第3讲 用反比例函数解决问题 讲义 2026年苏科版数学九年级上册【暑假预习】

第3讲 用反比例函数解决问题 知识点一：用反比例函数解决问题 1．用反比例函数解决问题的两种思路： （1）通过题目已知条件，明确变量之间的关系，设相应的函数关系式，然后根据题中条件求出函数关系式； （2）已知反比例函数关系式，通过反比例函数的图像和性质解决问题. 2.列反比例函数解决问题的步骤： （1）审：审题，找出题目中的常量和变量，以及它们之间的关系； （2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数表达式； （3）求：根据题中条件列方程，求出待定系数的值； （4）写：写出函数表达式，并注意表达式中自变量的取值范围； （5）解：用函数解析式去解决实际问题. 知识点二：常见反比例函数实际应用类型 1.物理跨学科类 质量一定时，密度与体积成反比例； 压力一定时，压强与受力面积成反比例； 电压一定时，电流与电阻成反比例； 杠杆平衡时，力与对应的力臂成反比例. 2.工程与行程类 工作总量一定时，工作效率与工作时间成反比例； 路程一定时，行驶速度与行驶时间成反比例． 3.经济与生活类 总金额一定时，商品单价与购买数量成反比例； 总工作量一定时，人均工作量与参与人数成反比例． 4.几何图形类 图形面积一定时，对应的底与高、长与宽成反比例． 题型一：物理学科中的应用（密度） 【典例精讲】（2026春•黄浦区期末）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量溶液的密度，当密度计悬浮在不同的液体中时，浸在溶液中的高度h（cm）是液体的密度ρ（g/cm3）的反比例函数，其图象如图所示（ρ＞0），根据函数图象，回答下列问题： （1）写出浸液高度h（cm）关于液体密度ρ（g/cm3）的反比例函数解析式 ； （2）当溶液密度ρ＝2g/cm3时，密度计浸在溶液中的高度h为 cm； （3）若使用该密度计时，浸入溶液的高度h不能低于5cm（高度过低会导致密度计倾倒失效），求该密度计可正常测量的溶液密度ρ的取值范围． 【变式训练1】（2026•越秀区校级三模）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m3）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，当V＝5m3时，ρ＝1.98kg/m3． （1）求密度ρ关于体积V的函数表达式． （2）若3m3≤V≤9m3，求二氧化碳密度ρ的变化范围． 【变式训练2】（2025秋•椒江区期末）浮力式密度计是测量液体密度的仪器（如图1），通常是一个密封的玻璃管，底部有重物，上部有刻度，把它放入液体中，它会竖直漂浮．密度计上与液面平齐的刻度为浸没深度h（单位：cm），且液体密度ρ（单位：g/cm3）是浸没深度h（单位：cm）的反比例函数．小明在家里制作简易浮力式密度计（如图2），经过测量与查阅资料得到浸没深度h与液体密度p的对应关系（如下表）． 酒精 水 蜂蜜 浸没深度h（cm） 17.5 14 10 液体密度ρ（g/cm3） m 1 n （1）m＝ ，n＝ ； （2）如果该简易密度计能竖直漂浮的最小浸没深度为5cm，最大浸没深度为20cm，求该密度计能测量的液体密度ρ的范围． 题型二：物理学科中的应用（电阻） 【典例精讲】（2026•斗门区二模）小明在物理综合实践课上，用一固定电压为18V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流表上读数y（A）的大小，如图1．滑动变阻器的电阻为x（Ω）（0≤x≤9）通过多次试验，得到以下数据（如下表）： 电阻x（Ω） ⋯ 1 3 5 7 9 电流y（A） ⋯ 18 6 3.6 2.6 2 （1）如图2是根据表中数据在平面直角坐标系上描点，并用平滑的曲线把各点连接形成的图象，用你学过的函数描述这些点的变化规律，并求出函数解析式（写出自变量x的取值范围）； （2）写出函数y的一条性质： ； （3）若电流表上读数y（A）在2.25（A）～4.5（A）之间变化，求滑动变阻器上的电阻的变化范围． 【变式训练1】（2026•栾城区校级模拟）数学兴趣小组了解到一款如图1所示的电子托盘秤，它是通过所称重物调节可变电阻R的大小，从而改变电路中的电流I，最终通过显示器显示物体质量．已知可变电阻R（单位：kΩ）与物体质量m（单位：kg）之间的关系如图2所示，电流I（单位：mA）与可变电阻R之间关系为． （1）小组先探究函数的图象与性质，并根据I与R之间关系得如下表格： R（kΩ） 0 1 2 3 4 5 6 7 … I（mA） 2 1.5 1.2 P 0.75 0.6 … ①表格中的p＝ ； ②请在图3中画出对应的函数图象； （2）该小组综合图2和图3发现，I随着m的增大而 ；（填“增大”或“减小”） （3）若将该款电子秤中的电路电流范围设定为0.2≤I≤0.4（单位：mA），判断该电子托盘秤能否称出质量为2kg的物体的质量？请说明理由． 【变式训练2】（2025秋•东莞市校级期末）图1为某厂家设计的一款亮度可调的LED台灯．图2为对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过改变滑动变阻器的电阻R2来调节亮度，电流I与总电阻R成反比例，其中R＝R1+R2，已知R1＝5Ω，实验测得当R2＝25Ω时，I＝0.3A． （1）求I关于R的函数表达式． （2）经测试，当电流在0.1～0.25之间（包含临界值）时，台灯亮度才能满足正常的阅读需求．那么，为了保证正常阅读，求滑动变阻器接入电路的电阻R2的取值范围． 题型三：物理学科中的应用（杠杆） 【典例精讲】（2026•峄城区二模）杠杆原理也称为“杠杆平衡条件”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即阻力×阻力臂＝动力×动力臂．如图，已知石头的重力（阻力）为3200N，阻力臂为0.25m． （1）求动力F与动力臂l的函数关系式； （2）小华想用一根撬棍撬起这块石头，但他最多能使出500N的力，问他用撬棍撬起这块石头时的动力臂长度最短为多少？ 【变式训练1】（2026•卢氏县模拟）如图1，取一根长150cm的匀质木杆，用细绳绑在木杆上的中点O处并将其吊起来．在点O左侧10cm处挂一个物体，在点O右侧用一个弹簧测力计向下拉，使木杆处于水平状态．改变弹簧测力计与中点O的距离L（单位：cm），弹簧测力计的示数F（单位：N）也随之变化，下表记录了几组L和F的值． （1）求出F关于L的函数表达式（不写自变量取值范围），并在图2中直接画出函数图象； （2）已知杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂，即物体所受重力×物体到点O的距离＝对弹簧测力计的拉力×弹簧测力计到点O的距离，求点O左侧所挂物体所受的重力； （3）若使弹簧测力计的示数不超过5N，则L的取值范围为 ． L/cm … 1 2 4 … F/N … 80 40 20 … 【变式训练2】（2026•宝鸡二模）用数学的眼光观察世界．周末，小哲在奶奶家发现了一个旧秤杆．如图，小哲通过上网学习发现，杆秤是利用杠杆原理制成的传统衡器，由木制秤杆、金属秤砣、秤纽组成．小哲尝试研究，他把秤砣到秤纽的水平距离记为y（cm），所挂物体的质量记为x（kg），发现两者之间满足一次函数关系．数据记录如下： x/kg 4 5 6 7 8 y/cm 24.5 30 35.5 41 46.5 （1）请你求出y与x之间的函数关系式． （2）若所挂物体质量是10kg，请你求出秤砣到秤纽的水平距离． （3）若秤砣到秤纽的水平距离为13.5cm，请问此时小哲所挂物体的质量应是多少kg？ 题型四：物理学科中的应用（压强） 【典例精讲】（2026•花溪区二模）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示． （1）求该反比例函数的表达式； （2）当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，气体的体积应不小于多少？ 【变式训练1】（2026•新华区一模）某中学物理兴趣小组在探究液体的压强与容器底面积的关系时，把一定质量的水放入不同底面积的均匀柱形容器中．如图①，在实验中发现，水对容器底部的压强P（单位：Pa）与容器底面积S（单位：cm2）成反比例函数关系． （1）把一定质量的水放入底面积为40cm2容器时，压强是1500Pa，求压强P关于底面积S的函数关系式； （2）实验小组计划更换不同规格的同类型容器，底面积S的调节取值范围是25≤S≤50，请结合实验数据计算此时水对容器底部的压强P的取值范围； （3）如图②，现将一个密度均匀的实心正方体金属块B浸没在水中（水不溢出），容器内水与容器底面接触面积变为原来的，此时水对容器底部的压强比原来增加了200Pa．求原来容器的底面积S． 【变式训练2】（2026•庆元县二模）已知一张桌面所能承受的最大压强P为104Pa（1Pa＝1牛/平方米），有一个长方体铁块的长、宽、高分别为50cm，20cm，10cm．小明和小聪在讨论能否把这个铁块放在这张桌面上．（铁的密度为7.8g/cm3，g取10N/kg） 小明：无论怎么摆放，应该都没问题． 小聪：不一定，根据所学知识，桌面所受的压强与压力、受力面积有关． 小明：哦，铁块对桌面的压力是不变的… （1）求出该铁块对桌面的压力． （2）请用反比例函数的性质，说明能否把铁块放在这张桌面上． 题型五：反比例函数的应用之温度问题 【典例精讲】（2026•兴庆区校级二模）如图1是某新款茶吧机，一次通电后，水温为20℃，立即开始加热，经过8分钟加热到100℃时，停止加热，水温开始下降，此时水温y（℃）是通电时间t（min）的反比例函数．通电加热时水温y与通电时间t之间的函数关系如图2所示（此题只探究一次升温后持续降温的过程）． （1）将水从20℃加热到100℃，水温每分钟上升 ℃； （2）在水温下降的过程中，求水温y关于通电时间t的函数表达式； （3）请描出反比例函数的另外三个格点（横、纵坐标均为整数），并画出函数图象； （4）求水温不低于50℃的时间有多长？ 【变式训练1】（2026•贺兰县校级三模）小琪新购买了一台智能冰箱，通过搜集相关资料，她得到如下数据： ①图1是某品牌冰箱，耗电功率为0.2千瓦．当冷冻室温度为﹣4℃时，冰箱压缩机运行；当温度下降到﹣20℃时，停止运行，温度上升；当温度上升到﹣4℃时，冰箱压缩机再次运行，如此循环； ②冰箱冷冻室温度y（℃）与时间x（min）的关系如图2所示．当0≤x≤4时，一次函数的解析式为 ；当4≤x≤t时，y是x的反比例函数，解析式为 ． ③冰箱每天的耗电量（度）＝耗电功率（千瓦）×每天的运行时间（小时）．该冰箱的广告中声称：每天耗电不超过1度电．请问该冰箱的广告是否符合实际？请说明理由．（忽略特殊情况的耗电量） 【变式训练2】（2026春•盐城月考）为保障学生饮水健康安全，鹿鸣路初中配备了智能全自动饮水机．八年级数学兴趣小组研究发现：饮水机接通电源后加热时，水温匀速上升，每分钟上升10℃，加热到100℃时停止加热；随后水温自然回落，此阶段水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，开始下一轮循环．若初始水温在20℃时接通电源，八年级数学兴趣小组绘制了水温随通电时间变化的部分函数图象（如图所示），请结合图象解答下列问题． （1）图象中停止加热后水温自然回落至20℃的过程中，水温y（℃）与通电时间x（min）之间的函数关系式是 ，自变量x的取值范围是 ； （2）图象中从接通电源开始，到水温首次回落至20℃为止，求这一过程中水温不低于40℃时长为多少分钟？ （3）早晨7：40接通电源启动加热（此时水温为20℃），当天上午9：20下课时同学们 （填“能”或“不能”）接到35℃～45℃的温开水，此时水温为 ℃． 题型六：反比例函数的应用之工程问题 【典例精讲】（2025秋•海门区期末）区政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为106m3，某运输公司承担了运送土石方的任务． （1）运输公司平均运送速度v（单位：m3/天）与完成运送任务所需时间t（单位：天）之间具有怎样的函数关系？ （2）这个运输公司共有100辆卡车，每天可运送土石方104m3，公司完成全部运输任务需要多长时间？ （3）若公司以（2）中的速度工作了40天后，由于工程进度的需要，剩下的所有运输任务必须在50天内完成，公司至少增加多少辆卡车？ 【变式训练1】（2025秋•市中区期末）码头工人每天往一艘轮船上装载货物，平均每天的装载量y（吨）与装完货物所需时间x（天）之间是反比例函数关系，其图象如图所示． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）由于紧急情况，要求装载货物不超过4天，那么平均每天至少要装载货物多少吨？ 【变式训练2】（2026•洛阳模拟）儿童游乐场有一个大游泳池，打开1个进水管，需要24小时才能把空游泳池注满水；打开2个进水管，需要12小时才能把空游泳池注满水．如图，设进水管为x（个），将游泳池注满水所需的时间为t（h）． （1）求t与x之间的函数关系式； （2）要想2个小时把游泳池注满水，需要同时打开多少个进水管？ （3）已知一个进水管的注水速度为25m3/h,则此游泳池的容积是多少？若要注入480m3的水，需要同时打开6个进水管多长时间？ 题型七：反比例函数的应用之几何问题 【典例精讲】（2026•包河区校级模拟）综合实践： “耕读园”劳动实践基地设计方案 项目主题：“耕读园”花圃设计 项目情境：为了迎接校园丰收节，同学们参与一块长为50米，宽为40米的矩形花圃设计项目．以下为项目学习小组对花圃设计的研究过程． 活动任务一 请设计两条相同宽度的小路连接矩形花圃两组对边．小组内同学们设计的方案主要有甲、乙、丙、丁四种典型方案，如图1． 驱动问题一 （1）项目小组设计出来的四种方案中小路面积的大小关系？ ①直观猜想：我认为 ；（请用简洁的语言或代数式表达你的猜想） ②具体验证：选择最简单的甲、乙方案，假设小路宽为1米，则甲、乙方案中小路的面积分别为 和 ； ③一般验证：若小路宽为x米，则甲、乙方案中小路所占的面积分别为 和 ． 活动任务二 为施工方便，学校选择甲种方案设计，并要求除小路后草坪面积约为1824平方米． 驱动问题二 （2）请计算两条小路的宽度是多少？ 活动任务三 为了布置劳动标志等元素，将在花圃靠墙（墙足够长）的位置，用篱笆围成三边，形成面积为100平方米的矩形花坛，如图2所示（墙为一边，篱笆围另外三边）．设矩形垂直于墙的边长为x米，平行于墙的边长为y米． 驱动问题三 （3）若篱笆总长为30米，为了使篱笆恰好用完同时围住三面，项目小组的同学对下列问题展开探究，其中矩形宽AB＝x，长BC＝y． ①若30米长的篱笆，请用两种不同的函数表示y关于x的函数关系． ②数学之星小明提出一个问题：若a米长的篱笆恰好用完，且存在两种不同方案（即墙作为长边或作为宽边两种围法）都可以围出面积为100平方米的矩形，并且两种方案中垂直于墙的边长（宽）之和小于15米．甲同学说“篱笆的长可以是28米”，乙同学说“篱笆的长可以是32米”．你认为他们俩的说法对吗？请说明理由． 【变式训练1】（2026•铁岭模拟）乡村振兴战略推进中，某地依托北斗导航技术优化农田规划，技术员用边长为1的正方形定位模块拼出五连格L形测量组件，用于直角三角形高标准农田片区ABC的边界校准，其中∠C＝90°，∠B＝30°，测量组件的顶点D、E、F、G恰好贴合农田三边（如图1），为精准测算种植面积提供数据支持． （1）基础问题：请求出这块直角三角形高标准农田的面积． （2）问题提出与解决： 技术员将L形测量组件接入北斗定位坐标系，让农田顶点A、B、C分别落在坐标轴上（如图2），北斗系统反馈反比例函数（x＜0）的图象经过测量组件顶点D，试求该反比例函数的解析式，为定位数据传输提供基础模型． 【变式训练2】如图，某养鸡场利用一面长为11m的墙和一段栅栏围了一个矩形空地，面积为60m2，设与墙垂直的边的长度为xm，与墙平行的边的长度为ym． （1）直接写出y与x的函数关系式； （2）现有两种方案：x＝5或x＝6，试选择合理的设计方案，并求此栅栏的总长． 题型八：反比例函数的应用之速度问题 【典例精讲】（2026•龙华区校级模拟）如图是机器狗的实物图，机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度v（m/s）是载重后总质量m（kg）的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量 m＝60kg时，它的最快移动速度v＝4m/s；当其载重后总质量m＝80kg时，它的最快移动速度是（　　） A．2m/s B．2.5m/s C．3m/s D．3.5m/s 【变式训练1】（2026•禹城市二模）阅读下列材料，认真思考并回答相关的问题． 材料一：在﹣20℃到40℃范围内，声音（声波）在空气中的传播速度（声速）v（单位：m/s）与气温t（单位：℃）的关系如下表： 气温（℃） ﹣10 0 10 20 30 声速（m/s） 325 331 337 343 349 材料二：声音的频率（f）是指声波每秒振动的次数，单位为赫兹（Hz）．人能听到的声音频率有一定的范围，多数人能听到的频率范围是20～20000Hz． 材料三：声音的波长（λ）是指声波在传播的过程中，相邻的两个波峰（或波谷）的距离，单位为米（m）．声音的频率f和波长λ与声音的传播速度（v）（单位：m/s）满足公式：v＝f•λ． （1）当气温为20℃时，声速为 m/s； （2）根据材料一表格中的数据，从你所学的函数中选择一个函数，使它能近似地反映声速（v）与气温（t）的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出t的取值范围）； （3）目前国际通用的钢琴标准音A4频率为440Hz，在室温为25℃的情况下，求钢琴标准音A4的波长． 【变式训练2】（2026•许昌一模）如图1，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上的平均速度．小颖发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间AB段的平均行驶速度v（单位：km/h）与行驶时间t（单位：h）是反比例函数关系（如图2）． （1）求v与t的函数表达式； （2）已知在限速区间AB上行驶的小型载客汽车的最高车速不得超过120km/h，最低车速不得低于80km/h，求小颖的爸爸按照此规定通过该限速区间AB段的时间范围． 题型九：反比例函数的应用之销售问题 【典例精讲】（2026•浙江模拟）我省某化工厂2025年1月的利润为200万元，若设2025年1月为第一个月，第x个月的利润为y万元；由于污染问题，该厂决定从2025年1月底适当限产，同时投入资金进行新技术改造．从1月底到5月，y与x成反比例关系．到5月底，新技术改造任务顺利完成，从这时起，之后该厂每月利润比前月增加20万元（如图）． （1）分别求出在新技术改造阶段（1≤x≤5）及新技术改造后（x＞5），y与x之间的函数表达式； （2）若设第3个月时该厂的利润为y1，第4个月时该厂的利润为y2，第7个月时利润为y3，则y、y2和y3的大小关系为： （用“＞”连接）； （3）当月利润少于100万元时，为该厂资金紧张期，请求出该厂资金紧张期共有几个月？ 【变式训练1】（2026•鼓楼区二模）某箱包厂计划生产一批双肩包，已知双肩包的成本y（元/个）由材料成本和加工成本两部分组成．其中材料成本保持不变，加工成本与加工数量x（个）成反比例函数关系．经测算，生产1000个双肩包，成本是40元/个；生产2000个双肩包，成本是35元/个． （1）求y与x的函数表达式； （2）若要把成本控制为32元/个，应生产多少个双肩包？ 【变式训练2】（2025秋•三原县期末）三原小磨香油久负盛名，以其香味浓郁，营养价值高，深受消费者的喜爱．某超市销售一批三原小磨香油，在销售过程中发现，在一定范围内，该小磨香油的日销售量y（单位：瓶）与每瓶的利润x（单位：元）之间满足反比例函数关系，且当x＝20时，y＝200． （1）求y关于x的函数表达式；（无需写出自变量的取值范围） （2）当该小磨香油的日销售量为160瓶时，该小磨香油每瓶的利润为多少元？ 题型十：反比例函数的应用之分段函数问题 【典例精讲】（2026•洛阳模拟）如图是某饮水机通电开机后，水温y（℃）与开机时间x（分）之间的关系图象，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间x（分）成反比例，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热…，重复上述过程． （1）当0≤x≤8时，求水温y（℃）关于开机时间x（分）的一次函数解析式． （2）求t的值． （3）上午8：00（水温20℃），饮水机通电后到中午12：30，水温共有几次达到100℃？ 【变式训练1】（2026春•浦东新区校级月考）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间x（分）变化的函数图象如图所示，当0≤x＜10和10≤x＜20时，图象是线段；当20≤x≤40时，图象是双曲线的一部分．根据函数图象回答下列问题： （1）点A的注意力指标数是 ． （2）当0≤x＜10时，求注意力指标数y随时间x（分）的函数解析式； （3）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要21分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于36？请说明理由． 【变式训练2】（2026•贺兰县校级一模）为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成为正比例，药物燃烧后，y与x成反比例（如图），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题： （1）药物燃烧时与药物燃烧后，y关于x的函数关系式． （2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过几分钟后，员工才能回到办公室； （3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？ 1．（2026•榆树市校级模拟）一定质量的氧气在密闭容器中，温度保持不变，压强p（千帕）与体积v（升）成反比例函数关系．当体积为4升时，压强为100千帕．下列结论错误的是（　　） A．函数解析式为 B．当体积为5升时，压强为80千帕 C．体积越大，对应的压强越大 D．当压强为200千帕时，体积为2升 2．（2026•盐城二模）古希腊著名的科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．小明同学用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别是1200N和0.5m，则动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数表达式正确的是（　　） A．F B．F C．F D．F 3．（2026•江西模拟）如图，学校数学小组进行野外考察时，利用铺垫木板的方式通过一片湿地．根据物理知识，当人和木板对湿地地面的压力一定时，湿地地面所受压强p（Pa）与受力面积S（m2）的关系如表所示： 湿地地面所受压强p/Pa 400 500 600 800 受力面积S/m2 1.5 1.2 1 0.75 以下结论中不正确的是（　　） A．压强p与受力面积S的关系式为 B．压强p与受力面积S的函数图象分布在第一、三象限 C．若压强p不超过6000Pa，则受力面积S至少要0.1m2 D．若受力面积S最大是1.6m2，则压强p最小为375Pa 4．（2026•二道区校级模拟）如图①，区间测速，是指通过监测机动车在相邻两个测速监控点之间路段（测速区间）的行驶时间，来计算其平均行驶速度的测速方式．小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间AB段的平均行驶速度v（km/h）与行驶所用时间t（h）成反比例函数关系，如图②所示．已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过120km/h，最低车速不得低于90km/h，小聪按照此规定通过该限速区间AB段的时间可能是（　　） A．18min B．15min C．11min D．10min 5．（2026•新北区二模）如图是一款简易电子体重计：一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R2，R2与踏板上人的质量m之间的函数为R2＝﹣2m+240（0≤m≤120），其图象如图1所示．图2的电路中，电源电压恒为12伏，定值电阻R1的阻值为40欧，接通开关，人站上踏板，电流表显示的读数为I安，该读数可以换算为人的质量m，电流表量程为0～0.2安．下列说法错误的是（　　） A．用m表示I为： B．电子体重计可称的最大质量为120千克 C．电流表显示的读数越大，说明踏板上人的质量越大 D．当电流表显示0.1安时，踏板上人的质量为80千克 6．（2026•罗湖区二模）如图1是某款煮茶壶，开机加热4min将水匀加热至100℃后停止加热，此时水温开始下降，此时水温y（℃）与启动加热后通电时间x（min）成反比例函数关系．当水温降至40℃时启动保温功能．图2是开始启动加热过程中，水温y（℃）与通电时间x（min）之间的函数关系图，则下列说法错误的是（　　） A．水温在启动加热到100℃的过程中，y与x的函数关系式是y＝20x+20 B．在通电启动加热开关8min时，喝到的茶水为50℃ C．在整个通电启动到保温过程中，水温不低于50℃的时间为7min D．在通电启动加热开关11min后，喝到的茶水的温度为40℃ 7．（2026•道里区校级模拟）通信信号塔的总功率保持不变的情况下，信号强度I（单位：dBm）与距离r（单位：km）是反比例函数关系．其图象如图所示，若小秦同学在距离该通信信号塔10km处时，信号强度为 dBm． 8．（2026•江夏区校级模拟）武汉光谷作为国家自主创新示范区，高新企业数量连年攀升．经统计，光谷某高新产业园的入驻企业年均产值y（单位：亿元）与园区投入的研发资金m（单位：千万元）近似满足反比例函数关系．已知当x＞0时，入驻企业年均产值y随研发资金的增大而减小，请写出一个满足条件的m的值： ． 9．（2026•宝安区校级四模）在功W（单位：J）一定的条件下，功率P（单位：W）与做功时间t（单位：s）成反比例，P与t之间的函数关系如图所示．当60≤t≤80时，P的整数值可以是 ．（写出一个满足条件的值即可） 10．（2026•浔阳区校级模拟）如图所示的电路总电阻为20Ω，若R1＝4R2（总电阻R与R1，R2的关系为），则R2＝ Ω． 11．（2026•通城县模拟）验光师通过检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.4米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了 度． 12．（2026•河曲县二模）根据生物学知识，生存资源总量固定，单个微生物平均获得的营养单位数与微生物数量成反比例关系．某生态培养瓶内营养总量固定，设微生物数量为x个，单个微生物平均获得y个营养单位．当单个微生物平均获得10个营养单位时，微生物总数为200个，若要保证单个微生物平均至少获得4个营养单位，则微生物总数最多为　 个． 13．（2026•淮安区模拟）某新能源汽车品牌推出的快充技术中，电池充满电所需的时间t（单位：小时）与充电功率P（单位：kW）成反比例函数关系，已知用60kW功率充电，需2小时充满；若使用80kW的快充桩，充满电需要 小时． 14．（2026•鼓楼区校级模拟）用绘图软件绘制双曲线m：与动直线l：y＝a，且交于一点，图1为a＝8时的视窗情形．视窗的大小不变，但其可视范围可以变化，且变化前后原点O始终在视窗中心．例如，为在视窗中看到（1）中的交点，可将图1中坐标系的单位长度变为原来的，其可视范围就由﹣15≤x≤15及﹣10≤y≤10变成了﹣30≤x≤30及﹣20≤y≤20（如图2）．当a＝﹣1.2和a＝﹣1.5时，l与m的交点分别是点A和B，为能看到m在A和B之间的一整段图象，需要将图1中坐标系的单位长度至少变为原来的，则整数k＝ ． 15．（2026•石狮市模拟）在物理学中，“对于同种材料的均匀导体，其电阻R（单位：Ω）与长度L（单位：m）成正比，与它的横截面积S（单位：m2）成反比，即（ρ为电阻率，是一个定值，表示材料的导电性能）”．研究发现：当电阻丝被均匀拉伸到原来的n倍长时，其横截面积变为原来的，若某种电阻丝的横截面积不变，且当L＝0.2m时，R＝8Ω；现将长为0.3m的该电阻丝均匀拉伸到原来的2倍长，则此时电阻丝的电阻为 Ω． 16．（2026•市南区校级模拟）某饮水机开机后即开始烧水，当水温到100℃时自动停止加热，随后水温逐渐下降，根据此过程绘制了水温y（单位：℃）随时间x（单位：m）变化的大致图象（由线段AB与双曲线一部分BC组成），如图所示．则该饮水机开始烧水后水温始终保持在40℃及以上的时间为 分钟． 17．（2026•成武县三模）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内的气压P（单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的反比例函数，其图象如图所示． （1）求这个反比例函数的解析式． （2）求当气球的体积是0.8m3时，气球内的气压是多少千帕？ （3）当气球内的气压大于160kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米． 18．（2026春•鼓楼区期末）在物理中，压强p（Pa）、压力F（N）、受力面积S（m2）满足公式． （1）下面的函数图象，正确的有 ．（填写序号） （2）比较薄的冰面最多承受10000Pa的压强，小明的重量为600N． ①一双鞋底与冰面的接触面积共为0.03m2，他能否安全地站在这块冰面上？ ②若小明平躺在一块质量不计的薄木板上，为了保证安全，这块薄木板的面积至少多大？ 19．（2026春•莱芜区期中）研究发现：初中生在数学课上的注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生注意力直线上升，中间一段时间，学生的注意力保持平稳状态，随后开始分散，注意力与时间呈反比例关系降回开始时的水平．学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示． （1）求反比例函数的解析式，并求点A对应的指标值； （2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要15分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由． 20．（2026•卢氏县二模）“杆秤”是人类发明的各种衡器中历史最悠久的一种，是利用杠杆原理来称物体质量的简易衡器，由木制的带有秤星的秤杆、秤砣、秤组、秤盘等组成．小华仿照古人制作了一杆简易“秤”．如图，取一根长100cm的质地均匀的木杆，用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起来，在中点O的左侧挂一个物体，在中点O的右侧挂一个弹簧秤向下拉，使木杆保持水平．根据杠杆原理，若木杆保持水平，当物体与中点O的距离保持不变时，弹簧秤的示数y（N）是关于x（cm）（弹簧秤与中点O的距离）的反比例函数．已知当x＝20时，y＝30． （1）求y关于x的函数表达式； （2）移动弹簧秤的位置，若木杆仍处于水平状态，求弹簧秤的示数y的最小值； （3）若弹簧秤的最大量程是100N，求x的取值范围． 21．（2026•榕城区二模）【实验操作】在如图所示的串联电路中，用一固定电压为15V的电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值RL＝2Ω）亮度．已知电流I与电阻R，RL之间关系为，通过实验得出如下数据： R/Ω … 1 2 3 4 n 6 … I/A … 5 m … （1）填写：m＝ ，n＝ ； 【探究观察】（2）根据以上实验，构建出函数（x≥0），结合表格信息，①在平面直角坐标系中画出对应函数（x≥0）的大致图象；②观察图象，写出该函数的一条性质； 【拓展应用】（3）结合函数图象，直接写出不等式的解集： 22．（2026•邹城市一模）小明家安装了一款智能恒温热水器，其工作时水箱内水温y（℃）随加热/保温时间x（min）的变化规律如下： ①开机后热水器开启快速加热功能，水温y（℃）会上升，此时水温y（℃）是加热/保温时间x（min）的一次函数，水温升高到预设的最高温度后，热水器关闭快速加热功能，进入智能保温阶段； ②智能保温阶段，水温y（℃）会先下降，此时水温y（℃）是加热/保温时间x（min）的反比例函数，水温降到预设的最低温度后，热水器再次启动①中快速加热功能，使水温再次升至预设的最高温度，上升过程中水温y（℃）是加热/保温时间x（min）的一次函数，加热效率与之前一致． （1）若起始水温为20℃，水温第一次升至预设的最高温度60℃用时20min，然后水温第一次降至预设的最低温度40℃，求出在这个变化过程中水温关于时间的函数关系式； （2）在（1）的条件下，小明计划20：00洗澡，要求水温不低于50℃，若他在当天19：22时启动热水器快速加热功能，请判断他洗澡时水温是否符合要求，并说明理由． 23．（2025秋•清城区期末）综合与实践：在有限的空间内检测视力问题． 具体情境：对某班学生视力进行检测的任务； 现有条件：一张测试距离为5米的视力表，一间长为3.8米，宽为3.6米的书房． （1）如图1，若将视力表挂在墙CDGH上，在墙ABEF上挂一面足够大的平面镜，根据平面镜成像原理可知：测试线应画在距离平面镜ABEF 米处； （2）小明选择按比例制作视力表完成该任务，在制作过程中发现视力值V和该行字母E的长度a之间的关系是一种函数模型，字母E的长度a如图2所示，视力表上部分视力值V和字母E的长度a的部分对应数据如下表所示： 位置 视力值V a的值（mm） 第1行 0.1 70 第5行 0.25 28 第8行 0.5 14 第14行 2 3.5 ①根据表格数据判断，从一次函数、反比例函数中选择一个合适的函数模型拟合视力值V与字母E的长度a（说明理由），并求出视力值V与字母E长度a之间的函数关系式； ②小明在制作过程中发现某行字母E的长度a的值12.5mm，请问该行对应的视力值是多少？ 24．（2025秋•中宁县期末）盐城市纺织染整产业园为国家级绿色纺织生产基地，现有一块矩形布料的两边长分别是2米与3米，若把这个矩形布料按照如图1的方式扩大到面积为原来的2倍，设原矩形布料的一边加长a米，另一边长加长b米，可得a与b之间的函数关系式b2．某校“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函数y2，现对这个函数的图象和性质进行了探究，研究过程如下： （1）图2是反比例函数y的图象， 请在同一个平面直角坐标系xOy中，用描点法画出y2的图象，并完成如下问题： ①函数y2的图象可由函数y的图象向左平移 个单位，再向下平移 个单位得到，其对称中心坐标为 ； ②上述探究方法应用的数学思想是B ； A．整体思想 B．类比思想 C．分类思想 ③根据该函数图象直接写出，当x在什么范围内变化时，y≥﹣1？ （2）将反比例函数y的图象先 ，再 得到函数y1的图象，函数y1图象的对称中心坐标为 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3讲 用反比例函数解决问题 知识点一：用反比例函数解决问题 1．用反比例函数解决问题的两种思路： （1）通过题目已知条件，明确变量之间的关系，设相应的函数关系式，然后根据题中条件求出函数关系式； （2）已知反比例函数关系式，通过反比例函数的图像和性质解决问题. 2.列反比例函数解决问题的步骤： （1）审：审题，找出题目中的常量和变量，以及它们之间的关系； （2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数表达式； （3）求：根据题中条件列方程，求出待定系数的值； （4）写：写出函数表达式，并注意表达式中自变量的取值范围； （5）解：用函数解析式去解决实际问题. 知识点二：常见反比例函数实际应用类型 1.物理跨学科类 质量一定时，密度与体积成反比例； 压力一定时，压强与受力面积成反比例； 电压一定时，电流与电阻成反比例； 杠杆平衡时，力与对应的力臂成反比例. 2.工程与行程类 工作总量一定时，工作效率与工作时间成反比例； 路程一定时，行驶速度与行驶时间成反比例． 3.经济与生活类 总金额一定时，商品单价与购买数量成反比例； 总工作量一定时，人均工作量与参与人数成反比例． 4.几何图形类 图形面积一定时，对应的底与高、长与宽成反比例． 题型一：物理学科中的应用（密度） 【典例精讲】（2026春•黄浦区期末）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量溶液的密度，当密度计悬浮在不同的液体中时，浸在溶液中的高度h（cm）是液体的密度ρ（g/cm3）的反比例函数，其图象如图所示（ρ＞0），根据函数图象，回答下列问题： （1）写出浸液高度h（cm）关于液体密度ρ（g/cm3）的反比例函数解析式　　 ； （2）当溶液密度ρ＝2g/cm3时，密度计浸在溶液中的高度h为　10　 cm； （3）若使用该密度计时，浸入溶液的高度h不能低于5cm（高度过低会导致密度计倾倒失效），求该密度计可正常测量的溶液密度ρ的取值范围． 【分析】（1）设反比例函数的解析式为，观察图像，结合点（1，20）计算出反比例函数的k，即可得到答案； （2）把ρ＝2g/cm3代入反比例函数的解析式中即可求解； （3）浸入溶液的高度h不能低于5cm，则h≥5，从而解得ρ的取值范围． 【解答】解：（1）设反比例函数的解析式为，代入图像上点（1，20）得k＝1×20＝20， ∴； 故答案为：； （2）∵，ρ＝2， 得； 故答案为：10； （3）若使用该密度计时，浸入溶液的高度h不能低于5cm（高度过低会导致密度计倾倒失效）， 由题意可知，h≥5，即，解得ρ≤4， 又ρ＞0， ∴0＜ρ≤4g/cm3， 答：该密度计可正常测量的溶液密度ρ的取值范围为0＜ρ≤4g/cm3． 【变式训练1】（2026•越秀区校级三模）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m3）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，当V＝5m3时，ρ＝1.98kg/m3． （1）求密度ρ关于体积V的函数表达式． （2）若3m3≤V≤9m3，求二氧化碳密度ρ的变化范围． 【分析】（1）根据“ρ与V是反比例函数关系”，设解析式为ρ，代入已知点（5，1.98）求出k，进而得到解析式； （2）根据“k＞0时，在每个象限内，ρ随V增大而减小”，分别代入V＝3和V＝9算出对应的ρ值，进而得到变化范围． 【解答】解：（1）设密度ρ关于体积V的函数表达式为． ∵当V＝5m3时ρ＝1.98kg/m3， ∴， 解得：k＝9.9． ∴函数表达式为． （2）∵9.9＞0， ∴当V＞0时，p随V的增大而减小． ∴当 3≤V≤9时， 即1.1≤ρ≤3.3． ∴ρ的变化范围为1.1kg/m3≤ρ≤3.3kg/m3． 【变式训练2】（2025秋•椒江区期末）浮力式密度计是测量液体密度的仪器（如图1），通常是一个密封的玻璃管，底部有重物，上部有刻度，把它放入液体中，它会竖直漂浮．密度计上与液面平齐的刻度为浸没深度h（单位：cm），且液体密度ρ（单位：g/cm3）是浸没深度h（单位：cm）的反比例函数．小明在家里制作简易浮力式密度计（如图2），经过测量与查阅资料得到浸没深度h与液体密度p的对应关系（如下表）． 酒精 水 蜂蜜 浸没深度h（cm） 17.5 14 10 液体密度ρ（g/cm3） m 1 n （1）m＝　0.8　 ，n＝　1.4　 ； （2）如果该简易密度计能竖直漂浮的最小浸没深度为5cm，最大浸没深度为20cm，求该密度计能测量的液体密度ρ的范围． 【分析】（1）根据题意列式计算即可； （2）设反比例函数解析式为，把h＝14，ρ＝1代入，得到反比例函数解析式为，于是得到结论． 【解答】解：（1）根据题意得17.5m＝14×1＝10n， ∴m＝0.8，n＝1.4， 故答案为：0.8，1.4； （2）设反比例函数解析式为， 把h＝14，ρ＝1代入，得，k＝14， ∴反比例函数解析式为， 当h＝5时，；当h＝20时，， 根据增减性得，0.7≤ρ≤2.8． 题型二：物理学科中的应用（电阻） 【典例精讲】（2026•斗门区二模）小明在物理综合实践课上，用一固定电压为18V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流表上读数y（A）的大小，如图1．滑动变阻器的电阻为x（Ω）（0≤x≤9）通过多次试验，得到以下数据（如下表）： 电阻x（Ω） ⋯ 1 3 5 7 9 电流y（A） ⋯ 18 6 3.6 2.6 2 （1）如图2是根据表中数据在平面直角坐标系上描点，并用平滑的曲线把各点连接形成的图象，用你学过的函数描述这些点的变化规律，并求出函数解析式（写出自变量x的取值范围）； （2）写出函数y的一条性质：y随着x的增大而减小（答案不唯一）　 ； （3）若电流表上读数y（A）在2.25（A）～4.5（A）之间变化，求滑动变阻器上的电阻的变化范围． 【分析】（1）观察图象，根据电流、电压、电阻的关系，可得其为反比例函数图象的一部分，用反比例函数来描述这些点的变化规律，进而求出函数解析式； （2）根据反比例函数的图象与性质，写出一条即可，答案不唯一； （3）根据反比例函数的图象与性质，y随着x的增大而减小，据此即可求解． 【解答】解：（1）根据题意可知在电压固定为18V时，电流与电阻成反比， ∴用反比例函数来描述这些点的变化规律， ∴设函数解析式为， 代入点（1，18）得：，解得：k＝18， 验证其他点，符合这一关系式 ∴函数解析式为． （2）根据函数解析式和函数图象可得：y随着x的增大而减小， ∴写出函数y的一条性质可以是：y随着x的增大而减小，答案不唯一． 故答案为：y随着x的增大而减小（答案不唯一）； （3）由条件可知： 当y＝2.25时，，解得：x＝8， 当y＝4.5时，，解得：x＝4， ∴4≤x≤8． 即滑动变阻器上的电阻的变化范围为4（Ω）～8（Ω）． 【变式训练1】（2026•栾城区校级模拟）数学兴趣小组了解到一款如图1所示的电子托盘秤，它是通过所称重物调节可变电阻R的大小，从而改变电路中的电流I，最终通过显示器显示物体质量．已知可变电阻R（单位：kΩ）与物体质量m（单位：kg）之间的关系如图2所示，电流I（单位：mA）与可变电阻R之间关系为． （1）小组先探究函数的图象与性质，并根据I与R之间关系得如下表格： R（kΩ） 0 1 2 3 4 5 6 7 … I（mA） 2 1.5 1.2 P 0.75 0.6 … ①表格中的p＝　1　 ； ②请在图3中画出对应的函数图象； （2）该小组综合图2和图3发现，I随着m的增大而　增大　 ；（填“增大”或“减小”） （3）若将该款电子秤中的电路电流范围设定为0.2≤I≤0.4（单位：mA），判断该电子托盘秤能否称出质量为2kg的物体的质量？请说明理由． 【分析】（1）①依据题意，将 R＝3代入中，进而计算可以得解；②依据题意，根据表格数据描点即可得解； （2）依据题意，根据图象，可得R随着m的增大而减小，又I随R的增大而减小，进而可以判断得解； （3）依据题意，设 R＝km+b（k≠0，b为常数）将（0，24），（3，0）代入，得，求出k，b后可得 R＝﹣8m+24，再结合，进而可以得故可判断得解． 【解答】解：（1）①由题意，将 R＝3 代入中， ∴p＝1． 故答案为：1． ②由题意，画图象如图所示． （2）由题意，根据图象，可得R随着m的增大而减小， 又∵I随R的增大而减小， ∴I随着m的增大而增大． 故答案为：增大； （3）该电子托盘秤不能称出质量为2kg的物体的质量，理由如下： 由题意，设 R＝km+b（k≠0，b为常数）， 将（0，24），（3，0）代入解析式得， ∴ ∴R＝﹣8m+24． 又∵， ∴， ∵由（2）知I随着m的增大而增大， ∴当I＝0.4时，m＝1.5＜2， ∴该电子托盘秤不能称出质量为2kg的物体的质量． 【变式训练2】（2025秋•东莞市校级期末）图1为某厂家设计的一款亮度可调的LED台灯．图2为对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过改变滑动变阻器的电阻R2来调节亮度，电流I与总电阻R成反比例，其中R＝R1+R2，已知R1＝5Ω，实验测得当R2＝25Ω时，I＝0.3A． （1）求I关于R的函数表达式． （2）经测试，当电流在0.1～0.25之间（包含临界值）时，台灯亮度才能满足正常的阅读需求．那么，为了保证正常阅读，求滑动变阻器接入电路的电阻R2的取值范围． 【分析】（1）设函数表达式为，先求得R，再结合I＝0.3A，求出I关于R的函数表达式； （2）先得出，再得出R2＝R﹣5，然后分别求出当I＝0.1A与I＝0.25A时R的值，从而可分别求得R2的值，结合反比例函数的增减求解即可． 【解答】解：（1）设函数表达式为， ∵R2＝25Ω，R1＝5Ω， ∴R＝R1+R2＝5Ω+25Ω＝30Ω， ∵I＝0.3A， ∴， 解得：k＝9， ∴； （2）∵， ∴， ∵R1＝5Ω，R＝R1+R2， ∴R2＝R﹣R1＝R﹣5， 当I＝0.25A时，， ∴R2＝36﹣5＝31Ω， 当I＝0.1A时，， ∴R2＝90﹣5＝85Ω， ∵， ∴I随R的增大而减小， ∴31Ω≤R2≤85Ω． 题型三：物理学科中的应用（杠杆） 【典例精讲】（2026•峄城区二模）杠杆原理也称为“杠杆平衡条件”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即阻力×阻力臂＝动力×动力臂．如图，已知石头的重力（阻力）为3200N，阻力臂为0.25m． （1）求动力F与动力臂l的函数关系式； （2）小华想用一根撬棍撬起这块石头，但他最多能使出500N的力，问他用撬棍撬起这块石头时的动力臂长度最短为多少？ 【分析】根据阻力×阻力臂＝动力×动力臂求解即可得到结论． 【解答】解：（1）依题意得3200×0.25＝F•l． ∴． 答：． （2）当F＝500N时，， 解得l＝1.6． ∵小华最多能使出500N的力， ∴l≥1.6． 答：动力臂长度最短为1.6m． 【变式训练1】（2026•卢氏县模拟）如图1，取一根长150cm的匀质木杆，用细绳绑在木杆上的中点O处并将其吊起来．在点O左侧10cm处挂一个物体，在点O右侧用一个弹簧测力计向下拉，使木杆处于水平状态．改变弹簧测力计与中点O的距离L（单位：cm），弹簧测力计的示数F（单位：N）也随之变化，下表记录了几组L和F的值． （1）求出F关于L的函数表达式（不写自变量取值范围），并在图2中直接画出函数图象； （2）已知杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂，即物体所受重力×物体到点O的距离＝对弹簧测力计的拉力×弹簧测力计到点O的距离，求点O左侧所挂物体所受的重力； （3）若使弹簧测力计的示数不超过5N，则L的取值范围为　16≤L≤75　 ． L/cm … 1 2 4 … F/N … 80 40 20 … 【分析】（1）根据表格信息可得FL＝1×80＝80，进一步可得解析式，再描点画图即可； （2）设重力为G，可得10G＝80，进一步可得答案； （3）根据及木棒的中点为O可得答案． 【解答】解：（1）由表格可知， F是关于L的反比例函数． 设， 将（1，80）代入，得， 解得k＝80， ∴F关于L的函数表达式为； 函数图象如下所示， （2）由（1）得FL＝80， 则物体所受的重力为（N）． 答：点O左侧所挂物体所受的重力为8N． （3）∵弹簧测力计的示数不超过5N， ∴5， 解得：L≥16， ∵O为一根长150cm的匀质木杆的中点， ∴L≤75， 综上：16≤L≤75． 故答案为：16≤L≤75． 【变式训练2】（2026•宝鸡二模）用数学的眼光观察世界．周末，小哲在奶奶家发现了一个旧秤杆．如图，小哲通过上网学习发现，杆秤是利用杠杆原理制成的传统衡器，由木制秤杆、金属秤砣、秤纽组成．小哲尝试研究，他把秤砣到秤纽的水平距离记为y（cm），所挂物体的质量记为x（kg），发现两者之间满足一次函数关系．数据记录如下： x/kg 4 5 6 7 8 y/cm 24.5 30 35.5 41 46.5 （1）请你求出y与x之间的函数关系式． （2）若所挂物体质量是10kg，请你求出秤砣到秤纽的水平距离． （3）若秤砣到秤纽的水平距离为13.5cm，请问此时小哲所挂物体的质量应是多少kg？ 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）把x＝10代入函数关系式中，求出相应的y值即可； （3）把y＝13.5代入函数关系式中，求出相应的x值即可． 【解答】解：（1）由题意设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，由条件可得： ， 解得， ∴y＝5.5x+2.5； （2）当x＝10时，y＝5.5×10+2.5＝57.5， 即秤砣到秤纽的水平距离是57.5cm； （3）当y＝13.5时，13.5＝5.5x+2.5， 解得x＝2， 即此时小哲所挂物体的质量应是2kg． 题型四：物理学科中的应用（压强） 【典例精讲】（2026•花溪区二模）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示． （1）求该反比例函数的表达式； （2）当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，气体的体积应不小于多少？ 【分析】（1）设出反比例函数解析式，把点A的坐标代入即可求得比例系数； （2）易得气球内的气压应不超过140kPa，列出不等式，求得相应的解集即可． 【解答】解：（1）设p， ∵点A（0.8，120）在反比例函数解析式上， ∴k＝0.8×120＝96， ∴反比例函数的表达式为p； （2）由题意得：140， 140V≥96， 解得：V． 答：气体的体积应不小于m3． 【变式训练1】（2026•新华区一模）某中学物理兴趣小组在探究液体的压强与容器底面积的关系时，把一定质量的水放入不同底面积的均匀柱形容器中．如图①，在实验中发现，水对容器底部的压强P（单位：Pa）与容器底面积S（单位：cm2）成反比例函数关系． （1）把一定质量的水放入底面积为40cm2容器时，压强是1500Pa，求压强P关于底面积S的函数关系式； （2）实验小组计划更换不同规格的同类型容器，底面积S的调节取值范围是25≤S≤50，请结合实验数据计算此时水对容器底部的压强P的取值范围； （3）如图②，现将一个密度均匀的实心正方体金属块B浸没在水中（水不溢出），容器内水与容器底面接触面积变为原来的，此时水对容器底部的压强比原来增加了200Pa．求原来容器的底面积S． 【分析】（1）由待定系数法进行求解即可； （2）由反比例函数的性质，算出临界值，即可得出对应的取值范围； （3）根据题意列出方程，求解即可． 【解答】解：（1）由题可知，设（k≠0）， 当S＝40时，P＝1500，代入得， ∴k＝60000， ∴； （2）已知且25≤S≤50， ∵k＝60000＞0， ∴P随S的增大而减小， 当S＝25时，P＝2400； 当S＝50时，P＝1200； ∴1200≤P≤2400． （3）现将一个密度均匀的实心正方体金属块B浸没在水中（水不溢出），容器内水与容器底面接触面积变为原来的， 由已知得， ∴， ∴S＝75． 答：容器原来的底面积为75cm2． 【变式训练2】（2026•庆元县二模）已知一张桌面所能承受的最大压强P为104Pa（1Pa＝1牛/平方米），有一个长方体铁块的长、宽、高分别为50cm，20cm，10cm．小明和小聪在讨论能否把这个铁块放在这张桌面上．（铁的密度为7.8g/cm3，g取10N/kg） 小明：无论怎么摆放，应该都没问题． 小聪：不一定，根据所学知识，桌面所受的压强与压力、受力面积有关． 小明：哦，铁块对桌面的压力是不变的… （1）求出该铁块对桌面的压力． （2）请用反比例函数的性质，说明能否把铁块放在这张桌面上． 【分析】（1）依据题意，根据公式m＝ρv＝7.8×50×20×10＝78000（克）＝78（千克），则该铁块对桌面的压力F＝G＝mg＝78×10＝780（牛），从而得解； （2）依据题意，由，压力F为定值，则P是关于S反比例函数，故当P取最大压强104Pa时，受力面积S最小取到780÷10000＝0.078（平方米），结合当S≥0.078，P随着S的增大而减少，可得当受力面积为50×20＝1000（平方厘米）＝0.1（平方米）＞0.078（平方米），进而得解． 【解答】解：（1）由题意，根据公式m＝ρv＝7.8×50×20×10＝78000（克）＝78（千克）， ∴该铁块对桌面的压力F＝G＝mg＝78×10＝780（牛）； （2）由题意，∵，压力F为定值， ∴P是关于S反比例函数， ∴当P取最大压强104Pa时，受力面积S最小取到780÷10000＝0.078（平方米）， ∵当S≥0.078，P随着S的增大而减少， ∴当受力面积为50×20＝1000（平方厘米）＝0.1（平方米）＞0.078（平方米）， ∴这样放置能放在桌面上． 题型五：反比例函数的应用之温度问题 【典例精讲】（2026•兴庆区校级二模）如图1是某新款茶吧机，一次通电后，水温为20℃，立即开始加热，经过8分钟加热到100℃时，停止加热，水温开始下降，此时水温y（℃）是通电时间t（min）的反比例函数．通电加热时水温y与通电时间t之间的函数关系如图2所示（此题只探究一次升温后持续降温的过程）． （1）将水从20℃加热到100℃，水温每分钟上升　80　 ℃； （2）在水温下降的过程中，求水温y关于通电时间t的函数表达式； （3）请描出反比例函数的另外三个格点（横、纵坐标均为整数），并画出函数图象； （4）求水温不低于50℃的时间有多长？ 【分析】（1）直接把点C坐标代入反比例函数解析式中即可求出m的值； （2）先列表，再描点，接着连线画出对应的函数图象即可； （3）根据题意画出函数图象即可； （4）设水温上升过程中的函数解析式为y＝mt+n，把（0，20）和（8，100）代入得解方程组得到y＝10t+20，把y＝50分别代入y＝10t+20和y得50＝10t+20，50，解方程即可得到结论． 【解答】解：（1）将水从20℃加热到100℃，水温每分钟上升100﹣20＝80（℃）， 故答案为：80； （2）设在水温下降的过程中，水温y关于通电时间t的函数表达式为y， 把（8，100）代入y得100， ∴k＝800， ∴水温y关于通电时间t的函数表达式为y； （3）如图所示； （4）设水温上升过程中的函数解析式为y＝mt+n， 把（0，20）和（8，100）代入得， ∴， ∴y＝10t+20， 把y＝50分别代入y＝10t+20和y得50＝10t+20，50， ∴t＝3，t＝16， ∴水温不低于50℃的时间有16﹣3＝13（min）． 【变式训练1】（2026•贺兰县校级三模）小琪新购买了一台智能冰箱，通过搜集相关资料，她得到如下数据： ①图1是某品牌冰箱，耗电功率为0.2千瓦．当冷冻室温度为﹣4℃时，冰箱压缩机运行；当温度下降到﹣20℃时，停止运行，温度上升；当温度上升到﹣4℃时，冰箱压缩机再次运行，如此循环； ②冰箱冷冻室温度y（℃）与时间x（min）的关系如图2所示．当0≤x≤4时，一次函数的解析式为y＝﹣4x﹣4　 ；当4≤x≤t时，y是x的反比例函数，解析式为　　 ． ③冰箱每天的耗电量（度）＝耗电功率（千瓦）×每天的运行时间（小时）．该冰箱的广告中声称：每天耗电不超过1度电．请问该冰箱的广告是否符合实际？请说明理由．（忽略特殊情况的耗电量） 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）先判断，然后根据题意和题目中的数据，可以计算出每天的耗电量，再与1比较大小即可． 【解答】解：（1）当0≤x≤4时，设一次函数的解析式为y＝kx+b； 把（0，﹣4）和（4，﹣20）代入得 ， 解得， y＝﹣4x﹣4； 当4≤x≤t时，y是x的反比例函数，设解析式为y， 把（4，﹣20）代入得k＝﹣80， 解析式为； 故答案为：y＝﹣4x﹣4；； （2）每天耗电不超过1度电符合实际， 理由：将y＝﹣4代入，可得， 解得x＝20， 即每20分钟，运行4分钟， ∴该冰箱的每天耗电量为： （千瓦时）， ∵， ∴每天耗电不超过1度电符合实际． 【变式训练2】（2026春•盐城月考）为保障学生饮水健康安全，鹿鸣路初中配备了智能全自动饮水机．八年级数学兴趣小组研究发现：饮水机接通电源后加热时，水温匀速上升，每分钟上升10℃，加热到100℃时停止加热；随后水温自然回落，此阶段水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，开始下一轮循环．若初始水温在20℃时接通电源，八年级数学兴趣小组绘制了水温随通电时间变化的部分函数图象（如图所示），请结合图象解答下列问题． （1）图象中停止加热后水温自然回落至20℃的过程中，水温y（℃）与通电时间x（min）之间的函数关系式是　　 ，自变量x的取值范围是　8≤x≤40　 ； （2）图象中从接通电源开始，到水温首次回落至20℃为止，求这一过程中水温不低于40℃时长为多少分钟？ （3）早晨7：40接通电源启动加热（此时水温为20℃），当天上午9：20下课时同学们　能　 （填“能”或“不能”）接到35℃～45℃的温开水，此时水温为　40　 ℃． 【分析】（1）先根据加热速率求出停止加热时的通电时间，再用待定系数法求反比例函数表达式，最后求水温降至20℃时的总时间确定自变量范围． （2）分加热和回落两个阶段分别求出水温为40℃时对应的通电时间，再分别计算两阶段中水温不低于40℃的时长并求和． （3）先求一个完整周期时长，再计算100min内经历几个完整周期，判断下课时处于第几轮的哪个阶段，进而求出水温和是否在35℃～45℃范围内． 【解答】解：（1）由题意可知加热到100℃所需时间为， 即停止加热时x＝8，y＝100． 设停止加热后水温y与通电时间x的函数关系式为， 则， 解得k＝800， ∴函数关系式为． 当水温降至20℃时，， 解得x＝40， ∴自变量x的取值范围是8≤x≤40． （2）由题意，加热阶段水温y与通电时间x的关系为y＝20+10x（0≤x≤8）， 当y＝40时，40＝20+10x， 解得x＝2， ∴加热阶段水温不低于40℃的时长为8﹣2＝6（min）． 回落阶段水温y与通电时间x的关系为（8≤x≤40）， 当y＝40时，， 解得x＝20， ∴回落阶段水温不低于40℃的时长为20﹣8＝12（min）． ∴这一过程中水温不低于40℃的总时长为6+12＝18（min）． （3）∵加热需8min，回落需40﹣8＝32（min）， ∴一个完整周期为40min． ∵早晨7：40到上午9：20共100min， 100＝2×40+20， ∴经过2个完整周期后，第3个周期又进行了20min． 第3个周期中，前8min加热，后32min回落， ∵20＞8， ∴此时处于第3个周期的回落阶段， 故可知，第1个周期20min的温度，第3个周期开始后第20min的温度一样， 此时的温度为：， ∵35＜40＜45， ∴同学们能接到35℃～45℃的温开水， 此时水温为40℃． 题型六：反比例函数的应用之工程问题 【典例精讲】（2025秋•海门区期末）区政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为106m3，某运输公司承担了运送土石方的任务． （1）运输公司平均运送速度v（单位：m3/天）与完成运送任务所需时间t（单位：天）之间具有怎样的函数关系？ （2）这个运输公司共有100辆卡车，每天可运送土石方104m3，公司完成全部运输任务需要多长时间？ （3）若公司以（2）中的速度工作了40天后，由于工程进度的需要，剩下的所有运输任务必须在50天内完成，公司至少增加多少辆卡车？ 【分析】（1）由总量＝vt，求出v即可； （2）把v的值代入计算即可求出t的值； （3）设需要增加a辆卡车，每辆卡车每天运输土石方为100m3，根据题意列式求解即可． 【解答】解：（1）∵vt＝106， ∴， 即运输公司平均运送速度v（单位：m3/天）与完成运送任务所需时间t（单位：天）之间的函数关系为； （2）当v＝104时，t100（天）， 答：公司完成全部运输任务需要100天； （3）每辆卡车每天运送土石方， 设公司增加x辆卡车， 由题意得：40×104+50×100（100+x）≥106， 解得：x≥20， ∴公司至少增加20辆卡车． 【变式训练1】（2025秋•市中区期末）码头工人每天往一艘轮船上装载货物，平均每天的装载量y（吨）与装完货物所需时间x（天）之间是反比例函数关系，其图象如图所示． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）由于紧急情况，要求装载货物不超过4天，那么平均每天至少要装载货物多少吨？ 【分析】（1）根据待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）把x＝4代入函数解析式求出函数解析式即可． 【解答】解：（1）设y与x的函数解析式为y（k≠0）， 把（8，50）代入解析式得：50， 解得k＝400， ∴y与x的函数解析式为y； （2）把x＝4代入y， 解得：y＝100， 答：平均每天至少要卸100吨货物． 【变式训练2】（2026•洛阳模拟）儿童游乐场有一个大游泳池，打开1个进水管，需要24小时才能把空游泳池注满水；打开2个进水管，需要12小时才能把空游泳池注满水．如图，设进水管为x（个），将游泳池注满水所需的时间为t（h）． （1）求t与x之间的函数关系式； （2）要想2个小时把游泳池注满水，需要同时打开多少个进水管？ （3）已知一个进水管的注水速度为25m3/h,则此游泳池的容积是多少？若要注入480m3的水，需要同时打开6个进水管多长时间？ 【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以计算出t与x之间的函数关系式； （2）根据图象和题意，可以计算出要想2个小时把游泳池注满水，需要同时打开多少个进水管； （3）根据题意和题目中的数据，可以计算出此游泳池的容积和要注入480m3的水，需要同时打开6个进水管多长时间． 【解答】解：（1）设t与x之间的函数关系式为， 由图象可得，（1，24）在该函数图象上， ∴24=， 解得k=24， ∴t与x之间的函数关系式为； （2）当t=2时，， 解得x=12， 即要想2个小时把游泳池注满水，需要同时打开12个进水管； （3）由题意可得， 此游泳池的容积是25×24=600（m3）， （h）， 答：此游泳池的容积是600m3，注入480m3的水需要同时打开6个进水管3.2小时． 题型七：反比例函数的应用之几何问题 【典例精讲】（2026•包河区校级模拟）综合实践： “耕读园”劳动实践基地设计方案 项目主题：“耕读园”花圃设计 项目情境：为了迎接校园丰收节，同学们参与一块长为50米，宽为40米的矩形花圃设计项目．以下为项目学习小组对花圃设计的研究过程． 活动任务一 请设计两条相同宽度的小路连接矩形花圃两组对边．小组内同学们设计的方案主要有甲、乙、丙、丁四种典型方案，如图1． 驱动问题一 （1）项目小组设计出来的四种方案中小路面积的大小关系？ ①直观猜想：我认为　我认为四种方案中小路面积相等　 ；（请用简洁的语言或代数式表达你的猜想） ②具体验证：选择最简单的甲、乙方案，假设小路宽为1米，则甲、乙方案中小路的面积分别为　89　 和　89　 ； ③一般验证：若小路宽为x米，则甲、乙方案中小路所占的面积分别为　90x﹣x2 和　90x﹣x2 ． 活动任务二 为施工方便，学校选择甲种方案设计，并要求除小路后草坪面积约为1824平方米． 驱动问题二 （2）请计算两条小路的宽度是多少？ 活动任务三 为了布置劳动标志等元素，将在花圃靠墙（墙足够长）的位置，用篱笆围成三边，形成面积为100平方米的矩形花坛，如图2所示（墙为一边，篱笆围另外三边）．设矩形垂直于墙的边长为x米，平行于墙的边长为y米． 驱动问题三 （3）若篱笆总长为30米，为了使篱笆恰好用完同时围住三面，项目小组的同学对下列问题展开探究，其中矩形宽AB＝x，长BC＝y． ①若30米长的篱笆，请用两种不同的函数表示y关于x的函数关系． ②数学之星小明提出一个问题：若a米长的篱笆恰好用完，且存在两种不同方案（即墙作为长边或作为宽边两种围法）都可以围出面积为100平方米的矩形，并且两种方案中垂直于墙的边长（宽）之和小于15米．甲同学说“篱笆的长可以是28米”，乙同学说“篱笆的长可以是32米”．你认为他们俩的说法对吗？请说明理由． 【分析】（1）①根据题意直接得出猜想； ②分别用两种不同的方法求解即可； ③分别用两种不同的方法表示即可； （2）先得出小路的面积，列出方程求解即可； （3）①分别用两种不同的方法表示即可； ②由题意得到x（a﹣2x）＝100，设方程的两个根为x1，x2，则x1+x2＜15，且Δ＞0，求得a的取值范围，可得结论． 【解答】解：（1）①我认为四种方案中小路面积相等； 故答案为：我认为四种方案中小路面积相等； ②甲方案小路面积：1×50+1×40﹣12＝89（平方米）， 乙方案小路面积：50×40﹣（50﹣1）×（40﹣1）＝89（平方米）； 故答案为：89，89； ③若小路宽为x米， 甲方案小路面积为：50x+40x﹣x2＝90x﹣x2， 乙方案小路面积为：50×40﹣（50﹣x）×（40﹣x）＝90x﹣x2； 故答案为：90x﹣x2；90x﹣x2， （2）∵草坪面积1824平方米， ∴小路面积为：50×40﹣1824＝176（平方米）， ∴90x﹣x2＝176， 解得：x＝2， ∴两条小路的宽度是2米； （3）①方法1： ∵面积为100平方米， ∴xy＝100， ∴； 方法2：∵篱笆总长为30米，宽AB＝x，长BC＝y， ∴2x+y＝30， ∴y＝30﹣2x； ②甲，乙都错误，理由如下： 由题意得：x（a﹣2x）＝100， ∴2x2﹣ax+100＝0， 设方程的两个根为x1，x2，则x1+x2＜15，且Δ＞0， ∴Δ＝（﹣a）2﹣4×2×100＝a2﹣800＞0，， ∴，a＜30， ∴28.28＜a＜30， ∴甲，乙说法都错误． 【变式训练1】（2026•铁岭模拟）乡村振兴战略推进中，某地依托北斗导航技术优化农田规划，技术员用边长为1的正方形定位模块拼出五连格L形测量组件，用于直角三角形高标准农田片区ABC的边界校准，其中∠C＝90°，∠B＝30°，测量组件的顶点D、E、F、G恰好贴合农田三边（如图1），为精准测算种植面积提供数据支持． （1）基础问题：请求出这块直角三角形高标准农田的面积． （2）问题提出与解决： 技术员将L形测量组件接入北斗定位坐标系，让农田顶点A、B、C分别落在坐标轴上（如图2），北斗系统反馈反比例函数（x＜0）的图象经过测量组件顶点D，试求该反比例函数的解析式，为定位数据传输提供基础模型． 【分析】（1）解直角三角形FCG，求出CF，CG，解直角三角形ADG，求出AG的长，进而求出AC的长，进而求出BC的长，再根据三角形的面积公式进行求解即可； （2）过D作DE⊥x轴于点E，证明△BAO∽△CBF，△ADE∽△BAO，进而求出D点坐标，待定系数法求出反比例函数的解析式即可． 【解答】解：（1）如图所示： 由题意知GD＝2，GF＝4，GF∥AB，∠B＝30°， ∴∠CFG＝∠B＝30°，∠A＝60°， ∴，， ∴，， ∴， ∴此直角三角形的面积为； （2）农田顶点A、B、C分别落在坐标轴上（如图2），北斗系统反馈反比例函数（x＜0）的图象经过测量组件顶点D， 如图所示：过D作DE⊥x轴于点E， 由题意知，AB＝1，AD＝4，CF＝1，BF＝3， ∠DAB＝∠ABF＝∠CFB＝∠AOB＝∠DEA＝90°， ∴， ∵∠ABO+∠BAO＝∠ABO+∠CBF， ∴∠BAO＝∠CBF， ∴△BAO∽△CBF， ∴，即， 解得，， 同理△ADE∽△BAO， ∴， 即， 解得，， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为． 【变式训练2】如图，某养鸡场利用一面长为11m的墙和一段栅栏围了一个矩形空地，面积为60m2，设与墙垂直的边的长度为xm，与墙平行的边的长度为ym． （1）直接写出y与x的函数关系式； （2）现有两种方案：x＝5或x＝6，试选择合理的设计方案，并求此栅栏的总长． 【分析】（1）利用矩形的面积计算公式可得出xy＝60，变形后即可得出结论； （2）利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出当x＝5和x＝6时的y值，结合墙长11m，即可得出应选x＝6的设计方案，再将其代入2x+y中即可求出此栅栏的总长． 【解答】解：（1）依题意得：xy＝60， ∴y与x的函数关系式为y． 故答案为：y． （2）当x＝5时，y12， ∵12＞11， ∴不符合题意，舍去； 当x＝6时，y10， ∵10＜11， ∴符合题意，此栅栏总长为2x+y＝2×6+10＝22． 答：应选择x＝6的设计方案，此栅栏总长为22m． 题型八：反比例函数的应用之速度问题 【典例精讲】（2026•龙华区校级模拟）如图是机器狗的实物图，机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度v（m/s）是载重后总质量m（kg）的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量 m＝60kg时，它的最快移动速度v＝4m/s；当其载重后总质量m＝80kg时，它的最快移动速度是（　　） A．2m/s B．2.5m/s C．3m/s D．3.5m/s 【分析】利用待定系数法求出反比例函数解析式，再将m＝80kg代入计算即可． 【解答】解：设， 由题意可得：k＝60×4＝240， ∴反比例函数解析式为， 当m＝80kg时，， 答：当其载重后总质量m＝80kg时，它的最快移动速度v＝3m/s． 故选：C． 【变式训练1】（2026•禹城市二模）阅读下列材料，认真思考并回答相关的问题． 材料一：在﹣20℃到40℃范围内，声音（声波）在空气中的传播速度（声速）v（单位：m/s）与气温t（单位：℃）的关系如下表： 气温（℃） ﹣10 0 10 20 30 声速（m/s） 325 331 337 343 349 材料二：声音的频率（f）是指声波每秒振动的次数，单位为赫兹（Hz）．人能听到的声音频率有一定的范围，多数人能听到的频率范围是20～20000Hz． 材料三：声音的波长（λ）是指声波在传播的过程中，相邻的两个波峰（或波谷）的距离，单位为米（m）．声音的频率f和波长λ与声音的传播速度（v）（单位：m/s）满足公式：v＝f•λ． （1）当气温为20℃时，声速为 　343　 m/s； （2）根据材料一表格中的数据，从你所学的函数中选择一个函数，使它能近似地反映声速（v）与气温（t）的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出t的取值范围）； （3）目前国际通用的钢琴标准音A4频率为440Hz，在室温为25℃的情况下，求钢琴标准音A4的波长． 【分析】（1）依据题意，结合表格数据可得，当气温为20℃时，声速为343m/s，进而可以得解； （2）依据题意，结合表格数据，声速（v）与气温（t）是一个一次函数的关系，故可设函数的关系式为V＝kt+b，从而，进而计算可以得解； （3）依据题意，由t＝25℃，结合（2）v＝0.6t+331，可得v＝0.6×25+331＝346，结合v＝f•λ，f＝440Hz，可得λ，进而计算可以得解． 【解答】解：（1）由题意，结合表格数据可得，当气温为20℃时，声速为343m/s． 故答案为：343． （2）由题意，结合表格数据，声速（v）与气温（t）是一个一次函数的关系． 设函数的关系式为V＝kt+b， ∴． ∴． ∴v＝0.6t+331． （3）由题意，t＝25℃，结合（2）v＝0.6t+331， ∴v＝0.6×25+331＝346． 又∵v＝f•λ，f＝440Hz， ∴λ0.78（m）． 【变式训练2】（2026•许昌一模）如图1，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上的平均速度．小颖发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间AB段的平均行驶速度v（单位：km/h）与行驶时间t（单位：h）是反比例函数关系（如图2）． （1）求v与t的函数表达式； （2）已知在限速区间AB上行驶的小型载客汽车的最高车速不得超过120km/h，最低车速不得低于80km/h，求小颖的爸爸按照此规定通过该限速区间AB段的时间范围． 【分析】（1）利用待定系数法求出AB段的平均行驶速度v（km/h） 与行驶时间t（h）的函数解析式； （2）再将v＝120，v＝80分别代入求出对应的t值，进而求解即可． 【解答】解：（1）由题意可设v， 将（0.3，80）代入得，k＝0.3×80＝24， ∴v； 答：v与t的函数表达式为v； （2）当v＝120时，t0.2， 当v＝80时，t0.3， ∴小颖的爸爸按照此规定通过该限速区间AB段的时间范围为0.2≤t≤0.3． 题型九：反比例函数的应用之销售问题 【典例精讲】（2026•浙江模拟）我省某化工厂2025年1月的利润为200万元，若设2025年1月为第一个月，第x个月的利润为y万元；由于污染问题，该厂决定从2025年1月底适当限产，同时投入资金进行新技术改造．从1月底到5月，y与x成反比例关系．到5月底，新技术改造任务顺利完成，从这时起，之后该厂每月利润比前月增加20万元（如图）． （1）分别求出在新技术改造阶段（1≤x≤5）及新技术改造后（x＞5），y与x之间的函数表达式； （2）若设第3个月时该厂的利润为y1，第4个月时该厂的利润为y2，第7个月时利润为y3，则y、y2和y3的大小关系为：y3＞y1＞y2 （用“＞”连接）； （3）当月利润少于100万元时，为该厂资金紧张期，请求出该厂资金紧张期共有几个月？ 【分析】（1）利用待定系数法求得反比例函数的解析式，再根据已知条件列出关系式，继而得出一次函数的解析式； （2）结合图象分别求出x＝3、4、7时该厂的利润，再进行从大到小的比较即可； （3）利用y＝200分别得出x的值，进而得出答案． 【解答】解：（1）当1≤x≤5时，可得：k＝200， ∴在新技术改造阶段的函数关系式为：， 当x＞5时，将x＝5代入得：y＝40，则y＝40+20（x﹣5）＝20x﹣60， 即新技术改造后y与x之间的函数关系式为：y＝20x﹣60． （2）当x＝3时，则， 当x＝4时，该厂的利润在反比例函数上， ∴， 当x＝7时，该厂的利润在一次函数y＝20x﹣60上， ∴y3＝20x﹣60＝80， ∴y3＞y1＞y2， 故答案为：y3＞y1＞y2． （3）对于，当y＝100时，x＝2， 对于y＝20x﹣60，当y＝100时，x＝8， ∴资金紧张期有第3、4、5、6、7这5个月， ∴该厂资金紧张期共有5个月． 【变式训练1】（2026•鼓楼区二模）某箱包厂计划生产一批双肩包，已知双肩包的成本y（元/个）由材料成本和加工成本两部分组成．其中材料成本保持不变，加工成本与加工数量x（个）成反比例函数关系．经测算，生产1000个双肩包，成本是40元/个；生产2000个双肩包，成本是35元/个． （1）求y与x的函数表达式； （2）若要把成本控制为32元/个，应生产多少个双肩包？ 【分析】（1）设每个双肩包的材料成本为a元，则y与x之间的函数关系式为然后把x＝1000，y＝40时，x＝2000，y＝35代入中，进行计算即可解答； （2）把y＝32代入（1）中所求的函数表达式进行计算即可解答． 【解答】解：（1）设每个双肩包的材料成本为a元，则y与x之间的函数关系式为， 由题意得：， ∴， ∴y与x之间的函数关系式为：； （2）当y＝32时，， ∴x＝5000． 经检验，x＝5000是原方程的根， ∴应生产5000个双肩包． 【变式训练2】（2025秋•三原县期末）三原小磨香油久负盛名，以其香味浓郁，营养价值高，深受消费者的喜爱．某超市销售一批三原小磨香油，在销售过程中发现，在一定范围内，该小磨香油的日销售量y（单位：瓶）与每瓶的利润x（单位：元）之间满足反比例函数关系，且当x＝20时，y＝200． （1）求y关于x的函数表达式；（无需写出自变量的取值范围） （2）当该小磨香油的日销售量为160瓶时，该小磨香油每瓶的利润为多少元？ 【分析】（1）设反比例函数为，由题意当x＝20时，y＝200，代入即可解得k； （2）当y＝160时，代入反比例函数解析式求得x值即可． 【解答】解：（1）设反比例函数解析式为， 由题意当x＝20时，y＝200，代入得： ， k＝4000， ∴反比例函数解析式为； （2）当y＝160时，代入，得： ， x＝25， 答：该小磨香油每瓶的利润为25元． 题型十：反比例函数的应用之分段函数问题 【典例精讲】（2026•洛阳模拟）如图是某饮水机通电开机后，水温y（℃）与开机时间x（分）之间的关系图象，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间x（分）成反比例，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热…，重复上述过程． （1）当0≤x≤8时，求水温y（℃）关于开机时间x（分）的一次函数解析式． （2）求t的值． （3）上午8：00（水温20℃），饮水机通电后到中午12：30，水温共有几次达到100℃？ 【分析】（1）设y＝kx+b，将（0，20）、（8，100）分别代入，得，解方程组即可得到结论； （2）设.把点（8，100）代入，得m＝800，解方程即可得到t＝40； （3）结合图象，可知每40分钟图象重复出现一次，8：00到12：30经历270分钟，根据题意列式计算即可． 【解答】解：（1）由图象可知，当x＝0时，y＝20；当x＝8时，y＝100． 当0≤x≤8时，设y＝kx+b， 将（0，20）、（8，100）分别代入y＝kx+b，得， 解得， 答：温度y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为y＝10x+20； （2）由图象知当8≤x≤t时，在水温下降过程中，水温y（℃）是关于开机时间x（分）的反比例函数， 设． 把点（8，100）代入.得m＝800， ∴． 当y＝20时，． 解得t＝40； （3）结合图象，可知每40分钟图象重复出现一次， ∴8：00到12：30经历270分钟， 270÷40＝6……30， 共经历了6个周期余30分钟， 所以水温共有7次达到100℃． 【变式训练1】（2026春•浦东新区校级月考）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间x（分）变化的函数图象如图所示，当0≤x＜10和10≤x＜20时，图象是线段；当20≤x≤40时，图象是双曲线的一部分．根据函数图象回答下列问题： （1）点A的注意力指标数是　24　 ． （2）当0≤x＜10时，求注意力指标数y随时间x（分）的函数解析式； （3）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要21分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于36？请说明理由． 【分析】（1）设CD的解析式为，将C（20，48）代入可得双曲线的解析式，把x＝40代入解析式中即可得解； （2）当0≤x＜10时，设AB的解析式为y＝kx+b，代入A，B两点的坐标即可求解； （3）分别求解当y≥36时，；当y≥36时，；即可判断． 【解答】解：（1）设CD的解析式为：，由条件可得m＝960， ∴， 当x＝40时，， ∴D（40，24）， 由图可知：点A的注意力指标数是24． 故答案为：24． （2）由条件可知A（0，24）， 当0≤x＜10时，设AB的解析式为y＝kx+b，由条件可知： ，解得． ∴． （3）张老师能经过适当安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于36． 理由：当y≥36时，， 解得x≥5； 当20≤x≤40时，反比例函数解析为， 当y≥36时，，解得． ∴当时，注意力指标数都不低于36． 而， ∴张老师能经过适当安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于36． 【变式训练2】（2026•贺兰县校级一模）为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成为正比例，药物燃烧后，y与x成反比例（如图），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题： （1）药物燃烧时与药物燃烧后，y关于x的函数关系式． （2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过几分钟后，员工才能回到办公室； （3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？ 【分析】（1）药物燃烧时，设出y与x之间的解析式y＝k1x，把点（8，6）代入即可，从图上读出x的取值范围；药物燃烧后，设出y与x之间的解析式y，把点（8，6）代入即可； （2）把y＝1.6代入反比例函数解析式，求出相应的x； （3）把y＝3代入正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出相应的x，两数之差与10进行比较，＞等于10就有效． 【解答】解：（1）设药物燃烧时y关于x的函数关系式为y＝k1x（k1＞0）代入（8，6）为6＝8k1 ∴k1， 设药物燃烧后y关于x的函数关系式为y（k2＞0）， ∵经过点（8，6）， ∴6， ∴k2＝48， ∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为yx（0≤x≤8）药物燃烧后y关于x的函数关系式为y（x＞8）； （2）结合实际，令y中y≤1.6得x≥30， 答：即从消毒开始，至少需要30分钟后员工才能回到办公室； （3）把y＝3代入yx，得：x＝4， 把y＝3代入y，得：x＝16， ∵16﹣4＝12＞10， 所以这次消毒是有效的． 1．（2026•榆树市校级模拟）一定质量的氧气在密闭容器中，温度保持不变，压强p（千帕）与体积v（升）成反比例函数关系．当体积为4升时，压强为100千帕．下列结论错误的是（　　） A．函数解析式为 B．当体积为5升时，压强为80千帕 C．体积越大，对应的压强越大 D．当压强为200千帕时，体积为2升 【分析】先根据已知条件求出p与V的函数解析式，再结合反比例函数性质逐一判断选项即可． 【解答】解：设， 将V＝4，p＝100代入得 ，解得k＝400， ∴函数解析式为； 当V＝5时，千帕， ∵k＝400＞0，且体积V＞0， ∴p随V的增大而减小，即体积越大，压强越小； 当p＝200时，，解得V＝2； 综上，只有选项C错误． 故选：C． 2．（2026•盐城二模）古希腊著名的科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．小明同学用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别是1200N和0.5m，则动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数表达式正确的是（　　） A．F B．F C．F D．F 【分析】根据所给公式列式，整理即可得答案． 【解答】解：∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂， ∴1200×0.5＝Fl，整理得：， 故选：B． 3．（2026•江西模拟）如图，学校数学小组进行野外考察时，利用铺垫木板的方式通过一片湿地．根据物理知识，当人和木板对湿地地面的压力一定时，湿地地面所受压强p（Pa）与受力面积S（m2）的关系如表所示： 湿地地面所受压强p/Pa 400 500 600 800 受力面积S/m2 1.5 1.2 1 0.75 以下结论中不正确的是（　　） A．压强p与受力面积S的关系式为 B．压强p与受力面积S的函数图象分布在第一、三象限 C．若压强p不超过6000Pa，则受力面积S至少要0.1m2 D．若受力面积S最大是1.6m2，则压强p最小为375Pa 【分析】根据表格数据求出p与S的函数关系式，再结合反比例函数的性质及实际意义对各选项进行判断即可． 【解答】解：由表格数据可知：400×1.5＝600，500×1.2＝600，600×1＝600，800×0.75＝600， ∴p与S成反比例关系，且pS＝600， 即，故A选项正确； ∵S表示受力面积， ∴S＞0， ∴函数图象只分布在第一象限，故B选项不正确； 当p≤6000时，， 解得S≥0.1，故C选项正确； 当S＝1.6时，， ∵在第一象限内p随S的增大而减小， 当S≤1.6时，p≥375， 即压强p最小为375Pa， 故D选项正确． 故选：B． 4．（2026•二道区校级模拟）如图①，区间测速，是指通过监测机动车在相邻两个测速监控点之间路段（测速区间）的行驶时间，来计算其平均行驶速度的测速方式．小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间AB段的平均行驶速度v（km/h）与行驶所用时间t（h）成反比例函数关系，如图②所示．已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过120km/h，最低车速不得低于90km/h，小聪按照此规定通过该限速区间AB段的时间可能是（　　） A．18min B．15min C．11min D．10min 【分析】根据反比例函数的图象性质和路程与速度时间之间的关系，分别求出最高车速120km/h时的时间以及最低车速90km/h的时间，即可求出答案． 【解答】解：由题图②得，限速区间AB段的总路程为80×0.3＝24km， ∵最高车速为120km/h， ∴在最高车速120km/h下的行驶时间t0.2（h）， 同理可得，在最低车速90km/h下的行驶时间为t0.27（h）， ∴通过AB段限速区间的行驶时间应该在12min﹣16min之间． ∵12≤15≤16， ∴B选项符合题意． 故选：B． 5．（2026•新北区二模）如图是一款简易电子体重计：一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R2，R2与踏板上人的质量m之间的函数为R2＝﹣2m+240（0≤m≤120），其图象如图1所示．图2的电路中，电源电压恒为12伏，定值电阻R1的阻值为40欧，接通开关，人站上踏板，电流表显示的读数为I安，该读数可以换算为人的质量m，电流表量程为0～0.2安．下列说法错误的是（　　） A．用m表示I为： B．电子体重计可称的最大质量为120千克 C．电流表显示的读数越大，说明踏板上人的质量越大 D．当电流表显示0.1安时，踏板上人的质量为80千克 【分析】先计算电路中的总电阻R总＝R1+R2，根据I计算可以判断A的正误；由R2＝﹣2m+240（0≤m≤120）可计算判定，当I＝0.2A时，U2＝12﹣IR1＝4（v），计算可判定B；根据I，电流越大，R2越小，根据图象知R2随m的增大而减小，可以判定C；当I＝0.1A时，U2＝12﹣IR1＝8（v），根据I得R280（Ω），可判断D． 【解答】解：根据题意和反比例函数的性质逐项分析判断如下： 根据题意，电路中的总电阻R总＝R1+R2，且R2＝﹣2m+240（0≤m≤120），R1＝40（Ω）， 故R总＝280﹣2m， 根据I，得I， 故A正确，不符合题意； 根据题意，当I＝0.2A时，U2＝12﹣IR1＝4（v），此时R2最小，m最大， R220（Ω）， 由R2＝﹣2m+240（0≤m≤120），得：m110（kg）， 故B错误，符合题意； 根据I，电流越大，R2越小，根据图象知R2随m的增大而减小， 即电流随m的增大而增大， 故C正确，不符合题意； 当I＝0.1A时，U2＝12﹣IR1＝8（v），根据I得R280（Ω）， 由R2＝﹣2m+240（0≤m≤120），得m80（kg）， 故D正确，不符合题意； 故选：B． 6．（2026•罗湖区二模）如图1是某款煮茶壶，开机加热4min将水匀加热至100℃后停止加热，此时水温开始下降，此时水温y（℃）与启动加热后通电时间x（min）成反比例函数关系．当水温降至40℃时启动保温功能．图2是开始启动加热过程中，水温y（℃）与通电时间x（min）之间的函数关系图，则下列说法错误的是（　　） A．水温在启动加热到100℃的过程中，y与x的函数关系式是y＝20x+20 B．在通电启动加热开关8min时，喝到的茶水为50℃ C．在整个通电启动到保温过程中，水温不低于50℃的时间为7min D．在通电启动加热开关11min后，喝到的茶水的温度为40℃ 【分析】根据题意和图象，先求得函数的解析式，进而反比例函数的性质逐项判断即可． 【解答】解：A、设水温在启动加热到100℃的过程中，y与x的函数关系式是y＝kx+b， ∴， ∴， ∴y与x的函数关系式是y＝20x+20，故不符合题意； B、设水温下降过程中，y与x的函数关系式是y， ∴100， ∴m＝400， ∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是y， 当x＝8时，y50， ∴在通电启动加热开关8min时，喝到的茶水为50℃，故不符合题意； C、把y＝50代入y＝20x+20得x＝1.5， 把y＝50代入y得x＝8， ∴在整个通电启动到保温过程中，水温不低于50℃的时间为8﹣1.5＝6.5min，故符合题意； D、在通电启动加热开关11min后，喝到的茶水的温度为40℃，故不符合题意， 故选：C． 7．（2026•道里区校级模拟）通信信号塔的总功率保持不变的情况下，信号强度I（单位：dBm）与距离r（单位：km）是反比例函数关系．其图象如图所示，若小秦同学在距离该通信信号塔10km处时，信号强度为　8　 dBm． 【分析】先求出反比例函数的解析式，再计算出r＝10时，I的值． 【解答】解：由图可知，反比例函数的图象经过点（4，20）， 设反比例函数的解析式为，将点（4，20）代入，得： 20， 解得：k＝80， ∴， 当r＝10时，得：I8（dBm）， 故答案为：8． 8．（2026•江夏区校级模拟）武汉光谷作为国家自主创新示范区，高新企业数量连年攀升．经统计，光谷某高新产业园的入驻企业年均产值y（单位：亿元）与园区投入的研发资金m（单位：千万元）近似满足反比例函数关系．已知当x＞0时，入驻企业年均产值y随研发资金的增大而减小，请写出一个满足条件的m的值：　3（答案不唯一）　 ． 【分析】根据反比例函数的性质，得到反比例函数的比例系数大于0，列出关于m的不等式，求解得到m的取值范围，任取范围内一个值即可． 【解答】解：对于反比例函数，当k＞0且x＞0时，y随x的增大而减小． 由题意得反比例函数的比例系数k＝2m﹣5， ∴2m﹣5＞0， 解得：m＞2.5， 任取一个满足条件的m即可，例如m＝3． 故答案为：3（答案不唯一）． 9．（2026•宝安区校级四模）在功W（单位：J）一定的条件下，功率P（单位：W）与做功时间t（单位：s）成反比例，P与t之间的函数关系如图所示．当60≤t≤80时，P的整数值可以是　18　 ．（写出一个满足条件的值即可） 【分析】先求出反比例函数的解析式，根据增减性，求出P的范围即可． 【解答】解：由题意P 把（40，30）代入，得W＝30×40＝1200， ∴P， ∴当t＝60时，P20，当t＝80时，P15， ∴当60≤t≤80时，15≤P≤20， ∴P的值可以是18， 故答案为：18． 10．（2026•浔阳区校级模拟）如图所示的电路总电阻为20Ω，若R1＝4R2（总电阻R与R1，R2的关系为），则R2＝　25　 Ω． 【分析】将R＝20Ω，R1＝4R2代入，解分式方程即可． 【解答】解：由题意得，， 方程两边同时乘以20R2得，R2＝5+20， ∴R2＝25Ω， 故答案为：25． 11．（2026•通城县模拟）验光师通过检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.4米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了　50　 度． 【分析】用待定系数法求出反比例函数解析式，再把x＝0.5代入解析式求出y的值，进而计算即可． 【解答】解：设y关于x的函数解析式为， 由图示知，该函数图象经过点（0.2，500）． 把（0.2，500）代入， ∴k＝500×0.2＝100， ∴函数解析式为， 当x＝0.4时，， 当x＝0.5时，， ∴度数减少了250﹣200＝50（度）， 故答案为：50． 12．（2026•河曲县二模）根据生物学知识，生存资源总量固定，单个微生物平均获得的营养单位数与微生物数量成反比例关系．某生态培养瓶内营养总量固定，设微生物数量为x个，单个微生物平均获得y个营养单位．当单个微生物平均获得10个营养单位时，微生物总数为200个，若要保证单个微生物平均至少获得4个营养单位，则微生物总数最多为　500　 个． 【分析】根据单个微生物平均获得的营养单位数y与微生物数量x成反比例关系，设出反比例函数解析式，利用已知条件求出营养总量即比例系数，再根据单个微生物平均至少获得4个营养单位的条件，求解微生物数量的最大值． 【解答】解：∵y与x成反比例关系， ∴设． 把x＝200，y＝10代入解析式得：， 解得k＝2000， 因此函数解析式为． 根据题意得y≥4， 即， ∵x为微生物数量， ∴x＞0，不等式两边同乘x得4x≤2000， 解得x≤500． 故答案为：500． 13．（2026•淮安区模拟）某新能源汽车品牌推出的快充技术中，电池充满电所需的时间t（单位：小时）与充电功率P（单位：kW）成反比例函数关系，已知用60kW功率充电，需2小时充满；若使用80kW的快充桩，充满电需要　1.5　 小时． 【分析】根据t与P成反比例关系设出函数解析式，利用已知条件求出待定系数得到完整函数解析式，再代入所求充电功率计算得到对应充电时间． 【解答】解：根据t与P成反比例关系可设t与P的函数解析式为 ， 把P＝60，t＝2代入解析式得， 解得k＝120， 因此函数解析式为， 把P＝80代入解析式得． 故答案为：1.5． 14．（2026•鼓楼区校级模拟）用绘图软件绘制双曲线m：与动直线l：y＝a，且交于一点，图1为a＝8时的视窗情形．视窗的大小不变，但其可视范围可以变化，且变化前后原点O始终在视窗中心．例如，为在视窗中看到（1）中的交点，可将图1中坐标系的单位长度变为原来的，其可视范围就由﹣15≤x≤15及﹣10≤y≤10变成了﹣30≤x≤30及﹣20≤y≤20（如图2）．当a＝﹣1.2和a＝﹣1.5时，l与m的交点分别是点A和B，为能看到m在A和B之间的一整段图象，需要将图1中坐标系的单位长度至少变为原来的，则整数k＝　4　 ． 【分析】当a＝﹣1.2和a＝﹣1.5时，根据一次函数、反比例函数和直角坐标系的性质，分别计算k的值，再根据题意分析，即可得到答案． 【解答】解：当a＝﹣1.2时，得， ∴x＝﹣50， ∵x≠0， ∴x＝﹣50是的解， ∴l与m的交点坐标为：（﹣50，﹣1.2）， ∵（1）视窗可视范围就由﹣15≤x≤15及﹣10≤y≤10，且﹣10＜1.2＜10， ∴﹣15k＜﹣50， 由条件可知， ∴k＝4， 同理，当a＝﹣1.5时，得x＝﹣40， ∴﹣15k＜﹣40， ∴， ∴k＝3， ∵要能看到m在A和B之间的一整段图象， ∴k＝4． 故答案为：4． 15．（2026•石狮市模拟）在物理学中，“对于同种材料的均匀导体，其电阻R（单位：Ω）与长度L（单位：m）成正比，与它的横截面积S（单位：m2）成反比，即（ρ为电阻率，是一个定值，表示材料的导电性能）”．研究发现：当电阻丝被均匀拉伸到原来的n倍长时，其横截面积变为原来的，若某种电阻丝的横截面积不变，且当L＝0.2m时，R＝8Ω；现将长为0.3m的该电阻丝均匀拉伸到原来的2倍长，则此时电阻丝的电阻为　48　 Ω． 【分析】依据题意，由，S不变，L1＝0.2m，R1＝8Ω，则，又原电阻丝参数原长L0＝0.3m，原横截面积S0，可得原电阻：，再根据拉伸2倍后参数拉长到原来n＝2倍，从而新长度L'＝2×0.3＝0.6m，新横截面积，进而计算可以得解． 【解答】解：由题意，∵，S不变，L1＝0.2m，R1＝8Ω， ∴． ∵原电阻丝参数原长L0＝0.3m，原横截面积S0， ∴原电阻：． ∵拉伸2倍后参数拉长到原来n＝2倍， ∴新长度L'＝2×0.3＝0.6m，新横截面积， ∴． ∴R'＝4×12＝48（Ω）． 故答案为：48． 16．（2026•市南区校级模拟）某饮水机开机后即开始烧水，当水温到100℃时自动停止加热，随后水温逐渐下降，根据此过程绘制了水温y（单位：℃）随时间x（单位：m）变化的大致图象（由线段AB与双曲线一部分BC组成），如图所示．则该饮水机开始烧水后水温始终保持在40℃及以上的时间为　31.5　 分钟． 【分析】用待定系数法分别求直线AB和曲线BC的解析式，分别求解当y＝40时，对应的x值，即可得该饮水机开始烧水后水温始终保持在40℃以上的时间． 【解答】解：设直线AB解析式为：y＝kx+b，则， 解得：， ∴温度上升段（AB）的解析式为：， 当y＝40时，即， 解得x＝3.5； 设反比例函数的表达式为：， 将点B（14，100）的坐标代入上式得：， 解得：k＝1400， 故温度下降段（BC段）函数表达式：， 当y＝40时，即， 解得x＝35； 则该饮水机开始烧水后水温始终保持在40℃以上的时间为35﹣3.5＝31.5（分钟）， 故答案为：31.5． 17．（2026•成武县三模）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内的气压P（单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的反比例函数，其图象如图所示． （1）求这个反比例函数的解析式． （2）求当气球的体积是0.8m3时，气球内的气压是多少千帕？ （3）当气球内的气压大于160kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米． 【分析】（1）根据温度＝气体的气压p×气体体积V，求温度，再确定p与V的函数关系式； （2）把V＝0.8代入（1）中的函数关系式求p即可； （3）将P＝160代入求出V的最小值． 【解答】解：（1）设反比例函数的解析式，把（1.5，64）代入解析式， ∴， 解得k＝96， ∴反比例函数的解析式； （2）把V＝0.8代入， 得， ∴当气球的体积是0.8m3时，气球内的气压是120千帕． （3）由题意知，， 解得， ∴为了安全起见，气球的体积应不小于立方米． 18．（2026春•鼓楼区期末）在物理中，压强p（Pa）、压力F（N）、受力面积S（m2）满足公式． （1）下面的函数图象，正确的有 　①③　 ．（填写序号） （2）比较薄的冰面最多承受10000Pa的压强，小明的重量为600N． ①一双鞋底与冰面的接触面积共为0.03m2，他能否安全地站在这块冰面上？ ②若小明平躺在一块质量不计的薄木板上，为了保证安全，这块薄木板的面积至少多大？ 【分析】（1）根据正比例函数与反比例函数的图象及其性质判断即可； （2）①根据，将数值代入判断即可；②把p＝104，F＝600代入函数解析式，再利用反比例函数的增减性判断即可． 【解答】解：（1）根据题意可知：． 当F为定值时，p与S是反比例函数关系，所以①正确；当p为定值时，F与S是正比例函数关系，所以②错误；当S为定值时，p与F是正比例函数关系，所以③正确； 故答案为：①③； （2）①不安全，因为600÷0.03＝2×104＞104，故不安全； ②把p＝104，F＝600代入， 得：S＝0.06， 根据（1）中的图象可知：当S≥0.06时，p≤104， 答：为了保证安全，这块薄木板的面积至少0.06平方米． 19．（2026春•莱芜区期中）研究发现：初中生在数学课上的注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生注意力直线上升，中间一段时间，学生的注意力保持平稳状态，随后开始分散，注意力与时间呈反比例关系降回开始时的水平．学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示． （1）求反比例函数的解析式，并求点A对应的指标值； （2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要15分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由． 【分析】（1）设出反比例函数的解析式，根据图中数据用待定系数法求解析式即可； （2）求出AB解析式，得到y≥36时，x，由反比例函数y可得y≥36时，x≤25，根据2515，即可得到答案． 【解答】解：（1）设反比例函数的关系式为y（20≤x≤45）， 由图知，反比例函数过点C（20，45）， 代入解析式得45 解得k＝900， ∴反比例函数的关系式为y， 当x＝45时，y20， 故A点对应的指标值为20； （2）设当0≤x＜10时，AB的解析式为y＝mx+n，将A（0，20）、B（10，45）代入得： ， 解得， ∴AB的解析式为yx+20， 当y≥36时，x+20≥36，解得x， 由（1）得反比例函数的解析式为y， 当y≥36时，36，解得x≤25， ∴x≤25时，注意力指标都不低于36， 而2515， ∴张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36． 20．（2026•卢氏县二模）“杆秤”是人类发明的各种衡器中历史最悠久的一种，是利用杠杆原理来称物体质量的简易衡器，由木制的带有秤星的秤杆、秤砣、秤组、秤盘等组成．小华仿照古人制作了一杆简易“秤”．如图，取一根长100cm的质地均匀的木杆，用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起来，在中点O的左侧挂一个物体，在中点O的右侧挂一个弹簧秤向下拉，使木杆保持水平．根据杠杆原理，若木杆保持水平，当物体与中点O的距离保持不变时，弹簧秤的示数y（N）是关于x（cm）（弹簧秤与中点O的距离）的反比例函数．已知当x＝20时，y＝30． （1）求y关于x的函数表达式； （2）移动弹簧秤的位置，若木杆仍处于水平状态，求弹簧秤的示数y的最小值； （3）若弹簧秤的最大量程是100N，求x的取值范围． 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）根据反比例函数的增减性和x的取值范围计算即可； （3）根据题意列不等式并求其解集即可． 【解答】解：（1）设y关于x的函数表达式为y（k为常数，且k≠0）， 将x＝20，y＝30代入y， 得30， 解得k＝600， ∴y关于x的函数表达式为y． （2）100÷2＝50（cm）， ∴0≤x≤50， ∵600＞0， ∴y随x的增大而减小， ∴当x＝50时y值最小，y最小12． 答：弹簧秤的示数y的最小值为12N． （3）根据题意，得100（0≤x≤50）， 解得x≥6， ∵0≤x≤50， ∴6≤x≤50． 21．（2026•榕城区二模）【实验操作】在如图所示的串联电路中，用一固定电压为15V的电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值RL＝2Ω）亮度．已知电流I与电阻R，RL之间关系为，通过实验得出如下数据： R/Ω … 1 2 3 4 n 6 … I/A … 5 m … （1）填写：m＝　3　 ，n＝　5　 ； 【探究观察】（2）根据以上实验，构建出函数（x≥0），结合表格信息，①在平面直角坐标系中画出对应函数（x≥0）的大致图象；②观察图象，写出该函数的一条性质； 【拓展应用】（3）结合函数图象，直接写出不等式的解集： 【分析】（1）由已知列出方程，即可解得m，n的值； （2）①描点画出图象即可；②观察图象可得答案； （3）同一坐标系内画出图象，观察即可得到答案． 【解答】解：（1）根据题意得：m3，， 解得：n＝5， 故答案为：3，5； （2）①作图为： ②由图象可知：函数值y随x的增大而减小或函数有最大值，没有最小值等； （3）由函数图象知，的解集为：x≥4或x＝0． 22．（2026•邹城市一模）小明家安装了一款智能恒温热水器，其工作时水箱内水温y（℃）随加热/保温时间x（min）的变化规律如下： ①开机后热水器开启快速加热功能，水温y（℃）会上升，此时水温y（℃）是加热/保温时间x（min）的一次函数，水温升高到预设的最高温度后，热水器关闭快速加热功能，进入智能保温阶段； ②智能保温阶段，水温y（℃）会先下降，此时水温y（℃）是加热/保温时间x（min）的反比例函数，水温降到预设的最低温度后，热水器再次启动①中快速加热功能，使水温再次升至预设的最高温度，上升过程中水温y（℃）是加热/保温时间x（min）的一次函数，加热效率与之前一致． （1）若起始水温为20℃，水温第一次升至预设的最高温度60℃用时20min，然后水温第一次降至预设的最低温度40℃，求出在这个变化过程中水温关于时间的函数关系式； （2）在（1）的条件下，小明计划20：00洗澡，要求水温不低于50℃，若他在当天19：22时启动热水器快速加热功能，请判断他洗澡时水温是否符合要求，并说明理由． 【分析】（1）根据不同阶段水温的变化情况，分别确定一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据（1）中求出的函数表达式，计算出在给定时间内水温的变化情况，判断是否符合要求． 【解答】解：（1）当0≤x≤20时，设y＝k1x+20（k1≠0）． 把x＝20，y＝60代入得：60＝20k1+20， 解得：k1＝2， ∴此时解析式为y＝2x+20， 当x＞20时，设， 把x＝20，y＝60代入得：k2＝1200， ∴此时解析式为， 把y＝40代入得， 解得x＝30， ∴水温第一次下降阶段的函数关系式为， 综上所述，y； （2）符合要求，理由如下： 根据题意设第二次加热过程中的函数解析式为y＝2x+b， 把y＝40代入得：x＝30， 把x＝30，y＝40代入y＝2x+b得：b＝﹣20， ∴第二次加热过程中的函数解析式为y＝2x﹣20， ∵19：22到20：00经过38分钟， 把x＝38代入y＝2x﹣20得：y＝56， ∵56＞50， ∴符合要求． 23．（2025秋•清城区期末）综合与实践：在有限的空间内检测视力问题． 具体情境：对某班学生视力进行检测的任务； 现有条件：一张测试距离为5米的视力表，一间长为3.8米，宽为3.6米的书房． （1）如图1，若将视力表挂在墙CDGH上，在墙ABEF上挂一面足够大的平面镜，根据平面镜成像原理可知：测试线应画在距离平面镜ABEF　1.2　 米处； （2）小明选择按比例制作视力表完成该任务，在制作过程中发现视力值V和该行字母E的长度a之间的关系是一种函数模型，字母E的长度a如图2所示，视力表上部分视力值V和字母E的长度a的部分对应数据如下表所示： 位置 视力值V a的值（mm） 第1行 0.1 70 第5行 0.25 28 第8行 0.5 14 第14行 2 3.5 ①根据表格数据判断，从一次函数、反比例函数中选择一个合适的函数模型拟合视力值V与字母E的长度a（说明理由），并求出视力值V与字母E长度a之间的函数关系式； ②小明在制作过程中发现某行字母E的长度a的值12.5mm，请问该行对应的视力值是多少？ 【分析】（1）由轴对称的性质即可得到答案． （2）①由视力值V与字母宽度a的乘积是定值，得到视力值V与字母宽度a成反比例函数关系，用待定系数法即可求出函数关系式． ②把a＝12.5，代入V，即可得到答案． 【解答】解：（1）5﹣3.8＝1.2（米）， ∴测试线应画在距离墙ABEF1.2米处， 故答案为：1.2． （2）①∵视力值V与字母宽度a的乘积是定值7， ∴视力值V与字母宽度a成反比例函数关系． 设V， 把a＝70，V＝0.1，代入得到k＝7， ∴视力值V与字母宽度a的函数关系是V． ②把a＝12.5，代入V，得V＝0.56， ∴该行对应的视力值是0.56． 24．（2025秋•中宁县期末）盐城市纺织染整产业园为国家级绿色纺织生产基地，现有一块矩形布料的两边长分别是2米与3米，若把这个矩形布料按照如图1的方式扩大到面积为原来的2倍，设原矩形布料的一边加长a米，另一边长加长b米，可得a与b之间的函数关系式b2．某校“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函数y2，现对这个函数的图象和性质进行了探究，研究过程如下： （1）图2是反比例函数y的图象， 请在同一个平面直角坐标系xOy中，用描点法画出y2的图象，并完成如下问题： ①函数y2的图象可由函数y的图象向左平移　3　 个单位，再向下平移　2　 个单位得到，其对称中心坐标为　（﹣3，﹣2）　 ； ②上述探究方法应用的数学思想是B ； A．整体思想 B．类比思想 C．分类思想 ③根据该函数图象直接写出，当x在什么范围内变化时，y≥﹣1？ （2）将反比例函数y的图象先　向上平移1个单位　 ，再　右平移2个单位　 得到函数y1的图象，函数y1图象的对称中心坐标为　（2，1）　 ． 【分析】（1）先用描点法画出图象，①②根据函数图象的平移规律即可解答；③先求出y＝﹣1时x的取值，然后结合函数图象即可解答． （2）根据发现的规律填空即可． 【解答】解：（1）列表： x ⋯ ﹣9 ﹣6 ﹣5 ﹣2 ﹣1 0 1 3 9 ⋯ ⋯ ﹣4 ﹣6 ﹣8 10 4 2 1 0 ﹣1 ⋯ 描点、连线画出的图象如图所示： ①将函数向下平移2个单位，再向左平移3个单位，可得， 的对称中心为（0，0），向下平移2个单位，再向左平移3个单位，可得对称中心为（﹣3，﹣2），， 故答案为：3，2，（﹣3，﹣2） ②上述研究方法用到的数学思想是类比思想， 故答案为：B． ③当y＝﹣1时，有，即x＝9； 由图象知，当﹣3＜x≤9时，y≥﹣1． 故答案为：﹣3＜x≤9． （2）函数是由向上平移1个单位，再向右平移2个单位，其对称中心是（2，1）， 故答案为：向上平移1个单位；右平移2个单位；（2，1） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $