精品解析：北京市十一学校2026年6月九年级数学学习诊断

北京市十一学校2026届初三年级6月数学学习诊断 试卷满分：100分 时间：120分钟 一、选择题（共16分，每小题2分，第1—8题均有4个选项，符合题意的选项只有一个） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 电影《给阿嬷的情书》于2026年4月30日上映，讲述潮汕阿嬷与华侨之间的书信故事，截至2026年5月下旬，累计票房约亿，请将亿表示为科学记数法（ ） A. B. C. D. 3. 如图，点、、在同一条直线上，是的平分线，是的平分线，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则下列结论可能正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于的一元二次方程有两个不等的实数根，则实数的值可以为（ ） A. B. C. D. 6. 小亮和爸爸计划乘动车外出旅游．在网上购票时，小亮选定的车厢只剩一排有余座（如图）．若此时C座已售出，其余座位由系统随机分配，则小亮和爸爸相邻而坐的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以小于 的长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③连接，交于点．若，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 如图，在平面直角坐标系 中， 是函数图像上的动点，点 在 轴上，，以，为边的平行四边形的边 交该函数的图像于点 ，连接，． 给出下面四个结论： ①四边形可能是菱形；②的面积始终等于 ； ③点 可能是 的中点；④可能是直角三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①② D. ①③ 二、填空题（共16分，每小题2分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______． 10. 因式分解：_____． 11. 方程的解为______． 12. 某公司新研发一款英语听说训练平台，为测试其用户满意度，随机抽取了以下样本进行调查，统计数据如下： 调查人数m 10 250 700 1000 5000 10000 20000 回复满意的人数n 8 218 621 898 4510 8990 18020 回复满意的频率（结果保留小数点后三位） 0.800 0.872 0.887 0.898 0.902 0.899 0.911 根据表中信息，估计平台用户回复满意的概率为_____（结果精确到0.1）． 13. 能说明命题“若，则”是假命题的一组实数 ， 的值为____________，____________． 14. 如图，将量角器和含角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内，使三角板的刻度线与量角器的刻度线在同一直线上，直径是直角边的两倍，过点A作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E，则的度数是_______． 15. 如图，正方形中，，点为中点，点在延长线上，且，连接并延长，交于点，则______． 16. 现在有三个仓库、、，分别存有吨、吨、吨某原材料；要将这种原材料运往三个加工厂、、，每个加工厂都需要吨原材料．从每个仓库运送吨材料到每个加工厂的成本如下表所示(单位：元吨)： () () () 现在要让每个仓库清仓、每个加工厂都得到足够的材料， （1）如果从运吨到、运吨到，从运吨到，那么从需要运 吨到； （2）考虑各种方案，运费最低为 元． 三、解答题（共68分，17～19题每题5分，20题6分，21～22题每题5分，23～24题每题6分，25题5分，26题6分，27～28题每题7分） 17. 计算：． 18. 解不等式组： 19. 已知：，求代数式的值． 20. 如图，在四边形 中，是 的中点，，交于点 ，，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求 的长． 21. 在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． （1）求 ，的值； （2）过点作 轴的垂线，分别交函数与的图象于点，． ①当时，求的面积； ②当的面积大于时，直接写出的取值范围． 22. 为推动能源转型，某市要求新建光伏站的两种核心组件（A型、B型光伏板）的综合发电效率需满足以下标准：A型光伏板效率不低于，型光伏板效率不低于，两种光伏板效率之和不低于． 某电站原A、B型光伏板效率之和为． 通过技术优化，A型效率提升，B型效率提升，优化后效率之和达到．问：优化后该电站是否符合光伏板效率标准？请说明理由． 23. 某测评机构为了了解X与Y两款热门降噪耳机的用户体验，随机抽取了名耳机测评体验官，分别对X与Y两款耳机的“降噪效果”和“佩戴舒适度”两项指标的评分（满分均为分）进行整理、描述并分析如下： a．降噪效果得分统计： X款耳机得分最低为分，最高为分，其频数分布图为： Y款耳机的得分为：6 8 8 9 9 9 9 10 7 7 8 9 9 9 8 10 10 9 8 8 b．佩戴舒适度得分对比情况： 测评机构分析这名耳机体验官的佩戴舒适度得分，将同一个人对两款耳机的佩戴舒适度得分对比，发现X款耳机的佩戴舒适度得分高于Y款耳机的有人，两款耳机得分相同的有 人，Y款耳机得分高于X款的有人． c．两项指标得分统计表： 降噪效果得分 佩戴舒适度得分 耳机型号 平均数 中位数 众数 平均数 X 8.15 8 b 8.8 Y 8.5 a 9 7.5 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全X款耳机得分的频数分布图； （2）表格中 ____________，____________； （3）在本次测评中，如果某位耳机测评体验官对其中一款耳机的“佩戴舒适度”评分高于另一款，则视为体验官对该款耳机“更青睐”．请据此估计，在1600名耳机用户中，更青睐X款耳机的人数约有 人； （4）在复核Y款耳机的降噪效果得分时，发现一个数据被污损，无法辨认，已知剩余19个分数的中位数与原20个分数的中位数相同，但平均数比原20个分数的平均数大，请推测被污损的分数可能是____________（写出所有可能的值）． 24. 如图，以的边为直径作交于点，连接，过点作的垂线，交，于点，，交于另一点，且． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 25. 某农业种植基地探究不同种类化肥对小白菜幼苗生长期株重增长率的影响，选用生长期株重周增长率H（单位：）作为观测指标，，其中（单位：）为初始菜苗鲜重，（单位：）为培育周后菜苗鲜重，培育时除化肥种类外，温度、光照、水分等实验条件全部一致，记培育周时，不施加化肥的菜苗株重增长率为，施用化肥A的菜苗株重增长率为，施用化肥B的菜苗株重增长率为．假设第0周时所有初始菜苗鲜重均为，该基地记录的前14周的部分数据如下： /周 0 1 2 5 6 8 10 12 14 0 18 22 30 32 36 39 41 43 0 29 34 44 46 49 51 53 54 0 31 38 49 52 58 a 62 62 （1）实验测得施用化肥B的菜苗培育10周时质量为，则____________； （2）在平面直角坐标系 中，描出了各数对，所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接得到曲线，，请补全数对所对应的点，并画出对应曲线； （3）根据以上信息，回答下列问题： ①若该基地同时从第0周开始培育未施用化肥的菜苗与施用化肥B的菜苗，在前14周内菜苗株重增长率的差持续超过的周数为____________（结果保留整数）； ②该种植基地有若干批初始菜苗要培育并进行售卖，当菜苗株重超过时可以在当周进行售卖，且一次性卖完一批．每一批菜苗售出价格为2000元．培育时每一批菜苗只能施加一种化肥、施加化肥A成本为300元，施加化肥B成本为800元，均一次付清，后续各周不再产生化肥费用． 售卖前每周会产生100元的种植成本（含售卖当周），每一批菜当周售卖后可在下一周种植新一批的初始菜苗． 若该种植基地想在22周内获得最大利润，则最大利润为____________元．（利润=售出价格-化肥成本-种植成本） 26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点和． （1）求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）； （2）将抛物线向上平移个单位，再向右平移个单位得到抛物线，无论为何值，抛物线恒过，过作轴的垂线交抛物线于，两点（在的左侧），交抛物线于，两点（在的左侧），则的值存在最小值吗？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 27. 如图，在中，，，在三角形内部存在点，满足，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，，，．过点作，交延长线于点，与的交点记作． （1）求证：； （2）若，用等式表示线段与的数量关系，并证明你的结论． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为，对于两点和，其中点在上，给出如下定义：若线段的垂直平分线与相交，且两交点之间的距离为，则称点是点的“关联点”． （1）如图，点． ①在点，，中，点____________是点的“关联点”，其中____________； ②若点是点的“关联点”，则点的横坐标的最大值为____________． （2）直线与轴，轴分别交于点，．对于线段上任意一点，都存在上的点，使得点是点的“关联点”，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市十一学校2026届初三年级6月数学学习诊断 试卷满分：100分 时间：120分钟 一、选择题（共16分，每小题2分，第1—8题均有4个选项，符合题意的选项只有一个） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； B、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； C、长方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意； D、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意． 2. 电影《给阿嬷的情书》于2026年4月30日上映，讲述潮汕阿嬷与华侨之间的书信故事，截至2026年5月下旬，累计票房约亿，请将亿表示为科学记数法（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：亿． 3. 如图，点、、在同一条直线上，是的平分线，是的平分线，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据邻补角求得，根据角平分线的定义求得，根据，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． ∵平分，平分， ∴． ∴． 故选C． 4. 已知，则下列结论可能正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合已知条件，由不等式性质逐项验证即可． 【详解】解：A、选项结论中含，得出，与已知矛盾，选项结论一定错误； B、由得到，，若取，满足（比如），则，选项结论错误；若取，满足（比如），则，选项结论正确；即当时，可能正确； C、选项结论中含，得出，与已知矛盾，选项结论一定错误； D、选项结论中含，得出，与已知矛盾，选项结论一定错误． 5. 若关于的一元二次方程有两个不等的实数根，则实数的值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由一元二次方程根的情况与判别式关系列出不等式求解即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不等的实数根， ，解得， 观察四个选项，只有． 6. 小亮和爸爸计划乘动车外出旅游．在网上购票时，小亮选定的车厢只剩一排有余座（如图）．若此时C座已售出，其余座位由系统随机分配，则小亮和爸爸相邻而坐的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列表法求概率，熟练掌握列表法求概率是解题的关键． 根据题意，根据列表法求概率即可求解． 【详解】解：列表如下， 共有12种等可能结果，其中符合题意的有4种， 小亮和爸爸相邻而坐的概率是, 故选：C． 7. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以小于 的长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③连接，交于点．若，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】作DE⊥AB，由作图知AP平分∠BAC，依据∠C=∠AED=90°知CD=DE=3，结合BD=5知BE=4，再证Rt△ACD≌Rt△AED得AC=AE，设AC=AE=x，由AC2+BC2=AB2得x2+82=（x+4）2，解之可得答案． 【详解】解：如图所示，过点D作DE⊥AB于点E， 由作图知AP平分∠BAC， ∵∠C=∠AED=90°， ∴CD=DE=3， ∵BD=5， ∴BE=4， ∵AD=AD，CD=DE， ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴AC=AE， 设AC=AE=x， 由AC2+BC2=AB2得x2+82=（x+4）2， 解得：x=6，即AC=6， 故选：C． 【点睛】本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图及角平分线的性质、勾股定理等知识点． 8. 如图，在平面直角坐标系 中， 是函数图像上的动点，点 在 轴上，，以，为边的平行四边形的边 交该函数的图像于点 ，连接，． 给出下面四个结论： ①四边形可能是菱形；②的面积始终等于 ； ③点 可能是 的中点；④可能是直角三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①② D. ①③ 【答案】B 【解析】 【分析】设点坐标，结合、平行四边形性质求出、坐标，再逐个推导验证四个结论的正误，最后选出正确结论对应的选项． 【详解】解：设．∵，且 在 轴上， ∴点在的垂直平分线上， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴ 点可以由 点向右平移得到，即． 对于①，先取得到点 ，再取得到点 ，再作 与平行且相等，得到点 ，此时为菱形，故①正确； 对于②，∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，故②正确； 对于③，∵，， ∴ 的中点横坐标为，纵坐标为， ∵， ∴ 的中点不在上，即点 不可能是 的中点，故③错误； 对于④，设直线的解析式为，代入、， ∵ ， ∴ 解得， ∴ 直线的解析式为． 联立直线与反比例函数， ∵ ， ∴ 整理得， 解得，（不符合，舍去）， ∴ 点的坐标为． 当时，为直角三角形，由勾股定理得． ∵ ， ， ， 代入勾股定理等式并整理： ， ∴． ∵ ， ∴ ， ∴ 点的纵坐标为， ∴ 此时点的坐标为． ∴一定存在，即可能是直角三角形，故④正确． 综上所述，正确的结论是①②④． 二、填空题（共16分，每小题2分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴ 解得： 10. 因式分解：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，原式提取公因式m后，再利用平方差公式分解剩余部分即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 11. 方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式方程的求解，需先通过去分母将分式方程转化为整式方程，求解整式方程后检验所得解是否为增根，进而确定原方程的解． 【详解】解：方程两边同时乘最简公分母， 得 去括号，得 合并同类项，得 移项，得 系数化为1，得 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． 12. 某公司新研发一款英语听说训练平台，为测试其用户满意度，随机抽取了以下样本进行调查，统计数据如下： 调查人数m 10 250 700 1000 5000 10000 20000 回复满意的人数n 8 218 621 898 4510 8990 18020 回复满意的频率（结果保留小数点后三位） 0.800 0.872 0.887 0.898 0.902 0.899 0.911 根据表中信息，估计平台用户回复满意的概率为_____（结果精确到0.1）． 【答案】0.9 【解析】 【分析】本题考查用频率估计概率，解题的关键是掌握大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，用频率的集中趋势来估计概率． 当试验次数很大时，频率会在某个常数附近摆动，这个常数就可以作为该事件发生的概率的估计值.求解计划是观察表格中回复满意的频率数据，随着调查人数的增加，看频率的稳定趋势，从而估计出平台用户回复满意的概率． 【详解】解：从表格中可以发现，随着调查人数的不断增多，回复满意的频率在0.9附近波动． 所以估计平台用户回复满意的概率为0.9． 故答案为：0.9． 13. 能说明命题“若，则”是假命题的一组实数 ， 的值为____________，____________． 【答案】 ①. （答案不唯一） ②. 1（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：取，满足，但， 故能说明该命题是假命题．（答案不唯一，满足 且即可） 14. 如图，将量角器和含角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内，使三角板的刻度线与量角器的刻度线在同一直线上，直径是直角边的两倍，过点A作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E，则的度数是_______． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线性质和判定，三线合一，切线长定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 记量角器圆弧所在圆的圆心为，连接，根据题意推出垂直平分，结合等腰三角形性质得到，再结合切线长定理进行求解，即可解题． 【详解】解：记量角器圆弧所在圆的圆心为，连接， 直径是直角边的两倍， ， ， 垂直平分， ， ， 为半径，， 为切线， 为切线， ， ； 故答案为：． 15. 如图，正方形中，，点为中点，点在延长线上，且，连接并延长，交于点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质．作于点，证明，求得，证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：∵正方形中，，点为中点， ∴，， 作于点， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 现在有三个仓库、、，分别存有吨、吨、吨某原材料；要将这种原材料运往三个加工厂、、，每个加工厂都需要吨原材料．从每个仓库运送吨材料到每个加工厂的成本如下表所示(单位：元吨)： () () () 现在要让每个仓库清仓、每个加工厂都得到足够的材料， （1）如果从运吨到、运吨到，从运吨到，那么从需要运 吨到； （2）考虑各种方案，运费最低为 元． 【答案】（1）2 （2）40 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，找到最优解是解题的关键． （1）根据题意，结合表格，根据有理数的运算法则进行计算即可求解； （2）根据表格数据，寻求最优解即可求解． 【小问1详解】 解：如果从运吨到、运吨到，从运吨到，那么从需要运吨到， 故答案为：； 【小问2详解】 解：运费如下： ) ) ) 运输方案一： ) ) ) 运费为： 运输方案二： ) ) ) 运费为： 运输方案三： ) ) ) 运费为： 故答案为：40． 三、解答题（共68分，17～19题每题5分，20题6分，21～22题每题5分，23～24题每题6分，25题5分，26题6分，27～28题每题7分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先进行负整数指数幂、立方根、特殊角三角函数值的计算及化简绝对值，再进行二次根式的加减即可． 【详解】解：原式． 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【详解】解析：解不等式，得． 解不等式，得． 所以，原不等式组的解集为． 19. 已知：，求代数式的值． 【答案】1 【解析】 【分析】先把小括号内的式子通分化简，再约分化简，接着求出的值，最后代入求值即可． 【详解】解： ， ， ∴原式． 20. 如图，在四边形 中，是 的中点，，交于点 ，，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求 的长． 【答案】（1）证明：∵是的中点， ∴ ∵， ∴是 的中位线， ∴， 即． ∵， ∴四边形为平行四边形． （2） 【解析】 【分析】（1）先得出是的中位线，即，再结合两组对边分别平行的四边形是平行四边形，即可作答． （2）结合，，得出，运用勾股定理列式计算得，根据中位线的性质以及平行四边形的性质得，再把数值代入计算，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ∴ 在中，， ∵ ∴． 根据勾股定理，． 由（1）得是的中位线， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． 在中，． 21. 在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． （1）求 ，的值； （2）过点作 轴的垂线，分别交函数与的图象于点，． ①当时，求的面积； ②当的面积大于时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）①4；②或 【解析】 【分析】（1）将代入求得，进而代入，即可求解； （2）根据题意得出，，点到直线的距离为，则 ①将代入，即可求解； ②根据题意得出，得出或即可求解． 【小问1详解】 解：∵点在函数的图象上， ∴， 解得． ∵点在函数的图象上， ∴， 解得． 【小问2详解】 解：由（1）可知两个函数的解析式分别为和． ∵与，分别交于点， ∴． ∴． 点到直线的距离为， ∴． ①当时，． ②当时，即， 即 ∴或 解得或． ∴的取值范围是或． 22. 为推动能源转型，某市要求新建光伏站的两种核心组件（A型、B型光伏板）的综合发电效率需满足以下标准：A型光伏板效率不低于，型光伏板效率不低于，两种光伏板效率之和不低于． 某电站原A、B型光伏板效率之和为． 通过技术优化，A型效率提升，B型效率提升，优化后效率之和达到．问：优化后该电站是否符合光伏板效率标准？请说明理由． 【答案】符合．理由如下： 设技术优化前，A型光伏板效率为，B型光伏板效率为． 由题意得：， 即， 解得：． 所以，技术优化后： A型光伏板效率为，满足不低于的标准； B型光伏板效率为，满足不低于的标准； 优化后效率之和为，满足不低于的标准． 综上所述，优化后该电站符合光伏板效率标准． 【解析】 【分析】设技术优化前，A型光伏板效率为，B型光伏板效率为，根据优化前效率之和为，技术优化后，A型效率提升，B型效率提升，优化后效率之和达到，建立二元一次方程组求解． 【详解】略 23. 某测评机构为了了解X与Y两款热门降噪耳机的用户体验，随机抽取了名耳机测评体验官，分别对X与Y两款耳机的“降噪效果”和“佩戴舒适度”两项指标的评分（满分均为分）进行整理、描述并分析如下： a．降噪效果得分统计： X款耳机得分最低为分，最高为分，其频数分布图为： Y款耳机的得分为：6 8 8 9 9 9 9 10 7 7 8 9 9 9 8 10 10 9 8 8 b．佩戴舒适度得分对比情况： 测评机构分析这名耳机体验官的佩戴舒适度得分，将同一个人对两款耳机的佩戴舒适度得分对比，发现X款耳机的佩戴舒适度得分高于Y款耳机的有人，两款耳机得分相同的有 人，Y款耳机得分高于X款的有人． c．两项指标得分统计表： 降噪效果得分 佩戴舒适度得分 耳机型号 平均数 中位数 众数 平均数 X 8.15 8 b 8.8 Y 8.5 a 9 7.5 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全X款耳机得分的频数分布图； （2）表格中 ____________，____________； （3）在本次测评中，如果某位耳机测评体验官对其中一款耳机的“佩戴舒适度”评分高于另一款，则视为体验官对该款耳机“更青睐”．请据此估计，在1600名耳机用户中，更青睐X款耳机的人数约有 人； （4）在复核Y款耳机的降噪效果得分时，发现一个数据被污损，无法辨认，已知剩余19个分数的中位数与原20个分数的中位数相同，但平均数比原20个分数的平均数大，请推测被污损的分数可能是____________（写出所有可能的值）． 【答案】（1）解：X款耳机得分是9的人数有人， 补全X款耳机得分的频数分布图如下： （2）9；8 （3）1120 （4）6、7、8 【解析】 【分析】（1）根据总人数减去7分的人数，8分的人数，10分的人数即可补全频数分布图 （2）根据中位数（一组数列是偶数个，取中间两个数的平均数即可）和众数（一组数列中出现次数最多的数）的定义即可求出答案． （3）先求出更青睐X款耳机所占的比例，然后乘以总人数，即可求出更青睐X款耳机的总人数． （4）根据已知条件求出剩余19个分数的中位数，判断被污损的分数的可能性，设被污损分数为，根据剩余数的平均数比原来20个数平均数大不等量关系式， 列一元一次不等式解出即可推出被污损的分数的可能性． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：将Y款耳机的得分按照从小到大的顺序排列如下： 6 7 7 8 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9 9 9 9 10 10 10 中位数． X款耳机得分中出现次数最多的是8， 众数是． 【小问3详解】 解：发现X款耳机的佩戴舒适度得分高于Y款耳机的有人， 在1600名耳机用户中，更青睐X款耳机的人数为人． 【小问4详解】 解：Y款耳机原来20个分数的平均数是， Y款耳机的总得分是分， 剩余19个分数的中位数与原20个分数的中位数相同，但平均数比原20个分数的平均数大，原20个分数的中位数为9， 剩余19个分数的中位数也是9， 说明被污损的分数比9小，即6，7，8． 设被污损的分数为，则，解得， 被污损的分数为可能为6、7、8． 【点睛】本题考查了中位数、众数、频数分布图和一元一次不等式的应用，解题的易错点在于忽视中位数相同，从而判断被污损的分数的可能性． 24. 如图，以的边为直径作交于点，连接，过点作的垂线，交，于点，，交于另一点，且． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：如图，连接， ∵是的直径， ∴，即． ∵， ∴， ∴． ∵于， ∴． ∵， ∴． ∴，即． ∵是的半径， ∴为的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）根据是的直径，得出，进而根据得出，由“三线合一”得．由已知可得，进而根据，得出，即可得证； （2）先证明，得出，设，根据已知得出，则．在中，勾股定理表示出，设的半径为，则，得出，解得出，，在中，勾股定理建立方程，求得，在中，根据勾股定理即可求得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵为切线， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，即． 设， ∵， ∴，则． ∴． 在中，． 设的半径为，则， ∴，得． ∵， ∴． 在中，， ∴． ∵， ∴， ∴在中，． ∴． 在中，，即， ∴，解得． 在中，， ∴． ∴． 25. 某农业种植基地探究不同种类化肥对小白菜幼苗生长期株重增长率的影响，选用生长期株重周增长率H（单位：）作为观测指标，，其中（单位：）为初始菜苗鲜重，（单位：）为培育周后菜苗鲜重，培育时除化肥种类外，温度、光照、水分等实验条件全部一致，记培育周时，不施加化肥的菜苗株重增长率为，施用化肥A的菜苗株重增长率为，施用化肥B的菜苗株重增长率为．假设第0周时所有初始菜苗鲜重均为，该基地记录的前14周的部分数据如下： /周 0 1 2 5 6 8 10 12 14 0 18 22 30 32 36 39 41 43 0 29 34 44 46 49 51 53 54 0 31 38 49 52 58 a 62 62 （1）实验测得施用化肥B的菜苗培育10周时质量为，则____________； （2）在平面直角坐标系 中，描出了各数对，所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接得到曲线，，请补全数对所对应的点，并画出对应曲线； （3）根据以上信息，回答下列问题： ①若该基地同时从第0周开始培育未施用化肥的菜苗与施用化肥B的菜苗，在前14周内菜苗株重增长率的差持续超过的周数为____________（结果保留整数）； ②该种植基地有若干批初始菜苗要培育并进行售卖，当菜苗株重超过时可以在当周进行售卖，且一次性卖完一批．每一批菜苗售出价格为2000元．培育时每一批菜苗只能施加一种化肥、施加化肥A成本为300元，施加化肥B成本为800元，均一次付清，后续各周不再产生化肥费用． 售卖前每周会产生100元的种植成本（含售卖当周），每一批菜当周售卖后可在下一周种植新一批的初始菜苗． 若该种植基地想在22周内获得最大利润，则最大利润为____________元．（利润=售出价格-化肥成本-种植成本） 【答案】（1）60 （2） 对应曲线如图所示： （3）①7；②1900 【解析】 【分析】（1）理解题意，直接把数值代入计算，即可作答； （2）先理解题意，再描点，最后依次连接，即可作答； （3）①分别算出当，，时对应的增长率之差，再运用数形结合思想得出当时，差值约为，故增长率差值持续超过的周数为（周）； ②先运算菜苗株重超过时，需增长率，再观察函数图象，得出若施用化肥A，由于第10周的增长率为，故最快需10周可售卖，若施用化肥B，由于第6周的增长率为，故最快需6周可售卖，结合利润=售出价格-化肥成本-种植成本进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵，其中（单位：g）为初始菜苗鲜重，（单位：g）为培育周后菜苗鲜重，且实验测得施用化肥B的菜苗培育10周时质量为， ∴ 即． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①根据表格数据，当时，增长率之差为， 当时，增长率之差为， 当时，增长率之差为， 由函数图像，当时，差值约为， ∴增长率差值持续超过的周数为（周）， ②依题意，菜苗株重超过时，需增长率， 若施用化肥A，由于第10周的增长率为， 故最快需10周可售卖，单批利润为（元）； 若施用化肥B，由于第6周的增长率为， 故最快需6周可售卖，单批利润为（元）； 在22周内，可通过以下方案获得最大利润： 培育1批施用化肥A（用时10周）和2批施用化肥B（用时12周），总用时（周）， 总利润为（元）． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点和． （1）求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）； （2）将抛物线向上平移个单位，再向右平移个单位得到抛物线，无论为何值，抛物线恒过，过作轴的垂线交抛物线于，两点（在的左侧），交抛物线于，两点（在的左侧），则的值存在最小值吗？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在最小值 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的对称性可知，抛物线顶点的横坐标为，根据抛物线的对称轴公式求出，所以抛物线的解析式为，把抛物线顶点横坐标代入解析式求出顶点纵坐标，即可得到抛物线顶点坐标； （2）根据平移的性质可知点在抛物线上，把点的坐标代入解析式可得：，根据抛物线的对称性可知，根据二次函数的性质可知当时取得最小值，的最小值． 【小问1详解】 解：抛物线经过点， ， 经过点且， 对称轴为， ， 抛物线的解析式为， 抛物线的顶点的横坐标为，顶点的纵坐标为， 抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：将抛物线向上平移个单位，再向右平移个单位得到， 过点，而上的点由上的点平移得到， 点在上， 代入得：， 整理得：， ， ， 直线与交于，，与交于，， ，关于的对称轴对称， ， ，关于的对称轴对称， ， ，分别在，左侧，且在右侧， ， ， 当时取得最小值，此时取得最小值． 27. 如图，在中，，，在三角形内部存在点，满足，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，，，．过点作，交延长线于点，与的交点记作． （1）求证：； （2）若，用等式表示线段与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）证明：∵将线段绕点顺时针旋转，得到线段，， ∴，， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：线段与的数量关系为． 证明：由（1）知：，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平分， 过点作于点，连接，如图， ∵，，且平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴是、的中点，即， 取的中点，连接， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质得，，证明得∴，，再根据等边对等角及直角三角形两锐角互余即可得证； （2）根据等边对等角得，继而推出，过点作于点，连接，根据角平分线的性质及勾股定理得，，证明四边形是平行四边形得是、的中点，即，取的中点，连接，根据三角形中位线的性质得，，进一步推出，最后根据平行线的性质及等角对等边即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 28. 在平面直角坐标系中，的半径为，对于两点和，其中点在上，给出如下定义：若线段的垂直平分线与相交，且两交点之间的距离为，则称点是点的“关联点”． （1）如图，点． ①在点，，中，点____________是点的“关联点”，其中____________； ②若点是点的“关联点”，则点的横坐标的最大值为____________． （2）直线与轴，轴分别交于点，．对于线段上任意一点，都存在上的点，使得点是点的“关联点”，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①；；② （2） 【解析】 【分析】（1）分别画出，，的垂直平分线，进而得出结果； （2）取的半径，以为边作等边，则，作，且平分，作于，则，以点为圆心，为半径作圆，则小圆的切线截大圆的弦长是，当轴时，点的横坐标最大，进一步得出结果； （2）作的一条弦，作于点，以点为圆心，为半径作圆，则该圆的切线截取大圆的弦长是，则，作关于这弦长是的对称的圆，当在这些圆形成的圆环内时，满足条件，不妨作弦，且轴，作关于的对称圆，则，当点 在上时，列出方程求得结果；当与相切时，切点与大上点连线的垂直平分线截取的弦是直径，长是，此时，不符合题意，进而得出结果． 【小问1详解】 解：①如图1，分别画出、、的垂直平分线、、，交于点， 交于点，交轴于点，交于点，交轴于点，过点作于点， ∴，，，点、、分别为、、的中点， ∴， ∵，，，， ∴轴，即、即、即， ∴轴，且与轴的距离为， ∴与相切即的垂直平分线与相切，不符合题意； ∵，，，，， ∴，，，，， ∴，即， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴与相离即的垂直平分线与相离，不符合题意； ∵，，，， ∴点在上，，， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在上， ∴的垂直平分线交于点、，且， ∴点是点的“关联点”，其中； ②如图2，取的半径，以为边作等边，则，，且平分，作于点， ∴，， ∴， 以为圆心，为半径作圆，则小圆的切线截大圆的弦长是， 当轴时，点、在轴上，点的横坐标最大， 此时， 点的横坐标的最大值为； 【小问2详解】 解：∵直线与轴，轴分别交于点，， 当时，；当时，， ∴，， ∴， ∴， 如图，的半径为，作的一条弦，垂直平分，点为线段上任意一，点在上，则， 如图3，作的一条弦，作于点，以点为圆心，为半径作圆，则该圆的切线截取大的弦长是， ∴， 作弦，且轴，由（1）的②知：此时点的横坐标取得最大值，作关于的对称圆，则， 当运动时，也随着运动，最终的运动路径是以为圆心，为半径的圆， ∴当在以为圆心，为半径的圆内时，满足条件， 当点与点重合时，， 解得：，（舍去）， ∴当于相切时，切点与大上点连线的垂直平分线截取的弦是直径，长是，此时，不符合题意， 综上所述，的取值范围是． 第1页/共1页 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