第10讲 相似三角形的性质（暑假预习讲义）新九年级数学新教材沪教版五四制

第10讲 相似三角形的性质 内容导航 01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 利用相似三角形的性质求解 题型2 证明三角形的对应线段成比例 题型3 利用相似求坐标 题型4 在网格中画与已知三角形相似的三角形 题型5 相似三角形——动点问题 04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 相似三角形、相似比、对应角相等、对应边成比例、对应高、对应中线、对应角平分线、周长比、面积比、相似三角形应用、物高与影长、河宽测量、小孔成像、杠杆原理 1.理解相似三角形的基本性质，掌握相似三角形对应角相等、对应边成比例的核心特征。 2.掌握相似三角形对应线段(高、中线、角平分线)的比、周长的比、面积的比与相似比的关系，能熟练进行比例转化与计算。 3.能运用相似三角形的性质解决不能直接测量的河宽、物体高度等实际问题，掌握影子法、镜面反射法、标杆法等常用测量方法。 4.能处理网格作图、坐标求解、对应线段比例证明等基础题型，初步掌握相似三角形动点问题的分析思路。 学习重点：1.相似三角形对应角相等、对应边成比例的基本性质。 2.相似三角形对应线段的比、周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。 3.利用相似三角形的性质解决测量类实际应用题。 学习难点：1.相似三角形多种比例关系的灵活转化与综合计算。 2.相似三角形的动点问题分析与求解。 3.网格中相似三角形的作图、坐标系内相似三角形的坐标计算。 4.结合物理场景(小孔成像、杠杆)的相似三角形综合应用。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01相似三角形的性质 1.相似三角形的对应角相等，对应边成比例 2.相似三角形对应线段的比等于相似比. 相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比. 如图所示，且相似比为,即 若，分别为两个三角形的高,则,即相似三角形对应高的比等于它们的相似比. 若，分别为两个三角形的对应角平分线,则,即相似三角形对应角平分线的比等于它们的相似比. 同理可以推出相似三角形对应中线的比也等于它们的相似比. 我们也可以得到：，,,.因此，以上结论可概括为相似三角形对应线段的比等于相似比. 3.相似三角形周长的比等于相似比 在中，,相似比为,因此，,,从而有，即与周长的比等于相似比.类似地,相似多边形周长的比等于相似比 4.相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图所示，，且相似比为,则,即,所以相似三角形面积的比等于相似比的平方. 在两相似三角形中，“相似比=周长之比=对应线段之比”,这三者之间可以互相进行等量转化.(2)面积比=(相似比)²;相似比= 相似三角形的对应高之比为，那么对应周长之比为_____． 两个相似三角形的面积之比是 ， 其中较大的三角形一边上的高是 5 厘米， 那 么另一个三角形对应边上的高为_________厘米． 知识点02相似三角形的应用 1.相似三角形的实际应用的主要类型 (1)利用相似三角形的性质计算不能直接测量的河的宽度;(2)利用相似三角形的性质计算不能直接测量的物体的高度 2.利用相似三角形计算不能直接测量的河的宽度的两种常见模型 (1)如图所示,BC为河宽,DE//BC则△ADE∽△ABC，∴,而AD,AB,DE的长均易测出,故 . 如图所示,BC为河宽,DE// BC,则△ADE∽△ABC，∴而AD,AB,DE 均易测出,故. 3利用相似三角形计算无法达到顶部的物体高度常用的四种方法 方法1:利用阳光下的影子(如测量旗杆的高度).如图1所示，选一名同学(或利用一根标杆)直立于旗杆影子的顶端处，然后测量出该同学(或标杆)的高度和影长及旗杆的影长，再利用同一时刻物高与影长成比例求解 方法 2:利用镜子的反射(如测量旗杆的高度).如图2所示,选一名同学作为观测者,在观测者与旗杆之间的地面上平放一面镜子,在镜子上做一个标记,观测者看着镜子来回走动，直至看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合，然后测量出人站立点与镜面上的点的距离、旗杆底部与镜面上的点的距离及观测者的目高,并根据反射角等于入射角,利用相似三角形求解 方法 3:利用特殊角测量物体的高度,如图3所示，使用的工具有:皮尺、测角器.通过测角器观测旗杆顶端A,使测角器的示数为60°(条件允许可以45°,30°),利用,可求得旗杆的高度 方法 4:利用标杆(如测量古塔的高度) 准备一根比自己略高一些的标杆,把它竖直地插在要测的古塔前的E处，如图 4所示,设古塔的中心线为PO,自标杆起面对古塔沿OE的延长线向后退至A处,此时,要使自己的眼睛看到古塔顶P与标杆顶F在同一直线上,然后保持头部不动,眼睛沿水平线DB的方向望去，使视线与标杆EF 和古塔 PO分别相交于 GB分别做好标记,于是△GFD∽△BPD,得,因为BD =AO,GD =AE,GE =DA.所以就有,PO=PB+DA. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像，设，，小孔到的距离为，则小孔到的距离为_______． 阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物，这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是____________． 题型1 利用相似三角形的性质求解 【例1】如图，中，点D，E分别是，的中点，，分别表示，的面积，则（     ） A． B． C． D． 【例2】如图，若与是以点为位似中心的位似图形，若的周长等于周长的，，则，两点之间的距离为（     ） A．2 B． C．5 D． 【技巧归纳】 1. 对应角相等，对应边成比例，找准对应边再列式 2.相似比统一:周长、对应高/中线/角平分线比等于相似比 3.面积比等于相似比的平方，勿漏平方 4.遇线段乘积式，转化为比例式证相似求解 【变式1-1】嘉嘉的作业纸不小心被撕毁了（如图所示），已知．测得，的面积，则的面积为_________． 【变式1-2】如图，已知，且，，，则____． 【变式1-3】如图，点D、E分别在的边上，若，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【变式1-4】如图，在中，，是边上的高． (1)直接写出图中所有相似的三角形； (2)求证：； (3)若已知，求的长． 【变式1-5】如图，点为内一点，点，，分别在线段，，上，且满足． (1)求证：． (2)若的面积是，求的面积． 题型2 证明三角形的对应线段成比例 【例3】如图，平行四边形中，，，点E，F分别在，上，若，，则（  ） A．1 B．2 C．4 D．5 【例4】如图，则下列式子中不成立的是（ ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 1.先证两三角形相似，确定相似比 2.对应高、中线、角平分线之比等于相似比 3.线段比例式可转化乘积式辅助推导 4.找准对应顶点，避免对应线段混淆 【变式2-1】已知与相似且对应中线的比为，的周长为，则的周长为_____． 【变式2-2】某学校兴趣小组测量学校旗杆的高度，如图，一名同学直立站在点处，手持一块直角三角板，．且，斜边与地面平行，延长交于点，沿方向观察刚好看到旗杆的顶端，该同学身高米，点到旗杆底部的水平距离为米，求旗杆的高度． 【变式2-3】如图, ,. 求证： (1)； (2)． 【变式2-4】如图，在中，点D在边上，，与，分别相交于点F，G，． (1)求证：； (2)若，，G为的中点，求的长． 题型3 利用相似求坐标 【例5】在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为原点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例6】如图，在平面直角坐标系中，若与是位似图形，位似中心是原点O．若，，，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 1. 标出已知点坐标，算出线段长度，确定相似比 2.分两种对应情况分类讨论，防止漏解 3.利用横纵坐标增减规律，结合相似比计算动点坐标 4.结合坐标轴直角，优先用直角相似简化计算 【变式3-1】如图，在平面直角坐标系中，点，，，则点坐标为___________． 【变式3-2】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为点，，． (1)请以原点为位似中心，在位似中心的异侧画出一个，使它与的相似比为；点的对应点的坐标为______； (2)若内部任意一点的坐标为，求出经过（1）的变化后点的对应点的坐标为；（用含，的代数式表示）． 【变式3-3】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)请以原点为位似中心，画出，使它与的相似比为，变换后点、的对应点分别为点、，点在第一象限； (2)若三角形面积是，则三角形的面积是 （用含有的式子表示） (3)若为线段上的任一点，则变换后点的对应点的坐标为 ． 题型4 在网格中画与已知三角形相似的三角形 【例7】如图，都是方格纸中的格点．为使，则点应是四点中的（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【例8】如图所示的网格中每个小正方形的边长都是，，，，的顶点都在小正方形的顶点，其中与相似的三角形是______． 【技巧归纳】 1.用勾股定理算出原三角形三边长度，求出三边比值 2.按相似比放大/缩小，在网格中截取对应长度线段 3.直角三角形优先找等直角，再夹边成比例快速作图 4.注意多解，分不同相似对应情况画图 【变式4-1】如图，在由大小相同的小正方形组成的网格图中，连接格点的线段交网格线于两点，那么___________． 【变式4-2】在5×5的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上的三角形）． (1)将图1中的格点绕点C按顺时针方向旋转，画出经旋转后的． (2)在图2中画出与相似但相似比不为1的格点． 【变式4-3】在6×6的网格中，的三个顶点都在格点上，我们把这种顶点在格点的三角形叫格点三角形，请用无刻度的直尺按要求完成下列作图． (1)在图1网格中画出一个，使，面积比为，且各顶点都在格点上． (2)在图2中画一条线段，使点D在上，点E在上， ，且． 【变式4-4】如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点和（顶点均为网格线的交点）． (1)判断和是否相似，并说明理由； (2)在上找一点F，使得． 题型5 相似三角形——动点问题 【例9】如图、在中，，，点P从A开始沿边向点B以2个单位秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以4个单位秒的速度移动，如果P、Q分别同时出发，经过（   ）秒后，与相似． A．2 B． C．或2 D．或2 【例10】如图，在中，，，点M从点A开始沿边向点B以1个单位长度/秒的速度移动，点N从点B开始沿C边向点C以2个单位长度/秒的速度移动，如果点M，N分别从点A，B同时出发，经过____________秒后，与相似． 【技巧归纳】 1.设运动时间为参数，表示出动点线段长 2.分情况讨论两组对应边相似，避免漏解 3.利用等角判定相似，列比例式建立方程 4.结合线段取值范围，舍去不合题意的解 【变式5-1】如图，平行四边形中，．动点E从点A出发，以的速度向点D运动，运动到点D停止；动点F同时从点C出发，以的速度向点B运动，当点E停止运动时，点F也随之停止运动．若与相似，则t的值为_____________． 【变式5-2】如图，在中，，，，P是上一点，，点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，设运动时间为t秒．当直线截，存在与相似的三角形时，_______． 【变式5-3】如图，在中，，，．点P从点A出发沿边向点B以的速度移动，点Q从点B出发沿边向点C以的速度移动，两点同时出发．问运动几秒后，与相似？ 【变式5-4】如图所示，在中，，，，由点A出发沿方向向点B匀速运动，同时点Q由点B出发沿方向向点C匀速运动，它们的速度均为，连接．设运动时间为，解答下列问题： (1)面积可能是为吗？为什么？ (2)在点P，Q的运动过程中，当t为何值时，与相似？并说明理由． 【变式5-5】如图，已知、两点的坐标分别为和，动点从点开始在线段上以每秒2个长度单位的速度向原点运动、动直线从轴开始以每秒1个单位的速度向上平行移动（即轴），并且分别与轴、线段交于点、，连接、，设动点与动直线同时出发，运动时间为秒． (1)求时，的面积； (2)直线、点在运动过程中，是否存在这样的，使得的面积等于160（平方单位）．若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由； (3)当为何值时，与相似． 1．如果，相似比为，且的面积为，那么的面积为（   ） A． B． C． D． 2．若，且与的相似比为，则为（　　） A． B． C． D． 3．数学实践课上，小明在测量教学楼高度时，先测出教学楼落在地面上的影长为米（如图），然后在处树立一根高米的标杆，测得标杆的影长为4米，则楼高为（   ） A．10米 B．12米 C．15米 D．25米 4．如图，在正方形网格上，若使△∽△，则点应在（    ） A．处 B．处 C．处 D．处 5．如图，在中，，，点P从点B出发以1个单位的速度向点A运动，同时点Q从点C出发以2个单位的速度向点B运动．当以B，P，Q为顶点的三角形与相似时，运动时间为（   ）    A． B． C．或 D．以上均不对 6．若，且面积比为，则其对应边上的高的比为_______． 7．汪老师要装修自己带阁楼的新居(如图为新居剖面图)，在建造客厅到阁楼的楼梯AC时，为避免上楼时墙角F碰头，设计墙角F到楼梯的竖直距离FG为1.75 m．他量得客厅高AB＝2.8 m，楼梯洞口宽AF＝2 m，阁楼阳台宽EF＝3 m．要使墙角F到楼梯的竖直距离FG为1.75 m，楼梯底端C到墙角D的距离CD是____________ m． 8．如图， 在中，，， 动点P以的速度从A向B移动，（不与B重合）， 动点Q以的速度从B向C移动，（不与C重合），若P、 Q同时出发，经过__________秒后，与相似．    9．如图，大小为4×4的正方形方格中，能作出与△ABC相似的格点三角形（顶点都在正方形的顶点上），其中最小的一个面积是______． 10．如图，在和中，，．    (1)求证：． (2)若，，求的长． 11．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿A-C-D匀速向终点D运动；同时动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿BC匀速向终点C运动，连接PQ，设运动时间为t（t＞0）s． (1)直接写出线段AC=________； (2)求△BPQ的面积S关于t的函数关系式，并直接写出t的取值范围． 12．如图是由边长为1的小正方形组成的 的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成两个画图任务． (1)在图 1 中，画，使点E在格点上，且与相似，且相似比为2；（只需画出一个即可） (2)在图 2 中，线段上找一点P，使（保留作图痕迹）． 2/14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 相似三角形的性质 内容导航 01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 利用相似三角形的性质求解（重点） 题型2 证明三角形的对应线段成比例 题型3 利用相似求坐标 题型4 在网格中画与已知三角形相似的三角形 题型5 相似三角形——动点问题（难点） 04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 相似三角形、相似比、对应角相等、对应边成比例、对应高、对应中线、对应角平分线、周长比、面积比、相似三角形应用、物高与影长、河宽测量、小孔成像、杠杆原理 1.理解相似三角形的基本性质，掌握相似三角形对应角相等、对应边成比例的核心特征。 2.掌握相似三角形对应线段(高、中线、角平分线)的比、周长的比、面积的比与相似比的关系，能熟练进行比例转化与计算。 3.能运用相似三角形的性质解决不能直接测量的河宽、物体高度等实际问题，掌握影子法、镜面反射法、标杆法等常用测量方法。 4.能处理网格作图、坐标求解、对应线段比例证明等基础题型，初步掌握相似三角形动点问题的分析思路。 学习重点：1.相似三角形对应角相等、对应边成比例的基本性质。 2.相似三角形对应线段的比、周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。 3.利用相似三角形的性质解决测量类实际应用题。 学习难点：1.相似三角形多种比例关系的灵活转化与综合计算。 2.相似三角形的动点问题分析与求解。 3.网格中相似三角形的作图、坐标系内相似三角形的坐标计算。 4.结合物理场景(小孔成像、杠杆)的相似三角形综合应用。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01相似三角形的性质 1.相似三角形的对应角相等，对应边成比例 2.相似三角形对应线段的比等于相似比. 相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比. 如图所示，且相似比为,即 若，分别为两个三角形的高,则,即相似三角形对应高的比等于它们的相似比. 若，分别为两个三角形的对应角平分线,则,即相似三角形对应角平分线的比等于它们的相似比. 同理可以推出相似三角形对应中线的比也等于它们的相似比. 我们也可以得到：，,,.因此，以上结论可概括为相似三角形对应线段的比等于相似比. 3.相似三角形周长的比等于相似比 在中，,相似比为,因此，,,从而有，即与周长的比等于相似比.类似地,相似多边形周长的比等于相似比 4.相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图所示，，且相似比为,则,即,所以相似三角形面积的比等于相似比的平方. 在两相似三角形中，“相似比=周长之比=对应线段之比”,这三者之间可以互相进行等量转化.(2)面积比=(相似比)²;相似比= 相似三角形的对应高之比为，那么对应周长之比为_____． 【答案】 【分析】根据相似三角形对应高的比等于相似比，相似三角形的周长比等于相似比，即可求解． 【详解】解：∵相似三角形对应高的比为， ∴这两个相似三角形的相似比为， ∴ 相似三角形的对应周长之比为． 两个相似三角形的面积之比是 ， 其中较大的三角形一边上的高是 5 厘米， 那 么另一个三角形对应边上的高为_________厘米． 【答案】3 【分析】把面积之比转换成相似比，在通过比例求出高 【详解】∵两个三角形面积比为9:25 ∴两个三角形相似比为3:5 设：另一三角形对应边上的高为x ∴，解得x=3 故答案为：3 【点睛】本题考查相似比和面积比的应用，掌握他们的区别是本题关键． 知识点02相似三角形的应用 1.相似三角形的实际应用的主要类型 (1)利用相似三角形的性质计算不能直接测量的河的宽度;(2)利用相似三角形的性质计算不能直接测量的物体的高度 2.利用相似三角形计算不能直接测量的河的宽度的两种常见模型 (1)如图所示,BC为河宽,DE//BC则△ADE∽△ABC，∴,而AD,AB,DE的长均易测出,故 . 如图所示,BC为河宽,DE// BC,则△ADE∽△ABC，∴而AD,AB,DE 均易测出,故. 3利用相似三角形计算无法达到顶部的物体高度常用的四种方法 方法1:利用阳光下的影子(如测量旗杆的高度).如图1所示，选一名同学(或利用一根标杆)直立于旗杆影子的顶端处，然后测量出该同学(或标杆)的高度和影长及旗杆的影长，再利用同一时刻物高与影长成比例求解 方法 2:利用镜子的反射(如测量旗杆的高度).如图2所示,选一名同学作为观测者,在观测者与旗杆之间的地面上平放一面镜子,在镜子上做一个标记,观测者看着镜子来回走动，直至看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合，然后测量出人站立点与镜面上的点的距离、旗杆底部与镜面上的点的距离及观测者的目高,并根据反射角等于入射角,利用相似三角形求解 方法 3:利用特殊角测量物体的高度,如图3所示，使用的工具有:皮尺、测角器.通过测角器观测旗杆顶端A,使测角器的示数为60°(条件允许可以45°,30°),利用,可求得旗杆的高度 方法 4:利用标杆(如测量古塔的高度) 准备一根比自己略高一些的标杆,把它竖直地插在要测的古塔前的E处，如图 4所示,设古塔的中心线为PO,自标杆起面对古塔沿OE的延长线向后退至A处,此时,要使自己的眼睛看到古塔顶P与标杆顶F在同一直线上,然后保持头部不动,眼睛沿水平线DB的方向望去，使视线与标杆EF 和古塔 PO分别相交于 GB分别做好标记,于是△GFD∽△BPD,得,因为BD =AO,GD =AE,GE =DA.所以就有,PO=PB+DA. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像，设，，小孔到的距离为，则小孔到的距离为_______． 【答案】 【分析】由题意可得，进而证明，利用相似三角形对应高的比等于相似比列出方程，求解即可得出小孔到的距离 ． 【详解】解：由题意得：， ， 设小孔到的距离为， 根据相似三角形相似比等于对应高之比得到， 即， 解得， 即小孔到的距离为． 阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物，这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是____________． 【答案】36 【分析】首先根据题意证明，然后根据相似三角形的对应边成比例求得的长度． 【详解】解：由图可知，，且， ∴， ∴， ∵，，， ∴，即， 解得． 题型1 利用相似三角形的性质求解 【例1】如图，中，点D，E分别是，的中点，，分别表示，的面积，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证明即可解答． 【详解】解：点D，E分别是，的中点， ，， ， ． 【例2】如图，若与是以点为位似中心的位似图形，若的周长等于周长的，，则，两点之间的距离为（     ） A．2 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】根据位似图形的性质，周长比等于相似比，对应点到位似中心的距离之比等于相似比，求出的长，再利用线段的和差关系求解即可． 【详解】 解：与是以点为位似中心的位似图形 的周长等于周长的 与的相似比为 ． 【技巧归纳】 1. 对应角相等，对应边成比例，找准对应边再列式 2.相似比统一:周长、对应高/中线/角平分线比等于相似比 3.面积比等于相似比的平方，勿漏平方 4.遇线段乘积式，转化为比例式证相似求解 【变式1-1】嘉嘉的作业纸不小心被撕毁了（如图所示），已知．测得，的面积，则的面积为_________． 【答案】 【分析】根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，的面积为， ∴， ∴的面积为． 【变式1-2】如图，已知，且，，，则____． 【答案】 【分析】根据相似三角形的性质得到，代入求解即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴，解得：， ． 【变式1-3】如图，点D、E分别在的边上，若，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴； (2) 【分析】（1）根据两组对应角相等，证明； （2）根据相似三角形对应边成比例列式求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ∴， 即， 解得． 【变式1-4】如图，在中，，是边上的高． (1)直接写出图中所有相似的三角形； (2)求证：； (3)若已知，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)4 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质： （1）根据相似三角形的判定定理解答即可； （2）根据，即可求证； （3）根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵，是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴，即， 解得：． 【变式1-5】如图，点为内一点，点，，分别在线段，，上，且满足． (1)求证：． (2)若的面积是，求的面积． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∴， 同理得，， ∴， ∴； (2) 【分析】（）由，，得，所以，同理得，，则，然后根据相似三角形的判定方法得到结论； （）根据“相似三角形面积的比等于相似比的平方”解决问题． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴， ∴的面积为． 题型2 证明三角形的对应线段成比例 【例3】如图，平行四边形中，，，点E，F分别在，上，若，，则（  ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形中的性质，相似三角形的对应边成比例．先根据平行四边形的性质得到，，然后根据相似三角形的对应边成比例解答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， 解得， 故答案为：B． 【例4】如图，则下列式子中不成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质逐一分析并判断每个选项是否符合题意要求即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故A，B，C正确，D错误． 故选：D． 【技巧归纳】 1.先证两三角形相似，确定相似比 2.对应高、中线、角平分线之比等于相似比 3.线段比例式可转化乘积式辅助推导 4.找准对应顶点，避免对应线段混淆 【变式2-1】已知与相似且对应中线的比为，的周长为，则的周长为_____． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据对应中线的比是，可得这两个三角形的相似比是，由于相似三角形的周长比等于相似比，由此可求出结果． 【详解】解：∵与相似且对应中线的比为， ∴的周长为的周长， ∴的周长， ∴的周长， 故答案为：． 【变式2-2】某学校兴趣小组测量学校旗杆的高度，如图，一名同学直立站在点处，手持一块直角三角板，．且，斜边与地面平行，延长交于点，沿方向观察刚好看到旗杆的顶端，该同学身高米，点到旗杆底部的水平距离为米，求旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为米． 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，正确利用相似三角形对应边成比例求线段长是解题的关键． 由题意可得四边形是矩形，，再证明，利用相似比可求出的长，则． 【详解】解：根据题意可证四边形为矩形， ， 在 和 中， ， ， ， ， 又， ， ， ， 答：旗杆的高度为 米． 【变式2-3】如图, ,. 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． （1）根据两个角对应相等的两个三角形相似，得出答案即可； （2）根据相似三角形的性质，求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即：， ∵， ∴； （2）证明：由 (1) 可知， 则有， ∴． 【变式2-4】如图，在中，点D在边上，，与，分别相交于点F，G，． (1)求证：； (2)若，，G为的中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题重点考查平行线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，推导出，进而证明是解题的关键． （1）由，得，由，，所以，则，所以，而，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”得到结论； （2）由，G为的中点，得，而，由相似三角形的性质得，求出长即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵，，G为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长是． 题型3 利用相似求坐标 【例5】在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为原点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键． 根据点A与点的坐标求出相似比，再根据位似变换的性质计算即可． 【详解】解：∵与是位似图形，位似中心为原点，点的对应点为， ∴与的相似比为， ∵B点的坐标为， ∴B点的对应点的坐标为，即． 故选：A 【例6】如图，在平面直角坐标系中，若与是位似图形，位似中心是原点O．若，，，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出位似比，再利用位似比求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ， ∵与是位似图形，位似中心是原点O， ∴， ∴， ∵， ∴点B的坐标为， 故选：B． 【点睛】本题考查了利用二次根式的性质化简，用勾股定理解三角形，利用相似求坐标，求两个位似图形的相似比等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 【技巧归纳】 1. 标出已知点坐标，算出线段长度，确定相似比 2.分两种对应情况分类讨论，防止漏解 3.利用横纵坐标增减规律，结合相似比计算动点坐标 4.结合坐标轴直角，优先用直角相似简化计算 【变式3-1】如图，在平面直角坐标系中，点，，，则点坐标为___________． 【答案】 【分析】过点B作BC⊥OA于点C，由题意易得OA=10，然后由勾股定理可得，进而可得△BOC∽△AOB，设OC=x，则有BC=2x，最后利用勾股定理可求解． 【详解】解：过点B作BC⊥OA于点C，如图所示： ∵∠B=∠BCO=90°，∠BOA=∠BOA， ∴△BOC∽△AOB， ∵点， ∴OA=10， ∵， ∴， ∴AB=2OB， ∴BC=2OC， ∴在Rt△BOC中， ，即， ∴， ∴BC=4， ∴点B的坐标为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 【变式3-2】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为点，，． (1)请以原点为位似中心，在位似中心的异侧画出一个，使它与的相似比为；点的对应点的坐标为______； (2)若内部任意一点的坐标为，求出经过（1）的变化后点的对应点的坐标为；（用含，的代数式表示）． 【答案】(1)见解析， (2) 【分析】（1）根据要求画出图形即可，再根据作图后的写出点的对应点即可； （2）利用相似三角形的性质解决问题即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求，点． （2）解：∵与关于原点异侧位似，相似比为，点， ∴点． 【变式3-3】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)请以原点为位似中心，画出，使它与的相似比为，变换后点、的对应点分别为点、，点在第一象限； (2)若三角形面积是，则三角形的面积是 （用含有的式子表示） (3)若为线段上的任一点，则变换后点的对应点的坐标为 ． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查三角形面积计算、位似图形的性质及坐标变换．涉及三角形面积公式、位似图形对应点坐标的确定等知识点． （1）根据位似图形的性质，对应点坐标的变化规律为横、纵坐标都乘以相似比，可求出对应的，，的坐标，依次相连即可得到； （2）根据位似图形的面积比为相似比的平方，即可求解； （3）因为以原点为位似中心，相似比为，根据位似图形对应点坐标的确定方法，点的对应点的横、纵坐标都为原坐标的． 【详解】（1）解：如图所示： 以原点为位似中心，相似比为，且知的顶点坐标分别为，，， ，，， 将点顺次相连即可得到； （2）解：相似比为，， 则位似图形的面积比为， , , 解得：， 故答案为． （3）解：以原点为位似中心，相似比为，， ． 故答案为． 题型4 在网格中画与已知三角形相似的三角形 【例7】如图，都是方格纸中的格点．为使，则点应是四点中的（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质,为使,需满足对应边成比例和对应角相等的条件,通过分析的形状和比例,确定中点的位置,使得与,与,与成比例. 【详解】解：应该为; 当在时,若设每一个小正方形的边长为， 则的各边分别为， 原的各边长为， 此时对应边成比例且比例相等为， 则可得到两个三角形相似， 故选：C ． 【例8】如图所示的网格中每个小正方形的边长都是，，，，的顶点都在小正方形的顶点，其中与相似的三角形是______． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．先分别求出各个三角形的三边长，再求出每个三角形的三边之比，若其它三个三角形中某个三角形的三边之比与的三边之比相等，则该三角形与相似． 【详解】解：在中，，，， 的三边之比为：； 在中，，，， 的三边之比为：， 与相似； 在中，，，， 的三边之比为：， 与不相似； 在中，，，， 的三边之比为：， 与不相似； 故答案为：． 【技巧归纳】 1.用勾股定理算出原三角形三边长度，求出三边比值 2.按相似比放大/缩小，在网格中截取对应长度线段 3.直角三角形优先找等直角，再夹边成比例快速作图 4.注意多解，分不同相似对应情况画图 【变式4-1】如图，在由大小相同的小正方形组成的网格图中，连接格点的线段交网格线于两点，那么___________． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，设小正方形的边长为1，根据勾股定理得，分别证明和，可求出，，，从而可求出结论． 【详解】解：如图， 设小正方形的边长为1，则，， 根据勾股定理得， ∵， ∴， ∴，即， ∴； 同理可得，则， 得， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式4-2】在5×5的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上的三角形）． (1)将图1中的格点绕点C按顺时针方向旋转，画出经旋转后的． (2)在图2中画出与相似但相似比不为1的格点． 【答案】(1)见详解； (2)见详解． 【分析】本题考查旋转变换、相似变换的作图，熟练掌握旋转的性质、相似三角形的判定是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质作图即可； （2）结合相似三角形的判定，画出各边长分别为1、2、即可． 【详解】（1）解：如图即为所求： （2）解：如图即为所求： 【变式4-3】在6×6的网格中，的三个顶点都在格点上，我们把这种顶点在格点的三角形叫格点三角形，请用无刻度的直尺按要求完成下列作图． (1)在图1网格中画出一个，使，面积比为，且各顶点都在格点上． (2)在图2中画一条线段，使点D在上，点E在上， ，且． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图—相似变换，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）结合相似三角形的判定与性质画图即可； （2）取格点，连接，交于点D，取格点H，K，连接，交于点E，即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求． 【变式4-4】如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点和（顶点均为网格线的交点）． (1)判断和是否相似，并说明理由； (2)在上找一点F，使得． 【答案】(1)和相似，见解析 (2)见详解 【分析】（1）结合图形及勾股定理确定，的长度，进而可得，即可得解； （2）取格点，连接，易得，结合即可证明． 【详解】（1）解：和相似，理由如下： 根据图形可知，， ， ∴， ∴； （2）如下图，点即为所求： 理由如下：连接， ∵， ∴， 又∵， ∴． 题型5 相似三角形——动点问题 【例9】如图、在中，，，点P从A开始沿边向点B以2个单位秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以4个单位秒的速度移动，如果P、Q分别同时出发，经过（   ）秒后，与相似． A．2 B． C．或2 D．或2 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．注意分两种情况讨论求解．设x秒后，与相似，可表示出，再分与是对应边和与是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：设x秒后，与相似，则， 当与是对应边时，则， ， 解得， 当与是对应边时，则， ， 解得， 故经过2秒或秒后，与相似， 故选：． 【例10】如图，在中，，，点M从点A开始沿边向点B以1个单位长度/秒的速度移动，点N从点B开始沿C边向点C以2个单位长度/秒的速度移动，如果点M，N分别从点A，B同时出发，经过____________秒后，与相似． 【答案】1或 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据与相似，分两种情况：（1）当与是对应边时，（2）当与是对应边时，进行计算即可． 【详解】解：设经过x秒后，与相似， 则，， ∵， ∴（1）当与是对应边时， ，即，解得； （2）当与是对应边时， ，即，解得． 故经过或1秒后，与相似． 故答案为：1或． 【技巧归纳】 1.设运动时间为参数，表示出动点线段长 2.分情况讨论两组对应边相似，避免漏解 3.利用等角判定相似，列比例式建立方程 4.结合线段取值范围，舍去不合题意的解 【变式5-1】如图，平行四边形中，．动点E从点A出发，以的速度向点D运动，运动到点D停止；动点F同时从点C出发，以的速度向点B运动，当点E停止运动时，点F也随之停止运动．若与相似，则t的值为_____________． 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的性质，平行四边形得到性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据题意得到，，然后分和两种情况讨论，进而求解即可． 【详解】∵动点E从点A出发，以的速度向点D运动，运动到点D停止；动点F同时从点C出发，以的速度向点B运动， ∴， ∵四边形是平行四边形 ∴ 当时， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， 当时， ∴， ∴， ∴，故原方程无解， 综上所述，t的值为． 故答案为：． 【变式5-2】如图，在中，，，，P是上一点，，点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，设运动时间为t秒．当直线截，存在与相似的三角形时，_______． 【答案】4.8或7.5或10 【分析】本题考查相似三角形中的动点问题．分三种情况进行讨论，利用相似三角形对应边成比例求解即可． 【详解】解：由题意，得：，， 当直线截存在与相似的三角形时，分三种情况讨论： ①当时，则：， 即：，解得：； ②当时，则：， 即：，解得：； ③当点Q和点B重合时，， ∴， ∴ 又∵ ∴，符合题意． 综上：秒或秒或10秒． 【变式5-3】如图，在中，，，．点P从点A出发沿边向点B以的速度移动，点Q从点B出发沿边向点C以的速度移动，两点同时出发．问运动几秒后，与相似？ 【答案】或秒 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质．利用分类讨论思想解答是解题的关键． 分两种情况：当时，当时，即可求解． 【详解】解：设运动时间为t秒， 根据题意得：， ∴， 当时，， ∵，， ∴， 解得：； 当时，， ∵，， ∴， 解得：； 综上所述，运动或秒后，与相似． 【变式5-4】如图所示，在中，，，，由点A出发沿方向向点B匀速运动，同时点Q由点B出发沿方向向点C匀速运动，它们的速度均为，连接．设运动时间为，解答下列问题： (1)面积可能是为吗？为什么？ (2)在点P，Q的运动过程中，当t为何值时，与相似？并说明理由． 【答案】(1)不可能，理由见解析 (2)存在，时间t为或秒时，使得与相似 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理． （1）作于点H，先根据勾股定理求出的长，再根据，可得，然后根据三角形的面积公式，即可求解； （2）分两种情况讨论：①当时，②当时，结合相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：不可能； 如图，作于点H， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，， ∵， ∴面积不可能是为； （2）解：理由如下∶ ①当时，则， ∴， 解得∶． ②当时，则， ∴， 解得； 答∶存在，时间t为或秒时，使得与相似． 【变式5-5】如图，已知、两点的坐标分别为和，动点从点开始在线段上以每秒2个长度单位的速度向原点运动、动直线从轴开始以每秒1个单位的速度向上平行移动（即轴），并且分别与轴、线段交于点、，连接、，设动点与动直线同时出发，运动时间为秒． (1)求时，的面积； (2)直线、点在运动过程中，是否存在这样的，使得的面积等于160（平方单位）．若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由； (3)当为何值时，与相似． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3)秒或秒 【分析】（1）根据题意得到，求出，根据轴，是中点，得到是的中位线，求出，即可得到答案； （2）根据题意得到，，求出，联立得到面积，没有实数根，即可得到答案． （3）分和两种情况，利用相似三角形对应线段成比例进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， 动直线从轴开始以每秒1个单位的速度向上平行移动（即轴）， 时，，， ∴， 轴， ∴， ∴， 是的中位线， ， ； （2）解：动直线从轴开始以每秒1个单位的速度向上平行移动（即轴）， ， 轴， ， ， ， ， 整理得， ， 故方程没有实数根， 故不存在使得的面积等于160（平方单位）； （3）解：动点从点开始在线段上以每秒2个长度单位的速度向原点运动、动直线从轴开始以每秒1个单位的速度向上平行移动（即轴）， ， 当时，，即， 解得秒； 当时，，即， 解得秒； 综上所述，当秒或秒时，与相似． 1．如果，相似比为，且的面积为，那么的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：，相似比为， 与的面积比为， 的面积为， 的面积为． 2．若，且与的相似比为，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵ ，相似比为 ∴ ． 3．数学实践课上，小明在测量教学楼高度时，先测出教学楼落在地面上的影长为米（如图），然后在处树立一根高米的标杆，测得标杆的影长为4米，则楼高为（   ） A．10米 B．12米 C．15米 D．25米 【答案】C 【分析】根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解． 【详解】∵， 即， ∴楼高米， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，找出相似三角形是解决问题的关键． 4．如图，在正方形网格上，若使△∽△，则点应在（    ） A．处 B．处 C．处 D．处 【答案】B 【分析】由图可知∠BPD一定是钝角，若要△ABC∽△PBD，则对应边的比值必须相等，可据此进行判断． 【详解】解：由图知：∠BAC是钝角，又△ABC∽△PBD， 则∠BPD一定是钝角，∠BPD=∠BAC， 又BA=2，AC==2，BC==，， ∴，即， ∴BP=4，PD=4， 只有符合这样的要求，故P点应该在． 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，以及勾股定理的运用，相似三角形的对应角相等，对应边成比例，书写相似三角形时，对应顶点要对应．熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 5．如图，在中，，，点P从点B出发以1个单位的速度向点A运动，同时点Q从点C出发以2个单位的速度向点B运动．当以B，P，Q为顶点的三角形与相似时，运动时间为（   ）    A． B． C．或 D．以上均不对 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，正确分四种情况讨论是解题关键．设运动时间为，先分别求出，，，再分四种情况：①，②，③，④，利用相似三角形的性质分别建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设运动时间为， 由题意得：，， ， ，点从点运动到点所需时间为，点从点运动到点所需时间为， ， ， ， ①当时， 则，即， 解得，符合题意； ②当时， 则，即， 解得，符合题意； ③当时， 则，即， 解得，符合题意； ④当时， 则，即， 解得，符合题意； 综上，运动时间为或， 故选：C． 6．若，且面积比为，则其对应边上的高的比为_______． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．根据相似三角形的性质，先由面积比求出相似比，再利用相似三角形对应高的比等于相似比得出结果即可． 【详解】解：∵，且面积比为， ∴相似比为， ∴对应边上的高的比为． 故答案为： 7．汪老师要装修自己带阁楼的新居(如图为新居剖面图)，在建造客厅到阁楼的楼梯AC时，为避免上楼时墙角F碰头，设计墙角F到楼梯的竖直距离FG为1.75 m．他量得客厅高AB＝2.8 m，楼梯洞口宽AF＝2 m，阁楼阳台宽EF＝3 m．要使墙角F到楼梯的竖直距离FG为1.75 m，楼梯底端C到墙角D的距离CD是____________ m． 【答案】1.8 【分析】根据题意易知△ABC∽△GFA，即＝，代入即可求解． 【详解】根据题意有AF∥BC， ∴∠ACB=∠GAF， 又∠ABC=∠AFG=90°， ∴△ABC∽△GFA． ∴=， 又AB=2.8， AF=2， FG=1.75 ∴BC＝3.2， ∴CD＝(2＋3)－3.2＝1.8． 故答案为∶ 1.8． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是找到相似三角形． 8．如图， 在中，，， 动点P以的速度从A向B移动，（不与B重合）， 动点Q以的速度从B向C移动，（不与C重合），若P、 Q同时出发，经过__________秒后，与相似．    【答案】3或 【分析】本题考查了相似三角形的判定，设x秒后与原三角形相似，则可用x表示出，由于与有公共角，则根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，分两种情况． 【详解】解：设x秒后与相似，则， ， ∴当时，， 即， 解得； 当时，， 即， 解得． 即经过3秒或秒后，与相似． 故答案为：3或． 9．如图，大小为4×4的正方形方格中，能作出与△ABC相似的格点三角形（顶点都在正方形的顶点上），其中最小的一个面积是______． 【答案】/0.5 【分析】先确定最短边最小为1，根据对应边成比例，确定另外两条边的长度，作出图形即可． 【详解】解：△ABC的边长分别为，5，，作一个边长为1，，的三角形即可． 如图，△CFE即为所求，面积＝×1×1＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查作图﹣相似变换，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 10．如图，在和中，，．    (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解决本题的关键． （1）先根据得到，再根据即可证明； （2）根据得到，进而得到，根据，即可求出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 11．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿A-C-D匀速向终点D运动；同时动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿BC匀速向终点C运动，连接PQ，设运动时间为t（t＞0）s． (1)直接写出线段AC=________； (2)求△BPQ的面积S关于t的函数关系式，并直接写出t的取值范围． 【答案】(1)AC＝5 (2) 【分析】（1）直接利用勾股定理可得AC的长； （2）分或两种情形，分别表示出和的长，进而解决问题． 【详解】（1）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°， 在Rt△ABC中， 由勾股定理得，， ∴AC＝5； （2）当时，如图，过点P作于点E， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴； 当时，， ∴， 综上，． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，运用分类讨论思想表示出的长是解题的关键． 12．如图是由边长为1的小正方形组成的 的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成两个画图任务． (1)在图 1 中，画，使点E在格点上，且与相似，且相似比为2；（只需画出一个即可） (2)在图 2 中，线段上找一点P，使（保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了作图-相似变换，相似三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． (1)根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，进行画图即可； (2)取格点，，连接，，令的交点为F，连接与的交点即为P，即可解答． 【详解】（1）解：作图如图，点即为所求作的点， ，， ，且相似比为2． （2）作图如图，点P即为所求作的点， 由图可知，四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴ ∴， 即． 2/14 学科网（北京）股份有限公司 $