湖南省长沙市雨花区2025-2026学年高二下学期期末考试数学自编试卷（人教A版）

**基本信息** 以文化传承与现实应用为情境，如折扇文化、渔船航行问题，融合复数、立体几何等核心知识，通过分层抽样、频率分布直方图考查数据意识，体现数学眼光与思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数虚部、立体几何直观图、分层抽样|基础巩固，如直观图面积计算考查空间观念| |多选|3/18|复数性质、三角函数零点|部分选对得分，考查推理严谨性| |填空|3/15|向量垂直、概率、正方体线线角|如正方体轨迹问题，提升空间想象| |解答|5/77|解三角形、统计直方图、立体几何三问|梯度设计，如立体几何证平行、求角、二面角，综合考查逻辑推理与运算能力|

湖南省雨花区2025-2026学年高二下学期期末考试自编试卷 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．复数的虚部为（    ） A．1 B．2 C． D． 2．如图，平行四边形是水平放置的四边形的直观图，，，则四边形的面积（　　）. A． B． C． D． 3．某高中高一、高二、高三年级学生人数分别为550，550，500，为了解各年级学生每天体育活动的时间，通过分层随机抽样的方法抽取容量为64的样本，其中高二学生比高三学生多（   ） A．2人 B．4人 C．6人 D．8人 4．已知，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东30°，距离为6海里，灯塔在的北偏东60°，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西30°方向，则此时灯塔位于渔船的（   ） A．北偏东60°方向 B．北偏西30°方向 C．北偏西60°方向 D．北偏东30°方向 6．已知关于x的实系数方程的两虚根a，b满足，则p的值是（   ） A． B． C． D．1 7．中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，“数折聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句．如图，假设这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形OAB，再在该扇形内剪下一个同心小扇形OCD（作为扇骨留白），形成扇环形状的扇面ABCD.当扇子扇形的圆心角为时，扇面看上去形状较为美观．已知，弧CD的长为，则此扇面的面积为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数，若恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分） 9．下列有关复数的叙述正确的是（    ） A．若，则 B．若，则的虚部为 C．若，则 D．若，则 10．已知函数的部分图象如图所示，是的两个零点，若，则下列为定值的量是（   ） A． B． C． D． 11．如图所示，已知点A为圆台下底面圆周上一点，S为上底面圆周上一点，且，则（    ） A．该圆台的体积为 B．直线SA与直线所成角最大值为 C．该圆台有内切球，且半径为 D．直线与平面所成角正切值的最大值为 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．已知向量，，若与垂直，则实数的值为______． 13．从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中不放回地随机抽取3张，则抽到的3张卡片上的数字之和不小于10的概率为______． 14．在棱长为的正方体中，点E是棱的中点，则直线与所成角的余弦值为______；点P是正方体表面上的一动点，且满足，则动点P的轨迹长度是______． 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求角B的大小； (2)若的面积为且，求的周长． 16．某商场为了制定合理的停车收费政策，需要了解顾客的停车时长（单位：分钟）．现随机抽取了该商场到访顾客的100辆车进行调查，将数据分成6组：，，并整理得到如图所示的频率分布直方图： (1)求样本中停车时长在区间上的频率； (2)若某天该商场到访顾客的车辆数为820，根据频率分布直方图估计该天停车时长在区间上的车辆数； (3)为了吸引顾客，该商场准备给停车时长较短的车辆提供免费停车服务．若使该服务能够惠及33%的到访顾客的车辆，请你根据频率分布直方图，给出确定免费停车时长标准的建议． 17．如图，在四棱锥中，平面，底面为梯形，，平面平面，且，. (1)若平面与平面相交于直线，求证：； (2)求与所成的角； (3)求二面角的余弦值． 18．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，P是内一点，且，，，E，F，G为垂足，记，，． (1)若，，，，AP的延长线交BC于点D，求AD； (2)若，，，求及PB； (3)证明：，当且仅当且时，等号成立． 19．函数在一个周期内的图象如图所示． (1)求函数解析式； (2)求的单调递增区间； (3)当时，求的最大值和最小值． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省雨花区2025-2026学年高二下学期期末考试自编试卷 数学试题（解析版） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B A B D C C A ACD ACD 题号 11 答案 ACD 1．A 【分析】根据复数除法求得复数，进而可得结果. 【详解】由题意可得：， 所以复数的虚部为1. 故选：A. 2．B 【详解】在四边形中，，， 根据是平行四边形可得，四边形是矩形，且， 所以四边形的面积. 3．A 【详解】三个年级的总人数. 根据分层随机抽样的定义，抽样比， 则高二年级抽取人数为； 高三年级抽取人数为. 因此高二抽取的学生比高三多的人数为人. 4．B 【详解】向量在向量上的投影向量为 5．D 【分析】由正弦定理可得，由余弦定理得，由正弦定理得，即可求. 【详解】如图， 由题意，在中，，，， 则为正三角形，则， 在中，因为，， 由余弦定理得， 所以，故， 此时灯塔C位于渔船的北偏东方向. 故选：D. 6．C 【分析】根据复数的性质和判别式求解即可. 【详解】因为关于x的实系数方程的两虚根为a，b， 所以，即. 因为，， 所以，而， 所以，两边平方得，解得. 故选：C. 7．C 【分析】先通过弧长公式求出小扇形半径，再结合的长度得到大扇形半径，最后利用扇形面积公式计算两个扇形的面积差，得到扇面面积. 【详解】设，因为圆心角，弧CD的长为， 代入弧长公式可得，解得．所以． 由扇形面积公式可得，， ， 所以此扇面的面积． 故选：C. 8．A 【分析】分析可知函数在上为减函数，且，故可将所求不等式变形为，于是得出对任意的恒成立，分、两种情况讨论，结合二次不等式恒成立求解即可. 【详解】由题意知，对任意的，，故函数的定义域为， 因为， 因为函数为增函数，在上为减函数， 故函数在上为减函数， 又因为函数在上为减函数，故函数在上为减函数， 因为， 所以， 由可得， 所以，故，即对任意的恒成立， 若，可得，此时恒成立，满足要求； 若，则需，解得， 综上所述，的取值范围是. 故选：A. 9．ACD 【分析】根据复数的运算､复数的概念､复数模的计算及几何意义判断各选项. 【详解】对于A，，则，故A正确； 对于B，，则的虚部为，故B不正确； 对于C，设，由得，所以，故C正确； 对于D，若，则复数对应的点在以为圆心，1为半径的圆上，这个圆上的点到原点的距离最小值为0，最大值为2，所以，D正确. 故选：ACD. 10．ACD 【分析】根据给定的函数图象，结合五点法作图及函数零点求得，再结合已知逐项分析判断. 【详解】函数的最小正周期为， 由图象得，令，得， 解得，即，又， 则，，由，得，解得， ，， 所以均为定值，而的值不确定，则不确定. 故选：ACD 11．ACD 【分析】对于A，根据圆台的体积公式，可得答案； 对于B，根据异面直线夹角的定义，作图，利用三角函数的定义，可得答案； 对于C，研究圆台的轴截面，结合等腰体形存在内切圆的判定，可得答案， 对于D，根据线面角的定义，作图，利用线面垂直判定定理，结合函数的单调性，可得答案. 【详解】对于A选项，，则A选项正确. 对于B选项，如图（1）， 过作垂直于下底面于点，则， 所以直线与直线所成角即为直线与直线所成角， 即为所求，而， 由圆的性质得，， 所以，因为， 则B选项错误. 对于C选项，设上底面半径为，下底面半径为， 若圆台存在内切球，则必有轴截面的等腰梯形存在内切圆，如图（2）所示， 梯形的上底和下底分别为2，4，高为，易得等腰梯形的腰为， 假设等腰梯形有内切圆，由内切圆的性质以及切线长定理，可得腰长为， 所以圆台存在内切球，且内切球的半径为，则C选项正确； 对于D选项，如图（3）， 平面即平面，过点做交于点，因为垂直于下底面， 而含于下底面，所以，又，且平面，所以平面， 所以直线与平面所成角即为，且. 设，则， 所以， 其中，所以，当时，， 当时，. 根据复合函数的单调性，可知函数，在上单调递增， 所以当时，有最大值，最大值为，所以D选项正确. 故选：ACD. 12． 【分析】由向量垂直的坐标表示，列出等式求解即可. 【详解】，， 由题意， 可得：， 得， 故答案为： 13．/0.4 【分析】列举基本事件，利用古典概型概率公式求解. 【详解】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中不放回地随机抽取3张， 样本空间共10个基本事件，即 用表示“抽到的3张卡片上的数字之和不小于10”，则共4个基本事件，即 所以抽到的3张卡片上的数字之和不小于10的概率． 故答案为：. 14． / 【分析】①以为直线与AC所成的角或其补角，利用余弦定理求解；②分别取，AB，AD的中点F，G，M，N，H，则点的轨迹是六边形. 【详解】①连接，易得， 所以为直线与AC所成的角或其补角．又， 由余弦定理得， 即直线与AC所成角的余弦值为． ②分别取，AB，AD的中点F，G，M，N，H， 连接EF，FG，GM，MN，NH，HE，， 因为且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为F，M，N分别是，AB的中点，所以， 所以，同理可得， 所以E，F，G，M，N，H六点共面，且六边形EFGMNH为边长为的正六边形， 因为平面，平面，所以BD，又， 平面，所以平面， 又平面，所以，因为N，H分别为AB，AD的中点，所以， ，同理可得，又，平面， 所以平面，因为，所以点的轨迹是六边形， 所以点P的轨迹长度为． 15．(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理及和角的正弦公式，诱导公式将变形化简，再结合角的范围即可求出角B； （2）由三角形的面积公式求出，再由余弦定理求出，即可求出的周长. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得． 即， 因为，所以． 所以． 因为，，所以， 因为，所以． （2）因为，所以， 由余弦定理得， 由，可得， 所以，所以的周长为． 16．(1)0.03 (2)410 (3)免费停车时长为不超过162.5分钟 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有频率和为1，列式计算求参，再得出频率即可； （2）根据已知得出频率继而得出车辆数即可； （3）应用频率分布直方图列方程计算频率即可求解. 【详解】（1）根据频率分布直方图中所有频率和为1， 设的频率为，可列等式为 ． 所以， 所以样本中停车时长在区间上的频率为0.03． （2）根据频率分布直方图可知在区间上的频率为 ， 所以估计该天停车时长在区间上的车辆数为：． （3）设免费停车时间长不超过分钟，又因为的频率为，并且的频率为，所以位于之间． 则满足， 所以，确定免费停车时长为不超过162.5分钟． 17．(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）证明出平面，再利用线面平行的性质可证得结论成立； （2）证明出，可得出的形状，由异面直线所成角的定义可知与所成的角为或其补角，即可得解； （3）取的中点，连接，过作于，连接，根据线面垂直的判定和性质定理及二面角的定义有是二面角的平面角，进而求其余弦值. 【详解】（1）因为，平面，平面，所以平面， 因为平面，平面平面，故. （2）过点在平面内作，垂足为点，如图所示： 因为平面平面，平面平面，平面， ，故平面， 因为平面，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，故与所成的角为或其补角， 又因为，则为等腰直角三角形，则， 即与所成的角为. （3）取的中点，连接， 因为，，，故， 所以，四边形为平行四边形，所以，， 由平面，平面，则， 而，平面，于是平面， 又平面，则，过作于，连接， 显然，、平面，因此平面， 而平面，则，即是二面角的平面角， 由，，得， 则，，， 所以二面角的余弦值是. 18．(1) (2)， (3)证明见解析 【分析】（1）由，得为角的角平分线，由即可求解； （2）由，利用正弦定理得，利用三角恒等变换得，利用二倍角的余弦公式得，进而得，在中，利用余弦定理解得，进而求得； （3）先证，即，同理，，最后利用基本不等式即可得证. 【详解】（1）因为，所以为角的角平分线， 因为，所以， 因为， 所以， 解得； （2）因为，， 所以，， 因为，所以， 可得， 即， 即，因为， 所以， 可得，所以， 在中，， 所以； （3）因为 ， 所以， 当且仅当时，等号成立，- 同理，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立， 所以， 因为 ， 当且仅当时，等号成立， 所以， 当且仅当且时，等号成立．- 19．(1)； (2)，； (3)最大值为，最小值为． 【分析】（1）由“五点法”，结合图象分别求出即可求解； （2）利用整体代换法计算即可求解； （3）结合正弦函数的图象与性质计算即可求解. 【详解】（1）由图象知，，，即． 由图象过点，代入函数， 即，因为，则， 所以； （2）令，， 解得， 故函数的单调递增区间为，； （3）因为，所以， 当时，即时，取最大值，最大值为， 当时，即时，取最小值，最小值为， 所以的最大值为，最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $