩大 D．三角形的面积扩大 如图，在平面直角坐标系中，四边形与四边形是位似图形，位似中心为点，位似比是，则的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 如图，用机械臂绘图时，对平面直角坐标系中的菱形执行了两步操作：先以O为位似中心，将菱形放大为原来的2倍，然后拖动菱形平移，得到菱形．已知，，，若菱形内部一点F经过上述操作后得到的对应点与它本身重合，则点F的坐标是（   ） A． B． C． D． 如图，在平面直角坐标系中，四边形与四边形位似，位似中心是原点，点，的对应点分别是点，，点，，的坐标分别为，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 如图，正方形的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为______．    如图，正六边形经过位似变换得到正六边形．若，则正六边形和正六边形的面积比是____． 如图，放在同一平面直角坐标系中的两个气球恰好是位似图形，点、点分别是①号、②号气球的扎口，位似中心为点，位似比是，则的对应点的坐标是__________． 如图，在平面直角坐标系中，把放大后得到，则与的面积比为________ 如图是视力表中的一部分，图中左上角的“E”与右下角的“E”是位似图形，位似中心为点O，已知，，则的长为________． 如图，在平面直角坐标系中，线段轴，的长为2，点A的坐标为，以点O为位似中心，在第一象限内画线段，使它与线段位似（点A，B的对应点分别为点，）．若，则点的坐标为______． 如图，四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心，， ，求的长． 在图1与图2中分别作出一个位置不同的三角形，使得其与关于坐标原点位似，且其边长是的边长的两倍． 在如图的方格纸中，与是关于点P为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心P的位置； (2)以原点O为位似中心，在第三象限画出的一个位似，使它与的位似比为； (3)分别写出A，B的对应点，的坐标：________，________． (4)已知的面积为2.5，则四边形的面积为________． 如图所示的网格中有、、三点． (1)请你以网格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，使两点的坐标分别为，则点的坐标是_____； (2)连接、、，先以坐标原点为位似中心，按比例尺在轴的左侧画出缩小后的，再写出点对应点的坐标_____． 2/14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 相似多边形与位似图形 内容导航 01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型一、位似图形的识别 题型二、位似图形的识别 题型三、位似图形相关概念辨析 题型四、求两个位似图形的相似比 题型五、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 题型六、求位似图形的对应坐标 题型七、在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 题型八、在坐标系中画位似图形 题型九、在坐标系中画位似中心 04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 相似多边形、对应角、对应边、位似图形、位似中心、位似比、相似比、坐标变换、网格作图 1．掌握相似多边形的定义（对应角相等、对应边成比例），理解位似图形是具有特殊位置关系的相似图形。 2．能识别位似图形，掌握位似图形的性质（对应点连线交于一点、对应边平行、位似比等于相似比）。 3．掌握在平面直角坐标系中，以原点为位似中心时，图形放大或缩小后的坐标变化规律 或 。 4．能利用位似变换的性质，在网格中确定位似中心、画出位似图形或将图形进行放大与缩小。 5．能利用位似比与相似比的关系，求解线段长、周长、面积及坐标。 学习重点：1．理解并应用＂对应点到位似中心的距离之比等于位似比＂及＂对应边互相平行＂。 2．重点掌握以坐标原点为位似中心时，点的坐标变化规律（分同侧与异侧两种情况）。 3．通过连接对应点并延长，找到其交点即为位似中心。 4．明确位似比即为相似比，能利用该比值进行线段、周长、面积的计算。 学习难点：1．在坐标系中作位似图形时，容易混淆图形位于位似中心同侧还是异侧，导致坐标符号错误（正负号）。 2．在无坐标系的几何图形中，准确找到对应点并确定位似中心的位置。 3．在涉及位似变换后的图形中，灵活运用＂周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方＂进行综合计算。 4．在网格中按指定比例如 或 进行放大或缩小时，精确计算格点位置。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01相似多边形 1.相似多边形的相关定义 对两个边数相同的多边形，如果将一个多边形的顶点同另一个多边形的顶点依次对应，使得对应角相等，对应边成比例，那么称这两个多边形相似。 两个多边形相似也可以表述为＂两个多边形是相似多边形＂或＂一个多边形与另一个多边形相似＂． 2.相似多边形的性质 对应角相等,对应边成比例 注意 判定两个多边形相似，必须同时具备三个条件:(1)边数相同;(2)对应角分别相等:(3)对应边成比例 3.相似多边形与全等多边形的边、角特征: 相似多边形 全等多边形 对应边 成比例 相等 对应角 相等 相等 下列命题中，正确的是（    ） A．两个等腰三角形一定相似 B．两个等腰梯形一定相似 C．两个菱形一定相似 D．两个正方形一定相似 【答案】D 【分析】根据相似图形的判定，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、两个顶角或底角相等的等腰三角形一定相似，故本选项不符合题意； B、两个等腰梯形的形状不唯一，则两个等腰梯形不一定相似，故本选项不符合题意； C、两个菱形的形状不唯一，则两个菱形不一定相似，故本选项不符合题意； D、两个正方形一定相似，故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】此题主要考查相似图形的判定，熟悉相似三角形的判定定理是解题的关键． 知识点02 位似图形 1.位似图形 一般地，如果两个图形满足以下两个条件:①所有经过对应点的直线都相交于同一点:②这个交点到两个对应点的距离之比都相等,那么这两个图形就叫做位似图形 2.位似中心 经过各对应两点的直线的交点叫做位似中心 3.位似比 位似中心到两个对应点的距离之比叫做位似比. 如图所示的各组图形都是位似图形，位似中心都是点0. 提示 （1）位似是一种具有特殊位置关系的相似,位似一定相似，但相似不一定位似. （2）位似图形的位似中心只有一个 （3）位似中心可能位于位似图形的同侧;也可能位于位似图形之间;还可能位于位似图形的内部、边上或某一顶点处. 下列三个关于位似图形的表述： ①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形； ②位似图形一定有位似中心； ③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形； 其中正确命题的序号是（     ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】根据位似图形与相似图形之间的联系和区别去判断即可． 【详解】相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，故①错误； 位似图形一定有位似中心，是对应点连线的交点，故②正确； 如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，且对应边平行或共线，那么，这两个图形是位似图形，故③正确； 位似图形上对应点与位似中心的距离之比等于位似比，故④错误； 正确答案为：②③ 故选：B． 【点睛】本题考查了位似图形与相似图形之间的联系和区别，如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行，那么，这两个图形是位似图形，这个点是位似中心，但不是所有的相似图形都是位似图形，并且位似图形上对应点与位似中心的距离之比等于位似比． 如图，BC∥ED，下列说法不正确的是（　　） A．两个三角形是位似图形 B．点A是两个三角形的位似中心 C．B与D、C与E是对应位似点 D．AE：AD是相似比 【答案】D 【分析】根据位似变换的概念判断即可． 【详解】解：A、∵BC∥ED， ∴△ADE∽△ABC， ∵△ADE与△ABC对应点的连线相交于一点，对应边平行或在同一条直线上， ∴△ADE与△ABC是位似图形，本选项说法正确，不符合题意； B、点A是两个三角形的位似中心，本选项说法正确，不符合题意； C、B与D、C与E是对应位似点，本选项说法正确，不符合题意； D、AE：AD不是相似比，AE：AC是相似比，本选项说法错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是位似变换的概念，两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 知识点03 位似多边形的性质和画法 1.位的性质 位似图形是特殊的相似图形，因此它具有相似图形的所有性质 两个位似多边形的位似比等于它们的相似比 归纳:(1)根据位似多边形的性质可知，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比;(2)经过位似图形的对应点的直线相交于一点(即位似中心);(3)位似图形的对应边互相平行(或在同一条直线上) 2.画位似图形的一般步骤 (1)定点:确定位似中心; (2)连线:分别连结位似中心与原图形中的关键点 (3)作点:根据位似比，作出原图形中的关键点的对应点; (4)构图:按照原图形的形状,顺次连结上述各对应点，得到放大或缩小后的图形 已知在平面直角坐标系中，的顶点分别为，若以原点为位似中心，相似比为2，将放大，则点A的对应点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】分关于原点的位似图形与在原点同侧和异侧两种情况求解即可． 【详解】解：当关于原点的位似图形与在原点同侧时，点A的对应点的坐标为，即； 当关于原点的位似图形与在原点异侧时，点A的对应点的坐标为，即； 综上所述，点A的对应点的坐标为或． 【点睛】本题考查了位似变换的性质，两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 如图，线段两个端点的坐标分别为，，以原点O为位似中心，将线段缩小为原来的后得到线段，则端点C的坐标为 ．    【答案】 【分析】利用位似图形的性质结合两图形的位似比进而得出C点坐标． 【详解】解：∵线段两个端点的坐标分别为，，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段， ∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的一半， ∴端点C的坐标为． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关键． 知识点04 以坐标原点为位似中心的坐标变换规律 1.位似变换 把一个图形按一定的位似比改变成它的位似图形,叫做位似变换 2.位似变换的坐标变化规律 以坐标原点为位似中心的位似变换有以下性质:当以坐标原点为位似中心时，若原图形上点的坐标为(x,y),位似图形与原图形的位似比为则位他图形上的对应点的坐标为(kx,ky)或(-kx,ky) 提示： (1) 运用此性质可在平面直角坐标系中对图形进行放大或缩，小所得到的两个图形是以原点为位似中心的位似图形 (2) 当位似图形上对应点的坐标为(kx,ky)时,两个图形在位似中心的同侧; (3) 当位似图形上对应点的坐标为(-kx,ky)时,两个图形在位似中心的两侧. 如图、在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、．    (1)在y轴右侧、以O为位似中心，将按相似比为缩小，画出 (2)写出各顶点的坐标； (3)若内部一点M的坐标为，则点M的对应点的坐标是 ． 【答案】(1)见解析 (2)，， (3) 【分析】（1）根据位似的性质进行作图即可； （2）由（1）可得点坐标； （3）根据位似比求点坐标即可． 【详解】（1）解：由题意知，作图如下：    （2）解：由（1）可知，，，； （3）解：由位似的性质可知，的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了位似作图，位似的性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． △ABC的三个顶点的坐标分别为，，，以原点O为位似中心，在第三象限内，画出的位似图形，使与的相似比为，并写出，B'，的坐标．    【答案】图见解析，，， 【分析】由位似图形的性质，结合要在第三象限内，画出的位似图形，即对应点坐标乘以2即可． 【详解】解：如图，即为所作．    由图可知，，． 【点睛】本题考查作图—位似变换，坐标与图形的变化—位似变换．掌握位似的性质是解题关键． 题型一、位似图形的识别 2026年央视春晚的图标如图所示，其可以看作是由其中一个基本图形经过下面哪种图形变换得到（     ） A．平移 B．翻折 C．旋转 D．位似 【答案】A 【分析】根据平移只改变位置，不改变大小，形状和方向，即可得到结果．翻折、旋转可以改变方向，位似可以改变大小． 【详解】解：可以看作由如下的基本图形经过平移得到． 下列是相似图形但不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似图形与位似图形的定义，关键在于明确位似图形是特殊的相似图形，需额外满足“对应顶点的连线交于同一点，且对应边互相平行或共线”的条件． 【详解】解：根据相似图形与位似图形的定义：相似图形指形状相同的图形；位似图形是特殊的相似图形，需同时满足“对应顶点的连线交于同一点”和“对应边互相平行或共线”． 选项A、B、C的图形均为位似图形(同时是相似图形)； 选项D的图形是相似图形，但对应顶点连线未交于同一点，不是位似图形． 故选：D． 从物体上出发的光，沿直线穿过小孔，照在小孔另一侧的屏上会形成像，这就是小孔成像现象．大约在公元前四世纪，《墨经》中就记载了小孔成像的实验．如图是小孔成像的示意图（物距小于像距），其中体现的变换是（   ） A．位似变换 B．对称变换 C．旋转变换 D．平移变换 【答案】A 【分析】本题考查了位似变换，熟练掌握位似变换的特征是解题的关键．根据位似变换的特征作答即可． 【详解】解：由题意知，物和像属于位似变换． 故选：A． 如图所示的是位似图形的4种画法，其中正确的个数是 ． 【答案】 【分析】根据位似变换的定义对各选项进行判断． 【详解】解：第一个图形中的位似中心为A点，第二个图形中的位似中心为AD与BC的交点，第三个图形中的位似中心为O点，第四个图形中的位似中心为O点． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了作图——位似变换：先确定位似中心，再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点，然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 如图，在正方形网格中，以点O为位似中心，格点的位似图形是格点______，（三角形的顶点为M，N，P，Q，K，T中的三点），该三角形与 的位似比为_____．    【答案】 【分析】本题考查位似三角形，根据位似三角形的定义，进行判断，根据位似比等于相似比，求出位似比即可． 【详解】解：由题意和图可知：以点O为位似中心，格点的位似图形是格点， ∴， 该三角形与 的位似比为； 故答案为：；． 题型二、位似图形的识别 如图，在平面直角坐标系中，与位似，则下列对两位同学说法的判断正确的是（   ）． 嘉嘉：与的相似比为． 淇淇：位似中心为． A．只有嘉嘉正确 B．只有淇淇正确 C．两人都正确 D．两人都不正确 【答案】A 【分析】本题考查位似中心的判断，位似比的计算，熟练掌握相关知识是关键． 根据位似的性质判断对应点和对应边，结合网格可计算出相似比，进而验证嘉嘉的说法；对应点所在的直线的交点即为位似中心，作图找到位似中心并判断坐标，即可验证淇淇的说法． 【详解】解：∵位似图形对应边平行或在同一直线上， ∴， 由图可知，，， ∴相似比为，故嘉嘉正确； 如图，连接、交于点，则点即为位似中心， 由图可知，点的坐标不是，故淇淇错误． 故选：A． 在如图所示的的方格中，是格点，线段是由线段位似放大得到的，则它们的位似中心可以是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查位似中心的定义，解题关键是理解“位似中心是对应顶点连线的交点”，通过找到对应顶点并分析其连线的交点来确定答案．需找到线段与线段对应顶点（如A与C、B与D）连线的交点，该交点即为位似中心． 【详解】解：位似中心是位似图形中对应顶点连线的交点， 观察方格图中各点位置，连接A与C、B与D，发现这两条线段的交点为点， 因此位似中心是点． 故选：B． 如图，在平面直角坐标系中，四边形的各顶点坐标分别是 ， ， ， ，四边形的各顶点坐标分别是 ， ， ， ．有下列说法：①四边形 与四边形的形状相同；②；③ ；④连接各对应顶点的直线相交于一点．其中说法正确的有（    ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化的知识，掌握位似图形的性质是解题的关键； 首先根据两个四边形的顶点坐标的关系，可知四边形 与四边形为位似图形，再结合位似图形的性质分析判断各说法，即可解题． 【详解】解：根据各点坐标可看出四边形横纵坐标都乘2得到四边形，所以两个四边形形状相同，故①正确． 四边形边长扩大2倍为四边形的边长，所以，故②正确，③不正确． 由图知， 连接各个对应顶点的直线相交于点O，故④正确， 综上所述，说法正确的有①②④共3个 故选：C． 如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为______．    【答案】 【分析】连接各组对应点，它们在两个正方形之间相交于点，则点为位似中心，然后写出点坐标即可． 【详解】解：如图，点为位似中心，．    故答案为：． 【点睛】本题考查位似变换：位似的两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或共线），掌握位似变换的性质是解题的关键． 如图，在边长为1的正方形网格中，两个三角形的顶点都在小正方形的顶点，且两个三角形是位似图形，点O和点P也在小正方形的顶点，则这两个三角形的位似中心是点_____．    【答案】P． 【分析】把图形的对应定点连线，都相交的那个点就是位似中心. 【详解】如图所示：这两个三角形的位似中心是点P． 故答案为：P．    【点睛】本题考查的是位似图形的位似中心，解题的关键是知道位似图形的对应点的连线相交的点就是位似中心. 题型三、位似图形相关概念辨析 如图，图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为，点，的对应点分别为点，．若，则的长为（     ） A．6 B．9 C．10 D．25 【答案】B 【分析】根据位似图形的性质，位似图形的对应线段的比等于位似比，据此列出比例式计算即可 【详解】解：∵图形甲与图形乙是位似图形，位似比为， ∴， ∵， ∴， ∴． 如图，以点为位似中心，画一个四边形，使它与四边形位似，且四边形与四边形的相似比为，则下列说法错误的是（   ） A．四边形四边形 B．点，，三点在同一直线上 C． D． 【答案】C 【分析】根据位似图形必相似、对应点连线过位似中心、对应边与对应点到位似中心的距离之比均等于相似比这三条核心性质，逐一验证选项找出错误结论． 【详解】解：选项A：位似图形一定是相似图形，因此四边形四边形，故该说法正确，不符合题意； 选项B：位似图形对应点的连线必经过位似中心，因此点，，三点在同一直线上，故该说法正确，不符合题意； 选项C：已知四边形与四边形的相似比为，则对应点到位似中心的距离之比也为，即，变形得，故该说法错误，符合题意； 选项D：相似图形对应边的比等于相似比，因此，该说法正确，不符合题意． 如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若，的面积是1，则的面积是______． 【答案】 【分析】根据位似变换的概念得到，，从而得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵和是以点O为位似中心的位似图形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵的面积等于1， ∴的面积为． 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在原点的同侧画，使与成位似图形，且相似比为，则线段的长度为_______． 【答案】 【分析】根据位似图形的性质可得，然后根据两点间的距离公式求出即可解决问题． 【详解】解：∵与是位似图形，且相似比为， ∴， ∵， ∴． 如图，线段、相交于点，请你补充一个条件：______，使与是以点为位似中心的位似图形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了位似图形“看两个相似多边形的对应顶点所在的直线是否相交于一点，相交于一点的就是位似图形”，熟练掌握位似图形的定义是解题关键．补充条件使得即可得． 【详解】解：补充条件，则， 所以与是以点为位似中心的位似图形． 故答案为：（答案不唯一）． 如图，与位似，点为位似中心． (1)若与的相似比为，，求的长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查位似变换的概念、相似三角形的判定与性质， （1）由与的相似比为，可得，再求的长即可； （2）先求出的度数，再根据位似图形的性质求解即可． 掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵与的相似比为，， ∴， ∴， ∴的长为； （2）∵，， ∴， ∵与位似，点为位似中心， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴的度数为． 题型四、求两个位似图形的相似比 如图，与是位似图形，且位似中心为点O，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的性质，由题意可得，且相似比为，结合相似三角形的性质即可得解，熟练掌握相似三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵与是位似图形，且位似中心为点O，， ∴，且相似比为， ∴； 如图，与是位似图形，点是位似中心，若位似比为，的周长为6，则的周长等于（    ） A．6 B．8 C．9 D．12 【答案】C 【分析】根据位似图形的性质得到，且相似比为，进而根据相似三角形的性质作答即可． 【详解】解：∵与是位似图形，位似比为， ∴，且相似比为， ∴， ∵的周长为6， ∴， ∴． 如图，在平面直角坐标系中，两个矩形的对称中心与原点重合，且它们是位似图形，位似中心为点．若点，的对应点为点，已知点，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】位似图形的性质：以原点为位似中心的位似图形，对应点的坐标满足“对应点坐标比等于位似比（符号有位置决定）” ． 【详解】解：如图： ∵在平面直角坐标系中，两个矩形的对称中心与原点重合，且它们是位似图形，位似中心为点，若点，的对应点为点， ∴位似比为， ∵点与点是位似图形的对应点，且在同一个象限内， ∴点的坐标，即， ∵在平面直角坐标系中，两个矩形的对称中心与原点重合， ∴点与点关于原点成中心对称， ∴点的坐标为． 如图，四边形 和' 是以点O为位似中心的位似图形，若，四边形 的面积为8，那么四边形的面积为 ______ 【答案】18 【分析】根据位似图形的性质得出四边形与四边形相似，且相似比等于，再利用相似多边形面积比等于相似比的平方进行计算即可． 【详解】解： 四边形和四边形是以点为位似中心的位似图形， 四边形 四边形，且相似比为 . 四边形的面积为， 四边形的面积为． 如图，已知与位似，位似中心为O，且与的周长之比是，则的值为______． 【答案】 【分析】根据位似图形的定义可得，再由相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵与位似，位似中心为O， ∴， ∵与的周长之比是， ∴． 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，．将点的横坐标、纵坐标都乘，得到点． (1)请写出点的坐标，并在所给的坐标系中画出； (2)与位似吗？如果位似，直接写出位似中心的坐标和相似比；否则，说明理由． 【答案】(1)；图见解析 (2)位似；位似中心的坐标为原点；相似比为 【分析】本题主要考查的知识点是平面直角坐标系中图形的位似变换(包括坐标变换、位似中心与位似比的确定)． （）先根据“横坐标、纵坐标都乘”的规则，分别计算出点的坐标，再在坐标系中描出这三个点并依次连线，即可得到； （）根据位似的定义：两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行(或在同一直线上)，这个点叫做位似中心，相似比叫做位似比；判断与是相似，再观察对应顶点连线的交点确定位似中心，最后通过坐标的比例关系求出位似比，从而得出结论． 【详解】（1）解：∵点， ∴点的横坐标、纵坐标都乘，得 的坐标，即； 的坐标，即； 的坐标，即； 在坐标系中画出，再依次连接这三个点， 即可得到 如图，即为所求． （2）解：位似；位似中心的坐标为原点；相似比为。 如图：连接与、与、与，三条连线都经过原点， 各对应顶点的横、纵坐标的绝对值的比都是，所以相似比(位似比)为， 因此，与位似，位似中心的坐标为，位似比为． 题型五、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 直角坐标系用来表示复数的平面叫做复平面，复数可用点表示，比如，复数对应复平面内点；复数对应复平面内点．若点A对应复数，点B对应复数；以原点O为位似中心，作的位似图形，且点A对应点，若与的位似比为，则对应的复数是__________． 【答案】或 【分析】本题考查了新定义，位似的性质．根据以原点为位似中心的位似变换性质，直接缩放点A坐标得到坐标，从而得到对应复数，即可求解． 【详解】解：∵以原点O为位似中心，位似比为，即相似比为， ∴点A的对应点的坐标为即或即， 根据题意得：对应的复数为或． 故答案为：或． 如图，在网格图中，已知和点． (1)以点为位似中心，在轴右侧画出，使它与位似，且位似比为； (2)写出各顶点的坐标． 【答案】(1)如图，即为所求． (2)，， 【分析】（1）根据位似图形的性质画图即可； （2）根据位似图形的性质，结合位似比及各点坐标解答即可． 【详解】（1）解：略 （2）解：由网格图可知，，， ∵与位似，点为位似中心， ∴， ∵位似比为，， ∴， ∴，，． 在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)将绕点顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标； (2)以点为位似中心，将放大得到，相似比为，在网格图中画出． 【答案】(1)作图见解析， (2)作图见解析 【分析】（1）将的三个顶点绕点顺时针旋转后连线即可得到，在网格图中写出点的坐标； （2）连接，反向延长倍得到，连接三个点即可得到． 【详解】（1）解：如图所示： 即为所求，点的坐标为； （2）解：如图所示： 即为所求． 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中有和格点（网格线的交点）O． (1)以点O为位似中心，在网格内将放大为原来的2倍，得到，画出放大后的； (2)将绕点O顺时针旋转，得到，请你画出，并直接写出边在旋转过程中扫过的面积． 【答案】(1)如图所示．    (2)如图所示．扫过的面积为 【分析】（1）先确定位似中心为，因为位似比为2，所以分别连接、、并延长，使对应线段长度变为原来的2倍，得到对应顶点、、，顺次连接即可； （2）根据旋转的性质，确定旋转中心、旋转方向为顺时针、旋转角为，分别作出、、三点旋转后的对应点、、，顺次连接得到，因为扫过的面积是圆心角为，半径分别为、的两个扇形的面积差，所以先计算、的长度，再用扇形面积公式计算面积差． 【详解】（1）分别连接， 延长到使，延长到使，延长到使， 顺次连接，所以即为所求作的图形； （2）分别将点绕点顺时针旋转得到对应点，顺次连接得到即为所求作的图形； 根据勾股定理，结合网格可得：，， 线段旋转过程中扫过的图形是圆心角为的圆环，面积为大扇形面积减小扇形面积： ． 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点为格点． (1)以原点O为位似中心在第一象限画出，使它与的相似比为2； (2)无刻度直尺作图，在线段上找一点，使得． 【答案】(1)如图，即为所求； (2)如图，点D即为所求． 【分析】（1）把点A、B、C的横纵坐标都乘以得到点、、的坐标，然后描点连线即可； （2）以为边，在的上方构造正方形，再过点A连接对角线，交于点D，则． 【详解】（1）略 （2）略 题型六、求位似图形的对应坐标 如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，在原点O的另一侧按的相似比将缩小得到，点E，F的对应点分别为，．若，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据位似图形的性质，结合已知点的坐标以及位似比，求出点的坐标即可． 【详解】解：∵以原点为位似中心，将按的相似比缩小得到， ∴点的坐标是，即． 如图，在平面直角坐标系中，两个矩形的对称中心与原点重合，且它们是位似图形，位似中心为点O．若点，点，点，则点的坐标为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点和的坐标确定位似比，利用矩形的中心对称性求出大矩形在第三象限的顶点坐标，最后根据位似变换的性质求出点的坐标． 【详解】解：点，点，且为位似中心 小矩形与大矩形的位似比为 矩形的对称中心与原点重合，点 大矩形在第三象限的顶点坐标为 点是小矩形在第三象限的顶点，与大矩形在第三象限的顶点对应 点的坐标为，即． 是由以原点O为位似中心扩大2倍得到的，已知点，那么点C的坐标是_____________． 【答案】或/或 【分析】利用位似变换的坐标性质即可求解． 【详解】解：由题意可得，位似中心为原点，点是点在位似变换后的对应点，位似比为， 已知点坐标为，根据以原点为位似中心的位似变换的坐标规律， 有，， 或者，， ∴点的坐标为或． 如图，在平面直角坐标系中，与位似，点为位似中心，点，在轴正半轴上，，若点的坐标为，则点的坐标为_____． 【答案】 【分析】本题考查了位似变换，由与位似，，得与的相似比为，再根据位似变换的性质即可求解，正确求出相似比是解题的关键． 【详解】， ， ∴与的位似比为， 点的坐标为， 点的坐标为． 已知在平面直角坐标系中，点、、，以原点为位似中心，位似比为，则点的对应点的坐标为________． 【答案】或或或 【分析】根据在平面直角坐标系中，位似变换以原点为位似中心时，相似比为，位似图形对应点的坐标的比等于或，进行计算． 【详解】解：点的坐标为，以原点为位似中心，位似比为， 当以原点为位似中心将缩小时，点的对应点的坐标为或，整理得或； 当以原点为位似中心将扩大时，点的对应点的坐标为或，整理得或． 如图，三个顶点坐标分别为，请以O为位似中心，把的边长放大为原来的2倍．要求画出满足条件的所有图形并写出放大后三角形各自的顶点坐标． 【答案】见解析 【分析】把点A、B、C的坐标都乘以2或乘以得到对应点的坐标，然后描点连线即可． 【详解】解：如图，和为所作图形． 或． 题型七、在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 如图，在平面直角坐标系中，已知，，与位似，原点O是位似中心．若的面积为4，则的面积为（     ）    A．12 B．18 C．36 D．48 【答案】C 【分析】由题意可得，，由位似图形的性质可得与相似，相似比为，再由相似三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵与位似，原点O是位似中心， ∴与相似，相似比为， ∴， ∵的面积为4， ∴的面积为． 如图，四边形,是以点为位似中心的位似图形．已知，则四边形与四边形的周长之比是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据位似的性质得到四边形和四边形的相似比为，然后根据相似多边形的周长之比等于相似比求解． 【详解】解：四边形和是以点为位似中心的位似图形， 若， 四边形和的相似比为， 相似多边形的周长之比等于相似比， 四边形和的周长比为． 如图，矩形，是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点，的坐标分别为，．若的长为3，则的长为（   ） A． B．7 C． D．8 【答案】C 【分析】本题考查位似图形的性质．根据位似图形的对应边成比例，利用点和点的坐标求出位似比，进而求出的长． 【详解】解：矩形与矩形是以坐标原点为位似中心的位似图形， ， ． 点的坐标为，点的坐标为 ， ， ． ， ， ． 如图，与是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A的坐标为，点D的坐标为 ．则的值为_______． 【答案】 【分析】由与是以坐标原点为位似中心的位似图形，得，然后根据相似三角形的相似比等于位似比可进行求解． 【详解】解：与是以坐标原点为位似中心的位似图形， ， ， 的坐标为，点的坐标为， ， ． 38．如图，在平面直角坐标系中，以点为位似中心，将放大后得到．若，则的长为______． 【答案】 【详解】解：依题意， ∴， ∵， ∴ 如图，在正方形网格中，点A，B，C都在格点上，利用格点按要求完成下列作图，（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） (1)在图1中，以C为位似中心，位似比为，在格点上将放大得到，请画出，此时与的面积比为________； (2)在图2中，线段上作点M，利用格点作图使得． 【答案】(1)作图见详解， (2)作图见详解 【分析】（1）根据位似图形的性质，对应点到位似中心的距离之比等于位似比，需要将点A和点B分别沿着和的方向，以点C为中心，延长到原来的2倍距离，得到点M和N，最后连接、、即可得到放大后的三角形，由位似图形的性质可知，三角形面积比为位似比的平方； （2）利用平行线分线段成比例定理，先构造直角三角形，然后在上截取3个单位长度和2个单位长度的线段，找到第二个分点N，过点N作一条平行于的格线，该格线与的交点即为所求的点M． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：如图所示，点M即为所求： 题型八、在坐标系中画位似图形 已知：如图三个顶点的坐标分别为、、，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点C为位似中心，在网格中画出，使与位似，且与的位似比为2：1，此时点的坐标为_____．    【答案】 【分析】先画出图形，再根据图形可得的坐标． 【详解】解：如图，为所作；点的坐标为．    故答案为． 【点睛】本题考查的是位似变换的作图，坐标与图形，熟练的利用位似的性质进行作图是解本题的关键． 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均在格点上（网格线的交点）． (1)画出先向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得到的； (2)以原点为位似中心，在轴的上方画出，使与位似，且位似比为； (3)和关于点位似，直接写出点的坐标为______________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用平移的性质即可解答； （2）利用位似三角形的概念即可解答； （3）连接，，交于点即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，点即为所求． 可得． 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． (1)以坐标原点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，使与位于位似中心的两侧，请在平面直角坐标系中画出； (2)设与的周长分别为、，则________． 【答案】(1)如图， 即为所求， (2) 【分析】（1）利用关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点A、B、C横纵坐标都乘以得到点、、的坐标，然后描点即可； （2）根据位似的性质得到，相似比为，然后根据相似三角形的性质解决问题． 【详解】（1）略 （2）解：以坐标原点为位似中心，将缩小为原来的得到． ，相似比为，即周长比为． 如图，在边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上（网格线的交点）． (1)以点为位似中心，画出的位似图形，使与位于点的两侧，且与的相似比为； (2)将绕点逆时针旋转得到，画出． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了位似作图、旋转作图等知识点，准确找到对应点是解题的关键． （1）先根据位似的性质确定B、C的对应点，然后顺次连接A、即可； （2）先根据旋转的性质确定的对应点，然后顺次连接、即可. 【详解】（1）解：如图：即为所求； （2）解：如图：即为所求． 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)以原点为位似中心，在图中画出的位似图形，使与的相似比为，点分别与点对应，且点在第二象限． (2)在（1）的条件下，写出与的面积比：___________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了在平面直角坐标系中作位似图形以及位似图形的性质． （1）将点的横纵坐标除以，即可得到点的坐标，再顺次连接即可； （2）根据位似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：由题意得，，与的相似比为， ∴与的面积比为， 故答案为：． 如图，点和在平面直角坐标系中，点的坐标是，根据下列要求，解答相应的问题： (1)作关于轴对称的，直接写出点的对应点的坐标； (2)作关于点成位似中心的位似，与的相似比为，且这两个三角形在点同侧，直接写出点的对应点的坐标． 【答案】(1)作图见解析， (2)作图见解析， 【分析】本题主要考查了画位似图形、轴对称图形等知识，理解位似图形的性质是解答本题的关键． （1）根据关于轴对称的两点，横坐标互为相反数、纵坐标相同的特征进行解答即可； （2）根据位似图形的性质，结合位似比，画出位似图形即可． 【详解】（1）如图，即为所求，结合图形，点的对应点的坐标为； （2）解：如图，即为所求，结合图形，点的对应点的坐标为． 题型九、在坐标系中画位似中心 如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．连接，并延长与延长线相交，交点坐标即为位似中心的坐标． 【详解】解：如图，连接，并延长与延长线相交，交点即为位似中心， 由图可知，位似中心的坐标为， 故选：C． 与为位似图形其位似中心为P，则的坐标为___________． 【答案】 【分析】本题考查的是位似变换，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．根据位似中心的定义作出位似中心，即可解答． 【详解】解：如图，连接，与交于点P， 则点P为位似中心，点P的坐标为， 故答案为：． 如图，在坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似形，则位似中心的坐标为______ 【答案】或/或 【分析】本题考查了位似图形，以及求位似中心，连接对应点，存在两种情况，第一：位似中心在两个图形的中间，第二：位似中心在第二象限，根据位似图形的性质，相似比等于对应点到位似中心的距离比，即可作答． 【详解】解：如图：位似中心在两个图形的中间，连接对应点，相交于点H，轴， ∵两个正方形是位似形， ∴， ∵轴，轴， ∴， 则， ∴， 故， ∴， 即， 则， 此时位似中心为； 如图：位似中心在两个图形的中间，连接对应点，相交于点H， ∵两个正方形是位似形， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， 故， 由于点H在轴的负半轴上， 此时位似中心为； 综上：位似中心为或， 故答案为：或． 如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系，与的顶点均为格点，点的坐标为． (1)求证：； (2)把向右平移6个单位长度得到，画出平移后的三角形，并判断与是否位似，如果是，请写出位似中心的坐标，如果不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析，与位似，位似中心坐标为 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，位似图形的判定，勾股定理： （1）根据勾股定理求出，的长，可得到，即可求证； （2）根据平移的性质可得到，即可求解． 【详解】（1）解：在中，， 在中，， ， 即， ． （2）解：如图所示，即为所求， 与位似， 位似中心坐标为． 已知，△ABC在平面直角坐标系的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为．与是以点P为位似中心的位似图形． (1)在图中找出点P并写出点P的坐标； (2)以点O为位似中心，在y轴左侧画出△ABC的位似图形，使与相似比为； (3)若点为内一点，则点M在内的对应点的坐标为______． 【答案】(1)见解析， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查坐标与图形变换—位似，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键： （1）根据位似图形的性质，得到对应点连线的交点即为位似中心，画图后，确定点的坐标即可； （2）根据位似图形的性质，画出即可； （3）根据位似图形的性质，求解即可． 【详解】（1）解∶如图，点P即为所求，； （2）解：如图，即为所求； （3）解：由题意，点M在内的对应点的坐标为． 图中的与位似，则位似中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查图形的位似：连接，三条直线的交点即为位似中心． 【详解】解：如图： 与位似，则位似中心是点N， 故选：B． 中国古代器物与装饰纹饰在构图上多遵循主从分明、比例相宜的传统布局原则，常将主体纹样放大突出，辅助纹样缩小衬托，其构图方式蕴含位似变换的数学思想．如图，若某主体纹饰与辅助纹饰的相似比为，辅助纹饰的宽度，则主体纹饰的宽度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据主体纹饰与辅助纹饰的相似比为即可求解. 【详解】解：∵主体纹饰与辅助纹饰的相似比为， ∴， ∵， ∴ ． 如图，用放大镜观察一个三角形，下列说法错误的是（   ） A．三角形各角的度数扩大 B．三角形的各边的长度扩大 C．三角形的周长扩大 D．三角形的面积扩大 【答案】A 【分析】本题主要考查了图形的放大，三角形放大时，各角的度数不变，各边的长度变大，则周长和面积也变大，据此可得答案． 【详解】解：用放大镜观察一个三角形，看到的三角形的各边的长度扩大，各角的度数不变，则三角形的周长扩大，面积也扩大， ∴只有A选项的说法错误， 故选：A． 如图，在平面直角坐标系中，四边形与四边形是位似图形，位似中心为点，位似比是，则的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵四边形与四边形是位似图形，位似中心为点，位似比是 ， ∴，即 ， 由图可知，点与点在位似中心的同侧 ， ∴点的横、纵坐标均为点横、纵坐标的2倍 ， ∵， ∴点的坐标为，即． 如图，用机械臂绘图时，对平面直角坐标系中的菱形执行了两步操作：先以O为位似中心，将菱形放大为原来的2倍，然后拖动菱形平移，得到菱形．已知，，，若菱形内部一点F经过上述操作后得到的对应点与它本身重合，则点F的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由菱形的性质求出，由位似变换得，根据点得平移方式为先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，设菱形内任意一点，经过操作后对应点，由点与重合可得，，从而可求出点的坐标为． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴点是对角线的中点， ∵， ∴， ∵以O为位似中心将菱形放大为原来的2倍， ∴点经过位似变换后，坐标变为， 又点平移后得到， ∴平移的方式为：先向左平移3个单位，再向下平移2个单位， 设菱形内任意一点，则经过操作后，对应点， ∵点与重合， ∴，， ∴， ∴点的坐标为． 如图，在平面直角坐标系中，四边形与四边形位似，位似中心是原点，点，的对应点分别是点，，点，，的坐标分别为，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据点、的坐标利用勾股定理求出的长，再根据点、的坐标求出位似比，最后利用位似图形的性质求解即可 ． 【详解】解； 在中，由勾股定理得 四边形与四边形位似，位似中心是原点，且 位似比为 ． 如图，正方形的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为______．    【答案】 【分析】本题考查位似变换，相似多边形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．连接．利用相似多边形的性质求出正方形的面积，求出边长，再求出可得结论． 【详解】解：如图，连接，    ∵正方形正方形，， 又∵正方形的面积为4， ∴正方形的面积为， ∴， ∵， ∴， ∴正方形的外接圆的半径为， 故答案为：． 如图，正六边形经过位似变换得到正六边形．若，则正六边形和正六边形的面积比是____． 【答案】 【分析】根据正六边形的定义可得，再根据位似图形的面积之比等于位似比的平方即可得到答案． 【详解】解：∵六边形都是正六边形， ∴， ∵正六边形经过位似变换得到正六边形， ∴． 如图，放在同一平面直角坐标系中的两个气球恰好是位似图形，点、点分别是①号、②号气球的扎口，位似中心为点，位似比是，则的对应点的坐标是__________． 【答案】 【分析】在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为那么位似图形对应点的坐标的比等于或是解题的关键． 【详解】解：∵两个气球恰好是位似图形，位似中心为点，位似比是，， 则点的对应点的坐标为，即． 如图，在平面直角坐标系中，把放大后得到，则与的面积比为________ 【答案】 【分析】利用相似三角形的性质进行求解． 【详解】解：由图形可知，， ∵， ∴, ∴与的面积比为． 如图是视力表中的一部分，图中左上角的“E”与右下角的“E”是位似图形，位似中心为点O，已知，，则的长为________． 【答案】9 【分析】本题考查位似变换，相似三角形的性质，解题关键是掌握位似变换的性质．先求出相似比，再进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由图可知，，，三点在同一条直线上， ∴． 如图，在平面直角坐标系中，线段轴，的长为2，点A的坐标为，以点O为位似中心，在第一象限内画线段，使它与线段位似（点A，B的对应点分别为点，）．若，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】根据位似比画图，即可得到结果． 本题考查位似的知识，掌握基本概念是解题关键． 【详解】解：由题可知，与位似，且相似比为, ∵点A的坐标为， ∴点的坐标为， ∵ ∴点的坐标为， 如图，四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心，， ，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，解题的关键是掌握位似图形的性质． 四边形与四边形位似，可得四边形四边形，，，进而可得答案． 【详解】解：∵四边形与四边形位似， ∴四边形四边形，， ， ， ∵，， ∴， ； 的长是． 在图1与图2中分别作出一个位置不同的三角形，使得其与关于坐标原点位似，且其边长是的边长的两倍． 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图——位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点A、B的横纵坐标都乘以2（或）得到对应点的坐标，然后描点并连接即可． 【详解】解：如图1，如图2所示，即为所求作． 在如图的方格纸中，与是关于点P为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心P的位置； (2)以原点O为位似中心，在第三象限画出的一个位似，使它与的位似比为； (3)分别写出A，B的对应点，的坐标：________，________． (4)已知的面积为2.5，则四边形的面积为________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)， (4)7.5 【分析】本题考查了位似图形的性质，解题的关键是掌握位似中心的确定方法、位似图形的画法以及位似图形的面积比与相似比的关系． （1）利用位似图形对应点的连线相交于位似中心来确定点P的位置； （2）根据位似比和位似中心在第三象限画出位似图形； （3）根据位似变换的坐标变化规律求出，的坐标； （4）利用位似图形的面积比等于相似比的平方求出四边形的面积． 【详解】（1）解：如图：P即为所画； （2）解：如图：即为所画； （3）解：已知，以原点为位似中心，位似比为，且在第三象限， 的坐标为，的坐标为， 故答案为：，； （4）解：与的位似比为2：1， 它们的面积比为， ， ， 四边形的面积为． 故答案为：． 如图所示的网格中有、、三点． (1)请你以网格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，使两点的坐标分别为，则点的坐标是_____； (2)连接、、，先以坐标原点为位似中心，按比例尺在轴的左侧画出缩小后的，再写出点对应点的坐标_____． 【答案】(1)图见解析； (2)图见解析； 【分析】题目主要考查建立直角坐标系及作位似图形，读出点的坐标，熟练掌握基本的作图是解题关键． （1）根据题意建立直角坐标系，然后读出点的坐标即可； （2）根据题意作位似图形，读出点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图所示建立直角坐标系： ∴点的坐标是， 故答案为： （2）如图所示，即为所求； 的坐标为， 故答案为： ． 2/14 学科网（北京）股份有限公司 $