江苏南京市第一中学2025-2026学年高一下学期6月期末考试数学试题

**基本信息** 南京一中高一数学期末卷以核心素养为导向，融合文化传承（如《九章算术》“开立圆术”）、数据处理（质量指标频率分布直方图）及空间探究（三棱台体积与二面角），实现基础巩固与能力提升的有机统一。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数、三角函数、立体几何|纯虚数概念辨析，线面关系推理| |多选|3/18|统计、向量、解三角形|样本数据特征分析，锐角三角形边角关系| |填空|3/15|正方体线线角、复数模、向量模|空间观念与复数几何意义结合| |解答|5/77|统计、立体几何、向量、解三角形、三棱台|数据处理（频率分布直方图），探究性问题（侧棱上点存在性），综合应用（向量与三角函数）|

南京一中2025一2026学年第二学期期末考试试卷 高一数学 2026.06 命题人：邢苏婷、雷蕾 校对人：邢苏婷 审核人：蒋文化 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.若复数z=(m十1)-2mi(m∈R)为纯虚数，则z的共轭复数是 A.2i B.i C.-i D.-2i 2.已知角a的终边不在坐标轴上，且2sin2a=sina,则cos2a= A名 n. c.威1 D.8 3.设α，B为两个平面，l,n为两条直线，则下列结论中正确的是 A.若l//n,nca,则//a B.若l/a,l/B,则a/IB C.若l/a,l⊥B,则a⊥B D.若a∩B=n,n⊥l,则l⊥a或l⊥B 4.下列关于平面向量的说法中正确的是 A.若a/b且b/c,则a/c B.若a=b(1≠0)且b≠0，则a与b方向相同或相反 C.若a=|b|,则a=b D.a与b方向相反，则a十b与a的方向相同 5.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为6，△A1BC的面积为2V3, B 则点A到平面A,BC的距离为 A A.2 B.3 C C.2 D.5 y ,在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若CCsS=十cos2C 1+cos2B' 则△ABC的形状是 A.等腰三角形或直角三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形 7.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立 方除之，即立圆径.意思是：球的体积V乘以16，除以9，再开立方，即为球的直径d,由此我 们可以推测当时球的表面积S的计算公式为 A.s- B.s- c.s=号 D.5 高一数学试卷第1页（共4页） 8.在三棱锥P一ABC中，PA⊥平面ABC,△ABC为等边三角形，且AB=3,PA=2,则该三棱锥外 接球的表面积为 A.8π B. C.16元 D.12π 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9.有一组样本数据1，，…，x6,其中是最小值，6是最大值，则 A.x,x3,4,5的平均数等于，x2…,6的平均数 B.2,3,4,的中位数等于灯，2，…，6的中位数 C.2,3,x4,5的标准差不小于x1,x2,…,x6的标准差 D.2,x3,x4,5的极差不大于，x2,…,6的极差 10.如图，在正三棱柱ABC-AB1C1中，点P,Q,M,N分别是AB1,CC1,A1C1,BC的中点，则 下列说法中正确的有 A.PQ//平面ABC B.MN⊥BC C.PQ⊥平面ABB1A1 D.PQ与MN相交 11.在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c一b=2 bcosA,则 A.A=2B B.B的取值范围为0，孕 C.的取值范围为W2,V5) 11 D.tanB tanA+2sinA的最小值为2W2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线CD1与BC所成角的大小为▲一 13.已知复数z满足z一1=1，则|z+1-2i的最小值为▲. 1,x>0, 14.已知x)=1 0,x=0,a,b,c是平面内三个不同的单位向量.若ab)十fbc)十fca)=0, 一1，x<0, 则|a+b+c|的取值范围是▲一· 高一数学试卷第2页（共4页) 四、解答题：本题共5小题，共77分，除特别说明外，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.近年来，某“医用口罩”生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量 现在该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组： [40,50),[50,60),[60,70),…,[90,100],得到如下频率分布直方图. ◆频率/组距 0.025 0.015 0.010… 0.005 405060708090100质量指标值 (1)求出直方图中m的值： (2)利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数，众数和中位 数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到0.01）： (3)现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品.利 用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，其中一等品和二等品分 别有多少个？ 16.如图，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BCE,BE⊥EC,点F为线段BE的中点. (1)求证：平面ABE⊥平面ACE; (2)求证：DE//平面ACF. 高一数学试卷第3页（共4页） 17.已知向量a=(cosx,V3sinw),b=(W3sinx,cosx+2sinx. (1)若V3a-b与b共线，x∈5，四，求sin2x的值： (2)设函数)=a·b,x∈[0，，求)的值域. 18.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(b一a)(sinB+sinA)=(b-c)sinC. (1)求A: (2)若a=2,bc=4,求△ABC的周长： (3)设内角A的平分线交BC于点D,AD=V3,求△ABC面积的最小值. 19.在三棱台ABC-A1B1C中，AB⊥AC,平面ABB1A1⊥平面ACCA1,AA1=A1C1=CC1=2, AC=4,且BB,与底面ABC所成角的正弦值为匝 5 (1)求证：AB⊥面ACCA1: (2)求三棱台ABC-A1B1C1的体积： (3)侧棱B上是香存在点M,使二面角M-AC-B的大小为始：若存在，求出8的值：者 不存在，请说明理由. B 高一数学试卷第4页（共4页）南京一中2025一2026学年第二学期期末考试答案 高一数学 2026.06 命题人：邢苏婷、雷蕾 校对人：邢苏婷 审核人：蒋文化 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.若复数z=(m+1)-2mi(m∈R)为纯虚数，则z的共轭复数是() A.2i B.i C.-i D.-2i 【答案】D 【解析】由题意知：m+1=0且2m≠0，∴.m=-1,即z=2i,故z的共轭复数是-2i. 故选：D 2.已知角a的终边不在坐标轴上，且2sin2a=sina,则cos2u=() 7 B.8 D.-15 16 【答案】A 【解析】因为2sin2a=sina,所以4 sinacosa=sina, 因为角a的终边不在坐标轴上，所以sina≠0， 则coca-由二倍角余弦公式可得：co2a=20sa-1=写 81 故选：A. 3.设，B为两个平面，1，n为两条直线，则下列结论中正确的是() A.若lm,nca,则l11a B.若l∥，l11B,则a1IB C.若l川，l⊥B,则a⊥B D.若x∩B=n,n⊥l,则l⊥ax或l⊥B 【答案】C 【解析】对于A:当直线l在平面a内时，即lca,此时也可能满足I11n,nCa,但根据定义，直 线在平面内，线面不平行，故A错误： 对于B:当nB=a时，若lIla,l文，l文B,则11a,llB,此时l∥，1川B,&B=a,/1B不成立， 故B错误； 对于C:由l/1a,经过直线l的平面如果与平面a有交线b,由线面平行的性质定理知bca且bl, 又1⊥B,所以b⊥B,而bc,所以aLB,故C正确： 对于D:在正方体ABCD-ABC,D中，设平面a为平面ABCD,平面B为平面CDD,C,则两平面 高一数学答案第1页（共15页） 的交线n为CD.设直线I为AD,则nLl,但l不与a垂直，也不与B垂直，故D错误. B D B 故选：C 4.下列关于向量的说法中正确的是() A.若a/1仍且b11c,则a11cB.若a=2b(1≠0)且b≠0，则a与b方向相同或相反 C.若d=b,则a=b D.a与b方向相反，则a+b与a的方向相同 【答案】B 【解析】因为当b=0时，ā与c不一定平行，所以A不正确： 因为向量共线时，其方向是同向或反向，所以B正确： 因为模相等的两个向量不一定相等，所以C不正确. 因为d与的大小不确定，所以D不正确. 故选B. 5.如图，直三棱柱ABC一A1B1C1的体积为6，△A1BC的面积为2V3,则点A到平面ABC的距离 为() B A A.V B.3 C.2 D.5 【答案】B 【解析】由直三棱柱ABC-A1B,C1的体积为6，可得VA,-ABc=VABC-AB,G=2, 设点A到平面ABC的距离为d,由VA,-Ac=VA-A,Bc,得S△A1Bcd=2, 高一数学答案第2页（共15页） ∴×2V3d=2,解得d=V3,即点A到平面A1BC的距离为V3.故选B. 6.在△MBC中，内角A、B、C所对的边分别为a、hc,若cosC-+0s2C bcos B 1+cos2 B 则△MBC的形状是 () A.等腰三角形或直角三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形 【答案】A 【解析】由ccosC=1+cos2C 化简得： ccosCcos2C bcos B 1+cos2B bcos B cos2 B 当cosC=0时，C-乏，可知△ABC为直角三角形： 当cosC≠0时，所以S-cosC h cos则snC-cosC sin B cos B 化简得：sin Ccos B-cosCsin B=0,即sin(C-B)=0,所以C=B, 可知△ABC为等腰三角形 综上所述：△ABC为等腰三角形或直角三角形. 故选：A. 7.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方 除之，即立圆径.意思是：球的体积V乘16，除以9，再开立方，即为球的直径d,由此我们可以 推测当时球的表面积S计算公式为() A.S=27d2 8 B.$=27d 2 C. 【答案】A 【解析】因为 ,所以v器)，所以 所以S=4π 2 =4x2x4-22, 848 故选：A 8.三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,△ABC为等边三角形，且AB=3,PA=2,则该三棱锥外 接球的表面积为() A.8 B.32m C.16π D.12π 3 高一数学答案第3页（共15页） 【答案】C 【解析】如图，点H为△ABC外接圆的圆心，过点H作平面ABC的垂线， 取PA的中点D,过点D作线段PA的垂线，所作两条垂线交于点O,则点O为三棱锥外接球的球心， 因为PA⊥平面ABC,且△ABC为等边三角形，PA=2,AB=3, 所以四边形AMOD为矩形，A1=5AB=5,0H-PA=1, 3 所以OA=√V)+1P=2,即三棱锥外接球的半径R=2, 则该三棱锥外接球的表面积为4πR2=16π.故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9.有一组样本数据x,x2,,x,其中x是最小值，x是最大值，则() A.x2,x3,x4,x的平均数等于x,2,…,x的平均数 B.2,x,x4,x的中位数等于x,2,,x的中位数 C.x,x,x4,x的标准差不小于x,x2,,x的标准差 D.,x,x4,x的极差不大于x,,…,x的极差 【答案】BD 【解析】对于选项A:设x2,x3,x4,x的平均数为m,x,x2,,x的平均数为n, 则n-m=舌+名+考+龙++6-名+考+飞+5_2(G+x)-(+x2+x+无) 6 4 12 因为没有确定2(x+x),x+x3+x+x的大小关系，所以无法判断m,的大小， 例如：1,2,3,4,5,6，可得m=n=3.5: 例如1,1,1,1,1,7，可得m=1,n=2; 例如12,22,2,2，可得m=2,n= 6:故A错误 高一数学答案第4页（共15页） 对于选项B:不妨设x≤x2≤x≤x4≤x≤x, 可知，X,X4,x的中位数等于x,,,,的中位数均为十立，故B正确； 2 对于选项C:举反例说明，例如：2,4,6,8,10,12，则平均数n=二(2+4+6+8+10+12)=7， 6 标准差S= g2-j-4-7-6-y-8-7-0-7+02-7] 105 3 4,6.8,10, 则平均数m=(4+6+8+10)=7, 标准差S2= V得(4-7+6-7+8-7+0-7]-5，显然西5，即s>s, 3 所以x2,x,x4,x的标准差不小于x,2,…,x的标准差，这一论断不成立，故C错误： 对于选项D:不妨设x≤x≤x≤x4≤x≤七%， 则x-x≥x-七2，当且仅当x=6,x=,时，等号成立，故D正确： 故选：BD. 10.如图，在正三棱柱ABC-ABC中，点P,Q,M,N分别是AB,CC,AC,BC的中点，则 下列说法中正确的有() A.PQI/平面ABC B.MN⊥BC C.PQL平面ABBA D.PQ与MN相交 【答案】ACD 【解析】对于A,取AB的中点D,连接PD,CD. 在△ABB中，P,D分别为AB,AB中点，PD1IBB,且PD=BB. 在直三棱柱ABC-AB,C中，CC/1BB,CC=BB 高一数学答案第5页（共15页） M Q为棱cC的中点，CQ1/BA,且cQ-PD/1cQ,PD-CQ .四边形PDCQ为平行四边形，从而PQI1CD 又，CDC平面ABC,PQt平面ABC,.PQII平面ABC,A正确， 对于B,因为N为BC的中点，若MW⊥BC,则MB=MC, 连接ME,E为AC的中点，则MEI/CC,又CC⊥平面ABC, 所以ME⊥平面ABC,EC,EBC平面ABC,所以ME⊥EC,ME⊥EB,设AB=2a,AA=h, 则EC=a,EB=√3a,所以MC=√a2+R,MB=√3a2+h,与MB=MC矛盾， 所以MN⊥BC不成立，B错误， 对于C,在直三棱柱ABC-AB,C中，BB⊥平面ABC. 又CDC平面ABC,∴.BB⊥CD.CA=CB,D为AB中点，.CD⊥AB. 由选项A的推理知CDIIPQ,.BB,⊥PQ,AB⊥PQ 又AB∩BB=B,ABC平面ABBA,BBC平面ABBA,所以PQ⊥平面ABBA,C正确； 对于D,因为P为AB的中点，四边形ABBA为矩形，所以点P为AB的中点，又N为BC的中点， 所以PW11AC,且PN-AC,又M,0分别为4C,CC的中点，所以M01AC,M0-4C, 所以MQIIPN,MQ=PN,所以四边形MQNP为平行四边形，故PQ与MN相交，D正确. 11.在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c-b=2 bcosA,则() A.A=2B B。:的殿独范国为0司 C.%的取值范围为(2，V5) b 高一数学答案第6页（共15页） D. tan BtanA+2sinA的最小值为2√2 11 【答案】AC 【解析】对A:由正弦定理可将式子c-b=2 bcosA化为sinC-sinB=2 sin BcosA, 又sinC=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,代入上式得sin Acos B-cos Asin B=sinB, 即sin(A-B)=sinB,因为0<A,B<π，则sinB>0,故0<A-B<π， 所以A-B=B或A-B+B=π，即A=2B或A=π（舍去），所以A=2B,故A正确： 对B:因为△ABC为锐角三角形，A=2B,所以C=元-3B, 0<B< 2 由0<2B<乃 解得B∈ ππ 6’4 故B错误； 0<π-3B< 2 对C: a sin A sin 2B =2cosB,因为B∈ 64 所以sBe9,. 2,2 2cosB∈(V2,V5) b sin B sin B 即的取值范用为5)，故C正确： 1 对D: 1 2sin A=cosB cos A +2sin A=sin(AB)+2sinA tan B tan A sin B sin A sin Asin B 1 1 +2sinA22, sinA sinA ×2sinA=2V2,当且仅当1 sin A =2sinA,即inA=5时取等号， 2 所以4引.A 无法取到等号，故D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.在正方体ABCD-AB,CD中，直线CD与BC所成角的大小为 【答案】60° 【解析】连接AD,AC,在正方体ABCD-AB,CD中， D D 高一数学答案第7页（共15页） 因为ABI1DC,且AB=DC,所以四边形ADCB为平行四边形，所以AD/1AC, 则∠ADC即为直线CD,与BC所成的角或其补角，由正方体的性质可得：△ADC为正三角形， 所以∠ADC=60°，则直线CD,与BC所成的角是60° 13.已知复数z满足z一1=1，则|z+1-2i的最小值为 【答案】22-1 【解析】因为z-1=1,所以复数z对应的点Z在以C(1,0)为圆心，1为半径的圆上， 又z+1-2i=|z-(-1+2)|=ZA,其中A(-1,2), 所以|z+1-2 imin=AC-r=2√2-1. 1, x>0 14.已知f(x)= 0, x=0,依b、c是平面内三个不同的单位向量.若f(a.b)+f(b·)+f(c,)= -1,x<0 0,则a+b+c的取值范围是 【答案】1,5 【解析】若f(a-b)=f(⑥.c)=f(ca)=0,则a.b=bc=ca=0, 又三个向量均为平面内的单位向量，故向量α，b,c两两垂直，显然不成立： 故{f(a.b)f(6c),f(ca}={l0,. f(a.B)=1 不妨设{ f(6c)=0,则a.b>0,b.c=0,ca<0, f(c.a)=-1 [a.b=cose>0 不妨设b=1,0),c=(0,1),a=(cos0,sin8),8∈[0,2元)，则 则0∈ c.a=sin@<0 ++=1+cos0,1+sin)=+cos0)+(+sin )=3+2cos@+2sine +25如0+ 22 2,2 25sm0+7c(-2.2) 故a+b+d∈1,5). 四、解答题：本题共5小题，共77分，除特别说明外，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 高一数学答案第8页（共15页） 15.近年来，某“医用口罩”生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量， 现在该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组： [40,50),[50,60),[60,70),…,[90,1001,得到如下频率分布直方图. ◆频率/组距 0.025 0.015 0.010 0.005 405060708090100质量指标值 (1)求出直方图中m的值： (2)利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数，众数和中位数（同 一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到0.01)： (3)现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品.利用分层 抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，其中一等品和二等品分别有多少个？ 【解析】(1)由10×(0.010+0.015+0.015+m+0.025+0.005)=1,得m=0.030..…3分 (2)平均数为x=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71,…5分 因为[70,80)的频率最大，所以众数为70+80-75， 2 …7分 因为0.1+0.15+0.15=0.4<0.5,0.1+0.15+0.15+0.3=0.7>0.5， 所以中位数在第4组，设中位数为n, 则0.1+0.15+0.15+0.030m-70)=0.5,解得n=220≈73.33， …9分 3 所以可以估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数为71，众数为75，中位数为73.33. (3)由频率分布直方图可知：100个口罩中一等品有60个，二等品有40个， 由分层抽样可知，所抽取的5个口罩中一等品有5×60-3个，二等品有5-3=2个， 100 所以抽取的5个口罩中一等品有3个和二等品有2个.… …13分 I6.如图，四边形ABCD是矩形，ABL平面BCE,BE⊥EC,点F为线段BE的中点. 高一数学答案第9页（共15页） (I)求证：平面ABE⊥平面ACE; (2)求证：DE/1平面ACF. 【解析】(I)证明：因为AB⊥平面BCE,ECc平面BCE,所以AB⊥EC,…2分 又BE⊥EC,AB∩BE=B,ABC平面ABE,BEC平面ABE, 所以CE⊥平面ABE.…5分 又因为CEC平面ACE,所以平面ABE⊥平面ACE.…7分 (2)证明： D 如上图，连接BD交AC于M,连接FM, ………9分 因为四边形ABCD是矩形，所以点M为线段BD的中点，…I1分 又点F为线段BE的中点，所以FM/IDE.… …13分 又因为FMC平面ACF,DE丈平面ACF,所以DE//平面ACF.…15分 17.己知向量a=(cosx,V3sinx),b=(V3sinx,cosx+2sinx)。 0若6-方与6共线，x径 求sin2x的值： 2设函数/()-a6xe0 ,求f(x)的值域 【解析】(1)'a=(cosx,V3sinx),b=(V3sinx,cosx+2sinx, :.√3a-b=(√5cosx-√3sinx,sinx-cosx), √5a-b与6共线，.(V3cosx-V5sinx)(cosx+2sinx)=V3sinx(sinx-cosx).…2分 1 'X∈ π ,元六sinr-cosx≠0,3sinx=-cosr,即tamr=- 31 …4分 2sinxcosx 2tanx 3 .sin2x= …7分 sin2x+cos2x tan2x+1 5 (2)f(x)=a.b=v3sinxcosx+3sinx(cosx+2sinx) -26neox25nx-m2x461cs2刘6n2rf}5.1分 高一数学答案第10页（共15页） 所以当2：[引国单洲滋.当2x[及 时f(x)单调递减， 所以d在0 上单调递增， 在匹上单调递减 82 又ro=01受-6+5/受-25， 所以f(x)的值域为0，V6+V3.…15分 18.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(b-a)(sinB+sinA)=(b-c)sinC. (1)求A的值： (2)若a=2,bc=4,求△ABC的周长： (3)设内角A的平分线交BC于点D,AD=√3，求△ABC面积的最小值. 【解析】(1)因为(b-a)(sinB+sinA)=(b-c)sinC, 由正弦定理得(b-Q)(b十a)=(b-C)C,…2分 即b+c2-a2=bc,由余弦定理得cosA=+c2-d_」 2bc 2 又0<A<π，所以A= …5分 3 (2)由(1)知，a2=b2+c2-bc=b+c)2-3bc, 又a=2,bc=4,解得b+c=4, 所以△ABC的周长为6.… …9分 (3)因为AD是内角A的平分线，所以∠BAD=∠BAD-若 又AD=V5,由SAc=S.an+Sm,得)besin5=G e.ADsin亚+ADsin 2 32 62 6’…11分 3bc=(b+c)AD=3(b+c), 因此bc=b+c≥2bc,即bc≥4，…l3分 当且仅当b=c=2时取等号， 则S孕bc25,所以△ABC面积的最小值为.5分 4 19.在三棱台ABC-AB,C中，AB L AC,平面ABBA⊥平面ACCA, A4=AC-CG-2,AC=4,且BB与底面ABC所成角的正弦值为压 高一数学答案第11页（共15页） B (1)求证：AB⊥面ACCA: (2)求三棱台ABC-ABC的体积； (3)侧陵BB上是否存在点M,使二面角M-AC-B的大小为石若存在，求出册 BM 的值；若 6 不存在，说明理由。 【解析】(1)连接AC, G B 在梯形ACCA中，过A作AG11CC交AC于G, 由AA=AC,=CC,=2,AC=4,则△AAG为等边三角形，则∠AAG=60°， 四边形AGCC为菱形，则∠GAC=30°，所以∠AAC=90°，即AC⊥AA. 因为平面ABBA⊥平面ACCA,平面ABBA∩平面ACCA=AA,ACC平面ACC,A, 所以AC⊥平面ABBA,… …3分 又ABc平面ABB,A,所以AC⊥AB, 又因为AB⊥AC,AC⌒AC=C,AC、ACc平面ACCA, 所以AB⊥平面ACCA.…5分 方法一：(2)因为AB⊥平面ACCA,ABC平面ABC,所以平面ACCA⊥平面ABC, 高一数学答案第12页（共15页) 过A作AN⊥AC,连接BN,ANC平面ACC,A,平面ACC,A∩平面ABC=AC, 则AN⊥平面ABC,故几何体的高为AN=√3 …7分 如图，延长侧棱交于点O,作OH⊥AC于H,连接BH, 由己知H为AC中点，AH=2, B 由(1)得，OH⊥平面ABC, 因为BB,与底面ABC所成角的正弦值为√西 则余弦值为V10 5 0M=24w=25,0B=25 =25 V15 ，BH=22,0A=VOH2+AH2=4, 5 由(1)得AB⊥OA,则AB=VOB2-OA2=2, 又因为BB与底面ABC所成角的正弦值为 ,所8= V15 …9分 5 5 故三台的积%v5行2x4+2x424-7 …11分 4 8 (3)假设侧棱BB上存在点M,使二面角M-AC-B的大小为 如图，作MG/1OH交BH于G,过G作GK⊥AC于K,则GK11AB, 高一数学答案第13页（共15页） 由(2)可得，MG⊥平面ABC,则∠MKG即为二面角M-AC-B的平面角.…13分 又BHC平面ABC,则MG⊥BH, 设BM=25x,则BG=0BM=x25x=22x, 5 则MG=1 25x-(22x=23x, 白GK1AR,0gg又G-MBG-250刘 所以KG-25x2=201-对， 2√2 又G-君则5解弱子所以w点，即M为R中 5 所以侧棱BB,上存在点M,满足BM_三_，使二面角M-AC-B的大小为买…17分 BB5 2 h 方法二：(2)因为AB⊥平面ACC,A,ABC平面ABC,所以平面ACC,A⊥平面ABC, B 过A作AN⊥AC,ANC平面ACCA,平面ACCA∩平面ABC=AC, 则AW⊥平面ABC,故几何体的高为AN=√5. …7分 过N作NDIIAB交BC于D,作B1 EIIAN交ND于E,连接BE. 高一数学答案第14页（共15页） 则B1E⊥平面ABC,所以BB,与底面ABC所成角为∠B1BE, 又B,E=AW=V5,所以sin∠B,BE= B,E_3 BB BB 5 ,所以BB=5.…9分 庙△ABC三角形ABLC,得AB=AC三，设AB,=,则AB=2 由(1)知，AB⊥AA1, 在直角梯形ABB1A1中，AA1=2,BB1=V5,A1B1=x,AB=2x,可得x=1. 所以△A1B,C的面积S=2X2×1=1,△ABC的面积S'=×4×2=4, 75 放三核台的体积为V-青50：4可)- …11分 3 (3)假设侧棱BB上存在点M,使二面角M-AC-B的大小为 6 作MHI/B1E交BE于H,作HI⊥AC交AC于L,连接ML. 则MH⊥平面ABC,所以MH⊥AC,又HI⊥AC,MH∩HI=H, 所以AC⊥平面MHI,则MI⊥AC, 所以∠MIH为二面角M-AC-B的平面角，即∠MH=若 …13分 设BM=1BB1,0≤1≤1， 在Rt△BBE中， MH_BM=元，所以MH=V5A B.E BB 在直角梯形ABEN中，AB=2,AN=1,NE=1,所以BE=V2, ,M_EH_BM=1-元，所以HⅢ=1+1-)=2-1. 又NA-EB BB 在R△MM中，由an∠MIH=MH-V32-V HI2-3 ,解得入2 以侧枝BB,上存在点M,满左88，使面角M-AC-B的大小为 6 …17分 高一数学答案第15页（共15页） 南京一中2025－2026学年第二学期期末考试试卷 高一数学 2026.06 命题人：邢苏婷、雷蕾 校对人：邢苏婷 审核人：蒋文化 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若复数z＝(m＋1)－2mi(m∈R)为纯虚数，则z的共轭复数是 A．2i B．i C．－i D．－2i 2．已知角α的终边不在坐标轴上，且2sin2α＝sinα，则cos2α＝ A．－ B． C．－或1 D．－ 3．设α，β为两个平面，l，n为两条直线，则下列结论中正确的是 A．若l//n，nα，则l//α B．若l//α，l//β，则α//β C．若l//α，l⊥β，则α⊥β D．若α∩β＝n，n⊥l，则l⊥α或l⊥β 4．下列关于平面向量的说法中正确的是 A．若a//b且b//c，则a//c B．若a＝λb(λ≠0)且b≠0，则a与b方向相同或相反 C．若|a|＝|b|，则a＝b D．a与b方向相反，则a＋b与a的方向相同C1 B1 A1 C B A 5．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的体积为6，△A1BC的面积为2， 则点A到平面A1BC的距离为 A． B． C．2 D． 6．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若＝，则△ABC的形状是 A．等腰三角形或直角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 7．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立 方除之，即立圆径．意思是：球的体积V乘以16，除以9，再开立方，即为球的直径d，由此我 们可以推测当时球的表面积S的计算公式为 A．S＝d2 B．S＝d2 C．S＝d2 D．S＝d2 8．在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，△ABC为等边三角形，且AB＝3，PA＝2，则该三棱锥外 接球的表面积为 A．8π B． C．16π D．12π 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9．有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则 A．x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数 B．x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数 C．x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差 D．x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差 10．如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，点P，Q，M，N分别是AB1，CC1，A1C1，BC的中点，则 下列说法中正确的有 A．PQ//平面ABC B．MN⊥BC C．PQ⊥平面ABB1A1 D．PQ与MN相交 11．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c－b＝2bcosA，则 A．A＝2B B．B的取值范围为(0，) C．的取值范围为(，) D．－＋2sinA的最小值为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线CD1与BC1所成角的大小为． 13．已知复数z满足|z－1|＝1，则|z＋1－2i|的最小值为． 14．已知f(x)＝a，b，c是平面内三个不同的单位向量．若f(a·b)＋f(b·c)＋f(c·a)＝0，则|a＋b＋c|的取值范围是． 四、解答题：本题共5小题，共77分，除特别说明外，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．近年来，某“医用口罩”生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量． 现在该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组： [40，50)，[50，60)，[60，70)，…，[90，100]，得到如下频率分布直方图． （1）求出直方图中m的值； （2）利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数，众数和中位 数(同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到0.01)； （3）现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品．利 用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，其中一等品和二等品分 别有多少个? 16．如图，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BCE，BE⊥EC，点F为线段BE的中点． （1）求证：平面ABE⊥平面ACE； （2）求证：DE//平面ACF． 17．已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(sinx，cosx＋2sinx)． （1）若a－b与b共线，x∈(，π)，求sin2x的值； （2）设函数f(x)＝a·b，x∈[0，]，求f(x)的值域． 18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(b－a)(sinB＋sinA)＝(b－c)sinC． （1）求A； （2）若a＝2，bc＝4，求△ABC的周长； （3）设内角A的平分线交BC于点D，AD＝，求△ABC面积的最小值． 19．在三棱台ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，平面ABB1A1⊥平面ACC1A1，AA1＝A1C1＝CC1＝2， AC＝4，且BB1与底面ABC所成角的正弦值为． （1）求证：AB⊥面ACC1A1； （2）求三棱台ABC－A1B1C1的体积； （3）侧棱BB1上是否存在点M，使二面角M－AC－B的大小为？若存在，求出的值；若 不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 高一数学试卷 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京一中2025－2026学年第二学期期末考试答案 高一数学 2026.06 命题人：邢苏婷、雷蕾 校对人：邢苏婷 审核人：蒋文化 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若复数为纯虚数，则的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知：且，∴，即，故的共轭复数是. 故选：D. 2．已知角的终边不在坐标轴上，且，则（    ） A． B． C．或1 D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 因为角的终边不在坐标轴上，所以， 则，由二倍角余弦公式可得： 故选：A. 3．设为两个平面，为两条直线，则下列结论中正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或 【答案】C 【解析】对于A：当直线在平面内时，即，此时也可能满足，但根据定义，直线在平面内，线面不平行，故A错误； 对于B：当时，若，则，此时，不成立， 故B错误； 对于C：由，经过直线的平面如果与平面有交线，由线面平行的性质定理知且，又，所以，而，所以，故C正确； 对于D：在正方体中，设平面为平面，平面为平面，则两平面的交线为.设直线为，则，但不与垂直，也不与垂直，故D错误. 故选：C. 4．下列关于向量的说法中正确的是（ ） A．若且，则 B．若（）且，则与方向相同或相反 C．若，则 D．与方向相反，则与的方向相同 【答案】B 【解析】因为当时，与不一定平行，所以A不正确； 因为向量共线时，其方向是同向或反向，所以B正确； 因为模相等的两个向量不一定相等，所以C不正确. 因为与的大小不确定，所以D不正确. 故选B. 5．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的体积为6，△A1BC的面积为2，则点A到平面A1BC的距离为( ) C1 B1 A1 C B A A． B． C．2 D． 【答案】B 【解析】由直三棱柱ABC－A1B1C1的体积为6，可得＝2， 设点A到平面A1BC的距离为d，由·d＝2， ∴，即点A到平面A1BC的距离为．故选B． 6．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则的形状是（    ） A．等腰三角形或直角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【解析】由，化简得：. 当时，，可知△ABC为直角三角形； 当时，所以，则， 化简得：，即，所以， 可知△ABC为等腰三角形. 综上所述：△ABC为等腰三角形或直角三角形. 故选：A. 7．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径．意思是：球的体积V乘16，除以9，再开立方，即为球的直径d，由此我们可以推测当时球的表面积S计算公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，所以， 所以， 故选：. 8．三棱锥中，平面，为等边三角形，且，，则该三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，点为外接圆的圆心，过点作平面的垂线， 取的中点D，过点作线段的垂线，所作两条垂线交于点，则点为三棱锥外接球的球心， 因为平面，且为等边三角形，， 所以四边形为矩形，，， 所以，即三棱锥外接球的半径， 则该三棱锥外接球的表面积为.故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9．有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（    ） A．的平均数等于的平均数 B．的中位数等于的中位数 C．的标准差不小于的标准差 D．的极差不大于的极差 【答案】BD 【解析】对于选项A：设的平均数为，的平均数为， 则， 因为没有确定的大小关系，所以无法判断的大小， 例如：，可得； 例如，可得； 例如，可得；故A错误； 对于选项B：不妨设， 可知的中位数等于的中位数均为，故B正确； 对于选项C：举反例说明，例如：，则平均数， 标准差， ，则平均数， 标准差，显然，即， 所以的标准差不小于的标准差，这一论断不成立，故C错误； 对于选项D：不妨设， 则，当且仅当时，等号成立，故D正确； 故选：BD. 10．如图，在正三棱柱中，点P，Q，M，N分别是，，，BC的中点，则下列说法中正确的有（   ） A．平面ABC B． C．平面 D．PQ与MN相交 【答案】ACD 【解析】对于A，取的中点D，连接，. 在中，P，D分别为，中点，，且. 在直三棱柱中，，. Q为棱的中点，，且.，. 四边形为平行四边形，从而. 又平面，平面，平面，A正确， 对于B，因为为的中点，若，则， 连接，为的中点，则，又平面， 所以平面，平面，所以，设，， 则，，所以，，与矛盾， 所以不成立，B错误， 对于C，在直三棱柱中，平面. 又平面，.，D为中点，. 由选项A的推理知，，. 又，平面，平面，所以平面，C正确； 对于D，因为为的中点，四边形为矩形，所以点为的中点，又为的中点， 所以，且，又分别为的中点，所以，， 所以，，所以四边形为平行四边形，故与相交，D正确. 11．在锐角中，角所对的边分别为，若，则（ ） A． B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．的最小值为 【答案】AC 【解析】对A：由正弦定理可将式子化为， 又，代入上式得， 即，因为，则，故， 所以或，即或（舍去），所以，故A正确； 对B：因为为锐角三角形，，所以， 由解得，故B错误； 对C：，因为，所以，， 即的取值范围为，故C正确； 对D： ，当且仅当，即时取等号， 但因为，所以，，无法取到等号，故D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在正方体中，直线与所成角的大小为 ． 【答案】 【解析】连接，，在正方体中， 因为，且，所以四边形为平行四边形，所以， 则即为直线与所成的角或其补角，由正方体的性质可得：为正三角形， 所以，则直线与所成的角是. 13．已知复数z满足|z－1|＝1，则|z＋1－2i|的最小值为 ． 【答案】2－1 【解析】因为|z－1|＝1，所以复数z对应的点Z在以C(1，0)为圆心，1为半径的圆上， 又|z＋1－2i|＝|z－(－1＋2i)|＝ZA，其中A(－1，2)， 所以|z＋1－2i|min＝AC－r＝2－1． 14.已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】若，则， 又三个向量均为平面内的单位向量，故向量两两垂直，显然不成立； 故. 不妨设，则， 不妨设，，则，则， 则， 由，，则， 故. 四、解答题：本题共5小题，共77分，除特别说明外，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．近年来，某“医用口罩”生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量． 现在该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组： [40，50)，[50，60)，[60，70)，…，[90，100]，得到如下频率分布直方图． (1)求出直方图中m的值； (2)利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数，众数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到0.01）； (3)现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品．利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，其中一等品和二等品分别有多少个？ 【解析】（1）由，得． ……………………3分 （2）平均数为，………………5分 因为的频率最大，所以众数为，…………………………………………………7分 因为，， 所以中位数在第4组，设中位数为n， 则，解得，………………………………………9分 所以可以估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数为71，众数为75，中位数为73.33． （3）由频率分布直方图可知：100个口罩中一等品有60个，二等品有40个， 由分层抽样可知，所抽取的5个口罩中一等品有个，二等品有个， 所以抽取的5个口罩中一等品有3个和二等品有2个．……………………………………………13分 16．如图，四边形是矩形，平面，，点为线段的中点． (1)求证：平面⊥平面ACE； (2)求证：平面． 【解析】（1）证明：因为平面，平面，所以，…………………2分 又，，平面，平面， 所以平面.……………………………………………………………………………………5分 又因为CE平面ACE，所以平面⊥平面ACE.…………………………………………………7分 （2）证明： 如上图，连接交于，连接， …………………………………………………………9分 因为四边形是矩形，所以点为线段的中点，…………………………………………11分 又点为线段的中点，所以.……………………………………………………………13分 又因为平面，平面，所以平面.………………………………15分 17．已知向量. (1)若与共线，，求的值； (2)设函数，求的值域. 【解析】（1）， ， 与共线，.………………………2分 ，，，即， ……………………………4分 . ………………………………………………………………7分 （2） . ………………………11分 ， 所以当时单调递增，当时单调递减， 所以在上单调递增，在上单调递减. 又， 所以的值域为. ……………………………………………………………………15分 18．在中，内角所对的边分别为，且． (1)求的值； (2)若，求的周长； (3)设内角的平分线交于点，，求面积的最小值． 【解析】（1）因为， 由正弦定理得，…………………………………………………………………2分 即，由余弦定理得， 又，所以. ………………………………………………………………………………5分 （2）由（1）知，， 又，解得， 所以的周长为. …………………………………………………………………………………9分 （3）因为AD是内角A的平分线，所以∠BAD＝∠BAD＝， 又，由，得，……………11分 即， 因此，即，……………………………………………………………………13分 当且仅当时取等号， 则，所以面积的最小值为.……………………………………………15分 19．在三棱台中，，平面平面，，且与底面所成角的正弦值为. （1）求证：面； （2）求三棱台的体积； （3）侧棱上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【解析】（1）连接， 在梯形中，过作交于， 由，则为等边三角形,则， 四边形为菱形，则，所以，即. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， ……………………………………………………………………………3分 又平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面.………………………………………………………………………………5分 方法一：（2）因为平面，平面，所以平面平面， 过作，连接，平面，平面平面， 则平面，故几何体的高为.…………………………………………………7分 如图，延长侧棱交于点，作于，连接， 由已知为中点，， 由（1）得，平面， 因为与底面所成角的正弦值为，则余弦值为， ，，，， 由（1）得，则， 又因为与底面所成角的正弦值为，所以， ……………………9分 故三棱台的体积为. ………………………11分 （3）假设侧棱上存在点，使二面角的大小为. 如图，作交于，过作于，则， 由（2）可得，平面，则即为二面角的平面角. ……………13分 又平面，则， 设，则， 则， 由，得，又， 所以， 又，则，解得，所以，即为中点， 所以侧棱上存在点，满足，使二面角的大小为.………17分 方法二：（2）因为平面，平面，所以平面平面， 过作，平面，平面平面， 则平面，故几何体的高为．…………………………………………………7分 过N作ND//AB交BC于D，作B1E//A1N交ND于E，连接BE． 则B1E⊥平面ABC，所以与底面所成角为∠B1BE， 又B1E＝，所以sin∠B1BE＝，所以．…………………9分 由△ABC∽三角形A1B1C1，得，设A1B1＝x，则AB＝2x． 由（1）知，AB⊥AA1， 在直角梯形ABB1A1中，AA1＝2，BB1＝，A1B1＝x，AB＝2x，可得x＝1． 所以△A1B1C1的面积S＝×2×1＝1，△ABC的面积S'＝×4×2＝4， 故三棱台的体积为．……………………………………………11分 （3）假设侧棱上存在点，使二面角的大小为． 作MH//B1E交BE于H，作HI⊥AC交AC于I，连接MI． 则MH⊥平面ABC，所以MH⊥AC，又HI⊥AC，MH∩HI＝H， 所以AC⊥平面MHI，则MI⊥AC， 所以∠MIH为二面角M－AC－B的平面角，即∠MIH＝． ………………………………………13分 设BM＝λBB1，0≤λ≤1， 在Rt△B1BE中，，所以MH＝λ． 在直角梯形ABEN中，AB＝2，AN＝1，NE＝1，所以BE＝， 又，所以HI＝1＋(1－λ)＝2－λ． 在Rt△MHI中，由，解得λ＝． 所以侧棱上存在点，满足，使二面角的大小为． ……………17分 试卷第1页，共3页 高一数学答案 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $