江苏南京市宁海中学2025-2026学年高一下学期6月期末测试数学试题

**基本信息** 覆盖高一（下）复数、三角函数、立体几何等核心知识，通过空间几何证明、概率事件分析、解三角形综合题，考查空间观念、推理能力与数据意识，解答题分层设计，适配期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数、三角函数、立体几何|纯虚数判断（1题）、线面关系命题辨析（3题）| |多选题|3/18|概率统计、空间几何|独立事件与互斥事件判断（9题）、二面角下距离计算（11题）| |填空题|3/15|向量、函数性质|单位向量投影（12题）、偶函数参数求解（13题）| |解答题|5/77|立体几何、向量、解三角形|四棱锥体积与线面平行证明（17题）、解三角形结合内切圆求周长（19题）|

高一（下）期末测试 2026.6 数 学 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．已知复数是纯虚数，则实数（    ） A． B．0 C．1 D．2 2． （    ） A． B． C． D． 3．设、是两条不同的直线，、、是三个不同的平面．下列命题中正确的命题是（　　） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 4．已知一组数据的平均数和方差分别为20，26，若向该组数据中添加一个数据20，记这组新数据的平均数和方差分别为，，则（     ） A． B． C． D． 5．设，是两个不同的平面，是一条直线，且，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知函数，且，则（     ） A． B． C． D． 7．在中，，AD是的角平分线，，，E是AC的中点，则DE的长度为（    ） A． B． C． D． 8．在锐角中，内角的对边分别为，已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．随机投掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，记录朝上一面的点数．设事件“第一次为奇数”，“第二次为奇数”，“两次点数之和为奇数”，则（    ） A． B．A与互斥 C．A与相互独立 D． 10．已知，，则下列说法中正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果互斥，那么 D．如果互斥，那么 11．在空间中，、为两个定点，动点到直线的距离为2，动点到直线的距离为1．若二面角为，则（     ） A． B． C．当时，平面 D．当平面时， 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．已知平面向量，是单位向量，与夹角为，则向量在向量上的投影向量为______． 13．若函数为偶函数，则__________. 14．已知函数在区间上恰有两个零点，则的取值范围是__________. 四、解答题：（本大题共5小题，共77分） 15．已知，，且． (1)求和的值； (2)求与的夹角的余弦值． 16．已知平面向量，. (1)若，求的值. (2)若，求的值. 17．如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点．    (1)求的体积； (2)求证：平面； (3)求证：平面． 18．如图，在四棱锥中，平面ABCD，，. (1)证明：平面PAC； (2)求二面角的大小； (3)点T是棱PC上的动点（不包括端点），求直线TD与平面ABCD所成角的正切值的取值范围. 19．记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)证明：； (2)证明：； (3)若，的内切圆半径为，求的周长． 高一（下）期末测试 2026.6 数 学 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D D B B A A ACD ABC 题号 11 答案 BC 12． 13．2 14． 15．（1）因为， 所以， 即， 因为，， 所以， 化简得，； . （2）记与的夹角为， . 所以与的夹角的余弦值为. 16．（1）∵，且， ∴， ∴， ∴. （2）∵，且， ∴， ∵若，则，这与矛盾. ∴，∴，∴. ∴. 17． （1）因为在四棱锥中，平面， 由，，，， 所以． （2）证明：因为，， 所以， 又平面，平面， 所以， 又因为，平面， 所以平面． （3）    取的中点为，又为的中点， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，即， 又因为平面，平面， 所以平面． 18．（1）， 所以， 所以在中，由余弦定理得 所以，所以 因为底面ABCD，平面ABCD，所以. 又平面PAC，所以平面PAC. （2）取BP的中点E，过点D作平面PBC，DF交平面PBC于点F，连接CF. 因为平面ABCD，平面PAB，所以平面平面ABCD. 因为平面平面，所以平面PAB. 因为平面PAB，所以. 因为，所以 又BP，平面PBC，，所以平面PBC. 因为平面PBC，平面PBC，所以平面PBC， 所以点A到平面PBC的距离等于点D到平面PBC的距离，所以 由（1）知平面PAC，因为平面PAC，所以. 因为平面PBC，平面PBC，所以. 又DF，平面CDF，，所以平面CDF. 因为平面CDF，所以. 由，平面平面，知是二面角的平面角的补角. 由，得. 所以二面角的大小为. （3）过点T作TG平行于PA，交AC于点G，连接GD. 因为平面ABCD，AB，平面ABCD，所以. 因为，所以. 因为，AB，平面ABCD，所以平面ABCD， 所以TD与底面ABCD所成的角为. 设，所以，即，所以. 所以. 由函数单调递增，得： 所以直线TD与平面ABCD所成角的正切值的取值范围为. 19．(1) ； (2)由得， 由正弦定理得， 由得， 而且，故． （3）由于的内切圆半径为，则， 则， 则， 则， 由（1）得， 当时，，而，可得． 当时，，， 此时由得，可知无法取等． 当时，显然等号成立． 当时，注意到，此时， ，． 综上，．此时可知是等边三角形，其周长． 学科网（北京）股份有限公司 $