第8讲 一元二次方程的根与系数的关系 讲义 2026-2027学年苏科版数学九年级上册【暑假预习】

第8讲 一元二次方程的根与系数的关系 知识点一：根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是，那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 要点：前提是方程有实数根（Δ≥0）且 a≠ 0。，，注意分母a与符号. 知识点二：根与系数的关系的应用 （1）不解方程，求关于方程两根的代数式的值； （2）已知方程一根，求方程的另一根及方程中字母的值； （3）已知方程两根的关系，求方程中字母的值； （4）与根的判别式相结合，解决一些综合题. 常常涉及代数式的一些重要变形；如：①；②；③； ④；⑤； ⑥；⑦； ⑧；⑨； ⑩． （5）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程的两根为、，则 ①当△≥0且时，两根同号． 当△≥0且，时，两根同为正数； 当△≥0且，时，两根同为负数． ②当△＞0且时，两根异号． 当△＞0且，时，两根异号且正根的绝对值较大； 当△＞0且，时，两根异号且负根的绝对值较大． 题型一：利用根与系数的关系直接求值 【典例精讲】（2026•十堰二模）已知一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0有两个实数根为x1，x2，则x1x2﹣x1﹣x2的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．8 D．﹣8 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积的值，再将所求代数式变形后代入计算即可． 【解答】解：由条件可知：，， ∴x1x2﹣x1﹣x2＝x1x2﹣（x1+x2）═﹣5﹣3＝﹣8． 故选：D． 【变式训练1】（2026•青秀区校级模拟）已知方程x2﹣3x﹣8＝0的两个实数根分别为x1，x2，则x1•x2＝（　　） A．﹣8 B．8 C．﹣3 D．3 【分析】根据根与系数的关系解答即可． 【解答】解：根据根与系数的关系可知： ． 故选：A． 【变式训练2】（2026春•南关区校级期中）一元二次方程x2﹣x＝0的两个实数根为x1和x2，则代数式x1+x2的值为（　　） A．1 B．2 C．0 D．﹣1 【分析】可通过因式分解法求出方程的两个根，再计算两根之和得到结果． 【解答】解：根据题意可得： x（x﹣1）＝0， 解得x＝0或x＝1， ∴方程的两个实数根为：x1＝0，x2＝1， ∴x1+x2＝0+1＝1． 故选：A． 题型二：利用根与系数的关系求参数 【典例精讲】（2026•襄州区模拟）设x1、x2是方程x2+mx+4＝0的两个根，且x1+x2﹣x1x2＝2，则m的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．6 D．﹣6 【分析】先利用关系得到两根和与两根积，代入已知等式求解m． 【解答】解：由条件可知：x1+x2＝﹣m，x1•x2＝4， ∵x1+x2﹣x1x2＝2， ∴﹣m﹣4＝2， ∴m＝﹣6． 故选：D． 【变式训练1】（2026•江阳区校级模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1＝0，若此方程的两实数根x1，x2满足11，则k的值是（　　） A．4 B．﹣1 C．4或﹣1 D．2 【分析】利用根的判别式得到k；再根据根与系数的关系得到x1+x2＝2k﹣1，x1x2＝k2+k﹣1，利用11得到（2k﹣1）2﹣2（k2+k﹣1）＝11，然后解关于k的方程即可得到满足条件的k的值． 【解答】解：Δ＝（2k﹣1）2﹣4（k2+k﹣1）≥0， 解得k； x1+x2＝2k﹣1，x1x2＝k2+k﹣1， ∵11， ∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝11 ∴（2k﹣1）2﹣2（k2+k﹣1）＝11， 整理得k2﹣3k﹣4＝0，解得k1＝4，k2＝﹣1 而k； ∴k的值为﹣1． 故选：B． 【变式训练2】（2026春•义乌市校级期中）关于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0的两实数根为x1，x2，若x1x2+x1+x2＝2，则m的值为（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．﹣3或3 D．﹣1或3 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和与积，代入条件方程求解m，再根据一元二次方程根的判别式，确定m的值即可． 【解答】解：方程 x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0 的二次项系数 a＝1，一次项系数 b＝﹣（2m﹣1），常数项 c＝m2， 由根与系数的关系：得，． ∵x1x2+x1+x2＝2， ∴m2+（2m﹣1）＝2， 即 m2+2m﹣3＝0， 解得 （m+3）（m﹣1）＝0， ∴m＝﹣3 或 m＝1． 由条件可知Δ＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4•1•m2＝（2m﹣1）2﹣4m2＝﹣4m+1≥0， 即． ∴m＝﹣3． 故选：A． 题型三：利用根与系数的关系求代数式的值 【典例精讲】（2026春•鼓楼区校级期中）设m，n是方程x2+x﹣2027＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为（　　） A．2029 B．2028 C．2026 D．2025 【分析】利用一元二次方程根的定义得到m2+m的值，再将所求代数式变形，结合一元二次方程两根之和的关系计算即可解答． 【解答】解：由条件可知m2+m﹣2027＝0，即m2+m＝2027， ∵m，n是方程x2+x﹣2027＝0的两个实数根， ∴， ∴m2+2m+n＝m2+m+m+n＝2027+（﹣1）＝2026． 故选：C． 【变式训练1】（2026春•钱塘区校级期中）若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．2 D．3 【分析】先利用一元二次方程根的定义对所求代数式变形，再结合根与系数的关系计算结果． 【解答】解：由条件可得：， ∴， ∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根， ∴x1+x2＝2， ∴． 故选：D． 【变式训练2】（2026•栾城区校级模拟）已知m，n是一元二次方程x2+x﹣2026＝0的两个实数根，则代数式m2+2m+n的值等于（　　） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系和一元二次方程解的定义得到m2+m＝2026，m+n＝﹣1，再把原式变形为（m2+m）+（m+n），由此代值计算即可． 【解答】解：由条件可知m2+m﹣2026＝0，m+n＝﹣1， ∴m2+m＝2026， ∴m2+2m+n＝（m2+m）+（m+n）＝2026+（﹣1）＝2025， 故选：B． 题型四：利用根与系数的关系求另一根 【典例精讲】（2026春•博白县期中）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0的两个实数根，其中x1＝1，则x2的值为（　　） A．﹣3 B．0 C．1 D．3 【分析】可利用根与系数的关系求x2的值． 【解答】解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝-2， ∵x1＝1， ∴x2＝﹣3． ∴x2的值为﹣3． 故选：A． 【变式训练1】（2026•云浮二模）设x1，x2是关于x的方程x2﹣3x+k＝0的两个根，且x1＝1，则x2＝ 　2　 ． 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为x1，x2是关于x的方程x2﹣3x+k＝0的两个根， 所以x1+x2＝3． 又因为x1＝1， 所以x2＝2． 故答案为：2． 【变式训练2】（2026•镇海区校级竞赛）已知关于x的方程2x2﹣mx﹣12＝0的一根为1，则该方程的另一根为　﹣6　 ． 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【解答】解：关于x的方程2x2﹣mx﹣12＝0的一根为1， ∴x1x2＝-6． ∴x2＝-6， ∴该方程的另一根为﹣6． 故答案为：﹣6． 题型五：根据根的情况求参数 【典例精讲】（2026春•瑶海区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2+（m﹣4）x﹣4m＝0． （1）求证：无论m取何值，方程总有实数根； （2）若方程有一个根不小于5，求m的取值范围． 【分析】（1）根据根的判别式求出Δ的值，再进行判断即可； （2）解方程得到x1＝﹣m，x2＝4，根据方程有一个根不小于5，得到不等式，解不等式即可得到结论． 【解答】（1）证明：由条件可知Δ＝（m﹣4）2﹣4×1×（﹣4m）＝m2+8m+16＝（m+4）2， ∵（m+4）2是非负数， ∴b2﹣4ac≥0． ∴无论m取何实数时，原方程总个实数根； （2）解：x2+（m﹣4）x﹣4m＝0， 解得x1＝﹣m，x2＝4， ∵原方程有一个根不小于5， ∴﹣m≥5， ∴m≤﹣5． 【变式训练1】（2026春•海淀区校级月考）已知关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣（a﹣2）x+1＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个根均为整数，求a的值． 【分析】（1）计算方程根的判别式，判断其符号即可； （2）求方程两根，结合条件则可求得a的取值范围． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣（a﹣2）x+1＝0． ∴Δ＝[﹣（a﹣2）]2﹣4×1×（a﹣3）＝（a﹣4）2≥0， ∴方程总有两个实数根； （2）原方程可变形为：[（a﹣3）x﹣1]（x﹣1）＝0， 解得x1＝1，． ∵方程的两个根均为整数， ∴是整数， 当a﹣3＝1，a＝4， 当a﹣3＝﹣1，a＝2， 若方程的两个根均为整数，则a的值为4或2． 【变式训练2】（2026春•上城区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m（m+2）＝0． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程的一个根是另一个根的3倍，求m的值． 【分析】（1）先计算根的判别式的值得到Δ＝4（m+1）2，然后利用非负数的性质得到Δ≥0，从而根据根的判别式的意义得到结论； （2）设方程的两根分别为t，3t，则根据根与系数的关系得t+3t＝2，t•3t＝﹣m（m+2），先求出t得到﹣m（m+2），然后利用配方法解关于m的一元二次方程即可． 【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣2）2﹣4[﹣m（m+2）] ＝4（m+1）2≥0， ∴该方程总有两个实数根； （2）设方程的两根分别为t，3t， 根据根与系数的关系得t+3t＝2，t•3t＝﹣m（m+2）， 解得t， ∴﹣m（m+2）， ∴m2+2m， ∴（m+1）2， ∴m+1＝±， 解得m1，m2， 即m的值为或． 1．（2026•拉萨模拟）若关于x的一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的两根之和是（　　） A．﹣1 B．0 C．4 D．5 【分析】根据根与系数的关系进行解答即可． 【解答】解：设x2﹣5x﹣1＝0的两根为x1、x2，根据根与系数的关系可得： ∴x1+x2＝5． 故选：D． 2．（2026•孝感模拟）若一元二次方程x2+3x﹣4＝0的两根是x1、x2，则x1•x2＝（　　） A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣4 【分析】直接根据根与系数的关系求解即可． 【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x+1＝0的两根是x1，x2， ∴x1•x2＝﹣4． 故选：D． 3．（2026•青秀区校级二模）若x1，x2是方程x2﹣4x﹣5＝0的两个根，则（　　） A．x1x2＝5 B．x1+x2＝﹣5 C．x1+x2＝4 D．x1x2＝﹣4 【分析】直接利用根与系数的关系进行判断． 【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝4，x1x2＝﹣5． 故选：C． 4．（2026•合肥三模）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个实数根x1，x2，且满足x1+x2＝3x1x2，则k的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】利用一元二次方程根和系数的关系解答即可求解． 【解答】解：由题意可知：x1+x2＝4，x1x2＝k， ∵x1+x2＝3x1x2， ∴4＝3k， 解得：， 故选：D． 5．（2026•东营区校级模拟）若α，β是方程x2+2x﹣2025＝0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（　　） A．2022 B．﹣2023 C．2023 D．2027 【分析】先根据一元二次方程解的定义得到α2+2α＝2025，则α2+3α+β可化为2025+α+β，接着利用根与系数的关系得到α+β＝﹣2，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：∵α是方程x2+2x﹣2025＝0的实数根， ∴α2+2α﹣2025＝0， ∴α2+2α＝2025， ∴α2+3α+β＝α2+2α+α+β＝2025+α+β， ∵α，β是方程x2+2x﹣2025＝0的两个实数根， ∴α+β＝﹣2， ∴α2+3α+β＝2025﹣2＝2023． 故选：C． 6．（2026•定州市模拟）若x1，x2是方程x2+3x﹣2＝0的两个实数根，则的值为（　　） A．﹣9 B．﹣3 C．6 D．﹣6 【分析】先利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再代入因式分解后的表达式计算即可． 【解答】解：由条件可知：x1x2＝﹣2，x1+x2＝﹣3， ∴． 故选：C． 7．（2026•江南区校级模拟）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两个根，则的值是（　　） A．1 B． C．﹣1 D． 【分析】利用根与系数的关系得到x1+x2＝1，x1x2＝﹣2，然后利用整体代入的方法计算即可． 【解答】解：根据题意得x1+x2＝1，x1x2＝﹣2， 则． 故选：D． 8．（2026•迁安市二模）若实数m，n满足m2+m﹣3＝0，n2+n﹣3＝0，且m≠n，则m+n﹣mn的值为（　　） A． B． C．﹣2 D．2 【分析】把m，n看作一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个不相等的实数根，根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可． 【解答】解：实数m，n满足m2+m﹣3＝0，n2+n﹣3＝0，且m≠n， ∴可以把m，n看作一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴原式＝﹣1﹣（﹣3）＝2． 故选：D． 9．（2026•高碑店市模拟）已知一个三角形的三条边的长度均为整数，其中一条边长为5，另外两条边长是关于x的一元二次方程x2+kx+48＝0的两个根，则k的值为（　　） A．﹣14 B．﹣19 C．14 D．﹣48 【分析】设另外两条边长为正整数m，n，根据方程因式分解对比系数得到mn＝48和k与m，n的关系，再利用三角形三边关系筛选出符合条件的m，n，即可求出k． 【解答】解：设另外两条边长分别为m，n，m＜n均为正整数， 由条件可知mn＝48，k＝﹣（m+n）， 根据三角形三边关系，得|m﹣n|＜5＜m+n， 列出乘积为48的所有正整数对：（1，48），（2，24），（3，16），（4，12），（6，8）， 逐一验证可知，前四组两数差得绝对值均大于5，不符合三边关系； 仅m＝6，n＝8满足|6﹣8|＝2＜5，6+8＝14＞5，符合条件， ∴m+n＝14，得k＝﹣14． 故选：A． 10．（2026•任城区校级三模）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0有两个实数根x1、x2，且9，则m的值为　0　 ． 【分析】先根据一元二次方程有两个实数根得到根的判别式的取值范围，再利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将变形后代入建立关于m的方程，求解后根据根的判别式的要求舍去不合理解，得到m的值． 【解答】解：由条件可知根的判别式Δ≥0， Δ＝（2m+3）2﹣4×1•m2＝12m+9≥0， 解得， 由根与系数的关系可得： x1+x2＝﹣（2m+3），， ∵， ∴， 代入得：[﹣（2m+3）]2﹣2m2＝9， 整理得：2m2+12m＝0， 因式分解得：m（m+6）＝0， 解得m1＝0，m2＝﹣6， ∵， ∴m＝﹣6舍去， 故m＝0． 故答案为：0． 11．（2026春•高新区校级期末）已知不相等的实数a，b满足a2+4a＝12，b2+4b＝12，则代数式的值等于　　 ． 【分析】根据a，b满足a2+4a＝12，b2+4b＝12得出a，b是一元二次方程x2+4x﹣12＝0的两个不相等的实数根，根据一元二次方程根与系数的关系对称a+b＝﹣4，ab＝﹣12，把变形为，把a+b＝﹣4，ab＝﹣12代入即可得出答案． 【解答】解：由条件可知a，b是一元二次方程x2+4x﹣12＝0的两个不相等的实数根， ∴a+b＝﹣4，ab＝﹣12， ∴ ． 故答案为：． 12．（2026•汇川区模拟）若m，n是方程x2+x﹣5＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为 　4　 ． 【分析】根据方程的解满足方程及根与系数的关系直接求解即可得到答案． 【解答】解：由题意得，m2+m﹣5＝0，， ∴m2+2m+n＝5+（﹣1）＝4， 故答案为：4． 13．（2026•荔湾区校级三模）若α、β是方程x2+3x﹣28＝0的两个实数根，则α2+4α+β的值为　25　 ． 【分析】利用方程解的定义和根与系数的关系得到对应关系式，再整体代入所求代数式求解即可． 【解答】解：由条件可知α2+3α﹣28＝0，， ∴α2+3α＝28， ∴α2+4α+β＝（α2+3α）+（α+β）＝28﹣3＝25． 故答案为：25． 14．（2026春•乐清市校级期中）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣3x+m＝0的两个根，若，则m的值为　﹣1　 ． 【分析】先根据一元二次方程根的定义、根与系数的关系可得，x1+x2＝3，然后代入计算即可． 【解答】解：由条件可知，x1+x2＝3， ∴， ∵， ∴2（3x1﹣m）﹣5x1＝5﹣x2， 6x1﹣2m﹣5x1＝5﹣x2， x1+x2＝5+2m， ∴5+2m＝3， 解得：m＝﹣1， ∴m的值为﹣1． 故答案为：﹣1． 15．（2026•金华模拟）已知一元二次方程x2+kx﹣6＝0有一个根是2，则另一个根是 　﹣3　 ． 【分析】设方程的另一个根为t，则利用根与系数的关系得2t＝﹣6，然后解方程求出t即可． 【解答】解：设方程的另一个根为t， 根据根与系数的关系得2t＝﹣6， 解得t＝﹣3， 即方程的另一个根为﹣3． 故答案为：﹣3． 16．（2026春•南湖区校级期末）关于x的方程a（x+m）2+b＝0的根是x1＝5，x2＝﹣6（a，b，m均为常数且a≠0），则关于x的方程ax2+2a（2﹣m）x+a（m﹣2）2+b＝0的所有实根之和是　﹣3　 ． 【分析】先对所求方程进行整理配方，通过换元法得到所求方程的根与已知方程根的关系，求出所求方程的两个实根即可解答． 