精品解析：江苏省南京市鼓楼区3校（29树人汇文）2025-2026学年 七年级下学期数学期末联考卷

260624鼓楼3校（树人汇文29）联考七下期末 一、选择题（每题2分，共6小题，共12分） 1. 下列图形是我国几所大学的校徽，其中运用了“平移”制作的是（ ） A. 北京大学 B. 复旦大学 C. 中国人民大学 D. 南开大学 【答案】C 【解析】 【详解】解：由题可知，运用“平移”的是：中国人民大学． 2. 下列算式中，可以用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，熟知平方差公式的结构特征是解题的关键； 根据平方差公式的结构特征，逐一分析各选项是否符合两数和与两数差的乘积形式． 【详解】A．第二个括号可提取负号，得，不符合平方差公式，故不符合题意； B．第一个括号可写为，第二个括号为，原式，不符合平方差公式，故不符合题意； C．第二个括号可写为，原式变为，即，符合平方差公式结构，结果为，符合条件，故符合题意； D．直接为，不符合平方差公式，故不符合题意； 故选：C． 3. 下列命题中，假命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 同位角相等 C. 有两个角互余的三角形是直角三角形 D. 任意凸多边形的外角和都等于 【答案】B 【解析】 【分析】根据相关几何概念逐一判断，找出假命题即可． 【详解】对顶角的性质为对顶角相等，故A是真命题，不符合题意； 只有两条平行直线被第三条直线所截时，同位角才相等，未说明两直线平行的条件时， 同位角不一定相等，故B是假命题，符合题意； 三角形内角和为，若三角形有两个角互余， 即两个角的和为，则第三个角为， 该三角形是直角三角形，故C是真命题，不符合题意； 任意凸多边形的外角和恒为，故D是真命题，不符合题意． 4. 已知，下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可求解． 【详解】解：A.∵a＞b，∴a-3＞b-3，故原选项判断错误，不合题意； B. ∵a＞b，∴，故原选项判断错误，不合题意； C. ∵a＞b，∴，故原选项判断错误，不合题意； D. ∵a＞b，∴，故原选项判断正确，符合题意． 故选：D 【点睛】本题考查了不等式的性质，熟知不等式的三条性质是解题关键． 5. 已知关于、的二元一次方程，当每取一个值时，就有一个对应的方程，而这些方程有一个公共解，则这个公共解是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把原方程整理得：，根据“当m每取一个值时就有一个方程，而这些方程有一个公共解”，可知这个公共解与m无关，进而得到关于x和y的二元一次方程组，解之即可． 【详解】解：原方程可整理得：． ∵当每取一个值时，就有一个对应的方程，而这些方程有一个公共解， ∴，解得：． 故选：D． 【点睛】本题考查二元一次方程的解的定义，解二元一次方程组，正确掌握解二元一次方程组是解题的关键． 6. 如图，点分别在上运动（不与重合），是的平分线，的反向延长线交的平分线于点．知道下列哪个条件①；②；③；④的值，不能求大小的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形外角的性质与内角和定理，根据三角形外角的性质及角平分线的定义可得，可判断③，再利用三角形外角的性质得到，等量代换可判断②，根据三角形内角和定理及等量代换可判断①和④，即可求解． 【详解】解：∵是的平分线，的反向延长线交的平分线于点， ∴，， ∵， ∴， ∴③能求出的大小； ∵， ∴， ∴②能求出的大小； ∵， ∴ ∵， ∴， ∴①能求出的大小，④不能求出的大小； 故选：D． 二．填空题（每题2分，共10小题，共20分） 7. ________． 【答案】 【解析】 【详解】解：. 8. 若关于x的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则a的值为_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了数轴表示不等式的解集，理解数轴上不等式的解集，解一元一次方程式关键． 根据数轴上的解集得到，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∵数轴上不等式的解集为， ∴， 解得， 故答案为： ． 9. 如果一个正边形的每个内角是，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形内角和，掌握正多边形每个内角的计算公式是解题的关键． 根据多边形的内角和公式表示出每个内角的度数，然后列方程求解即可． 【详解】解：根据题意得， 两边同时乘以，得， 解得． 故答案为：． 10. 如图，在的正方形网格中，线段、的端点均在格点上，则 ___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，通过“边角边”证明，根据全等三角形的性质可得，进而得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 用反证法证明：“四边形中至少有一个角是直角或钝角”时，应假设________． 【答案】四边形中所有内角都是锐角． 【解析】 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立． 【详解】用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时第一步应假设：四边形中所有内角都是锐角． 故答案为四边形中所有内角都是锐角． 【点睛】本题考查了反证法，解答此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 12. 词元（Token）是大模型处理信息的最小信息单元，具有智能时代可计量、可定价、可交易的特征．已知每消耗一度电大约可产出500万词元．由此估计，产出100词元需要消耗____________度电．（用科学记数法表示） 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意计算产出100词元所需消耗的电量，再将结果用科学记数法表示即可． 【详解】解：由题意得，产出100词元需要消耗的电量为：． 13. 如果，，那么代数式的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】将两边进行平方，结合已知得到，，因为，所以，对，再将式子，整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， 即，， 得， 那么， 故答案为：． 【点睛】本题考查了乘法公式等知识内容，利用完全平方公式和平方差公式的特点进行求解是解题的关键． 14. 如图是某种可调节躺椅的示意图， 与的交点为C，，，．为了舒适，需调整大小，使，且、、保持不变，则图中应调整为 ________________度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和及三角形的外角，延长交于点M，首先根据三角形的内角和求出的值，然后利用三角形的外角可得，进而即可得出结论． 【详解】延长交于点M， ，， ， ， ，， ， ，， ， 故答案为：20． 15. 若不等式组的解集为，则的取值范围是_________________． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意，，解得. 16. 如图，在中，，，，，将绕点顺时针旋转，点、的对应点分别是，，点为直线上一点，且，点为线段上一动点．在旋转过程中，则线段的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出，结合旋转可得，再进一步确定最小位置与最大位置求解即可． 【详解】解：∵，，，， ∴， 由旋转的性质可得，，，； 如图，连接， 则， 当时，最小，则最小， 此时， ∴的最小值为， 当与重合时，三点共线，此时最大，如图， ∴的最大值为； ∴； 三．解答题（共10小题，共68分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）先利用零次幂、乘方、负整数次幂化简，然后再计算即可； （2）直接运用多项式乘多项式运算法则计算即可． 【小问1详解】 解：， ， ． 【小问2详解】 解：， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了实数的混合运算、零次幂、负整数次幂、多项式乘多项式等知识点，灵活运用相关运算法则是解答本题的关键． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，11 【解析】 【分析】原式第一项利用完全平方公式展开，第二项利用单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，将a与b的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ． 当，时， ∴原式=． 【点睛】此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 19. （1）解方程组； （2）解不等式组，把它的解集在数轴上表示出来，并写出该不等式组的所有整数解． 【答案】（1）；（2），数轴见解析，整数解为、、0、1、2． 【解析】 【分析】（1）利用加减消元法求解即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”即可确定其公共解，最后在数轴上表示，并找出所有整数解即可． 【详解】解：（1） 由，得：， 解得：． 将代入，得：， 解得：． 故原方程组的解为； （2）， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 故该不等式组的解集为， 它的解集在数轴上表示为： 该不等式组的整数解为：、、0、1、2 【点睛】本题考查解二元一次方程组，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，求不等式的整数解．熟练掌握利用消元法解二元一次方程组和解一元一次不等式组的步骤是解题关键． 20. 如图，在中，，平分，交于，为边上一点，连接，，于点．求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】根据角平分线的定义可得， 根据内错角相等两直线平行得到， 根据三角形内角和等于列式计算即可得解． 【详解】解：平分， ，        ， ，        ，        ， ，         ． 21. 我们用符号表示一个两位数（其中a、b分别表示十位、个位上数字），即，类似的，我们用符号表示一个三位数．请根据以上材料，解答下列问题： （1）命题：若计算的结果的个位数字为4，则．请举反例说明它是个假命题； （2）若a、b、c为三个连续整数，试证明：能被13整除． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查举反例说明假命题，列代数式，数的整除，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据反例满足命题题设，但不满足结论，举例即可； （2）设，整理得到，即可证明能被13整除． 【小问1详解】 解：，满足的结果的个位数字为4，但， 若计算的结果的个位数字为4，则为假命题．（例子不唯一，个位数字为8的两位数均可）； 【小问2详解】 证明：a、b、c为三个连续整数， 设， 则 ， ， 能被13整除． 22. 一副三角板按如图放置，其中，，，，．有下列说法：①如果，那么//；②如果//，那么；③与的度数之和随着的变化而变化；④如果，那么． （1）其中正确的是______； （2）请选择一个正确的加以证明． 【答案】（1）①②④ （2）证明见解析 【解析】 【小问1详解】 解：①∵∠2＝30°，， ∴∠1＝∠CAB－∠2＝60°， ∴∠CAD＝∠1＋∠DAE＝150°， ∵， ∴∠CAD＋∠D＝180°， ∴//， 故①正确； ②∵//，∠B＝45°， ∴∠3＝∠B＝45°， ∵∠DAE＝90°， ∴∠2＝∠DAE－∠3＝45°， 故②正确； ③∵， ∴∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°， ∴∠2＋∠CAD＝∠2＋∠1＋∠2＋∠3＝90°＋90°＝180°， ∴与的度数之和随着的变化而保持不变， 故③错误； ④如图， ∵∠2＝30°, , ∴∠AFE＝180°－∠2－∠E＝90°， ∵∠AFE＝∠B＋∠4，∠B＝45°， ∴∠4＝∠AFE－∠B＝45°， 故④正确． 综上，正确的是①②④， 故答案为：①②④ 【小问2详解】 证明一下结论①，理由如下： ∵∠2＝30°，， ∴∠1＝∠CAB－∠2＝60°， ∴∠CAD＝∠1＋∠DAE＝150°， ∵， ∴∠CAD＋∠D＝180°， ∴//． 【点睛】此题考查了平行的判定与性质、三角形的内角和定理、三角形外角的性质等知识，熟练掌握相关性质和定理的内容是解题的关键． 23. 如图，在正方形网格中，的顶点均在格点上，请仅用无刻度直尺完成下列作图（保留作图痕迹）． （1）在图中，作关于点对称的图形； （2）在图中，作出将绕点逆时针旋转，再向左平移个单位长度后的图形． （3）在图中，找一格点，连接，使． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查旋转作图，作中心对称图形，平移图形，勾股定理，熟练掌握旋转的性质和中心对称的性质是解题的关键． （1）利用中心对称的性质，分别作出点A、B、C关于点O的对称点，再顺次连接即可； （2）根据旋转和平移的性质，分别作出点A、B、C绕点A顺时针方向旋转，再向左平移个单位长度后的对应点，再顺次连接即可； （3）取格点P，使，即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 【小问3详解】 解：如图，点P即为所求． 24. 鼓楼区某校在体育大课间中专门开设乒乓球和羽毛球课程，需要购买相应的体育器材上课使用，其中羽毛球拍25套，乒乓球拍50套，共花费4500元，已知一套羽毛球拍的单价比一套乒乓球拍的单价高30元． （1）求羽毛球拍和乒乓球拍一套的单价各是多少元？ （2）根据需要，学校决定再次购进乒乓球拍和羽毛球拍共50套，恰逢体育用品商店搞“优惠促销”活动，羽毛球拍一套单价打8折，乒乓球拍一套单价优惠4元．若此次学校购买两种球拍的总费用不超过2750元，且购买羽毛球拍数量不少于23套，请通过计算，设计一种符合购买要求且节约资金的购买方案． 【答案】（1）羽毛球拍的单价是80元/套，乒乓球拍的单价是50元/套 （2）购买23套羽毛球拍，27套乒乓球拍 【解析】 【分析】（1）设羽毛球拍的单价是元/套，乒乓球拍的单价是元/套，根据“羽毛球拍25套，乒乓球拍50套，共花费4500元，一套羽毛球拍的单价比一套乒乓球拍的单价高30元”列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案； （2）设购买羽毛球拍套，则购买乒乓球拍套，根据“学校购买两种球拍的总费用不超过2750元，购买羽毛球拍数量不少于23套”求出的取值范围，即可得出购买方案，分别求出每种购买方案所花费的资金，比较即可得出答案． 【小问1详解】 解：设羽毛球拍的单价是元/套，乒乓球拍的单价是元/套 根据题意得： 解得： 答：羽毛球拍的单价是80元/套，乒乓球拍的单价是50元/套； 【小问2详解】 解：设购买套羽毛球拍，则购买套乒乓球拍， 根据题意得：； 解得：， 又为正整数， 可以为23，24，25， 学校共有3种购买方案， 方案1：购买23套羽毛球拍，27套乒乓球拍，所需费用为（元）； 方案2：购买24套羽毛球拍，26套乒乓球拍，所需费用为（元）； 方案3：购买25套羽毛球拍，25套乒乓球拍，所需费用为（元）． ， 符合购买要求且节约资金的购买方案为：购买23套羽毛球拍，27套乒乓球拍． 25. 若不等式（组）只有个正整数解（为自然数），则称这个不等式（组）为阶不等式（组）． 我们规定：当时，这个不等式（组）为0阶不等式（组）． 例如：不等式只有4个正整数解，因此称其为4阶不等式． 不等式组只有3个正整数解，因此称其为3阶不等式组． 请根据定义完成下列问题： （1）是 阶不等式；是 阶不等式组； （2）若关于的不等式组 是4阶不等式组，求的取值范围； （3）关于的不等式组 的正整数解有，，，，…，其中…．如果 是阶不等式组，且关于的方程的解是 的正整数解，直接写出的值以及的取值范围． 【答案】（1）0、1 （2） （3）； 【解析】 【分析】（1）求出题中的不等式（组）的解集，再根据已知所给定义即可得到解答； （2）首先根据已知求出原不等式组的正整数解并用数轴表示出来，然后可得a的取值范围； （3）根据已知可得关于m的方程，求出m后可以用数轴表示出不等式组的正整数解，根据数轴即可得到的取值范围． 【小问1详解】 ∵没有正整数解， ∴是0阶不等式， 解可得1<x<3， ∴有一个正整数解2， ∴是1阶不等式组， 故答案为0，1； 【小问2详解】 如图， 由题意可得有4个正整数解：1、2、3、4； ∴的取值范围是； 【小问3详解】 ∵， ∴x=，a3=， ∴m为偶数，且am-3=m-1， ∴+m-6=m-1， ∴m=10， ∴可得图如下所示： ∴的取值范围是． 【点睛】本题考查新定义有理数运算的综合应用，熟练掌握不等式（组）的求解及用数轴表示解集是解题关键． 26. 已知：直线，点G为直线CD上一定点，点E是直线AB上一动点，连结EG．在EG的左侧分别作射线EM、GN，两条射线相交于点F，设． （1）当，时，如图1位置所示，求的度数（用含有的式子表示），并写出解答过程； （2）当时，过点G作EG的垂线． ①请在图2中补全图形； ②直接写出直线与直线CD所夹锐角的度数______（用含有的式子表示）． 【答案】（1），解答过程见解析 （2）①补全图形见解析；②或或或 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得出∠AEG+∠EGC=180°，则∠AEF+∠GEF+∠EGF+∠FGC=180°，然后把∠AEF，∠GEF，∠EGF代入计算即可求解； （2）①分点E在G的左侧，F不在AB、CD之间；点E在G的左侧，F在AB、CD之间；点E在G的右侧，F在AB、CD之间；点E在G的右侧，F不在AB、CD之间四种情形画图即可； ②根据①中四种情形分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴∠AEG+∠EGC=180°， 即∠AEF+∠GEF+∠EGF+∠FGC=180°， 又，，， ∴ 【小问2详解】 解：①当点E在G的左侧，F不在AB、CD之间时，如图， ； 当点E在G的左侧，F在AB、CD之间时，如图， ； 当点E在G的右侧，F在AB、CD之间时，如图， ； 当点E在G的右侧，F不在AB、CD之间时，如图， ； ②当点E在G的左侧，F不在AB、CD之间时，如图， ， ∵， ∴∠AEG+∠EGC=180°，即∠AEG+∠FEG+∠EGC=180°， ∵，∠FEG=45°， ∴∠EGC=， 又l⊥CD， ∴l与CD所夹的锐角为； 当点E在G的左侧，F在AB、CD之间时，如图， ∵， ∴∠AEG=∠EGD， ∵，∠FEG=45°， ∴， 又l⊥CD， ∴l与CD所夹的锐角为； 当点E在G的右侧，F在AB、CD之间时，如图， ， ∵， ∴∠AEG=∠EGD， ∵，∠FEG=45°， ∴， 又l⊥CD， ∴l与CD所夹的锐角为； 当点E在G的右侧，F不在AB、CD之间时，如图， ∵，∠FEG=45°， ∴， ∵， ∴∠AEG=∠EGD=， 又l⊥CD， ∴l与CD所夹的锐角为； 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，以及能够进行正确分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 260624鼓楼3校（树人汇文29）联考七下期末 一、选择题（每题2分，共6小题，共12分） 1. 下列图形是我国几所大学的校徽，其中运用了“平移”制作的是（ ） A. 北京大学 B. 复旦大学 C. 中国人民大学 D. 南开大学 2. 下列算式中，可以用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题中，假命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 同位角相等 C. 有两个角互余的三角形是直角三角形 D. 任意凸多边形的外角和都等于 4. 已知，下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于、的二元一次方程，当每取一个值时，就有一个对应的方程，而这些方程有一个公共解，则这个公共解是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点分别在上运动（不与重合），是的平分线，的反向延长线交的平分线于点．知道下列哪个条件①；②；③；④的值，不能求大小的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 二．填空题（每题2分，共10小题，共20分） 7. ________． 8. 若关于x的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则a的值为_______ 9. 如果一个正边形的每个内角是，则______． 10. 如图，在的正方形网格中，线段、的端点均在格点上，则 ___________ 11. 用反证法证明：“四边形中至少有一个角是直角或钝角”时，应假设________． 12. 词元（Token）是大模型处理信息的最小信息单元，具有智能时代可计量、可定价、可交易的特征．已知每消耗一度电大约可产出500万词元．由此估计，产出100词元需要消耗____________度电．（用科学记数法表示） 13. 如果，，那么代数式的值是______． 14. 如图是某种可调节躺椅的示意图， 与的交点为C，，，．为了舒适，需调整大小，使，且、、保持不变，则图中应调整为 ________________度． 15. 若不等式组的解集为，则的取值范围是_________________． 16. 如图，在中，，，，，将绕点顺时针旋转，点、的对应点分别是，，点为直线上一点，且，点为线段上一动点．在旋转过程中，则线段的取值范围是____________． 三．解答题（共10小题，共68分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. （1）解方程组； （2）解不等式组，把它的解集在数轴上表示出来，并写出该不等式组的所有整数解． 20. 如图，在中，，平分，交于，为边上一点，连接，，于点．求的度数． 21. 我们用符号表示一个两位数（其中a、b分别表示十位、个位上数字），即，类似的，我们用符号表示一个三位数．请根据以上材料，解答下列问题： （1）命题：若计算的结果的个位数字为4，则．请举反例说明它是个假命题； （2）若a、b、c为三个连续整数，试证明：能被13整除． 22. 一副三角板按如图放置，其中，，，，．有下列说法：①如果，那么//；②如果//，那么；③与的度数之和随着的变化而变化；④如果，那么． （1）其中正确的是______； （2）请选择一个正确的加以证明． 23. 如图，在正方形网格中，的顶点均在格点上，请仅用无刻度直尺完成下列作图（保留作图痕迹）． （1）在图中，作关于点对称的图形； （2）在图中，作出将绕点逆时针旋转，再向左平移个单位长度后的图形． （3）在图中，找一格点，连接，使． 24. 鼓楼区某校在体育大课间中专门开设乒乓球和羽毛球课程，需要购买相应的体育器材上课使用，其中羽毛球拍25套，乒乓球拍50套，共花费4500元，已知一套羽毛球拍的单价比一套乒乓球拍的单价高30元． （1）求羽毛球拍和乒乓球拍一套的单价各是多少元？ （2）根据需要，学校决定再次购进乒乓球拍和羽毛球拍共50套，恰逢体育用品商店搞“优惠促销”活动，羽毛球拍一套单价打8折，乒乓球拍一套单价优惠4元．若此次学校购买两种球拍的总费用不超过2750元，且购买羽毛球拍数量不少于23套，请通过计算，设计一种符合购买要求且节约资金的购买方案． 25. 若不等式（组）只有个正整数解（为自然数），则称这个不等式（组）为阶不等式（组）． 我们规定：当时，这个不等式（组）为0阶不等式（组）． 例如：不等式只有4个正整数解，因此称其为4阶不等式． 不等式组只有3个正整数解，因此称其为3阶不等式组． 请根据定义完成下列问题： （1）是 阶不等式；是 阶不等式组； （2）若关于的不等式组 是4阶不等式组，求的取值范围； （3）关于的不等式组 的正整数解有，，，，…，其中…．如果 是阶不等式组，且关于的方程的解是 的正整数解，直接写出的值以及的取值范围． 26. 已知：直线，点G为直线CD上一定点，点E是直线AB上一动点，连结EG．在EG的左侧分别作射线EM、GN，两条射线相交于点F，设． （1）当，时，如图1位置所示，求的度数（用含有的式子表示），并写出解答过程； （2）当时，过点G作EG的垂线． ①请在图2中补全图形； ②直接写出直线与直线CD所夹锐角的度数______（用含有的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $