精品解析：江苏省南京市鼓楼区两校联考2025-2026学年七年级下学期6月期末数学试题

七年级（下）期末试卷 数 学 一、单选题（每小题2分，共12分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知三角形的三边长分别为3，5，，则不可能是（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 8 3. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 是下面哪个二元一次方程的解（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式从左边到右边的变形，是因式分解且分解正确的是 （ ） A. （a+1）（a-1）=a2-1 B. ab+ac+1=a（b+c）+1 C. a2-2a-3=（a-1）（a-3） D. a2-8a+16=（a-4）2 6. 如图，的边在直线上，与的平分线交于点，的平分线交于点E．若，，，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题2分，共20分） 7. 指空气中可吸入颗粒物．已知某时刻南京市中华门监测点测到的含量为，将用科学记数法表示为______． 8. 因式分解：=___． 9. ______，______． 10. 已知则______． 11. 如图，将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若∠1＝48°，那么∠2的度数是_____． 12. 计算：20192-2×2019×2018＋20182=__________． 13. 年级花费元用来购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励知识竞赛中的获奖同学，若甲种奖品每件元，乙种奖品每件元，则购买方案有__________种. 14. 已知关于的不等式组有且仅有3个整数解，则的取值范围是______． 15. 如图，在线段上取一点，分别以、为直角边作等腰直角三角形、等腰直角三角形．若这两个等腰直角三角形的面积和为11，的面积为3.5，则的长为______． 16. 如图，点D，E，F分别在的各边上，，．将沿翻折， 使得点B落在 处，沿翻折，使得点C 落在处．若，则________°． 三、解答题（本大题共10小题，共68分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解方程组 19. 解不等式组，并写出所有整数解． 20. 解不等式组，并写出它的所有整数解． 21. 已知关于的二元一次方程组，甲同学正确解得，而乙同学粗心，把看错了，解得，求的值． 22. 如图，已知，，求证：． 证明：∵（已知）， 又∵___________（___________）， ∴（等量代换）． ∴（___________）． ∴（___________）． 又∵（已知）， ∴___________（等量代换）． ∴（___________）． 23. 已知，如图，∠1=∠2，∠B=∠D，求证：AD∥BC 24. 一条公路上、、三地的位置如图所示．已知、两地之间相距千米，一辆货车从地出发，向地匀速行驶，经过分钟，距地千米，又经过小时，距地千米． （1）求、两地之间的距离； （2）该货车从地出发时，一辆客车从地以每小时千米的速度驶向地，若两车在距地千米到千米的某处相遇，直接写出的取值范围． 25. 如图1，正方形甲、乙、丙的边长分别为a，b，c，且． （1）如图2，将正方形甲、乙拼接在一起，沿着外边框可以画出一个大正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积为__________或__________，从而可以得到一个乘法公式为__________； （2）如图3，将正方形甲、乙、丙拼接在一起，沿着外边框可以画出一个大正方形，类比（1）的思路进行思考，直接写出所得到的等式； （3）用正方形甲、乙、丙构造恰当的图形，说明． 26. 在几何软件中，将和按图所示的方式摆放，其中，，，点在同一条直线上，在的正上方，且． （1）如图，将绕点顺时针旋转，当第一次与平行时， °； （2）将图中的绕点逆时针旋转一定角度使点落在边上，过作，直线平分，直线平分交直线于点．在图中按以上叙述补全图形(无需尺规作图)，并直接写出的度数． （3）如图，将图中的绕点逆时针旋转． ①当时，连接，则= °； ②若与的角平分线所在直线相交于点，，直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级（下）期末试卷 数 学 一、单选题（每小题2分，共12分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法运算法则、合并同类项运算法则、积的乘方运算法则以及同底数幂的除法运算法则分析判断即可． 【详解】解：A. ，故运算错误，不符合题意； B. 和不是同类项，不能合并，故运算错误，不符合题意； C. ，运算正确，符合题意； D. ，故运算错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法运算、合并同类项、积的乘方运算以及同底数幂的除法运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 2. 已知三角形的三边长分别为3，5，，则不可能是（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】已知两边时，第三边的范围是大于两边的差，小于两边的和．这样就可以确定x的范围，也就可以求出x的不可能取得的值． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，熟记三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 3. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出不等式的解集，然后在数轴上表示即可． 【详解】解： 系数化为1得：， 在数轴上表示为： 故选：C． 【点睛】题目主要考查求不等式的解集及在数轴上表示，熟练掌握解集在数轴上的表示方法是解题关键． 4. 是下面哪个二元一次方程的解（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把解代入各个选项中，满足方程成立的符合条件． 【详解】解：把x=5代入A，得y=5+2=3，所以不是二元一次方程A的解，不符合题意； 把x=5代入B，得y=（51）÷2=2，所以不是二元一次方程B的解，不符合题意； 把x=5代入C，得y=5+2=7，所以不是二元一次方程C的解，不符合题意； 把x=5代入D，得y=（101）÷3=3，所以是二元一次方程D的解，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了方程解的定义，掌握二元一次方程解的定义是解决本题的关键． 5. 下列各式从左边到右边的变形，是因式分解且分解正确的是 （ ） A. （a+1）（a-1）=a2-1 B. ab+ac+1=a（b+c）+1 C. a2-2a-3=（a-1）（a-3） D. a2-8a+16=（a-4）2 【答案】D 【解析】 【分析】分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．因此，要确定从左到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定． 【详解】解：A、是多项式乘法，不是因式分解，原变形错误，故此选项不符合题意； B、右边不是整式的积的形式，不是因式分解，原变形错误，故此选项不符合题意； C、a2-2a-3=（a+1）（a-3）分解时出现符号错误，原变形错误，故此选项不符合题意； D、符合因式分解的定义，是因式分解，原变形正确，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了因式分解．解题的关键是理解因式分解的定义：把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，然后进行正确的因式分解． 6. 如图，的边在直线上，与的平分线交于点，的平分线交于点E．若，，，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，三角形内角和知识点，熟练运用三角形外角的性质是解题的关键；根据与的平分线交于点，的平分线交于点，设，，，可以得到，再结合，根据三角形内角和整理可以得到：． 【详解】解： 与的平分线交于点， ，， 的平分线交于点 , 是的外角， ， ， 是的外角， ， ， 在中，， ， ， 故选：B． 二、填空题（每小题2分，共20分） 7. 指空气中可吸入颗粒物．已知某时刻南京市中华门监测点测到的含量为，将用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义． 8. 因式分解：=___． 【答案】 【解析】 【分析】根据提公因式法和公式法因式分解． 【详解】解：原式 ． 9. ______，______． 【答案】 ①. 1 ②. ## 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂，负整数指数幂．根据零指数幂，负整数指数幂的运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：1，． 10. 已知则______． 【答案】23 【解析】 【分析】将完全平方公式进行变换，即可求解． 【详解】∵， ∴=， 故答案为：23. 【点睛】此题主要考查代数式求值，解题的关键是对完全平方公式变换的运用． 11. 如图，将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若∠1＝48°，那么∠2的度数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】如图，先求得，在根据平行线的性质即可求得． 【详解】如图，， ， ， ． 故答案为：102°． 【点睛】本题考查了求一个角的补角，平行线的性质，熟悉平行线的性质是解题的关键． 12. 计算：20192-2×2019×2018＋20182=__________． 【答案】1. 【解析】 【分析】原式利用完全平方公式化简，计算即可求出值． 【详解】解：原式=（2019﹣2018）2=12=1． 故答案为1． 【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． 13. 年级花费元用来购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励知识竞赛中的获奖同学，若甲种奖品每件元，乙种奖品每件元，则购买方案有__________种. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．设购买件甲种奖品，件乙种奖品，利用总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可求解． 【详解】解：设购买件甲种奖品，件乙种奖品， 依题意得：， ． 又，均为正整数， 或或， 共有种购买方案． 故答案为：． 14. 已知关于的不等式组有且仅有3个整数解，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案． 【详解】解： 解不等式x-a≤2得：x≤2+a， 解不等式x+3＞4得：x＞1， ∴不等式组的解集为1＜x≤2+a， ∵关于x的不等式组有且仅有3个整数解， ∴4≤2+a＜5， ∴2≤a＜3， 故答案为2≤a＜3． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据不等式组的解集和已知得出结论是解此题的关键． 15. 如图，在线段上取一点，分别以、为直角边作等腰直角三角形、等腰直角三角形．若这两个等腰直角三角形的面积和为11，的面积为3.5，则的长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理．由等腰直角三角形、等腰直角三角形的面积和为11，的面积为3.5，设，，得，，得，即可得． 【详解】解：由等腰直角三角形、等腰直角三角形的面积和为11，的面积为3.5， 设，， 得，， 得， 得． 故答案为：6． 16. 如图，点D，E，F分别在的各边上，，．将沿翻折， 使得点B落在 处，沿翻折，使得点C 落在处．若，则________°． 【答案】70 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质，轴对称的性质，三角形的内角和定理的应用，设，再结合轴对称的性质与平行线的性质表示，，再结合三角形的内角和定理与平行线的性质可得答案． 【详解】解：设， ∵将沿翻折， 使得点B落在 处， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵沿翻折，使得点C 落在处． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，共68分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据幂的乘方和同底数幂的乘法运算法则，展开括号，再合并同类项即可； （2）先根据完全平方公式，和去括号法则，将括号展开，再进行计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了整式混合运算，解题的关键是熟练掌握幂的乘方、同底数幂乘法运算法则、完全平方公式和多项式乘多项式运算法则，准确计算． 18. 解方程组 【答案】 【解析】 【分析】有由②可得，将其代入①得，即可求出x的值，再将x的值代入，即可求出y的值． 【详解】解：， 由②可得：， 把③代入①得：， 解得：， 把代入③得：， ∴所以方程组的解为． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法和步骤． 19. 解不等式组，并写出所有整数解． 【答案】不等式组的解集为，所有整数解为 【解析】 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式的解集，再确定两个解集的公共部分得到不等式组的解集，最后找出解集内的所有整数即可． 【详解】解： ， 解不等式①，得； 解不等式②，得； 所以，不等式组的解集为， 所以，不等式组的所有整数解为． 20. 解不等式组，并写出它的所有整数解． 【答案】，整数解为-2、-1、0、1 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，然后根据解集即可求得整数解． 【详解】 解不等式：，得 解不等式：，得：， 则不等式组的解集为， 所以不等式组的整数解为-2、-1、0、1． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，正确的计算是解题的关键． 21. 已知关于的二元一次方程组，甲同学正确解得，而乙同学粗心，把看错了，解得，求的值． 【答案】﹣9 【解析】 【分析】将代入方程②即可求出c，将与分别代入方程①即得关于a、b的方程组，解方程组即可求出a、b，进一步即可求出结果． 【详解】解：对方程组， 将代入方程②，得，解得：， 将代入方程①，得③， 将代入方程①，得④， 联立③④，得，解得； 所以． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握代入法与加减法解二元一次方程组的方法是解题的关键． 22. 如图，已知，，求证：． 证明：∵（已知）， 又∵___________（___________）， ∴（等量代换）． ∴（___________）． ∴（___________）． 又∵（已知）， ∴___________（等量代换）． ∴（___________）． 【答案】∠FMN；顶角相等；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；∠BED；内错角相等，两直线平行． 【解析】 【分析】根据平行线的性质和判定定理，按照已知条件步骤逐步进行证明，将过程中缺失项填入相应的空格中即可． 【详解】证明：∵（已知）， 又∵∠FMN（对顶角相等） ∴（等量代换）． ∴CF∥EB（同位角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，同位角相等）． 又∵（已知）， ∴∠BED（等量代换）． ∴（内错角相等，两直线平行）． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定定理，熟练掌握和运用平行线的性质和判定定理相关知识是解题关键． 23. 已知，如图，∠1=∠2，∠B=∠D，求证：AD∥BC 【答案】证明见解析. 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定和性质判断即可． 【详解】解：∵ ∴△ABC≌△CDA ∴∠DAC=∠BCA ∴AD∥BC 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质解题的关键． 24. 一条公路上、、三地的位置如图所示．已知、两地之间相距千米，一辆货车从地出发，向地匀速行驶，经过分钟，距地千米，又经过小时，距地千米． （1）求、两地之间的距离； （2）该货车从地出发时，一辆客车从地以每小时千米的速度驶向地，若两车在距地千米到千米的某处相遇，直接写出的取值范围． 【答案】（1）千米 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组，分式方程等知识点，解题的关键是根据题意列出方程，解方程；（1）设货车速度为，、两地之间的距离为，根据题意列方程，解方程即可；（2）根据路程与时间和速度的关系，列出分式方程，解分式方程即可， 【小问1详解】 解：设货车速度为，、两地之间的距离为，由题意得：， 解得 答：、两地之间的距离为千米 【小问2详解】 根据题意可知，两车在距离地千米相遇时，有最大值， 则， 解得： 两车在距离地千米相遇时，有最小值， 则， 解得：， 故的取值范围为： 25. 如图1，正方形甲、乙、丙的边长分别为a，b，c，且． （1）如图2，将正方形甲、乙拼接在一起，沿着外边框可以画出一个大正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积为__________或__________，从而可以得到一个乘法公式为__________； （2）如图3，将正方形甲、乙、丙拼接在一起，沿着外边框可以画出一个大正方形，类比（1）的思路进行思考，直接写出所得到的等式； （3）用正方形甲、乙、丙构造恰当的图形，说明． 【答案】（1），； （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式与图形面积，熟练掌握完全平方公式是解题关键． （1）方法一：求出这个大正方形的边长，利用正方形的面积公式求解即可得；方法二：根据这个大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个小长方形的面积之和即可得；由此即可得出乘法公式； （2）利用两种方法求出大正方形的面积，由此即可得出等式； （3）利用正方形甲、乙、丙构造图形，根据图形中的面积关系即可得． 【小问1详解】 解：方法一：这个大正方形的边长为，则这个大正方形的面积为； 方法二：因为这个大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个小长方形的面积之和， 所以这个大正方形的面积为； 从而可以得到一个乘法公式为， 故答案为：，；； 【小问2详解】 解：方法一：这个大正方形的边长为，则这个大正方形的面积为； 方法二：因为这个大正方形的面积等于3个小正方形的面积与6个小长方形的面积之和， 所以这个大正方形的面积为； 则所得到的等式为； 【小问3详解】 解：构造图形如下：其中，图形是边长为的正方形， 则图形的面积为，阴影部分的面积为， ∵， ∴图形A的面积小于阴影部分的面积 ∴． 26. 在几何软件中，将和按图所示的方式摆放，其中，，，点在同一条直线上，在的正上方，且． （1）如图，将绕点顺时针旋转，当第一次与平行时， °； （2）将图中的绕点逆时针旋转一定角度使点落在边上，过作，直线平分，直线平分交直线于点．在图中按以上叙述补全图形(无需尺规作图)，并直接写出的度数． （3）如图，将图中的绕点逆时针旋转． ①当时，连接，则= °； ②若与的角平分线所在直线相交于点，，直接写出的度数． 【答案】（1） （2） （3）①或 ②或或或 【解析】 【分析】（1）将绕点顺时针旋转至第一次，延长交于点，根据平行线的性质和三角形内角和，以及对顶角相等即可求出结果． （2）补全图形，且过点作，设，，则，根据平行线性质可得，，根据角平分线性质可得，，，所以，根据平行线的性质可得，代入即可得． （3）①绕点逆时针旋转时，会出现两次，分情况讨论即可． ②当在两条角平分线左下侧时，当绕点逆时针旋转会有两种情况；当在两条角平分线右上侧时，当绕点逆时针旋转也会有两种情况，四种情况分情况讨论即可． 【小问1详解】 解：将绕点顺时针旋转至第一次，延长交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 【小问2详解】 解：补全图形如下： 过点作，设，， 则， ∵， ∴， ∴，， ∵为的平分线，为的平分线， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴． 【小问3详解】 解：①当绕点逆时针旋转第一次时，由题意可得同一条直线上，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， 根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和， ∴． 当绕点逆时针旋转第二次时，如图所示，由题意可得同一条直线上， ∵，， ∴， ∵， ∴， 根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和， ∴， 故答案为或． ②当在两条角平分线左下侧时，当绕点逆时针旋转会有两种情况，如图所示， ∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵是的角平分线，， ∴， ∴， 同理可得． 当在两条角平分线右上侧时，当绕点逆时针旋转会有两种情况，如图所示， ∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵是的角平分线，， ∴， ∴， 同理可得， 综上可得的度数为或或或． 【点睛】此题主要考查了图形的旋转及性质，平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和及外角的应用，解答此题关键是准确识图，熟练掌握图形的旋转变换，理解两直线平行的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $