江苏苏州市2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

高一数学试卷 注意事项 学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求： 1.本卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第11题）、填空题（第12 题~第14题)、解答题（第15题~第19题).本卷满分150分，答题时间为120分钟.答题结束 后，请将答题卡交回. 2.答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定 位置， 3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫 米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚 一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.设i为虚数单位，已知复数z=1+i,则zi= A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i 2.已知向量a=(2,4),b=(x,1),若a⊥b,则实数x的值为 A.-2 c D.2 3.已知圆锥的底面半径为4，高为3，则该圆锥的侧面积为 A.40元 B.24元π C.20元 D.10元 4.在平面直角坐标系xOy中，已知等腰△ABC的底边AB在x轴上，AB=2,AC=√5， 按斜二测画法所得△ABC的直观图为△AB'C',则△A'B'C'的面积为 A. B. v2 C.2 D.45 4 5.若平面a∩平面B=l,A∈a,B∈a,C∈a,D∈B,DEl,则直线AB与CD不可能 A.相交 B.垂直 C.平行 D.异面 6已知sma+?-写则sm爱-2a 6 9 B._I 9 c. D.7 9 7.如图，在正方体ABCD-4B,CD,中，已知M,N分别为棱 D N C BB,CD,的中点，过A,M,N三点的平面交棱B,C于点P, A 设BP=PC,则= A D B.1 C.2 D.3 &.已知梯形ABCD中，DCAB,DC-4B,动点E在边BC上（不含端点B,C),M证 交BD于点F,过A作AH⊥BD于点H,若A丽=4，则CF.Ai= A.-8 B.-4 C.4 D.8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.设i为虚数单位，已知复数2=-】+bib∈R),若z~z=1,则 A.b=1 B.z3=1 C.z-LER D.|z-1>1 2 10.设M是△ABC所在平面内一点，记AM=xAB+yAC(x,y∈R),则 A当子时=C 3 2 B.当x=2,y=-1时，C是线段BM的中点 C当xy=时，M是△BC的重心 3 D.当x+y=时，△BC的面积是△BC面积的 4 11.如图，在正四棱柱ABCD-AB,C,D中，己知AB=2, D AA=3,点E在棱A4上，AE=2EA,动点F在线段 A BD上（不含端点B),平面AEF与平面DCCD交于直 B 线1，则 A.l/∥BB B.不存在点F,使得BE⊥AF D -C C.∠4FE的最大值为 F ⊙ D.I与平面B,EF所成角的最大值为 （第11题图) 4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在复数范围内写出符合方程x2+4=0的一个解x=▲. 13.已知向量4，b满足b在a方向上的投影向量为二4，若1a上1，a-2b上3，则1b上 14.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b(sinC-cosC)=c(cosB-sinB), a=2N2,则△ABC的面积为△ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b2+c2=a2+V2bc. (1)求A: (2)若a=1,sinB=V2cosC,求△ABC的周长. ▲▲▲ 16.(15分) 已知向量a与b的夹角为号1a叶2，b1. (1)求ab和a+b的值： (2)若向量ka+b与a+2b的夹角为锐角，求实数k的取值范围. 17.(15分) 如图，已知四棱台ABCD-AB,C,D,的底面是平行四边形，AB=2AB,E为AB的中 点，△ABB为钝角三角形 D C (1)求证：DE∥平面ABC; (2)若平面ABC⊥平面ABBA,AC1⊥BB, D 求证：AC⊥平面ABB,A· A E (第17题图) 18.(17分) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知∠B4C= 3 (1)当点D满足CD=2DB时. ①若AD=1,c=2b,求b; ②若∠B+∠DAC=T,求B. (2)当BA·BC=√3ab时，判断△ABC的形状并证明. 19.(17分) 如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB-了，将△MBD沿D每折至△4BD. D若二面角-BD-C的余弦值等于了求 A 三棱锥A-BCD的体积； (2)若二面角A'-BC-D的正切值的取值范围 是25,21，，B,C,D在同-个球面 B 上，求该球的表面积的取值范围。 (第19题图) 高一数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A C B C D C A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 题号 9 10 11 答案 BD ACD ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．2 i，－2i ( 写出一解即可) 13． 14．2 四、解答题：本题共5小题，共77分。 15. （13分） 解: （1）由余弦定理得 3分 又因为A∈(0，π)， 所以． 5分 （2）因为△ABC中 ，A＋B＋C＝π， ， 所以 , 所以cos B＝0． 8分 又因为, 所以 ，所以△ABC是等腰直角三角形. 10分 因为a＝1， 所以b＝，c＝1， 12分 所以△ABC的周长为a＋b＋c＝2＋. 13 分 16. （15分） 解: （1）由向量a 与b 的夹角为，|a|＝2，|b|＝1，得 ． 3 分 因为|a＋b|2＝(a＋b)·(a＋b)＝a2＋2a·b＋ b2＝4＋2＋1＝7， 6分 所以| a＋b |＝ 7 分 （2）因为向量ka＋b与a＋2b的夹角为锐角， 所以(ka＋b)·(a＋2b)＞0且ka＋b与a＋2b不共线。 因为(ka＋b)·(a＋2b)＝k|a²＋(2k＋1)a·b＋2|b²＝4k＋(2k＋1)＋2＝6k＋3， 10分 所以由(ka＋b)·(a＋2b)＞0，得k＞－ 11分 当ka＋b与a＋2b共线时，存在实数入使得ka＋b＝λ(a＋2b)， 12分 因为a 与b 不共线，所以 所以 ． 14 分 综上所述， 且 ． 15 分 17. （15分） 证: （1）因为四棱台ABCD-A1B1C1D1， 所以A1B1∥AB， 又因为AB＝2AB1，E 是AB的中点，所以A1B1∥EB，A1B1＝EB. 2分 因为底面是平行四边形，所以A1B1∥D1C1， A1B1＝D1C1， 所以EB//D1C1，EB＝D1C1，所以四边形EBC1D1是平行四边形， 3 分 所以D1E//C1B. 4分 又因为C1Bc 平面A1BC1， D1E⊄平面A1BC1， 所以D1E∥平面A1BC1. 6分 （2）如图，过B1作B1H⊥A1B， 垂足为H. 因为△A1B1B为钝角三角形，所以H 与B 不重合. 因为平面A1BC1⊥平面ABB1A，平面A1BC1 ∩ 平面 ABB1A1＝A1B，B1H⊥A1B，B1H⊂平面 ABB1A1， 所以B1H⊥平面A1BC1 . · 9 分 因为A1C1⊂平面A1BC1， 所以B1H⊥A1C1 . 10 分 因为平面ABCD∥平面AB1C1D1， 平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC， 平面AA1C1C∩平面A1B1C1D1＝A1C1， 所以A1C1∥AC . 12 分 因为A1C1⊥B1H，AC1∥AC， 所以AC⊥B1H， 因为A1C1⊥BB1，A1C1∥AC， 所以AC⊥BB1， 又因为B1H，BB1c 平面ABB1A1，B1H∩BB1＝B1， 所以AC⊥平面ABB1A1 · 15 分 18. 17分） 解: （1）①由得， 2 分 所以， 因为，，，所以， 所以． 4分 ②若，则，， 在△ABD中，由正弦定理得①； 6分 在△ADC中，，由正弦定理得②； 因为，，所以①与②相除得， 即。 8分 即，所以， 10分 因为，所以，即。 11分 (2)由，得，即③， 由正弦定理得，即， 所以， 所以， 即。 14分 令，由③知是锐角，所以在上单调递减， 15分 又因为 ，所以 ， 又因为 ，所以 ，所以△ABC是直角三角形。 17 分 19. （17分） 解: （1）连接AC 交BD于点O， 连结A'O. 由底面ABCD为菱形可知BD⊥AO，BD⊥CO， 所 以BD⊥A'O，BD⊥CO， 所以∠A'OC 是二面角A'－BD－C 的平面角， 2分 由题意得 ， 所以 . 如图，过点A' 作A'H⊥AO，垂足为H. 因为BD⊥AO，BD⊥A'O，AONA'O＝0， AO，A'Oc 平面AA'O， 所以BD⊥平面AA'O， 因为A'Hc 平面AA'O， 所以BD⊥A'H， 又因为BD∩AO＝0，BD，AO ⊂ 平面ABCD， 所以A'H⊥平面ABCD. 4 分 因为菱形 ABCD 的边长为 2， ，所以 ， 所以 ，5分 所以三棱锥 的体积 7分 （2）如图，过H 作HF⊥BC 于点F，连结A'F. 由（1）可知A'H⊥平面ABCD， 因为BCc 平面ABCD， 所以A'H⊥BC， 又因为A'H∩HF＝H，A'H，HF⊂平面A'HF， 所以BC⊥平面A'HF. 因为A'F⊂平面A'HF， 所 以A'F⊥BC， 所以∠A'FH 是二面角A'- BC-D 的平面角. 在△A'HO中， 设∠A'OH＝α， 则，， 所以 ， ， 所以 ． 11分 因为 ，所以 ． 设△BCD中心为 ，过 作 ，则 平面 ABCD，则球心 在 上． 设 ，球 的半径为 ． 在 中，①． 12分 在四边形 中，由 ， 得 ， 化简得 （2）． 14分 由①②消去 得 ， 15 分 所以 ，所以 ， 即球 的表面积的取值范围是 ． 17分 高一数学参考答案　第 1 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学试卷 注 意 事 项 学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求： 1．本卷共4页，包含单项选择题(第1题~第8题)、多项选择题(第9题~第11题)、填空题(第12题~第14题)、解答题(第15题~第19题)．本卷满分150分，答题时间为120分钟．答题结束后，请将答题卡交回． 2．答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置． 3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设i为虚数单位，已知复数z＝1＋i，则z·i＝ A．－1－i B．－1＋i C．1－i D．1＋i 2．已知向量a＝(2,4)，b＝(x，1)，若a⊥b，则实数x的值为 A． B． C． D． 3．已知圆锥的底面半径为4，高为3，则该圆锥的侧面积为 A．40π B．24π C．20π D．10π 4．在平面直角坐标系xOy中，已知等腰△ABC的底边AB在x轴上，AB＝2，AC＝，按斜二测画法所得△ABC的直观图为△A'B'C”，则△A'B'C'的面积为 A． B． C．2 D． 5．若平面α∩平面β＝1，A ∈ α，B ∈ α，C ∈ α，D ∈ β，D ∉ l，则直线AB与CD不可能 A．相交 B．垂直 C．平行 D．异面 6．已知sin(α＋)＝，则sin(－2α)＝ A． B． C． D． 7．如图，在正方体ABCD-AB1C1D1中，已知M，N分别为棱BB1，C1D1的中点，过A，M，N三点的平面交棱B1C1于点P，设B1P＝λPC1，则λ＝ A． B．1 C．2 D．3 （第7题图） 8．已知梯形ABCD中，DC∥AB，DC＝AB，动点E在边BC上(不含端点B，C)，AE交BD于点F，过A作AH⊥BD于点H，若，则 A．－8 B．－4 C．4 D．8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．设i为虚数单位，已知复数i (b∈R)，，若z·z＝1， A． B． C． D． 10．设是△ABC所在平面内一点，记，则 A．当，时， B．当，时，是线段BM的中点 C．当，时，是△ABC的重心 D．当时，△MBC的面积是△ABC面积的 11．如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知AB＝2，AA1＝3，点E在棱AA1上，A1E＝2EA，动点F在线段BD上(不含端点B)，平面A1EF与平面DCC1D1交于直线l，则 A．l∥BB1 B．不存在点F，使得B1E⊥A1F C．∠A1FE的最大值为 D．l与平面B1EF所成角的最大值为 （第11题图） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在复数范围内写出符合方程x2＋4＝0的一个解x＝ ▲ 13．已知向量a，b满足b在a方向上的投影向量为a，若|a|＝1，|a－2b|＝3，则|b|＝ ▲ 14．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b(sinC－cosC)＝c(cosB－sinB)， a＝2，则△ABC的面积为 ▲ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．(13分) 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2＋c2＝a2＋bc． （1） 求A； （2）若a＝1，sinB＝cosC，求△ABC的周长． ▲ ▲ ▲ 16．(15分) 已知向量a与b的夹角为，|a|＝2，|b|＝1． （1）求a·b和|a＋b|的值； （2）若向量ka＋b 与a＋2b的夹角为锐角，求实数k 的取值范围． ▲ ▲ ▲ 17．(15分) 如图，已知四棱台ABCD-A1B1C1D1的底面是平行四边形，AB＝2A1B1，E为AB的中点，△A1B1B为钝角三角形． （1）求证：D1E∥平面A1BC1； （2）若平面A1BC1⊥平面ABB1A1，A1C1⊥BB1， 求证：AC1平面ABB1A1． (第17题图) ▲ ▲ ▲ 18．(17分) 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知∠BAC＝ （1）当点D满足时． ①若AD＝1，c＝2b，求b； ②若∠B＋∠DAC＝，求B． （2）当时，判断△ABC的形状并证明． 19．(17分) 如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝ ，将△ABD沿BD翻折至△A'BD． （1）若二面角A'-BD-C的余弦值等于－，求三棱锥A'-BCD的体积； （2）若二面角A'-BC-D的正切值的取值范围是，A'，B，C，D在同一个球面上，求该球的表面积的取值范围． （第19题图） 高一数学　第 1 页 （共 6 页） 学科网（北京）股份有限公司 $高一数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 题号 1 2 3 6 8 答案 B A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 题号 9 10 11 答案 BD ACD ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.2i,-2i（写出一解即可) 13. V10 14.2 2 四、解答题：本题共5小题，共77分。 15.(13分) 解：(1)由余弦定理得cosA-+c2-a2-V2bc-V2 …3分 2bc 2bc 又因为A∈(0，π)，所以A=亚 ……5分 4 (2)因为△ABC中，A+B+C=元，A= 4 所以smB=5cosC=反cos(2-)=2(- -cos B+sin B)=-cos B+sin B, 2 2 所以C0SB=0.… …8分 又因为B∈0,3，所以B=元，所以△4BC是等腰直角三角形 。…10分 因为a=1,所以b=V2,c=1, …12分 所以△ABC的周长为a+b+c=2+√2. …13分 16.(15分) 解：(1)由向量a与6的夹角为于，a2,61,得a-bab1cos=1.3分 3 因为a+b=(a+b)-(a+b)=a2+2ab+b2=4+2+1=7,…6分 高一数学参考答案第1页（共5页） 所以川a+b卡√万.… …7分 (2)因为向量ka+b与a+2b的夹角为锐角， 所以(ka+b)·(a+2b)>0且ka+b与a+2b不共线 因为(ka+b)-(a+2b)=k|a2+(2k+1)a·b+21bP=4k+(2k+1)+2=6k+3,…10分 所以由a+小-a+20>0,得太>分 …11分 当ka+b与a+2b共线时，存在实数元使得ka+b=(a+2b),…12分 因为a与b不共线，所以 k=， 所以k= …14分 1=2 综上所述，k>-1且k」 …15分 2 2 17.(15分) 证：(1)因为四棱台ABCD-ABCD,所以AB∥AB, 又因为AB=2AB,E是AB的中点，所以AB,∥EB,AB=EB.…2分 因为底面是平行四边形，所以AB,∥DC,AB=DC, 所以EB∥D,C,EB=D,C，所以四边形EBCD是平行四边形， …3分 所以DE∥CB. …4分 又因为CBc平面ABC,DE女平面ABC, 所以D,E∥平面ABC.… …6分 (2)如图，过B作B,H⊥AB,垂足为H. 因为△ABB为钝角三角形，所以H与B不重合。 因为平面ABC,⊥平面ABB,A,平面ABC,∩平面 ABBA=AB,BH⊥AB,BHC平面ABBA, 所以B,H⊥平面ABC.…9分 因为ACc平面ABC,所以BH⊥AG. ……10分 因为平面ABCD∥平面AB,C,D,平面AACC∩平面ABCD=AC, 平面AACC∩平面AB,CD=AC,所以AC∥AC.…12分 因为AC⊥BH,AC∥AC,所以AC⊥B,H, 因为AC⊥BB,AC∥AC,所以AC⊥BB, 又因为BH,BBc平面ABBA,B,H∩BB=B: 所以AC⊥平面ABB,A· 15分 18.(17分) 解：(1)①由CD=2DB得D-2AB+}AC, …2分 所以而-+号B4c+4C- 4 9 9 4 becos∠BAC+b, 因为AD=1,c=2b,∠BAC=元，所以1= 16b2+。b2+b2=22 b2, 9 所以6=V 4 7 B+ZDAC=元，则∠DAC=∠B,∠BAD=∠BAC-∠DAC2 在△ABD中，由正弦定理得 BD AD ①： …6分 sin(B- sin B 6 在△4DC中，∠C=2L-∠B,由正弦定理得 DC AD 3 sin(-B)sin( T .3 -B) 因为sm子-=a(B-名，S-2,所以0与@相除 cosB cos(B-") 6 BD 2sin(B- sin B 6 sin Bcos 2sin()co( …8分 即sm2B=2sn28-爱=sin2B-5cos2B,所以cos2B=0.…10分 因为0<B<受所以0<2B<,所以2B=分即B-牙 …11分 4 (2)由BA.BC=√3ab,得ac cos B=√3ab,即ccos B=√3b③， 由正弦定理得sin CcosB=V5sinB,即sin(+B)cosB=√5sinB, 所以3 coin BcosinB 1的 所以V3-√3sim2B+sin Bcos B=2W3sinB, 即v _-3sin B+cos B=23. ……14分 sin B 令f(B)= sin 。-√3sinB+cosB,由③知B是锐角，所以f(B)在(0，上单调递减， …15分 又因为f(= -√5sin+cos=2W5=f(B),所以B= 6 6 sin 6 6 又因为A=刀，所以C=元，所以△ABC是直角三角形.…17分 3 2 19.(17分) 一比画 解：(1)连接AC交BD于点O,连结AO. 由底面ABCD为菱形可知BD⊥AO,BD⊥CO,所以BD⊥AO,BD⊥CO, ·所以∠A'OC是二面角A'-BD-C的平面角， …2分 由题意得os∠40C=}所以血乙A0C- 3 如图，过点A'作AH⊥AO,垂足为H. A 因为BD⊥AO,BD⊥A'O,AO∩A'O=O, AO,AOc平面AAO,所以BD⊥平面AAO, 因为AHc平面AAO,所以BD⊥A'H, A 又因为BD∩AO=O,BD,AOC平面ABCD, B 所以AH⊥平面ABCD. …4分 因为菱形ABCD的边长为2，∠DAB=T,所以A'O=5, 所以AH=4'0sin∠A0A=Ao.sim∠Aoc=5×2y5_26 3 …5分 3 所以三棱维-8C0伯体积w骨w租-官(x2的26-2 3 3 …7分 (2)如图，过H作HF⊥BC于点F,连结A'F. 由(I)可知A'H⊥平面ABCD, 因为BCC平面ABCD,所以A'H⊥BC, 又因为A'H∩HF=H,A'H,HFc平面A'HF, 所以BC⊥平面A'HF. 因为A'Fc平面A'HF,所以AF⊥BC, FB 所以∠AFH是二面角-BC-D的平面角。…9分 在△A'H0中，设∠AOH=a,则A'H=V3sina,H0=V3cosa, 所以HC=V3osa+V5,H那=Bcos+5 2 所以an∠A'FH=4'H √3sina 2sina …11分 HF 3cosa+3 cosa+1 2 2W3 因为am∠4FHe兮，2，所以 sina cosa+]. ∈[ 设△BCD中心为E,过E作l∥AH,则I⊥平面ABCD,则球心O在I上. 设OE=d,球O的半径为R. ①亡+P=()+p=A0+P=H‘中Oa07 …12分 在四边形HEOA'中，由A'O2=HE2+(AH-OE), R-(cosa+y+(sina-d), 3 化简得R2=2cos+10-25 dsina+d@. …14分 由①②消去R2得d=+e山 …15分 √3 sina 所以R2=dP+3e9 4 '3,所以4R2e2,28 137 0 ’3 即球0的表面积的取值范围是2π，28m] 9’3 …17分