江苏南京市雨花台中学2025-2026学年高一下学期6月期末学情调研数学试题

**基本信息** 高一年级期末数学学情调研卷，涵盖复数、立体几何、向量、统计等核心知识，以劳动实习（圆台加工球体）、测量问题等真实情境为载体，通过分层设问（如四棱锥证明与探究）考查空间观念、运算能力及数据意识，适配高一学段综合素养评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数运算、斜二测画法、向量中线、线面关系|第8题结合劳动实习考查圆台内切球表面积，体现应用意识| |多选题|3/18|向量平行垂直、数据极差方差、函数单调性|第10题通过数据剔除分析方差变化，培养数据观念| |填空题|3/15|奇函数性质、分层抽样方差、向量模最值|第13题融合分层抽样与方差计算，强化统计应用| |解答题|5/77|复数分类、向量坐标、立体几何（线面平行/二面角）|第18、19题以四棱锥为载体，分证明、计算、探究三层次，突出逻辑推理与空间想象|

高一年级期末【数学】学情调研 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．已知，则复数（    ） A． B． C． D． 2．如图所示，梯形是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形ABCD的面积为（      ）    A．2 B． C．3 D． 3．在中，边上的中线为，点满足，则（    ） A． B． C． D． 4．已知两条直线m，n和平面，那么下列命题中的真命题是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 5．设，若为实数，则的值为（     ） A． B． C．2 D． 6．已知向量，，那么向量与的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．夹角是锐角 D．夹角是钝角 7．如图所示，为测量一条河流的宽度，选取了与河宽在同一垂直平面内的两个观测点，，利用无人机在点处测得河岸点的俯角为，河岸点的俯角为，无人机沿方向飞行千米到达点，测得河岸点的俯角为，则（   ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 8．某中学开展劳动实习，学习制作模具加工，现将一个圆台加工成一个球体．已知圆台的上、下底面的半径之和为6，母线长为8，且母线与底面所成的角为，则得到的球的表面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．已知向量，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．当时，在上的投影向量为 10．已知一组数据，，，…，（），则下列说法正确的是（    ） A．该组数据的极差为 B．该组数据的70%分位数为 C．剔除，后得到的新数据的平均数小于原数据的平均数 D．剔除，后得到的新数据的方差小于原数据的方差 11．已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．若，则在上单调递增 B．若，则的最小值为 C．若在内无零点，则的取值范围为 D．若在内单调递减，则的取值范围为 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．若是定义在上的奇函数，当时，，则___________． 13．学校为了解学生身高(单位：cm)情况，采用按比例分层随机抽样的方法从3000名学生中抽取了一个容量为100的样本，其中男女生人数之比为，统计数据得到男生平均身高为176，方差为164，女生平均身高为161，方差为169，用样本估计总体，则该学校学生身高的方差为________ 14．已知平面向量满足，则的最大值为__________. 四、解答题：（本大题共5小题，共77分） 15．已知复数． (1)若z为纯虚数，求实数m的值； (2)若z为虚数，求实数m的取值范围． 16．已知平面向量． (1)若，且，求的坐标； (2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 17．在平行四边形中，，分别为的中点，点在线段上运动 (1)当为中点时，设，求的值； (2)若，求的取值范围. 18．在四棱锥中，平面平面ABCD，，底面ABCD为菱形，，，E，F分别是SA，BC的中点．    (1)求证：平面SCD； (2)求二面角的余弦值； (3)求点B到平面SCD的距离． 19．如图，在四棱锥中，平面平面，平面平面，底面是平行四边形，且，，． (1)求证：平面； (2)当时，求直线与平面所成角的正弦值； (3)当时，求二面角的正弦值的取值范围． （注：本题用空间向量作答不给分） 高一年级期末【数学】学情调研 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A C B D D B ACD AD 题号 11 答案 ABD 12． 13．220 14．12 15．(1)或 (2)且 【详解】（1）当且，且时，复数为纯虚数， 由，得或， 由，且得且， 所以当或时，复数为纯虚数． （2）当且时，复数为虚数， 解得且，所以当且时，复数为虚数 16．(1)或； (2). 【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示，结合向量垂直及模的坐标求法求解即得. （2）利用向量夹角公式，列式求解即得. 【详解】（1）由，得，由，设， 由，得，解得， 所以的坐标是或. （2）依题意，，由与的夹角为锐角，得，且与不共线， 因此，解得且， 所以实数的取值范围是. 17．(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量基本定理得到，求出，得到答案； （2）表达出，设，， 表达出，并求出，从而求出，结合，求出取值范围. 【详解】（1）当为中点时，， 又分别为的中点，所以， 所以，    故，； （2）为的中点，故， 点在线段上运动，设，， 故，即 ， 因为，，所以， 则 ， 因为，所以. 18．(1)取SD的中点M，连接ME，MC， 因为E，M分别为SA，SD的中点，则且， 又因为F为BC的中点，且四边形ABCD为菱形，则且， 可得且，可知四边形EFCM是平行四边形，则， 且平面SCD，平面SCD，所以平面SCD． (2) (3) 【分析】（1）作辅助线，可证，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）作辅助线，根据线面垂直分析可知为二面角的平面角，即可得结果； （3）由（2）可知：平面ABCD，利用等体积转化法求点到平面的距离. 【详解】（1）略 （2）取AB的中点O，连接SO，CO，AC，    因为，则， 且平面平面ABCD，平面平面，平面SAB， 所以平面ABCD， 由题意可知：为等边三角形，则， 且，平面，可得平面， 由平面可得， 又因为，则，， 可知为二面角的平面角， 在中，则，，， 可得， 所以二面角的余弦值为． （3）由（2）可知：平面ABCD， 且，， 设点B到平面SCD的距离为h， 因为，则， 即，解得， 所以B到平面SCD的距离为． 19．(1)因为平面平面，平面平面，且平面平面， 所以平面. (2) (3) 【分析】（1）运用面面垂直的性质定理； （2）找到直线与平面所成的角再找到角的相关几何关系； （3）找到二面角，再将二面角关系往已知条件方面进行变式 【详解】（1）略 （2）过点作于点，因为平面， 所以，又因，所以平面， 则为直线与平面所成的角. 面为平行四边形，，， 所以， 在中，，所以，而, 又因三点共线，所以，，， 因为平面，所以， 故， 因为，所以为直角三角形， 在中，. （3）过作于，过作于，连接， 则， 故，， 由小问（1）得，又，平面， 所以平面，平面，所以为直角三角形， 所以，且，， 平面，所以平面，故， 因此为二面角的平面角. 由题可得， 由等面积可得， 在中，， 则，令，则 在中， ， 令，，当时， 越大，分母就越小，故在上单调递增， 所以，， 故二面角的正弦值的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $