江苏南京市2025-2026学年度第二学期高一期末数学试卷

高一期末测试 数学参考答案与评分建议 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1 2 3 4 5 6 8 B D B A B C A D 二、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 9 10 11 BCD AC ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.2 13.92 14.15 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 【解】(1)因为1-2b=(7,-6, …2分 所以1a-20=V72+(-6)2=85 …4分 (2)因为a+b=(-2,0),a-b=(4,-4), 所以|a+b=2,|a-b=4V2, …8分 因为(a+)(a-D)=-2×4+0×(-4)=-8, …10分 设向量a+b与a-b的夹角为0， 所以cos0=a+):a-b=-8=-V2 …13分 |a+bla-bl2×4V22 16.(15分) 【解】()因为sinu=}ae(0,受 5 因为sin2a+cos2au=1, 所以cosa=V1-sina=4 …3分 所以sin2a=2 sinacoa=24 …5分 5 所以cosa-男-5osa+点sna-互x2-7迈 …7分 4 2 2 2510 数学试卷答案第1页（共5页） (2)由(1)知tang=sina=3 …9分 cosa 4 3+1 因为tan(a+pP)= tana+tan阝-47=1， …13分 1-tanatan p 1-3 8 因为0<a<乃0<P<乃，所以0<a+B<m, …14分 所以a+B=平 …15分 17.(15分) 【解】(1)由题意可得， =90+95+92+100+98=95, 5 2-95+94+100+96+90=95. …2分 5 o09y405949295r4009940890J 52=095-92+04-99列2+10-92+96-952+(00-95]=2 …4分 所以=2,5弹2>5z2, 所以甲、乙的平均分相同，但乙的成绩比甲稳定， 故选乙参加知识竞赛较合适. …6分 (2)在5道题中，参赛者会答的3道题分别为1,3,5， 另外2道不会答的题分别为2,4. ()参赛者从5道题中抽3道题的结果构成的样本空间为 2={(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5),（2,3,4), (2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)},共10种. …11分 (i)记“参赛者进入复赛”为事件A, 进入复赛，即至少答对2道的情况有(1,2,3)，(1,2,5)，(1,3,4)， (1,3,5),1,4,5),(2,3,5),3,4,5),共7种. …13分 所以参容者进入复赛的溉率为2)品。 数学试卷答案第2页（共5页） 答：该参赛者进入复赛的概率为二 …15分 10 18.(17分) 18.(17分) 【解】(I)因为PA⊥平面ABC,BCC平面ABC, 所以BC⊥PA, …2分 因为∠ACB=90°，所以BC⊥AC,PA∩AC=A, 所以BC⊥平面PAC. 因为BCc平面PBC,所以平面PBC⊥平面PAC. …5分 (2)连接PE并延长交AB于点N,连接CN …6分 (i)因为EF∥平面ABC,EFC平面PCN,平面PCN∩平面ABC=CN, 所以EF∥CN. …8分 因为AE=2EM,M是PB中点， M 所以E是△PAB的重心，N是AB的中点， -->B 所以PE=PE=2 FC EN …10分 (ii)△ABC是等腰三角形，理由如下： 因为EF⊥平面PAB,EFC平面PCN, 所以平面PCN⊥平面PAB. …12分 因为PA⊥平面ABC,PAC平面PAB, 所以平面PAB⊥平面ABC。 …13分 法1：在平面PCN内过C作CW⊥PN, 因为CNc平面PCN,平面PCN⊥平面PAB,平面PCN∩平面PAB=PN, 所以CN⊥平面PAB: 同理，过C作CN,⊥AB,可知CN,⊥平面PAB …14分 因为过平面PAB外一点C有且只有一条直线与该平面垂直， 所以CN,CN重合，由于AB∩PN=N, 数学试卷答案第3页（共5页） 所以N,N,N重合， 所以CN⊥AB, 因为N为AB中点，故AC=BC,即△ABC是等腰三角形 …17分 法2：证明结论：设a,B,y是平面，若a∩B=1,a⊥y,B上y,则11y, 因为a⊥y,设a∩y=m,在a内作1⊥，则l⊥y, 同理，可设B∩y=n,lca,2⊥n,则l2⊥y, 所以1∥1， 因为l2cB,工B,所以l∥B,因为1ca,α∩B=1,所以l∥1. 所以11y. 因为平面PCN∩平面ABC=CN,所以CN⊥平面PAB, 因为ABC平面PAB,所以CN⊥AB, 因为N为AB中点，故AC=BC,即△ABC是等腰三角形 19.(17分) 【解】(1)在△ABC中，由正弦定理a n4-sin，得2=如4 b b sin B 因为V3 bsinA=a1+cosB), 所以V3 sin BsinA=simA1+cosB). …2分 因为0<A<π，所以simA>0, 所以√3simB=1+cosB, 3sin B-cosB=2sin(B-=1, sm(8爱-克： …3分 因为0<B<π， 所以-石<B-”<π 6 661 B-= Γ66 数学试卷答案第4页（共5页） …5分 (2))在△48C中，a=1,6=5,由(1)知8=号 在△ABC中，由正弦定理，a=b sin A sin B' 得snA=号×n8=号 1 …7分 因为a<b,所以A<B, 所以A= 石，C=m-A-B=受： 所以△ABC是直角三角形. …9分 (i)在△ABC中，因为c2=a2+b2=4,所以c=2. …10分 设AD=x,CD=y. 在△ACD中，由余弦定理AC2=AD+CD2-2 ADXCD×coS∠ADC, 得3=x2+y-2yc0s2π=x2+y2+y. …12分 3 因为x2+y2+xy≥2xy+xy=3xy, 所以1，所以=片油-卓w 3 4 当且仅当x=y=1时等号成立. 所以△4CD面积的最大值为 …14分 4 在△4CD中，因为AD=1,cD=1,∠ADC=,所以ACD=若 3 在△2CD中，因为∠BCD=毁，CD=8C=1,所以∠CBD=君 2 在Rt△BCM中，CM=BG1am=5 63 所以点M在AC边上靠近C的三等分点. …17分 数学试卷答案第5页（共5页）高一期末数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定 位置，在其他位置作答一律无效。 3.本卷满分150分，考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.在复平面内，-1+i对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知平面向量=1，V3),b=(2,x),若/b,则x= A.-25 B.25 C.-2W3 D.2W5 3 3.已知l,m是两条直线，a是平面，若mc,则“1⊥m”是“1⊥a” A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.己知tana=2,则tan2= A.青 B.青 c号 D.号 5.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.若simA:sinB:sinC=4:5:6,则cosB= a品 B.16 C.-3 4 D. 6.在边长为3的正方形ABCD中，DE=2EC,则AB.AE= A.-5 B.5 C.6 D.9 7. 一组样本数据x,x2,x,,的平均数为x,标准差为2.另一组样本数据x, x3,x3,,3,x的平均数为y,标准差为5，则 A.x=y,5<2 B.x=y,5>2 C.x≠y,5>2 D.x≠y,S<2 数学试题第1页（共4页） 8.用半径为2的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的体积为 A.4π B.V3π C.4π D.3π 3 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.在△ABC中，M为边AB的中点，则 A.AB+AC=BC B.MA-MC=CA C.cM=M+号4B D.CM-C4+CB 10.同时抛掷两枚均匀硬币，记“出现两个正面”为事件A,“出现一正一反”为事件B, 则 A.P(4A)=1 B.P(B)=1 C.A与B为互斥事件 D.A+B为必然事件 11.如图，在直四棱柱ABCD-AB,C1D中，∠DAB=60°，A4=AB=AD=2,M,N分别 D Ci 为棱BB,B,C的中点，则 B1 A.MN∥平面ADDA B.DN⊥BC M D C.直线W与平面CC,AD所成角的正弦值为6 D.三棱柱ABD-AB,D,的外接球的表面积为匹 B 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知复数z=1+√5i,则|z=一 13.某学生8次素养测试的成绩统计如下：72,76,78,82,86,88,92,98，则该组数 据的第80百分位数为 14.海上A,B两个小岛相距5√6海里，从A岛望B岛和C岛所成的视角为60°，从B岛望A 岛和C岛所成的视角为75°，则B,C两岛之间相距 海里 数学试题第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知向量1=1，-2)，b=(-3,2),求： (1)1a-2bl: (2)向量a+b与a-b的夹角的余弦值. 16.(15分) 已知sma=},ae(0,受) (1)求sin2a和cos(a-马)的值： (2)若0<B<5,tanB=,求证：a+0=开 4 17.(15分) 某校知识竞赛分初赛、复赛两轮.某班从甲、乙两名学生中选拔一人参加学校知识竞赛 (初赛)，抽取了两人5次模拟测试的成绩，统计结果如下表： 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲的成绩（分 90 95 92 100 98 乙的成绩（分） 95 94 100 96 90 (1)试根据以上数据比较两名同学的平均水平和稳定性，并确定参加初赛的对象： (2)初赛要求如下：参赛者从5道编号为“1、2、3、4、5”的试题中随机抽取3道作答， 已知该参赛者会这5道试题中的3道（编号为奇数的题目）， (i)写出参赛者抽到的题号构成的样本空间2； (ⅱ)规定抽取的3道题至少答对2题方可进入复赛，求参赛者能进入复赛的概率. 数学试题第3页（共4页） 18.(17分) 如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC, (1)若∠ACB=90°，求证：平面PBC⊥平面PAC: (2)己知M为PB的中点，AE=2EM,F是棱PC上的一点. (i)若EF∥平面ABC,求PI: FC (ii)若EF⊥平面PAB,试判断△ABC的形状，并给出证明. M B 19.(17分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,√3 bsin A=a(1+cosB). (1)求B: (2)若a=1,b=5 (i)试判断△ABC的形状，并说明理由； (i)设点M在边AC上，连接BM并延长至点D,且∠ADC=牙。求△MCD面积 的最大值及此时点M的位置. 数学试题第4页（共4页）