第十一章《不等式与不等式组》暑假巩固复习 2024—2025学年人教版数学七年级下册

人教版数学七年级下册暑假巩固复习 第十一章《不等式与不等式组》 知识点复习 一、 不等式及其解集（基础概念） 1. 用符号 “<” (小于)、 “>” (大于)、 “≤” (小于或等于)、 “≥” (大于或等于)、 “≠” (不等于) 表示 的式子，叫做不等式。 2. 使不等式 的未知数的值叫做不等式的 。 3. 一个含有未知数的不等式的 ，组成这个不等式的解集。 4. 求不等式 的过程叫做解不等式。 5. 不等式的解集可以在 上直观地表示出来。在表示解集时： “>” 或 “<” 用 表示该点 在解集内。 “≥” 或 “≤” 用 表示该点 在解集内。 大于向 画，小于向 画。 二、 不等式的性质（解不等式的依据） 6. 性质1（传递性）：如果 a > b，b > c，那么 。 7. 性质2（加减不变号）：如果 a > b，那么 。即：不等式的两边 加（或减）同一个数或同一个整式 ，不等号的方向 。 8. 性质3（乘除正数不变号）：如果 a > b，c > 0，那么 。即：不等式的两边 乘（或除以）同一个正数 ，不等号的方向 。 9. 性质4（乘除负数要变号）：如果 a > b，c < 0，那么 。即：不等式的两边 乘（或除以）同一个负数 ，不等号的方向 。（这是解不等式中最易出错的关键点！） 10. 补充性质（对称性）：如果 a > b，那么 。 三、 一元一次不等式 11. 含有 未知数，未知数的次数是 ，且不等号两边都是 的不等式，叫做一元一次不等式。 12. 解一元一次不等式的一般步骤： * 步骤1：去分母 (注意：两边同乘各分母的 ， 不要漏乘 ；乘负数时不等号方向改变)。 * 步骤2：去括号 (注意括号前的符号，必要时变号)。 * 步骤3：移项 (把含有未知数的项移到不等式的一边，常数项移到另一边；移项要 )。 * 步骤4：合并同类项 (把不等式化成 ax > b 或 ax < b 等形式)。 * 步骤5：系数化为1 (不等式两边同除以未知数的系数 a ；当 a < 0 时，不等号方向必须改变)。 四、 一元一次不等式组 13. 把几个含有 的 一元一次不等式合起来，组成一个一元一次不等式组。 14. 不等式组中所有不等式的解集的 ，叫做这个一元一次不等式组的解集。 15. 求不等式组的 的过程，叫做解不等式组。 16. 一元一次不等式组的解集情况（设 a < b）： * 同大取大：不等式组 的解集是 。 * 同小取小：不等式组的解集是 。 * 大小小大中间找：不等式组的解集是 。 * 大大小小无处找（无解）：不等式组的解集是 。 * 等于取等点：若不等式包含等号（如 x ≥ a, x ≤ b 且 a = b），则解集为 x = a 。 17. 解一元一次不等式组的一般步骤： * 步骤1：分别求出不等式组中 的解集。 * 步骤2：将每个不等式的解集在 上表示出来。 * 步骤3：找出所有解集的 ，这个公共部分就是不等式组的解集。 * 步骤4：写出不等式组的解集（或用不等式表示）。 五、 不等式（组）的应用 18. 解题步骤：审、设、列、解、验、答 审题：找出题目中的 ，明确已知量和未知量。 设元：设出 。 列不等式（组）：根据找到的 ，列出 不等式（组成不等式组）。 解不等式（组）：求出不等式（组）的 解集 。 检验： * 检验解集是否满足 所列不等式（组） 。 * 检验解集是否符合 问题的实际意义 （如人数、时间、长度等不能为负数或分数，必须是整数等）。 19. 作答：根据题目要求写出 符合条件 的答案（如整数解、方案设计等）。 知识点练习 一、选择题练习 1．若a＞b，则下列式子中错误的是（　　） A．a﹣2＞b﹣2 B． C．a+2＞b+2 D．﹣2a＞﹣2b 2．限制高度是公路交通标志中的重要类别，这类标志通常设置在立交桥下方、跨路桥附近等净空受限区域，明确对于通过该路段车辆最大高度的限制要求．如图所示，能通过该路段的车辆高度x（单位：米）的范围可表示为（　　） A．x＞3 B．x＝3 C．x＜3 D．0＜x≤3 3．用不等式表示图中的解集，正确的是（　　） A．x＞4 B．x≥2 C．x＜2 D．x≤2 4．对于x，符号[x]表示不大于x的最大整数，如[3.14]＝3，[﹣7.67]＝﹣8，则满足关系式的x的整数值的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．已知实数a，b，c，满足a+b＝8，c﹣a＝10．若a≥﹣2b，则2a+b+c的最大值为（　　） A．30 B．32 C．34 D．50 6．若关于x的一元一次不等式组有解，则m的取值范围为（　　） A． B． C． D． 7．已知“〇”“□”“△”分别表示三种不同物体，若用天平比较它们的质量大小时，得到了如图所示的两次不同情况，那么这三种物体中，质量最小的是（　　） A．△ B．〇 C．□ D．不能确定 8．非负数x，y满足2（x﹣1）＝4﹣y，记M＝x+2y，M的最大值为a，最小值b，则a+b＝（　　） A．15 B．14 C．8 D．21 9．周末，小舞到社区附近体育馆去游泳，在咨询收费情况时，负责值班的两名同学有了下面这段对话． 小舞大致计算了一下自己的游泳情况，试判断下列说法正确的是（　　） A．如果一年使用次数超过20，那么采用办会员卡的方式比较合适 B．如果一年使用次数超过10，那么采用办会员卡的方式比较合适 C．不管自己一年使用多少次，这两种收费方式都一样 D．无法判断这两种收费方式哪种比较合适 10．关于x的不等式组恰有三个整数解，则m的取值范围是（　　） A．0＜m≤1 B．0≤m＜1 C．0＜m＜1 D．0≤m≤1 二、填空题练习 11．已知，若x|5﹣2ax|≤1恒成立，则a得取值范围是　 　 ． 12．立定跳远是体育测试项目之一，女生成绩超过1.85m获得满分，超过1.95m获得额外加分．若某女生的成绩为l，且她获得了满分但未获得额外加分，则该女生的成绩l的取值范围是 　 　 ． 13．“x的5倍与2019的差不小于2025”用不等式表示：　 　 ． 14．不等式组的解集是x＞﹣1，则m的值是 　 　 ． 15．已知是不等式3x+y≤﹣10的一个解，则m的取值范围是 　 　 ． 16．定义：关于x，y的二元一次方程cx﹣ay＝b（其中a，b，c是常数）叫做方程ax+by＝c的“移变方程”．例如：3x+5y＝7的“移变方程”为7x﹣3y＝5．已知常数m，n，k满足条件3m＜k＜n，并且3x+（m﹣n+3）y＝2n+6k+3是关于x，y的二元一次方程（7m﹣k）x+（3m+2n）y＝3的“移变方程”，则k的取值范围为　 　 ． 17．如果a＞b，那么 　 　 （填“＞”、“＜”或“＝”）． 18．设a，b，c，d∈R，则是成立的　 　 条件． 19．若关于x的方程5x﹣2m＝﹣4﹣x解在1和10之间，则m的取值为　 　 ． 20．为了进行艺术宣传，20名画师合作完成100幅户外宣传板的绘画工作．每幅宣传板上的4个绘画内容和每个内容的绘画时长如表： 内容 一个花瓶 一张桌子 一位人物 一把椅子 时长/分 3 7 15 7 20名画师同时开始工作，每位画师只负责一个内容的绘画工作．每幅作品的同一个内容只能由一名画师完成，绘画不同内容的画师可以同时在一张户外宣传板上进行绘画． （1）若2名画师负责绘画花瓶，则绘画人物的画师最多为　 　 人； （2）在（1）的条件下，绘画桌子的画师人数与绘画椅子的画师人数相同，完成这两项内容的画师总人数小于绘画人物的画师人数．完成这100幅户外宣传板的绘画工作，最少需要　 　 分钟． 三、解答题练习 21．请按下列步骤解不等式组． 解：（1）解不等式①，得　 　 ； （2）解不等式②，得　 　 ； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （4）不等式组的解集为　 　 ． 22．（1）解方程组：； （2）解不等式组：，并用数轴表示解集． 23．解不等式：x1，并写出它的正整数解． 24．已知：a、b、m、n四个数中，a＞b，m＞n． （1）比较﹣2a与﹣2b的大小； （2）若a、b、m、n都是正数，利用不等式的基本性质说明：am＞bn． 25．阅读材料，解决下列问题． 材料：已知实数x、y满足x＞y＞0，求证：x2＞y2． 证明：∵x＞y且x，y均为正（已知） ∴x2＞xy，xy＞y2（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变） ∴x2＞xy＞y2（不等式的传递性） 即x2＞y2 解决问题（要求：采用推理方式解决下列问题，可以不写各步骤的依据）： （1）若a＜b，求证：； （2）已知有理数a，b，c满足：a+b+c＝0，c≥﹣3，5a+3b+2c≥0．试求a的最小值． 26．已知：数a、b（a＜b）都是关于x的不等式x＞25的解． （1）是该不等式的解吗？为什么？ （2）是该不等式的解吗？为什么？ （3）ka+（1﹣k）b是该不等式的解吗？为什么？其中0＜k＜1． （4）设数a、b、在数轴上对应的点分别为A、B、C，通过计算发现，由此可知C为线段AB的二等分点．设在数轴上对应的点分别为D，仿照上面的过程，说明D为线段AB的三等分点． （5）根据（4）的提示，试着从几何意义的角度解释（1）和（2）中的结论． 27．【阅读理解】 小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：求绝对值不等式|a|＞2的解集． 小明同学的思路如下： |a|的几何意义是数a在数轴上对应的点到原点的距离．所以，|a|≤2可理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离不大于2．|a|＞2可理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2；所以不等式|a|＞2的解集是a＜﹣2或a＞2． 【定义概念】 我们定义：形如|x|≤m，|x|≥m，|x|＞m，|x|＜m（m为非负数）的不等式称为绝对值不等式．能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为这个绝对值不等式的解集． 利用绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式： 由如图可得出：绝对值不等式|x|≤3的解集是﹣3≤x≤3；绝对值不等式|x|＞4的解集是x＜﹣4或x＞4． 【简单运用】 （1）①不等式|x|＜2的解集是 　 　 ； ②不等式|x|＞5的解集是 　 　 ； 【拓展探究】 （2）请求出绝对值不等式|x+2|+1≥5的解集； （3）不等式|x+2|+|x﹣1|≤6的解集是 　 　 ． 28．为响应低碳生活号召，同学们对上下学过程中产生的碳排放量展开调查．通过查阅资料，获取了几种交通方式每千米的碳排放量（单位：kg/km），数据如下： 交通方式 乘私家车 乘坐公交 骑自行车 碳排放量（kg/km） 0.28 0.2 0 已知小明和小亮家到学校的路程均为5km，每天上下学往返一次，且同一天上学和下学选择同一种交通方式.20个上学日为一个周期． （1）某个周期小明有1天骑自行车，他乘私家车的天数比小亮多5天，乘坐公交的天数是小亮的2倍．已知小亮在该周期内上下学产生的碳排放总量为32kg．求小亮该周期乘私家车和乘坐公交各多少天？ （2）接下来的一个周期，小明希望自己上下学产生的碳排放总量不超过上一周期的70%，且骑车不超过4天．请直接写出该周期乘私家车、乘坐公交、骑自行车天数的所有方案 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教版数学七年级下册暑假巩固复习 第十一章《不等式与不等式组》 知识点复习 一、 不等式及其解集（基础概念） 1. 用符号 “<” (小于)、 “>” (大于)、 “≤” (小于或等于)、 “≥” (大于或等于)、 “≠” (不等于) 表示 不等关系 的式子，叫做不等式。 2. 使不等式 成立 的未知数的值叫做不等式的 解 。 3. 一个含有未知数的不等式的 所有的解 ，组成这个不等式的解集。 4. 求不等式 解集 的过程叫做解不等式。 5. 不等式的解集可以在 数轴 上直观地表示出来。在表示解集时： “>” 或 “<” 用 空心圆圈 表示该点 不包括 在解集内。 “≥” 或 “≤” 用 实心圆点 表示该点 包括 在解集内。 大于向 右 画，小于向 左 画。 二、 不等式的性质（解不等式的依据） 6. 性质1（传递性）：如果 a > b，b > c，那么 a > c 。 7. 性质2（加减不变号）：如果 a > b，那么 a ± c > b ± c 。即：不等式的两边 加（或减）同一个数或同一个整式 ，不等号的方向 不变 。 8. 性质3（乘除正数不变号）：如果 a > b，c > 0，那么 ac > bc (或 a/c > b/c) 。即：不等式的两边 乘（或除以）同一个正数 ，不等号的方向 不变 。 9. 性质4（乘除负数要变号）：如果 a > b，c < 0，那么 ac < bc (或 a/c < b/c) 。即：不等式的两边 乘（或除以）同一个负数 ，不等号的方向 改变 。（这是解不等式中最易出错的关键点！） 10. 补充性质（对称性）：如果 a > b，那么 b < a 。 三、 一元一次不等式 11. 含有 一个 未知数，未知数的次数是 1 ，且不等号两边都是 整式 的不等式，叫做一元一次不等式。 12. 解一元一次不等式的一般步骤： * 步骤1：去分母 (注意：两边同乘各分母的 最小公倍数 ， 不要漏乘 不含分母的项 ；乘负数时不等号方向改变)。 * 步骤2：去括号 (注意括号前的符号，必要时变号)。 * 步骤3：移项 (把含有未知数的项移到不等式的一边，常数项移到另一边；移项要 变号 )。 * 步骤4：合并同类项 (把不等式化成 ax > b 或 ax < b 等形式)。 * 步骤5：系数化为1 (不等式两边同除以未知数的系数 a ；当 a < 0 时，不等号方向必须改变)。 四、 一元一次不等式组 13. 把几个含有 相同未知数 的 一元一次不等式合起来，组成一个一元一次不等式组。 14. 不等式组中所有不等式的解集的 公共部分 ，叫做这个一元一次不等式组的解集。 15. 求不等式组的 解集 的过程，叫做解不等式组。 16. 一元一次不等式组的解集情况（设 a < b）： * 同大取大：不等式组 的解集是 x > b 。 * 同小取小：不等式组的解集是 x < a 。 * 大小小大中间找：不等式组的解集是 a < x < b 。 * 大大小小无处找（无解）：不等式组的解集是 空集 （无解）。 * 等于取等点：若不等式包含等号（如 x ≥ a, x ≤ b 且 a = b），则解集为 x = a 。 17. 解一元一次不等式组的一般步骤： * 步骤1：分别求出不等式组中 每一个不等式 的解集。 * 步骤2：将每个不等式的解集在 同一条数轴 上表示出来。 * 步骤3：找出所有解集的 公共部分 ，这个公共部分就是不等式组的解集。 * 步骤4：写出不等式组的解集（或用不等式表示）。 五、 不等式（组）的应用 18. 解题步骤：审、设、列、解、验、答 审题：找出题目中的 不等关系 ，明确已知量和未知量。 设元：设出 未知数 (一般用 x, y 等) 。 列不等式（组）：根据找到的 不等关系 ，列出 一个或多个 不等式（组成不等式组）。 解不等式（组）：求出不等式（组）的 解集 。 检验： * 检验解集是否满足 所列不等式（组） 。 * 检验解集是否符合 问题的实际意义 （如人数、时间、长度等不能为负数或分数，必须是整数等）。 19. 作答：根据题目要求写出 符合条件 的答案（如整数解、方案设计等）。 知识点练习 一、选择题练习 1．若a＞b，则下列式子中错误的是（　　） A．a﹣2＞b﹣2 B． C．a+2＞b+2 D．﹣2a＞﹣2b 【解答】解：∵a＞b， ∴a﹣2＞b﹣2， ∴选项A不符合题意； ∵a＞b， ∴， ∴选项B不符合题意； ∵a＞b， ∴a+2＞b+2， ∴选项C不符合题意； ∵a＞b， ∴﹣2a＜﹣2b， ∴选项D符合题意． 故选：D． 2．限制高度是公路交通标志中的重要类别，这类标志通常设置在立交桥下方、跨路桥附近等净空受限区域，明确对于通过该路段车辆最大高度的限制要求．如图所示，能通过该路段的车辆高度x（单位：米）的范围可表示为（　　） A．x＞3 B．x＝3 C．x＜3 D．0＜x≤3 【解答】解：由图形可得能通过该路段的车辆高度x（单位：米）的范围可表示为0＜x≤3， 故选：D． 3．用不等式表示图中的解集，正确的是（　　） A．x＞4 B．x≥2 C．x＜2 D．x≤2 【解答】解：由数轴可知，表示的不等式的解集是x≥2， 故选：B． 4．对于x，符号[x]表示不大于x的最大整数，如[3.14]＝3，[﹣7.67]＝﹣8，则满足关系式的x的整数值的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：∵， ∴23， 解得：x＜9， 整数有7，8，共2个， 故选：B． 5．已知实数a，b，c，满足a+b＝8，c﹣a＝10．若a≥﹣2b，则2a+b+c的最大值为（　　） A．30 B．32 C．34 D．50 【解答】解：∵a+b＝8，c﹣a＝10， ∴b＝8﹣a，b+c＝18， ∵a≥﹣2b， ∴a≥﹣2（8﹣a）， ∴a≥﹣16+2a， ∴a≤16， ∴a的最大值为16， ∴2a+b+c的最大值＝2×16+18＝50， 故选：D． 6．若关于x的一元一次不等式组有解，则m的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：， 解不等式①得：x＜2m， ∵关于x的一元一次不等式组无解， ∴2m≤3， 解得：m． 故选：B． 7．已知“〇”“□”“△”分别表示三种不同物体，若用天平比较它们的质量大小时，得到了如图所示的两次不同情况，那么这三种物体中，质量最小的是（　　） A．△ B．〇 C．□ D．不能确定 【解答】解：由第一个图可知，〇+〇＞□+〇，即〇＞□； 由第二张图可知△+△+△＝△+□，即2△＝□． 因此有〇＞□＞△． 故选：A． 8．非负数x，y满足2（x﹣1）＝4﹣y，记M＝x+2y，M的最大值为a，最小值b，则a+b＝（　　） A．15 B．14 C．8 D．21 【解答】解：由题意，设2x﹣2＝4﹣y＝k， ∴，y＝4﹣k． ∵x≥0，y≥0， ∴． ∴﹣2≤k≤4． 又∵M＝x+2y2（4﹣k）＝9k， ∴3≤M＝9k≤12． ∴a＝12，b＝3． ∴a+b＝15． 故选：A． 9．周末，小舞到社区附近体育馆去游泳，在咨询收费情况时，负责值班的两名同学有了下面这段对话． 小舞大致计算了一下自己的游泳情况，试判断下列说法正确的是（　　） A．如果一年使用次数超过20，那么采用办会员卡的方式比较合适 B．如果一年使用次数超过10，那么采用办会员卡的方式比较合适 C．不管自己一年使用多少次，这两种收费方式都一样 D．无法判断这两种收费方式哪种比较合适 【解答】解：设小舞一年游泳x次，则班会员卡一年的费用为（400+10x）元，不办会员卡一年的费用为30x元， 当400+10x＞30x时，x＜20； 当400+10x＝30x时，x＝20； 当400+10x＜30x时，x＞20； ∴如果一年使用次数超过20，那么采用办会员卡的方式比较合适； 如果一年使用次数不超过20，那么采用不办会员卡的方式比较合适； 如果一年使用次数为20，那么两种方式费用一样； 故选：A． 10．关于x的不等式组恰有三个整数解，则m的取值范围是（　　） A．0＜m≤1 B．0≤m＜1 C．0＜m＜1 D．0≤m≤1 【解答】解：由不等式2x﹣1≤5得，x≤3； 由不等式x﹣m＞0得，x＞m． 因为此不等式组恰有三个整数解， 所以0≤m＜1． 故选：B． 二、填空题练习 11．已知，若x|5﹣2ax|≤1恒成立，则a得取值范围是　　 ． 【解答】解：由条件可知， ∴， ∴， 令，则：2≤t≤3，， 令， 则当时，y有最大值为； 令， ∴当时，y随着t的增加而增加， 当t＝2时，y有最小值为：， ∵时，x|5﹣2ax|≤1恒成立， ∴； 故答案为：． 12．立定跳远是体育测试项目之一，女生成绩超过1.85m获得满分，超过1.95m获得额外加分．若某女生的成绩为l，且她获得了满分但未获得额外加分，则该女生的成绩l的取值范围是 　1.85＜l≤1.95　 ． 【解答】解：∵女生成绩超过1.85m获得满分，超过1.95m获得额外加分，某女生的成绩为l，且她获得了满分但未获得额外加分， ∴1.85＜l≤1.95． 故答案为：1.85＜l≤1.95． 13．“x的5倍与2019的差不小于2025”用不等式表示：　5x﹣2019≥2025　 ． 【解答】解：“x的5倍与2019的差不小于2025”用不等式表示是5x﹣2019≥2025， 故答案为：5x﹣2019≥2025． 14．不等式组的解集是x＞﹣1，则m的值是 　﹣2　 ． 【解答】解：∵不等式组的解集是x＞﹣1， ∴m+1＝﹣1， 解得：m＝﹣2， 故答案为：﹣2． 15．已知是不等式3x+y≤﹣10的一个解，则m的取值范围是 　m≤﹣2　 ． 【解答】解：∵是不等式3x+y≤﹣10的一个解， ∴3m+2m≤﹣10， ∴m≤﹣2． 故答案为：m≤﹣2． 16．定义：关于x，y的二元一次方程cx﹣ay＝b（其中a，b，c是常数）叫做方程ax+by＝c的“移变方程”．例如：3x+5y＝7的“移变方程”为7x﹣3y＝5．已知常数m，n，k满足条件3m＜k＜n，并且3x+（m﹣n+3）y＝2n+6k+3是关于x，y的二元一次方程（7m﹣k）x+（3m+2n）y＝3的“移变方程”，则k的取值范围为　k且k　 ． 【解答】解：根据移变方程的定义，得： 由②得m＝2k+1， 代入①得8（2k+1）﹣k﹣n+3＝0， ∴n＝15k+11， ∵3m＜k＜n， ∴3（2k+1）＜k＜15k+11， ∴， 又∵方程为二元一次方程， ∴， 即 解得k且k， ∴k的取值范围为k且k． 故答案为：k且k． 17．如果a＞b，那么 　＜　 （填“＞”、“＜”或“＝”）． 【解答】解： ， ∵a＞b， ∴a﹣b＞0， ∴， ∴， ∴． 故答案为：＜． 18．设a，b，c，d∈R，则是成立的　充要　 条件． 【解答】解：由（c﹣a）（d﹣b）＞0，可得或， ∵c+d＞a+b， ∴只能是，故充分性满足， 由可以得到c﹣a＞0，d﹣b＞0，c+d＞a+b，即， 故是成立的充要条件． 故答案为：充要． 19．若关于x的方程5x﹣2m＝﹣4﹣x解在1和10之间，则m的取值为　5＜m＜32　 ． 【解答】解：根据题意，解方程得，x， ∵1＜x＜10 ∴110， 解这个不等式组得，5＜m＜32 20．为了进行艺术宣传，20名画师合作完成100幅户外宣传板的绘画工作．每幅宣传板上的4个绘画内容和每个内容的绘画时长如表： 内容 一个花瓶 一张桌子 一位人物 一把椅子 时长/分 3 7 15 7 20名画师同时开始工作，每位画师只负责一个内容的绘画工作．每幅作品的同一个内容只能由一名画师完成，绘画不同内容的画师可以同时在一张户外宣传板上进行绘画． （1）若2名画师负责绘画花瓶，则绘画人物的画师最多为　16　 人； （2）在（1）的条件下，绘画桌子的画师人数与绘画椅子的画师人数相同，完成这两项内容的画师总人数小于绘画人物的画师人数．完成这100幅户外宣传板的绘画工作，最少需要　175　 分钟． 【解答】解：（1）根据题意知每个内容至少需1名画师，否则工作无法完成， 则负责绘画桌子的画师至少为1人，负责绘画椅子的画师至少为1人， ∵负责绘画花瓶的画师为2人， ∴绘画人物的画师最多为：20﹣2﹣1﹣1＝16（人）； 故答案为：16； （2）设绘画桌子的画师人数与绘画椅子的画师人数都为x， 则绘画人物的画师人数为20﹣2﹣2x＝（18﹣2x）人， 根据题意：2x＜18﹣2x， 解得：， ∵x为正整数， ∴x＝1，2，3，4； 当x＝1时，则绘画桌子的画师人数与绘画椅子的画师人数都为1人，绘画人物的画师人数为16人， ∴绘画花瓶的时间为：（100×3）÷2＝150（分钟）， 绘画桌子的时间为：100×7＝700（分钟）， 绘画椅子的时间为：100×7＝700（分钟）， 绘画人物的时间为：（100×15）÷16＝93.75（分钟）， ∵绘画不同内容的画师可以同时在一张户外宣传板上进行绘画， ∴此时，最少需要的时间为700分钟； 当x＝2时，则绘画桌子的画师人数与绘画椅子的画师人数都为2人，绘画人物的画师人数为14人， 绘画花瓶的时间为：（100×3）÷2＝150（分钟）， 绘画桌子的时间为：（100×7）÷2＝350（分钟）， 绘画椅子的时间为：（100×7）÷2＝350（分钟）， 绘画人物的时间为：（分钟）， ∴此时，最少需要的时间为350分钟； 当x＝3时，则绘画桌子的画师人数与绘画椅子的画师人数都为3人，绘画人物的画师人数为12人， ∴绘画花瓶的时间为：（100×3）÷2＝150（分钟）， 绘画桌子的时间为：（分钟）， 绘画椅子的时间为：（分钟）， 绘画人物的时间为：（100×15）÷12＝125（分钟）， ∴此时，最少需要的时间为分钟； 当x＝4时，则绘画桌子的画师人数与绘画椅子的画师人数都为4人，绘画人物的画师人数为10人， ∴绘画花瓶的时间为：（100×3）÷2＝150（分钟）， 绘画桌子的时间为：（100×7）÷4＝175（分钟）， 绘画椅子的时间为：（100×7）÷4＝175（分钟）， 绘画人物的时间为：（100×15）÷10＝150（分钟）， ∴此时，最少需要的时间为175分钟； ∵， 完成这100幅户外宣传板的绘画工作，最少需要175分钟． 故答案为：175． 三、解答题练习 21．请按下列步骤解不等式组． 解：（1）解不等式①，得　x＜3　 ； （2）解不等式②，得　x　 ； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （4）不等式组的解集为　x＜2　 ． 【解答】解：解不等式①，得x＜2， 解不等式②，得x， 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： 所以原不等式组的解集为x＜2． 故答案为：x＜3，x，x＜2． 22．（1）解方程组：； （2）解不等式组：，并用数轴表示解集． 【解答】解：（1）， ①×2+③得，7x＝14， 解得x＝2， 把x＝2代入②得，2+4y＝4， 解得y， 所以原方程组的解为； （2）， 解不等式①得，x＜2， 解不等式②得，x≥﹣1， 把两个不等式的解集在数轴上表示为： 所以不等式组的解集为﹣1≤x＜2． 23．解不等式：x1，并写出它的正整数解． 【解答】解：x1， 去分母得：4x﹣2（x+1）＜4﹣（x﹣3）， 去括号得：4x﹣2x﹣2＜4﹣x+3， 移项得：4x﹣2x+x＜2+4+3， 合并同类项得：3x＜9， 系数化成1得：x＜3， ∴不等式的正整数解为：1，2． 24．已知：a、b、m、n四个数中，a＞b，m＞n． （1）比较﹣2a与﹣2b的大小； （2）若a、b、m、n都是正数，利用不等式的基本性质说明：am＞bn． 【解答】解：（1）∵a＞b， ∴两边同时乘以﹣2得﹣2a＜﹣2b； （2）∵a＞b，m是正数， ∴am＞bm， ∵m＞n，b是正数， ∴bm＞bn， ∴am＞bn． 25．阅读材料，解决下列问题． 材料：已知实数x、y满足x＞y＞0，求证：x2＞y2． 证明：∵x＞y且x，y均为正（已知） ∴x2＞xy，xy＞y2（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变） ∴x2＞xy＞y2（不等式的传递性） 即x2＞y2 解决问题（要求：采用推理方式解决下列问题，可以不写各步骤的依据）： （1）若a＜b，求证：； （2）已知有理数a，b，c满足：a+b+c＝0，c≥﹣3，5a+3b+2c≥0．试求a的最小值． 【解答】（1）证明：∵a＜b， ∴a+b＜2b， ∴； （2）解：∵a+b+c＝0，5a+3b+2c≥0， ∴5a+3b+2c＝2（a+b+c）+3a+b＝3a+b， 即3a+b≥0， ∵a+b+c＝0， ∴b＝﹣a﹣c， ∴3a+b＝3a﹣a﹣c， ∴2a﹣c≥0， ∵c≥﹣3， ∴2a≥c≥﹣3， ∴2a≥﹣3， ∴， ∴a的最小值是． 26．已知：数a、b（a＜b）都是关于x的不等式x＞25的解． （1）是该不等式的解吗？为什么？ （2）是该不等式的解吗？为什么？ （3）ka+（1﹣k）b是该不等式的解吗？为什么？其中0＜k＜1． （4）设数a、b、在数轴上对应的点分别为A、B、C，通过计算发现，由此可知C为线段AB的二等分点．设在数轴上对应的点分别为D，仿照上面的过程，说明D为线段AB的三等分点． （5）根据（4）的提示，试着从几何意义的角度解释（1）和（2）中的结论． 【解答】解：（1）是，理由如下： ∵a＞25，b＞25， ∴ab25， ∴ab也是该不等式的解； （2）是，理由如下： ∵a＞25，b＞25， ∴ab2525＝25， ∴ab是该不等式的解； （3）是，理由如下： ∵a＞25，b＞25， ∴ka+（1﹣k）b＞25k+25（1﹣k）＝25， ∴ka+（1﹣k）b是该不等式的解； （4）ADab﹣a（b﹣a）AB， ∴D是AB的三等分点； （5）∵A，B都在25右侧， ∴它们的中点和三等分点也都在25右侧． 27．【阅读理解】 小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：求绝对值不等式|a|＞2的解集． 小明同学的思路如下： |a|的几何意义是数a在数轴上对应的点到原点的距离．所以，|a|≤2可理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离不大于2．|a|＞2可理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2；所以不等式|a|＞2的解集是a＜﹣2或a＞2． 【定义概念】 我们定义：形如|x|≤m，|x|≥m，|x|＞m，|x|＜m（m为非负数）的不等式称为绝对值不等式．能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为这个绝对值不等式的解集． 利用绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式： 由如图可得出：绝对值不等式|x|≤3的解集是﹣3≤x≤3；绝对值不等式|x|＞4的解集是x＜﹣4或x＞4． 【简单运用】 （1）①不等式|x|＜2的解集是 　﹣2＜x＜2　 ； ②不等式|x|＞5的解集是 　x＜﹣5或x＞5　 ； 【拓展探究】 （2）请求出绝对值不等式|x+2|+1≥5的解集； （3）不等式|x+2|+|x﹣1|≤6的解集是 　﹣3.5≤x≤2.5　 ． 【解答】解：（1）根据阅读材料可知： ①|x|＜2的解集是﹣2＜x＜2； ②|x|＞5的解集是x＜﹣5或x＞5． 故答案为：﹣2＜x＜2；x＜﹣5或x＞5； （2）|x+2|+1≥5， |x+2|≥4， ∴x+2≤﹣4或x+2≥4， ∴x≤﹣6或x≥2； （3）①当x＜﹣2时，不等式为﹣x﹣2﹣x+1≤6， 移项、合并得﹣2x≤7， 系数化为1，得x≥﹣3.5； ②当﹣2≤x≤1时，不等式为x+2﹣x+1≤6， 移项、合并得3≤6， 恒成立； ③当x＞1时，不等式为x+2+x﹣1≤6， 移项、合并得2x≤5， 系数化为1，得x≤2.5． 故不等式的解集是﹣3.5≤x≤2.5． 故答案为：﹣3.5≤x≤2.5． 28．为响应低碳生活号召，同学们对上下学过程中产生的碳排放量展开调查．通过查阅资料，获取了几种交通方式每千米的碳排放量（单位：kg/km），数据如下： 交通方式 乘私家车 乘坐公交 骑自行车 碳排放量（kg/km） 0.28 0.2 0 已知小明和小亮家到学校的路程均为5km，每天上下学往返一次，且同一天上学和下学选择同一种交通方式.20个上学日为一个周期． （1）某个周期小明有1天骑自行车，他乘私家车的天数比小亮多5天，乘坐公交的天数是小亮的2倍．已知小亮在该周期内上下学产生的碳排放总量为32kg．求小亮该周期乘私家车和乘坐公交各多少天？ （2）接下来的一个周期，小明希望自己上下学产生的碳排放总量不超过上一周期的70%，且骑车不超过4天．请直接写出该周期乘私家车、乘坐公交、骑自行车天数的所有方案． 【解答】解：（1）设小明该周期乘私家车x天，则小明该周期乘坐公交（20﹣1﹣x）天，则小亮该周期乘私家车（x﹣5）天，乘坐公交天， 根据题意得：0.28×5×2•（x﹣5）+0.2×5×2•32， 解得：x＝15， ∴x﹣5＝15﹣5＝10（天），2（天）． 答：小亮该周期乘私家车10天，乘坐公交2天； （2）小明在上一周期内上下学产生的碳排放总量为0.28×5×2×15+0.2×5×2×（20﹣1﹣15）＝50（kg）． 当骑自行车4天时，设小明在该周期乘私家车a天，则乘坐公交（20﹣4﹣a）天， 根据题意得：0.28×5×2a+0.2×5×2（20﹣4﹣a）≤50×70%， 解得：a， 又∵a为非负整数， ∴a可以为0，1，2，3； 当骑自行车3天时，设小明在该周期乘私家车b天，则乘坐公交（20﹣3﹣b）天， 根据题意得：0.28×5×2b+0.2×5×2（20﹣3﹣b）≤50×70%， 解得：b， 又∵b为非负整数， ∴b可以为0，1； 当骑自行车2天时，设小明在该周期乘私家车c天，则乘坐公交（20﹣2﹣c）天， 根据题意得：0.28×5×2c+0.2×5×2（20﹣2﹣c）≤50×70%， 解得：c（不符合题意，舍去）． 综上所述，小明在该周期共有6种上下学方案， 方案1：乘坐公交16天，骑自行车4天； 方案2：乘私家车1天，乘坐公交15天，骑自行车4天； 方案3：乘私家车2天，乘坐公交14天，骑自行车4天； 方案4：乘私家车3天，乘坐公交13天，骑自行车4天； 方案5：乘坐公交17天，骑自行车3天； 方案6：乘私家车1天，乘坐公交16天，骑自行车3天 学科网（北京）股份有限公司 $$