湖南省湘潭市2025-2026学年高二下学期期末考试数学自编试卷（人教版）

**基本信息** 湖南省湘潭市高二下学期期末数学试卷，以五一假期旅游数据、太阳灶光学性质等真实情境为载体，通过分层设问考查集合、导数、立体几何等知识，融合数据意识、逻辑推理与创新思维，实现基础巩固与能力提升的统一。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合运算、充分必要条件、导数几何意义、向量共线、立体几何外接球|第8题促销概率结合二项分布，第10题抛物线光学性质体现科技应用| |填空题|3题15分|复数运算、切线方程、函数最值|第13题切线问题融合导数与最值求解，考查数学思维| |解答题|5题77分|独立性检验与分布列、解三角形、立体几何证明与夹角、导数凹凸性证明、数列|第15题五一旅游数据分析培养数据意识，18题导数证明考查逻辑推理，体现真题命题趋势|

湖南省湘潭市2025-2026学年高二下学期期末考试自编试卷 数学试题（解析版） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B D C D A C B BD ABD 题号 11 答案 ACD 1．A 【解析】本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查. 【详解】，则 故选：A 【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误. 2．B 【详解】，所以答案选择B 【考点定位】考查充分条件和必要条件，属于简单题. 3．D 【分析】先根据导数的求导法则求出导函数，再根据导数的几何意义可得. 【详解】由，得曲线在处的切线斜率为，得. 故选：D 4．C 【分析】根据平面向量基本定理和向量共线的条件列式求解. 【详解】由题可知存在实数使得， 又是一组不共线向量， 所以即. 故选：C 5．D 【分析】取中点，连接，，则，，先证明平面，可得三棱锥的外接球球心必在过的中心，且平行于的直线上，，设，结合勾股定理可得，进而结合二次函数的性质求解即可. 【详解】如图，取中点，连接，，则，，    又，平面， 所以平面，又平面，所以， 又，，平面， 所以平面， 所以三棱锥的外接球球心必在过的中心，且平行于的直线上，， 设，又， 所以，， 设三棱锥的外接球半径为， 则， 所以当时，，． 故选：D． 6．A 【分析】利用平方关系与和差公式求出，然后结合二倍角公式和商数关系即可得解. 【详解】由得①. 因为，所以，所以， 即，得②. 由①②解得， 则， . 故选：A 7．C 【分析】根据题意结合奇函数性质可知函数在内单调递减，再根据奇函数性质以及单调性解不等式即可. 【详解】因为当且，时，恒成立， 则在内单调递减， 又因为函数为奇函数，可知在内单调递减， 所以函数在内单调递减， 若，则， 可得，即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：C. 8．B 【分析】由题知抽到消费超过200元的人数，，则，再利用组合数的性质求最大值即可. 【详解】由题知抽到消费超过200元的人数，， 则，又这20人中有人消费超过200元的概率最大， 所以， 即，解得， 又，所以. 故选：B. 9．BD 【分析】应用线性相关系数、残差图与独立性检验的知识，决定系数一一检验即可. 【详解】利用进行独立性检验时，的值越大，说明有更大的把握认为两个分类变量相关，因此A错误； 在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高，因此B正确； 线性相关系数的范围在到之间，有正有负，相关有正相关和负相关， 相关系数的绝对值的大小越接近于1，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱，因此C选项错误； 用决定系数来比较两个模型的拟合效果，越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，D选项正确； 故选：BD. 10．ABD 【分析】由抛物线的定义即可判断选项A；设直线的方程为，联立方程组求解即可判断选项B；由求出，由两点间的距离求解即可判断选项C；直线的方程为，又，联立求解即可判断选项D. 【详解】抛物线C：的焦点为，准线方程为，故A正确； 设直线的方程为，与抛物线的方程联立，可得，则，故B正确； 若点，则，，，故C错误； 直线的方程为，又，即 ， 令，可得，即， 而直线的方程为，则点在直线上，故D正确. 故选：ABD. 11．ACD 【分析】利用赋值法计算判断AC；举例说明判断B；利用函数单调性定义探讨单调性并求出范围判断D. 【详解】对一切正实数，都有，， 对于A，令，，得； 令，，得，A正确； 对于B，由函数是上的奇函数，得， 因此函数在上不单调，B错误； 对于C，令，则，因此，C正确； 对于D，，，，而当时，， 则， ， 函数在上单调递增，在上单调递增， 而， 当时，由，即，得， ，， ， 当时，， 解得， 因此当时，，D正确. 故选：ACD. 12．8 【分析】根据给定条件，利用指数运算计算得解. 【详解】 . 故答案为：8 13．25 【分析】根据题意设直线与曲线的切点为，进而根据导数的几何意义得，再根据基本不等式“1”的用法求解即可. 【详解】根据题意，设直线与曲线的切点为， 因为，直线的斜率为， 所以，，， 所以， 因为， 所以，当且仅当时等号成立. 所以的最小值是25. 故答案为：25. 14． 【分析】由出导函数，令求得，由极限定义可得极限，再根据导数求得最小值． 【详解】由已知得，所以，解得， ， ，， 时，，在上单调递减， 时，，在上单调递增， 所以的极小值也是最小值为， 故答案为：；． 15．(1)认为年龄与选择旅游方式有关联 (2)分布列见解析， 【分析】（1）由卡方公式计算再比较即可； （2）先用分层抽样确定青壮年和中老年人数，确定随机变量的可能取值为1，3，5，用古典概率计算出相应的概率，求出的分布列，再利用数学期望公式求出期望即可. 【详解】（1）零假设:年龄与选择旅游方式无关联. 根据列联表，得， 依据的独立性检验，可以推断不成立，即认为年龄与选择旅游方式有关联. （2）用分层随机抽样的方法在青壮年组抽取人数为，在中老年组抽取的人数为， 随机变量的可能取值为1，3，5， ， ， ， 故的分布列为: 1 3 5 所以. 16．(1) (2) 【分析】（1）由已知可得，根据正弦定理即可求解； （2）根据面积公式可得，即可求解. 【详解】（1）因为，，， 所以， 由正弦定理得， 所以； （2）因为，，所以， 因为，所以. 17．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）在上取点使得，可得四边形为平行四边形，再由线面平行的判定定理可得答案； （2）以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面、平面的一个法向量，由二面角的向量求法可得答案. 【详解】（1）在上取点，使得，得，因为， 所以，因为，所以， 又因为，，所以， 可得四边形为平行四边形，， 又因为平面，平面， 所以平面； （2）因为底面，，以为原点， 所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 可得， ， 设为平面的一个法向量，则 ，令，则，所以， 设为平面的一个法向量，则 ，令，则，所以， 可得. 可得平面与平面所成角的余弦值为. 18．(1) (2)凹函数，证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）先求导并切点，进而得切线方程，将点A代入切线方程求出即可得解； （2）换元和变形构造并结合导数工具计算分析差值的正负情况即可得证； （3）先由是凹函数且是它的切线得到，接着记，求证即可得证. 【详解】（1），令切点， 则过点的切线方程， 因为切线过点，则，解得， 所以切线方程为. （2）是凹函数.证明如下： 令，则 不妨令，则， 记， 则 因为，所以，则，所以在单调递减， 则， 所以， 从而，所以是凹函数. （3）证明：由题意，因为是凹函数，且是它的切线，则， 记，则， 即.所以. 19．(1) (2) 【分析】（1）设出公差，借助等差数列基本性质计算即可得； （2）由题意可得，即可得的通项公式，从而得到的通项公式，再利用分组求和与错位相减法及等差数列求和公式计算即可得. 【详解】（1）设数列的公差为，则有， 解得，所以； （2）由题知，，则， 设，前项和为，则， ， ， ， 所以， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省湘潭市2025-2026学年高二下学期期末考试自编试卷 数学试题 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知全集，集合，，则 A． B． C． D． 2．“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的(　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．曲线在处的切线斜率为2，则（    ） A． B．1 C．0 D． 4．已知是平面内的一个基底，若向量与向量是共线向量，则（    ） A． B． C． D．4 5．如图，在三棱锥中，为等边三角形，，，若，则三棱锥外接球半径的最小值为（   ）    A． B． C． D． 6．已知，则（       ） A． B． C． D． 7．已知奇函数的定义域为，当且，时，恒成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 8．某商家开展促销活动，已知当天参加活动的顾客中，消费超过200元的顾客的频率为，用频率估计概率，现从参加活动的顾客中随机抽取20人赠送小礼品，若这20人中有人消费超过200元的概率最大，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．8或9 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分） 9．下列说法正确的是（    ） A．利用进行独立性检验时，的值越大，说明有更大的把握认为两个分类变量独立 B．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，其模型拟合效果越好 C．样本相关系数的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度，当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越弱 D．用决定系数来比较两个模型的拟合效果，越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好 10．用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）反射后，集中于它的焦点．若抛物线C：的焦点为F，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点M射入，经过C上的点反射，再经过C上另—点反射后，沿直线射出，则（   ） A．C的准线方程为 B． C．若点，则 D．设直线与C的准线的交点为，则点在直线上 11．已知函数是上的奇函数，且过点，对于一切正实数，都有，当时，恒成立，则（   ） A． B．在上是单调函数 C．当时， D．当时， 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．计算_________. 13．已知，直线与曲线相切，则的最小值是____________． 14．已知函数，则_______________，的最小值为___________． 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．据文化和旅游部5月6日公布2025年“五一”假期全国国内出游人次为3.14亿，总花费为1802.69亿元.在假期出游的人群中，有跟团游，也有自由行等不同的旅游方式.为了解年龄因素是否影响旅游方式的选择，我们按年龄将成年人群分为青壮年组（大于17岁，小于45岁）和中老年组（大于或等于45岁）.现从市随机抽取200名成年人进行调查，得到数据如下表: 青壮年 中老年 合计 跟团游 30 60 90 自由行 65 45 110 合计 95 105 200 (1)依据小概率值的独立性检验，分析年龄与选择旅游方式是否有关联； (2)用分层随机抽样的方法从跟团游中抽取9人，再从9人中随机抽取5人，用随机变量表示5人中青壮年人数与中老年人数之差的绝对值，求的分布列和数学期望. 附:. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 16．已知，，分别为三个内角，，的对边，. (1)若，，求； (2)若的面积为，，求. 17．如图，在四棱锥中，底面是线段上一点，且. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值. 18．设函数在区间上的图象是连续不断的，如果对上任意，恒有，那么称在上是凹函数；如果恒有，那么称在上是凸函数.若是凹函数的一条切线，则总有成立，而凸函数则相反.已知. (1)已知，求过点A且与曲线相切的直线方程； (2)判断在上是凹函数还是凸函数，并加以证明； (3)证明：. 19．已知等差数列中，，前8项和为80. (1)求的通项公式； (2)从中依次取出第，，，，，项，按原顺序排成一个新数列，若，求数列的前项和. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $