山东淄博市博山区2025-2026学年下学期初二期末数学试题

初二数学试题 本试卷共8页，满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将学校、班级、姓名、考试号、座号填写在答题卡和试卷规定位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案．严禁使用涂改液、胶带纸、修正带修改．不允许使用计算器． 4．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记． 5．评分以答题卡上的答案为依据．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．以下事件中，确定事件是 （A）抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 （B）如果射击九次都正中靶心，那么第十次也会正中靶心 （C）8张相同的小标签分别标有数字1∼8，从中任意抽取1张，抽到数字9 （D）在装有1个白球和1个黑球的袋子中，任意摸出一个球，摸出的是白球 2．如图，数轴上的点与点所表示的数分别为，，则下列不等式成立的是 （A） （B） （C） （D） 3．下列命题中，是真命题的是 （A）内错角相等 （B）相等的角是对顶角 （C）互补的两个角一定一个是锐角，一个是钝角 （D）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 4．如图，直线，，，则的度数为 （A） （B） （C） （D） 5．已知是关于，的二元一次方程的解，则的值为 （A）-1 （B）1 （C）7 （D）9 6．围棋起源于中国，棋子分黑白两色，一个不透明的盒子中装有黑白两色棋子共10枚，每枚棋子除颜色外都相同．将盒子中的棋子搅拌均匀，从中随机摸出一枚棋子，记下颜色后再放回盒子中．不断重复这一过程，发现黑色棋子出现的频率如图所示，则可估计摸到黑色棋子的概率为 （A）0.20 （B）0.25 （C）0.26 （D）0.15 7．利用尺规作图作，已知甲、乙、丙三位同学所参照的分别为直角三角形、钝角三角形、锐角三角形，他们的作图步骤均相同． 同学 甲 乙 丙 参照三角形 作图步骤 第一步：作；第二步：作；第三步：作． 下列说法正确的是 （A）甲同学所作与不一定全等 （B）乙同学所作与不一定全等 （C）丙同学所作与不一定全等 （D）甲、乙、丙三位同学所作都与全等 8．一次函数与的图象如图，则以下结论：①当时，；②当时，；③当时，中，正确的个数是 （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 9．阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，两只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲了两棵树，余树均栖满，请你仔细数，鸦树各几何？”大意是：“一群乌鸦在树上栖息，若每棵树上有2只，则5只没地方去，若每棵树上有5只，则会空出2棵树．”设有树棵，乌鸦只，依题意可列方程组 （A） （B） （C） （D） 10．如图，在中，，，为边边上的中线，于，交于，过点作的垂线交于点．有下列结论：①；②；③为的中点；④；⑤为的中点．其中正确的结论为 （A）①②④ （B）①③⑤ （C）②④⑤ （D）③④⑤ 二、填空题：本大题共8个小题，每小题4分，共32分． 11．不等式的负整数解是________． 12．在复习《三角形的证明及其应用》这一章时，小明从三角形构成元素“边”“角”的特殊化入手，整理本章三角形之间的关系．如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件________使等腰成为等边三角形． 13．如图，一个转盘被分成3个扇形，扇形、扇形、扇形的圆心角分别为，，，让转盘自由转动1次，则指针落在扇形的概率是________． 14．如图，已知中，，那么________． 15．对于，定义一种新运算（，是非零常数）．例如．若，，则________． 16．如图，小明在走廊上看到一个“安全出口”标志，他从中抽象出这样一个数学图形，其中，，，，，则________． 17．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，．作直线，交于点，交于点，连接．若，，，则的周长为________． 18．已知关于，的二元一次方程组的解为，小宁因为看错了而得到的解为，则的值为________． 三、解答题：本大题共8个小题，共78分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19．（本小题满分8分） 解方程组：（1） （2） 20．（本小题满分8分） 如图，已知，． 求证：． 21．（本小题满分8分） 解不等式组． （1）解不等式①，得________； （2）解不等式②，得________； （3）如图，把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （4）原不等式组的解集为________． 22．（本小题满分10分） 已知：如图，，，，在同一直线上，，，． 求证：． 23．（本小题满分10分） 某校生物兴趣小组在相同的试验条件下，对某植物种子发芽率进行试验研究时，收集的以下试验结果： 试验的种子数 500 1000 1500 2000 3000 10000 发芽的种子粒数 471 946 1425 1898 9502 发芽频率 0.942 0.946 0.949 0.951 0.950 （1）求表中________，________（填数值）； （2）任取一粒该植物的种子，估计它能发芽的概率是多少？（用小数表示，并保留两位小数）； （3）若学校为兴趣小组准备了80000粒种子进行发芽培育，试估算多少粒种子会发芽？ 24．（本小题满分10分） 如图1，在边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形． （1）若，，分别求，的面积； （2）若将图1的阴影部分沿虚线剪开，重新拼成图2的长方形，且长为30，宽为15，求的值． 25．（本小题满分12分） 如图，于点，于点．若，． （1）求证：平分． （2）已知，，求的长． 26．（本小题满分12分） 直线分别交直线，于点，，点在直线与直线之间． 【初步感知】 （1）如图①，若，则直线，的位置关系是________； 【问题探究】 （2）如图②，，交于点，点在射线上，点在射线上，且，若，，求的度数； 【拓展延伸】 （3）如图③，，，点在射线上，与的平分线交于点，探究与之间存在的数量关系． 学科网（北京）股份有限公司 $初二数学参考答案 说明： 1.答案如有问题， 请阅卷老师自行修正， 2.各解答题只提供其中一种解法的评分标准，若出现不同的解法可参照各题的解法评分标准 进行赋分， 一、选择题（每小题4分，共40分） CADBD ACCBA 二、填空题（每小题4分，共32分） 5 11.-112.∠A=60°（答案不唯一）13.12 14.27015.216.22° 17.22 18.-1 三、解答题（共78分） 19.(本小题满分8分) y=x-2① (1)解： x+2y=5② 把①代入②得：x+2(x-2)=5,解得：x=3, 1分 把x=3代入①得：y=3-2=1, 2分 x=3 “原方程组的解为少=1； 4分 5x+6y=12① (2)解： 6x+5y=21② ①+②得：11x+1ly=33,整理得：x+y=3③. ②.①得：x-y=9④，③.④得：2y=-6 解得：y=-3 5分 把y=-3代入③得：x-3=3, 解得：x=6, 6分 x=6 “原方程组的解为y=-3 8分 20.(本小题满分8分) 解：∠1=∠2， .BD//CE, 2分 .∠ABD=∠C, 3分 ∠D=∠C, ∴.∠D=∠ABD, 5分 .ACIIDF 6分 ∴.∠A=∠F 8分 21.(本小题满分8分) (1)x≥-1 2分 (2)x<5 4分 (3)解集在数轴上表示如解图： 20123456 6分 (4)-1≤x<5 8分 22.(本小题满分10分) 证明：AF=DC, :.AF-CF=DC-CF,AC=DF, 2分 在△ABC和△DEF中， 「AC=DF ∠A=∠D AB=DE 8分 ∴.△ABC≌△DEF(SAS) 10分 23.(本小题满分10分) (1)0.950,2853 4分 (2)解：任取一粒该植物的种子，估计它能发芽的概率为0.95； 7分 (3)解：80000×0.95=76000（粒）， 若学校为兴趣小组准备了80000粒种子进行发芽培育，76000粒种子会发芽.10分 24.(本小题满分10分) (1)解：由题意得：S=a(a-b)=20×(20-4)=320 2分 S2=b(a-b)=4×(20-4)=64 4分 (2)解：由题意得：a+b=30,a-b=15, a=456= 15 2,2 6分 由4)得9=a(a-b).S,=b(a-b) 8分 S:S2=a:b=3:1 10分 25.(本大题满分12分) (1)证明：DE⊥AB,DF⊥AC, ∴.∠E=∠DFC=90°， 1分 在Rt△BDE与Rt△CDF中， BD=CD BE=CF 2分 .Rt△BDE≌Rt△CDF(HL) 3分 ∴.DE=DF, 4分 又DE⊥AB,DF⊥AC, .AD平分∠BAC: 6分 (2)解：BE=CF=2 .AE=AB+BE=10+2=12, 7分 在Rt△ADE与Rt△ADF中， AD=AD DE=DF 8分 :.Rt△ADE≌Rt△ADF(HL) 9分 ∴.AF=AE=12, 10分 ∴.AC=AF+CF=12+2=14 12分 26.(本小题满分12分) (1)ABI/CD 2分 ∠AEI=∠AEF (2) 2 ∠IEF=45°. ∴.∠AEI=15°，∠AEF=30°， 如图②，过点F作FS∥AB M F B =R H D 图② .FSIlABI/CD ∴.∠AEF=∠SFE=30°.∠NFS+∠FHD=180°. :.∠NFS=∠SFE+∠EFN=60° 3分 .∠FHD=180°-∠NFS=180°-60°=120°， :IPI/MN,.∠IPH=∠FHD=120°， 4分 过点I作IRIAB,∴IRI∥ABIICD ∴.∠AEI=∠EIR=15°，∠RIP+∠IPH=180° .∠RIP=180°-∠IPH=180°-120°=60°， 5分 :.∠EIP=∠EIR+∠RIP=15°+60°=75° 6分 (3)AB1CD,∠CHG=60°， .∴∠AGH=180°-∠CHG=120°，∠BGH=∠CHG=60°， '∠HGI与∠HPI的平分线交于点O, ∴设∠HGQ=∠IG0=a,∠HPQ=∠IPQ=B, ∴.∠HGI=2a,∠HPI=2B.∠AGI=∠AGH-∠HGI=120°-2a, ∠BGQ=∠BGH+∠HGQ=60°+a. ∠CPI=180°-∠HPI=180°-2B. 7分 ①当点I,Q在直线GP的两侧时，如图③-1，过点I作IR/AB 图③-1 ∴.IRI∥ABI/CD ∴.∠AGI=∠GIR,∠CPI=∠RIP .∠PIG=∠GIR+∠RIP=∠AGI+∠CPI=120°-2a+180°-2B=300°-2a-2p 过点作QTIAB」 .QT∥ABIICD ∴.∠BG0=∠TQG.∠TQP=∠HPQ :.∠PQG=∠TQG+∠TQP=∠BG0+∠HPQ=60°+a+B .∠P1G+2∠PQG=300°-2a-2B+2(60°+a+B)=420° 8分 ②当点I,Q在直线GP的左侧时，如图③-2. M HD N 图③-2 同0，得∠P1G=∠AG1+∠CP1=120°-2a+180°-2B=300°-2a-2B, ∠PQG=∠AG0+∠CPQ=120°-a+180°-B=300°-&-B .2∠P0G-∠P1G=2(300°-a-B)-(300°-2a-2p)=300° 10分 ③当点I,Q在直线GP的右侧时，如图③3. M H -D 图③-3 同①，得∠P1G=∠BG1+∠IPH=60°+2a+2B, ∠PQG=∠BGQ+∠HP9=60°+a+B ∴.2∠PQG-∠P1G=2(60°+a+B)-(60°+2C+2β)=60° 综上所述，∠PIG与∠PQG之间存在的数量关系是 ∠PIG+2∠PQG=420°或2∠P0G-∠P1G=300°或2∠PQG-∠P1G=60° 12分