【解答】解：原方程整理可得： a[x2﹣2（m﹣2）x+（m﹣2）2]+b＝0， 配方得：a（x﹣m+2）2+b＝0， 变形得：a（（﹣x﹣2）+m）2+b＝0， 令y＝﹣x﹣2，则原方程变为a（y+m）2+b＝0， 已知方程a（x+m）2+b＝0的根为x1＝5，x2＝﹣6， 因此y1＝5，y2＝﹣6， 即﹣x﹣2＝5或﹣x﹣2＝﹣6， 解得x1＝﹣7，x2＝4， 所有实根之和为﹣7+4＝﹣3． 故答案为：﹣3． 17．（2026•沭阳县校级模拟）已知实数m，n（m≠n）满足2m2﹣3m﹣1＝0，2n2﹣3n﹣1＝0，则的值为 　　 ． 【分析】根据已知判断出m，n是方程2x2﹣3x﹣1＝0的两实数根，然后利用根与系数关系即可求解． 【解答】解：由条件可得m，n是方程2x2﹣3x﹣1＝0的两实数根， ∴，， ∴， 故答案为：． 18．（2025秋•洪湖市期末）已知关于x的一元二次方程x2+（m+1）x+m＝0． （1）求证：此方程有两个实数根； （2）若方程的两根均小于0，求m的取值范围． 【分析】（1）根据判别式求解即可； （2）利用根与系数的关系得到x1+x2＝﹣（m+1），x1x2＝m，据此可得不等式组，解不等式组即可得到答案． 【解答】（1）证明：Δ＝（m+1）2﹣4m＝m2+2m+1﹣4m＝m2﹣2m+1＝（m﹣1）2≥0， ∴此方程有两个实数根； （2）解：由条件可知x1+x2＝﹣（m+1），x1x2＝m， ∵方程的两根均小于0， ∴， ∴m＞0． 19．（2026春•宣城期中）已知关于x的一元二次方程x2+（2﹣m）x+1﹣m＝0． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值． 【分析】（1）根据根的判别式的范围即可证明结论； （2）解一元二次方程得到x1＝m﹣1，x2＝﹣1，根据m＞0和该方程的两个实数根的差为2，得到（m﹣1）﹣（﹣1）＝2，即可求出m的值． 【解答】（1）证明：∵Δ＝（2﹣m）2﹣4×1×（1﹣m）＝m2≥0， ∴该方程总有两个实数根： （2）解：由条件可知[x+（1﹣m）]（x+1）＝0， ∴x+（1﹣m）＝0或x+1＝0， ∴x1＝m﹣1，x2＝﹣1， ∵m＞0， ∴x1＝m﹣1＞﹣1， ∴（m﹣1）﹣（﹣1）＝2， 解得m＝2． 20．（2026春•肥西县校级期中）已知关于x的一元二次方程2x2+3x﹣m+2＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）设p是方程的一个实数根，且满足（2p2+3p﹣1）（m﹣2）＝6，求m的值． 【分析】（1）由一元二次方程根的判别式计算即可得出结果； （2）将x＝p代入方程得2p2+3p﹣m+2＝0，整理得出2p2+3p＝m﹣2，再代入（2p2+3p﹣1）（m﹣2）＝6，计算即可得出结果． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程2x2+3x﹣m+2＝0有两个实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝32﹣4×2×（﹣m+2）≥0， 解得：； （2）∵p是方程的一个实数根， ∴2p2+3p﹣m+2＝0， 变形得2p2+3p＝m﹣2， ∵（2p2+3p﹣1）（m﹣2）＝6， ∴（m﹣2﹣1）（m﹣2）＝6， 解得m1＝0，m2＝5， ∵， ∴m＝5． 21．（2026•南充）关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k﹣2＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）已知方程的两个实数根分别为x1，x2，且x1＝2x2，求k的值． 【分析】（1）计算方程的根的判别式，判断判别式的符号即可证明结论； （2）根据根与系数的关系得到两根和与两根积，结合x1＝2x2的条件，得到关于k的一元二次方程，求解即可得到k的值． 【解答】（1）证明：∵原方程为x2﹣（2k+1）x+k2+k﹣2＝0， ∴Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k2+k﹣2） ＝4k2+4k+1﹣4k2﹣4k+8 ＝9＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． （2）解：由条件可知x1+x2＝2k+1，， ∵x1＝2x2， ∴2x2+x2＝2k+1， ∴， ∴， 代入得：， 整理得k2+k﹣20＝0， 解得k＝4或k＝﹣5 22．（2026春•金安区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0． （1）若方程有两个相等的实数根，求实数k的值； （2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1+x2＝﹣x1•x2，求k的值． 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式进行计算即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系进行计算即可． 【解答】解：（1）由题知， 因为关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个相等的实数根， 所以Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+1）＝0， 解得k； （2）因为方程的两个实数根x1，x2， 所以． 因为x1+x2＝﹣x1•x2， 所以﹣2k﹣1＝﹣（k2+1）， 解得k＝0或2． 因为Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+1）≥0， 解得k， 所以k＝0舍去， 所以k的值为2． 23．（2026春•义乌市校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0． （1）判断方程根的情况； （2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两根，第三边BC的长为5，当k为何值时，△ABC是直角三角形，并求出△ABC的面积． 【分析】（1）求出判别式与0的关系即可判断； （2）利用因式分解法求出方程的两根，x1＝k+1，x2＝k+2，不妨设AB＝k+1，AC＝k+2，再分两种情况，利用勾股定理求出k的值即可解答． 【解答】解：（1）∵Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2k+3）]2﹣4（k2+3k+2）＝1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． （2）∵x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝（x﹣k﹣1）（x﹣k﹣2）＝0， ∴x1＝k+1，x2＝k+2． 不妨设AB＝k+1，AC＝k+2， ①当BC＝5为斜边时，有（k+1）2+（k+2）2＝25， 解得：k1＝2，k2＝﹣5（舍去）．此时AB＝3，AC＝4， 则直角三角形的面积为：； ②当AC＝k+2为斜边时，有（k+1）2+52＝（k+2）2， 解得：k＝11，此时AB＝12，AC＝13， 则直角三角形的面积为：． 24．（2026春•拱墅区校级期中）已知p，q分别为满足条件的最大整数，关于x的方程x2+4x﹣2p＝0没有实数根，而方程x2+5x+2q＝0有两个不相等的实数根． （1）求p，q的值； （2）试判断关于x的方程x2+px+q＝0的根的情况； （3）若4x2+4a（n+1）x+（5p﹣3）n为完全平方式，求常数n的值． 【分析】（1）分别根据两个方程的根的情况列不等式，得到p＜﹣2，，再取各自范围内的最大整数即可； （2）代入p＝﹣3，q＝3计算根的判别式，根据根的判别式的符号判断根的情况； （3）根据完全平方式对应一元二次方程判别式为0，代入p＝﹣3，q＝3整理求解n即可． 【解答】解：（1）由条件可知：Δ＝42﹣4×1×（﹣2p）＝16+8p＜0， 解得p＜﹣2， ∵p是满足条件的最大整数， ∴p＝﹣3， ∵方程x2+5x+2q＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝52﹣4×1×2q＝25﹣8q＞0， 解得， ∵q是满足条件的最大整数， ∴q＝3； （2）由条件可得方程为x2﹣3x+3＝0， 其根的判别式Δ＝（﹣3）2﹣4×1×3＝9﹣12＝﹣3＜0， ∴方程x2+px+q＝0没有实数根； （3）由条件可得4x2+4q（n+1）x+（5p﹣3）n＝4x2+12（n+1）x﹣18n， ∵4x2+4q（n+1）x+（5p﹣3）n＝4x2+12（n+1）x﹣18n为完全平方式， ∴方程4x2+12（n+1）x﹣18n＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝[12（n+1）]2﹣4×4×（﹣18n）＝0， 整理得n2+4n+1＝0， 计算该方程根的判别式得Δ＝42﹣4×1×1＝12＞0， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8讲 一元二次方程的根与系数的关系 知识点一：根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是，那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 要点：前提是方程有实数根（Δ≥0）且 a≠ 0。，，注意分母a与符号. 知识点二：根与系数的关系的应用 （1）不解方程，求关于方程两根的代数式的值； （2）已知方程一根，求方程的另一根及方程中字母的值； （3）已知方程两根的关系，求方程中字母的值； （4）与根的判别式相结合，解决一些综合题. 常常涉及代数式的一些重要变形；如：①；②；③； ④；⑤； ⑥；⑦； ⑧；⑨； ⑩． （5）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程的两根为、，则 ①当△≥0且时，两根同号． 当△≥0且，时，两根同为正数； 当△≥0且，时，两根同为负数． ②当△＞0且时，两根异号． 当△＞0且，时，两根异号且正根的绝对值较大； 当△＞0且，时，两根异号且负根的绝对值较大． 题型一：利用根与系数的关系直接求值 【典例精讲】（2026•十堰二模）已知一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0有两个实数根为x1，x2，则x1x2﹣x1﹣x2的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．8 D．﹣8 【变式训练1】（2026•青秀区校级模拟）已知方程x2﹣3x﹣8＝0的两个实数根分别为x1，x2，则x1•x2＝（　　） A．﹣8 B．8 C．﹣3 D．3 【变式训练2】（2026春•南关区校级期中）一元二次方程x2﹣x＝0的两个实数根为x1和x2，则代数式x1+x2的值为（　　） A．1 B．2 C．0 D．﹣1 题型二：利用根与系数的关系求参数 【典例精讲】（2026•襄州区模拟）设x1、x2是方程x2+mx+4＝0的两个根，且x1+x2﹣x1x2＝2，则m的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．6 D．﹣6 【变式训练1】（2026•江阳区校级模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1＝0，若此方程的两实数根x1，x2满足11，则k的值是（　　） A．4 B．﹣1 C．4或﹣1 D．2 【变式训练2】（2026春•义乌市校级期中）关于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0的两实数根为x1，x2，若x1x2+x1+x2＝2，则m的值为（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．﹣3或3 D．﹣1或3 题型三：利用根与系数的关系求代数式的值 【典例精讲】（2026春•鼓楼区校级期中）设m，n是方程x2+x﹣2027＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为（　　） A．2029 B．2028 C．2026 D．2025 【变式训练1】（2026春•钱塘区校级期中）若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．2 D．3 【变式训练2】（2026•栾城区校级模拟）已知m，n是一元二次方程x2+x﹣2026＝0的两个实数根，则代数式m2+2m+n的值等于（　　） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 题型四：利用根与系数的关系求另一根 【典例精讲】（2026春•博白县期中）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0的两个实数根，其中x1＝1，则x2的值为（　　） A．﹣3 B．0 C．1 D．3 【变式训练1】（2026•云浮二模）设x1，x2是关于x的方程x2﹣3x+k＝0的两个根，且x1＝1，则x2＝ 　 　 ． 【变式训练2】（2026•镇海区校级竞赛）已知关于x的方程2x2﹣mx﹣12＝0的一根为1，则该方程的另一根为　 　 ． 题型五：根据根的情况求参数 【典例精讲】（2026春•瑶海区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2+（m﹣4）x﹣4m＝0． （1）求证：无论m取何值，方程总有实数根； （2）若方程有一个根不小于5，求m的取值范围． 【变式训练1】（2026春•海淀区校级月考）已知关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣（a﹣2）x+1＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个根均为整数，求a的值． 【变式训练2】（2026春•上城区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m（m+2）＝0． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程的一个根是另一个根的3倍，求m的值． 1．（2026•拉萨模拟）若关于x的一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的两根之和是（　　） A．﹣1 B．0 C．4 D．5 2．（2026•孝感模拟）若一元二次方程x2+3x﹣4＝0的两根是x1、x2，则x1•x2＝（　　） A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣4 3．（2026•青秀区校级二模）若x1，x2是方程x2﹣4x﹣5＝0的两个根，则（　　） A．x1x2＝5 B．x1+x2＝﹣5 C．x1+x2＝4 D．x1x2＝﹣4 4．（2026•合肥三模）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个实数根x1，x2，且满足x1+x2＝3x1x2，则k的值为（　　） A． B． C． D． 5．（2026•东营区校级模拟）若α，β是方程x2+2x﹣2025＝0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（　　） A．2022 B．﹣2023 C．2023 D．2027 6．（2026•定州市模拟）若x1，x2是方程x2+3x﹣2＝0的两个实数根，则的值为（　　） A．﹣9 B．﹣3 C．6 D．﹣6 7．（2026•江南区校级模拟）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两个根，则的值是（　　） A．1 B． C．﹣1 D． 8．（2026•迁安市二模）若实数m，n满足m2+m﹣3＝0，n2+n﹣3＝0，且m≠n，则m+n﹣mn的值为（　　） A． B． C．﹣2 D．2 9．（2026•高碑店市模拟）已知一个三角形的三条边的长度均为整数，其中一条边长为5，另外两条边长是关于x的一元二次方程x2+kx+48＝0的两个根，则k的值为（　　） A．﹣14 B．﹣19 C．14 D．﹣48 10．（2026•任城区校级三模）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0有两个实数根x1、x2，且9，则m的值为　 　 ． 11．（2026春•高新区校级期末）已知不相等的实数a，b满足a2+4a＝12，b2+4b＝12，则代数式的值等于　 　 ． 12．（2026•汇川区模拟）若m，n是方程x2+x﹣5＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为 　 　 ． 13．（2026•荔湾区校级三模）若α、β是方程x2+3x﹣28＝0的两个实数根，则α2+4α+β的值为　　 　 ． 14．（2026春•乐清市校级期中）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣3x+m＝0的两个根，若，则m的值为　 　 ． 15．（2026•金华模拟）已知一元二次方程x2+kx﹣6＝0有一个根是2，则另一个根是 　　 　 ． 16．（2026春•南湖区校级期末）关于x的方程a（x+m）2+b＝0的根是x1＝5，x2＝﹣6（a，b，m均为常数且a≠0），则关于x的方程ax2+2a（2﹣m）x+a（m﹣2）2+b＝0的所有实根之和是　　 　 ． 17．（2026•沭阳县校级模拟）已知实数m，n（m≠n）满足2m2﹣3m﹣1＝0，2n2﹣3n﹣1＝0，则的值为 　 　 ． 18．（2025秋•洪湖市期末）已知关于x的一元二次方程x2+（m+1）x+m＝0． （1）求证：此方程有两个实数根； （2）若方程的两根均小于0，求m的取值范围． 19．（2026春•宣城期中）已知关于x的一元二次方程x2+（2﹣m）x+1﹣m＝0． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值． 20．（2026春•肥西县校级期中）已知关于x的一元二次方程2x2+3x﹣m+2＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）设p是方程的一个实数根，且满足（2p2+3p﹣1）（m﹣2）＝6，求m的值． 21．（2026•南充）关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k﹣2＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）已知方程的两个实数根分别为x1，x2，且x1＝2x2，求k的值． 22．（2026春•金安区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0． （1）若方程有两个相等的实数根，求实数k的值； （2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1+x2＝﹣x1•x2，求k的值． 23．（2026春•义乌市校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0． （1）判断方程根的情况； （2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两根，第三边BC的长为5，当k为何值时，△ABC是直角三角形，并求出△ABC的面积． 24．（2026春•拱墅区校级期中）已知p，q分别为满足条件的最大整数，关于x的方程x2+4x﹣2p＝0没有实数根，而方程x2+5x+2q＝0有两个不相等的实数根． （1）求p，q的值； （2）试判断关于x的方程x2+px+q＝0的根的情况； （3）若4x2+4a（n+1）x+（5p﹣3）n为完全平方式，求常数n的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $