精品解析：上海市三林中学2025-2026学年第二学期期终教学质量检测高一数学试题

三林中学2025学年第二学期期终教学质量检测 高一数学 一、填空题 1. 复数的虚部是__________. 【答案】. 【解析】 【分析】根据虚部的概念即可直接写出结果. 【详解】复数的虚部是, 故答案为：. 2. 直线 的倾斜角是________. 【答案】 【解析】 【分析】利用倾斜角与斜率的关系即可得出． 【详解】解：设直线的倾斜角为，则， ，， ． 【点睛】本题考查了倾斜角与斜率的关系，当倾斜角时，斜率，属于基础题． 3. 若角的终边过点 ，则 ______. 【答案】 【解析】 【详解】因为角的终边过点，所以，则. 4. 复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据及向量的复数表示运算得到答案. 【详解】复数与分别表示向量与， ，所以表示向量的复数为. 故答案为：. 【点睛】本题考查了向量与复数的关系,向量的运算和复数的运算，属于基础题. 5. 点到直线的距离为______． 【答案】1 【解析】 【分析】直接利用点到直线的距离公式计算可得. 【详解】点到直线的距离. 故答案为： 6. 已知 与 互为”共轭复数”，其中 为虚数单位，则 的值为 ______. 【答案】 【解析】 【分析】先化简复数，再应用共轭复数定义列式计算求解. 【详解】因为  与  互为共轭复数，其中 ， 为虚数单位， 则 故得  . 7. 已知向量，，则在上的投影向量的坐标为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量的坐标运算求，，再结合投影向量的定义求解即可. 【详解】由，， 得，， 则向量在上的投影向量的坐标为. 故答案为：. 8. 已知是纯虚数（是虚数单位），则______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得sinα、cosα的值，展开两角和的正弦求得． 【详解】解：∵是纯虚数， ∴，得sin且cos， ∴α为第二象限角，则cos． ∴sinαcoscosαsin． 故答案为：． 【点睛】本题考查复数的基本概念，考查两角和的正弦，是基础题． 9. 已知a，b∈R+，若直线x+2y+3＝0与直线（a﹣1）x+by＝2互相垂直，则ab的最大值等于______. 【答案】 【解析】 【分析】 根据直线垂直得a+2b＝1，再由ab＝（a×2b）≤×（）2可得最值. 【详解】根据题意，若直线x+2y+3＝0与直线（a﹣1）x+by＝2互相垂直， 则有（a﹣1）+2b＝0，变形可得a+2b＝1， 则ab＝（a×2b）≤×（）2＝，当且仅当a＝2b＝时，等号成立； 即ab的最大值为， 故答案为：. 10. 已知复数，（，为虚数单位），在复平面上，设复数、对应的点分别为、，若，其中是坐标原点，则函数的最小正周期为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据垂直得到，化简得到，利用周期公式得到答案. 【详解】，， 则 函数的最小正周期为 故答案为 【点睛】本题考查了复数的几何意义，三角函数化简，周期，意在考查学生的计算能力和综合应用能力 11. 在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，点M为边AB的中点，点P在边BC上，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算求出，再利用二次函数求最值即可． 【详解】建立平面直角坐标系如下， 则B（2，0），C（0，2），M（1，0）， 直线BC的方程为，即x+y＝2， 点P在直线上，设P（x，2﹣x）， ∴， ∴， ∴的最小值为. 故答案为： 12. 设全集，，，若 ，则复数 在复平面内对应的点形成图形的面积为 ______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，集合A在复平面内表示的图形为圆及其内部，集合B在复平面内表示的图形为直线的左侧，作出图象，可得复数在复平面内对应的点形成的图形即为图中的弓形部分. 【详解】设. 由，可知，即，即. 因为，所以， 由可得，解得. 即集合A在复平面内表示的图形为圆及其内部， 集合B在复平面内表示的图形为直线的左侧（不含直线）， 集合在复平面内表示的图形为直线的右侧（包括直线），如图所示. 所以，复数在复平面内对应的点形成的图形即为图中的弓形部分. 弓形的面积为扇形的面积减去的面积， 易知扇形的圆心角，圆的半径， 则扇形的面积，， 所以弓形的面积为. 二、选择题 13. 直线与直线的位置关系是（　　） A. 相交 B. 平行 C. 重合 D. 由m决定 【答案】A 【解析】 【分析】本题首先可以根据题意得出两直线的斜率，然后观察两直线斜率之间的关系，通过两直线的斜率的关系即可得出结果． 【详解】由题意可知直线与直线斜率分别为和， 所以两直线的斜率既不相等，且乘积也不为-1， 故直线与直线的位置关系是相交，故选A． 【点睛】本题考查了直线与直线的位置关系，如果两直线的斜率相等，那么直线的关系是平行或者重合，如果两直线的斜率乘积为，则两直线相互垂直，属于基础题． 14. 设 为复数，则 是的（ ）条件. A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要 【答案】C 【解析】 【详解】由复数除法的模的性质得，， 若 ，即 ，因为 ，所以，则 是的充分条件； 若，则 ，即 ，则 是的必要条件； 综上所述，则 是的充要条件. 15. 已知向量满足与的夹角为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的数量积公式与模长与数量积的关系计算即可得. 【详解】由已知得， 所以 ， 当时，取得最小值48， 所以的取值范围是. 16. 在平面直角坐标系中，定义 为两点，的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作 .给出下列两个命题： ①对任意三点 ，都有； ②已知点 和直线 ，则 . 则下列正确的是（ ） A. ①和②都是真命题 B. ①真②假 C. ①假②真 D. ①和②都是假命题 【答案】A 【解析】 【分析】①讨论，，三点共线，以及不共线的情况，结合图象和新定义，即可判断； ②设点是直线上一点，且，可得，，讨论，的大小，可得距离，再由函数的性质，可得最小值. 【详解】① 对任意三点，，，若它们共线，设，，，如图， 结合三角形的相似可得，，为，，， 或，，，则； 若，或，对调，可得； 若，，不共线，且中为锐角或钝角， 由矩形或矩形，； 则对任意的三点，，，都有，命题①正确；    ②设点是直线上一点，且， 可得， 由，解得，即有， 当时，取得最小值； 由，解得或，即有， 所以的范围是，无最值； 综上可得，，两点的“切比雪夫距离”的最小值为；故②正确. 三、解答题 17. 已知复数（，是虚数单位） （1）若在复平面内对应的点落在第二象限，求实数的取值范围； （2）若是实系数一元二次方程的一个虚根，记，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出，再利用它在复平面内对应的点落在第二象限，构造不等式求解； （2）根据实系数一元二次方程，虚根共轭成对出现的性质，结合韦达定理求出，进而对分母有理化，最后利用复数模的公式求解． 【小问1详解】 ， ，对应复平面点为， 在复平面内对应的点落在第二象限， ，解得． 【小问2详解】 已知是实系数一元二次方程的一个虚根， 则其共轭也是该方程的一个虚根， 由韦达定理得，解得， ， ， ． 18. 已知直线 过点 且它的斜率为 ，直线 . （1）写出直线 的方程，并求当 时， 与 的夹角 ； （2）若 //，求实数 的值，并求此时直线 到直线 的距离 . 【答案】（1）直线的方程为 ，夹角（或 ）； （2） ，距离 【解析】 【小问1详解】 因为直线的斜率为 ，且过点 ， 所以直线 的方程为，即； 当时，，其斜率为， 所以，， 即或； 【小问2详解】 因为，可化为， 若，，得； 则，即， 所以直线 到直线 的距离. 19. 已知复数满足，的虚部为2. （1）求复数； （2）设复数、、在复平面上对应点分别为、、，求的值. 【答案】（1）或；（2） 【解析】 【分析】（1）设出,根据题意可得,求解即可； （2）由（1）作分类讨论,根据题意计算即可 【详解】（1）设,由题,可得,, 的虚部为2 则 或 故或 （2）由（1）可知,即为, 当时,即为,,此时,即为, 当时,即为,,此时,即为, 综上, 【点睛】本题考查复数的运算,考查复平面,考查数量积,考查分类讨论的思想,考查运算能力 20. 已知向量 . （1）当时，求的值； （2）设函数，已知在 中，内角的对边分别为 ，若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 当时，则存在非零实数，使得， 当时，则，与时矛盾，舍去. 当时，，即， 所以. 【小问2详解】 而， 由正弦定理可知，即， ∵且，∴. 得到, 而，得到， ∴. 21. 直线过点 且与轴、轴正半轴分别交于两点. （1）若直线与的法向量平行，写出直线的方程； （2）求面积的最小值； （3）如图，若，过点作平行于轴的直线交轴于点，动点分别在线段和上，若直线平分直角梯形的面积，求证：直线必过一定点，并求出该定点坐标. 【答案】（1） （2）12 （3）由题意，设，因为，点， 即， ∴，即，∴. 过点作平行于轴的直线交轴于点，则. 直角梯形的顶点为， 上底，下底，高为2， 梯形的面积， 设动点，， 因为直线平分直角梯形的面积，所以四边形的面积为 6， 四边形是梯形，其上底为，下底为 ，高为 2， 所以，即， 因此点的坐标为， 直线经过点和，其斜率 ， 则直线的方程为：，化简得， 去分母整理得， 上式对任意恒成立，因此需满足，解得. 所以，直线必过定点，该定点坐标为. 【解析】 【分析】（1）利用两直线垂直设出一般式，代入点即可求出直线方程； （2）设直线方程，代入点得到直线方程，然后得到交点坐标，由交点坐标计算三角形面积，然后利用基本不等式即可求出面积最小值； （3）设，利用得到.再设，根据四边形面积得到关系式，代回直线方程，求出定点得解． 【小问1详解】 由题意可设直线， 所以，所以， 即. 【小问2详解】 当直线斜率不存在时，不存在点，舍去. 当直线斜率存在时，设，即， 由题意可知，∴， ∴， ∵时，∴，当且仅当，即时取等号， ∴. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三林中学2025学年第二学期期终教学质量检测 高一数学 一、填空题 1. 复数的虚部是__________. 2. 直线 的倾斜角是________. 3. 若角的终边过点 ，则 ______. 4. 复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为_________. 5. 点到直线的距离为______． 6. 已知 与 互为”共轭复数”，其中 为虚数单位，则 的值为 ______. 7. 已知向量，，则在上的投影向量的坐标为_______. 8. 已知是纯虚数（是虚数单位），则______. 9. 已知a，b∈R+，若直线x+2y+3＝0与直线（a﹣1）x+by＝2互相垂直，则ab的最大值等于______. 10. 已知复数，（，为虚数单位），在复平面上，设复数、对应的点分别为、，若，其中是坐标原点，则函数的最小正周期为________. 11. 在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，点M为边AB的中点，点P在边BC上，则的最小值为______． 12. 设全集，，，若 ，则复数 在复平面内对应的点形成图形的面积为 ______. 二、选择题 13. 直线与直线的位置关系是（　　） A. 相交 B. 平行 C. 重合 D. 由m决定 14. 设 为复数，则 是的（ ）条件. A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要 15. 已知向量满足与的夹角为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 16. 在平面直角坐标系中，定义 为两点，的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作 .给出下列两个命题： ①对任意三点 ，都有； ②已知点 和直线 ，则 . 则下列正确的是（ ） A. ①和②都是真命题 B. ①真②假 C. ①假②真 D. ①和②都是假命题 三、解答题 17. 已知复数（，是虚数单位） （1）若在复平面内对应的点落在第二象限，求实数的取值范围； （2）若是实系数一元二次方程的一个虚根，记，求的值． 18. 已知直线 过点 且它的斜率为 ，直线 . （1）写出直线 的方程，并求当 时， 与 的夹角 ； （2）若 //，求实数 的值，并求此时直线 到直线 的距离 . 19. 已知复数满足，的虚部为2. （1）求复数； （2）设复数、、在复平面上对应点分别为、、，求的值. 20. 已知向量 . （1）当时，求的值； （2）设函数，已知在中，内角的对边分别为 ，若，求的取值范围. 21. 直线过点 且与轴、轴正半轴分别交于两点. （1）若直线与的法向量平行，写出直线的方程； （2）求面积的最小值； （3）如图，若，过点作平行于轴的直线交轴于点，动点分别在线段和上，若直线平分直角梯形的面积，求证：直线必过一定点，并求出该定点坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $