精品解析：陕西榆林市榆阳区刘千河乡中学2025-2026学年下学期八年级数学第二阶段素养达标测试

2026春季八年级数学第二阶段素养达标测试 （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列关系式中，属于一次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥．其中正比例函数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 已知一次函数的图象经过点、，则、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不能确定 4. 已知是一次函数图象上一点，下列选项正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 某商场为了增加销售额，推出了“元旦期间大酬宾”活动，活动内容是：“凡元旦期间在该商场一次性购物超过100元者，超过100元的部分按八折优惠．”在酬宾活动中，小张到该商场为单位购买了单价为30元的办公用品x件（），则应付款y与商品件数x的关系式为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则一次函数y＝(a＋b)x＋ab的图象大致为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，直线与矩形的边、分别交于点E、F，已知，，则的面积是（ ） A. 6 B. 3 C. D. 8. 如表是一次函数中x与y的一些对应数值，则下列结论正确的是（ ） x … 0 1 2 … y … 6 3 1 … A. y随x的增大而增大 B. 该函数的图象经过第一、二、三象限 C. 关于x的方程的解是 D. 该函数的图象与y轴的交点是 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 已知关于x的函数是一次函数，则n的值为_______． 10. 请写出一个图象经过点，且随的增大而减小的一次函数的解析式：__________． 11. 如表为一个图案中红色和白色瓷砖数量的关系．设r和w分别为红色和白色瓷砖的数量，则表示w与r之间关系的表达式为______． 红色瓷砖数量（r） 3 4 5 6 7 白色瓷砖数量（w） 6 8 10 12 14 12. 若直线（是常数）的图象经过点，将直线向上平移5个单位长度，平移后直线的解析式为________． 13. 直线一定经过一个定点，这个定点的坐标是_________ ． 14. 如图，已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点，点，有下列结论：①图象经过点；②关于x的方程的解为；③关于x的方程的解为；④当时，．其是正确的是___________． 三、解答题（共9小题，计58分．解答应写出过程） 15. 在平面直角坐标系中，已知函数，函数与函数关于y轴对称，求函数与x轴的交点坐标． 16. 若函数是y关于x的正比例函数，求． 17. 已知一次函数的图象过点(3，5)与点(－4，－9)． （1）求这个一次函数的解析式． （2）若点在这个函数的图象上，求的值． 18. 如图，一次函数的图象过点，． （1）求此一次函数的解析式； （2）直接写出关于x的不等式的解集． 19. 为了鼓励小刚做家务，妈妈给他每月的费用都是由上个月小刚的家务劳动时间所得奖励和基本生活费组成．观察发现小刚下个月可获得的总费用（元）是上个月的家务劳动时间（时）的一次函数．已知当小刚上个月的家务劳动时间为小时，他下个月可获得元；当小刚上个月的家务劳动时间为小时，他下个月可获得元． （1）求与之间的函数表达式； （2）如果小刚下个月想获得元，他这个月的家务劳动时间应该是多少小时？ 20. 数学史中记载，浮箭漏（图1）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间，箭尺最大读数为120厘米．学校项目学习小组仿制了一套浮箭漏，并开展学习探究： 【实验观察】实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，收集数据如表： 供水时间x（小时） 0 2 4 6 8 箭尺读数y（厘米） 6 18 30 42 54 【探索发现】 （1）根据如表的数据，在平面直角坐标系中（图2）描出对应的点； （2）观察上述各点的分布规律，猜想y与x之间满足哪种函数关系？并求出y与x的函数表达式； （3）【结论应用】应用上述发现的规律估算：供水时间达到12小时时，箭尺的读数为多少厘米？ 21. 共享电动车是一种新理念下的交通工具：主要面向的出行市场，现有A，B两种品牌的共享电动车，收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中A品牌收费方式对应，B品牌的收费方式对应． （1）求骑行B品牌共享电动车超过后的函数解析式； （2）请求出A，B两种品牌收费相差1元时x的值． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点B、D，直线与直线关于x轴对称，若直线经过点，且交y轴于点C，连接交x轴于点E． （1）求直线的函数表达式和a的值； （2）在坐标轴上是否存在点P，使得？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 按题意求下列函数表达式． 【问题探究】 （1）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的顶点A、B的坐标依次为、，过点A的直线l将分成面积相等的两部分，求直线l的函数表达式； 【问题解决】 （2）如图2，在平面直角坐标系中，四边形是某景区的局部示意图，其中O为坐标原点，，，，该景区的规划部门计划过点O修一条观景小道（宽度不计），并且使将四边形分成面积相等的两部分，记直线与所在直线的交点为D，再过点C修一条观景小道（宽度不计），并且使将分成面积相等的两部分，请你帮助规划部门分别求出直线和的函数表达式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026春季八年级数学第二阶段素养达标测试 （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列关系式中，属于一次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先明确一次函数的定义，再根据定义逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：A、，的次数不是，不符合一次函数定义，不符合题意； B、，其中，，符合一次函数定义，符合题意； C、是反比例函数，不符合一次函数定义，不符合题意； D、中的次数是，不符合一次函数定义，不符合题意． 2. 有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥．其中正比例函数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，掌握正比例函数需满足（k为非零常数）的形式是解题的关键． 正比例函数的形式为（k为常数且），根据此定义判断每个函数即可． 【详解】解：∵正比例函数需满足， ①，符合形式，； ②，不是一次函数，不符合； ③，符合形式，； ④，有常数项，不符合； ⑤，的次数为，不符合； ⑥，有常数项，不符合； ∴正比例函数有①和③，有个． 故选：B． 3. 已知一次函数的图象经过点、，则、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，掌握“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键． 由 ，可知 随 的增大而减小，再比较点 和 的横坐标大小，即可判断 和 的大小关系． 【详解】解：∵ 一次函数 中，， ∴ 随 的增大而减小． 又 ∵ 点 和 在函数图象上，且 ，即 ， ∴ ． 故选：A． 4. 已知是一次函数图象上一点，下列选项正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质；根据点在函数图象上，可得，再通过a的正负代入计算判断b的正负，从而验证选项. 【详解】解：将点代入，得：， A、若，则，故A符合题意； B、若，则，故B不符合题意； C、若，取，则，故C不符合题意； D、若，取，则，故D不符合题意. 故选：A. 5. 某商场为了增加销售额，推出了“元旦期间大酬宾”活动，活动内容是：“凡元旦期间在该商场一次性购物超过100元者，超过100元的部分按八折优惠．”在酬宾活动中，小张到该商场为单位购买了单价为30元的办公用品x件（），则应付款y与商品件数x的关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列出函数关系式．根据活动方案，应付款等于超出元的部分的费用之和，列出函数关系式即可．找准等量关系，正确的列出表达式，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：； 故选C． 6. 已知，，则一次函数y＝(a＋b)x＋ab的图象大致为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】计算a＋b和ab的值 ，根据一次函数的性质，可以得到该函数图象经过哪几个象限，本题得以解决． 【详解】解：∵a＋b=+=，ab==， ∴该函数的图象经过第一、三、四象限， 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数的图象，二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 7. 如图，在平面直角坐标系中，直线与矩形的边、分别交于点E、F，已知，，则的面积是（ ） A. 6 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的解析式求出点E、F的坐标，即可求出，，进而求出三角形的面积． 【详解】解：当时，， 解得， ∴点E的坐标是， ， ， ，点F的横坐标是4， ， ， 的面积． 8. 如表是一次函数中x与y的一些对应数值，则下列结论正确的是（ ） x … 0 1 2 … y … 6 3 1 … A. y随x的增大而增大 B. 该函数的图象经过第一、二、三象限 C. 关于x的方程的解是 D. 该函数的图象与y轴的交点是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求函数表达式，涉及一次函数图象与性质，熟记一次函数图象与性质是解决问题的关键．根据表格信息求出一次函数表达式，根据一次函数图象与性质逐项判断即可得到答案． 【详解】解：将和代入得到， 解得， 一次函数为， A、由可知，随的增大而减小，该选项错误，不符合题意； B、由可知，该函数的图象经过一、二、四象限，该选项错误，不符合题意； C、当时，，解得，该选项正确，符合题意； D、由一次函数为，当时，，函数图象与轴的交点是，该选项错误，不符合题意； 故选：C． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 已知关于x的函数是一次函数，则n的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数的定义进行求解即可． 【详解】解：根据一次函数的定义，得：， 解得， ∴当时，这个函数是一次函数， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，正确理解一次函数的“一次”的意义是解答本题的关键． 10. 请写出一个图象经过点，且随的增大而减小的一次函数的解析式：__________． 【答案】y＝−x−1（答案不唯一） 【解析】 【分析】由图象经过点，则b=−1，又y随x的增大而减小，可取k＝−1，即可得到答案． 【详解】解：设函数y＝kx＋b（k≠0，k，b为常数）， ∵图象经过点， ∴b＝−1， 又∵y随x的增大而减小， ∴k＜0，可取k＝−1， 这样满足条件的函数可以为：y＝−x−1． 故答案为：y＝−x−1（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了一次函数y＝kx＋b（k≠0，k，b为常数）的性质．它的图象为一条直线，当k＞0，图象经过第一，三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二，四象限，y随x的增大而减小；当b＞0，图象与y轴的交点在x轴的上方；当b＝0，图象过坐标原点；当b＜0，图象与y轴的交点在x轴的下方． 11. 如表为一个图案中红色和白色瓷砖数量的关系．设r和w分别为红色和白色瓷砖的数量，则表示w与r之间关系的表达式为______． 红色瓷砖数量（r） 3 4 5 6 7 白色瓷砖数量（w） 6 8 10 12 14 【答案】 【解析】 【分析】根据表格给出的与的对应值，推导得到与的函数表达式． 【详解】解：由表格数据可得， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 所有对应值均满足， 因此与之间的关系表达式为． 12. 若直线（是常数）的图象经过点，将直线向上平移5个单位长度，平移后直线的解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据直线（是常数）的图象经过点求出，得到，再根据平移的规律写出答案即可． 【详解】解：∵直线（是常数）的图象经过点， ∴， ∴， 将直线向上平移5个单位长度，平移后直线的解析式为， 故答案为： 【点睛】此题考查了求一次函数的解析式、一次函数的平移等知识，熟练掌握一次函数的平移是解题的关键． 13. 直线一定经过一个定点，这个定点的坐标是_________ ． 【答案】 【解析】 【分析】、 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征；变形为，既然过定点，则与k值无关，此时只有即可，由此可求得定点坐标． 【详解】解：变形为， 直线过定点，则与k值无关， ， 即， ， 即定点坐标为； 故答案为：． 14. 如图，已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点，点，有下列结论：①图象经过点；②关于x的方程的解为；③关于x的方程的解为；④当时，．其是正确的是___________． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次方程的关系，利用待定系数法求出一次函数解析式，根据一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次方程的关系逐项判断即可得解． 【详解】解：把点，点代入得，， 解得：， 一次函数的解析式为， 当时，， 图象不经过点；故①不符合题意； 由图象得：关于x的方程的解为，故②符合题意； 关于x的方程的解为，故③符合题意； 当时，，故④符合题意； 故答案为：②③④． 三、解答题（共9小题，计58分．解答应写出过程） 15. 在平面直角坐标系中，已知函数，函数与函数关于y轴对称，求函数与x轴的交点坐标． 【答案】 【解析】 【分析】先求出函数与x轴的交点，再由对称求解即可． 【详解】解：在函数中， 令，则，解得， ∴函数与x轴的交点为． ∵函数与函数关于y轴对称， ∴函数与x轴的交点坐标为． 16. 若函数是y关于x的正比例函数，求． 【答案】1 【解析】 【分析】先根据正比例函数的定义求解出m与n的值，再计算即可． 【详解】解：是y关于x的正比例函数， ，解得， ． 17. 已知一次函数的图象过点(3，5)与点(－4，－9)． （1）求这个一次函数的解析式． （2）若点在这个函数的图象上，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）设函数解析式为，将两点坐标代入求解即可； （2）将点的坐标代入解析式即可求的值． 【详解】（1）设函数解析式为，将两点坐标代入得 ， 解之得， 所求的解析式为 （2）将点的坐标代入上述解析式得 ， 解之得 【点睛】本题考查了一次函数的问题，掌握一次函数的性质以及应用是解题的关键． 18. 如图，一次函数的图象过点，． （1）求此一次函数的解析式； （2）直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一次函数与不等式、一次函数的图象等知识， （1）将A、B两点代入一次函数，利用待定系数法即可解决问题； （2）观察图象写出函数值小于等于2的自变量的取值范围即可； 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象过点，， ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为：， 故答案为：． 【小问2详解】 解：观察图像可知：时，， 故答案为：． 19. 为了鼓励小刚做家务，妈妈给他每月的费用都是由上个月小刚的家务劳动时间所得奖励和基本生活费组成．观察发现小刚下个月可获得的总费用（元）是上个月的家务劳动时间（时）的一次函数．已知当小刚上个月的家务劳动时间为小时，他下个月可获得元；当小刚上个月的家务劳动时间为小时，他下个月可获得元． （1）求与之间的函数表达式； （2）如果小刚下个月想获得元，他这个月的家务劳动时间应该是多少小时？ 【答案】（1） （2）20小时 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数，解题的关键是求出一次函数的表达式． （1）设与之间的函数表达式为：，然后用待定系数法，即可求解； （2）将代入与的表达式中，即可求解． 【小问1详解】 解：设与之间的函数表达式为：． 根据题意，得， 解得：， ； 【小问2详解】 当元时， 由题意得：， 解得：， 答：他这个月的家务劳动时间应该是小时． 20. 数学史中记载，浮箭漏（图1）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间，箭尺最大读数为120厘米．学校项目学习小组仿制了一套浮箭漏，并开展学习探究： 【实验观察】实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，收集数据如表： 供水时间x（小时） 0 2 4 6 8 箭尺读数y（厘米） 6 18 30 42 54 【探索发现】 （1）根据如表的数据，在平面直角坐标系中（图2）描出对应的点； （2）观察上述各点的分布规律，猜想y与x之间满足哪种函数关系？并求出y与x的函数表达式； （3）【结论应用】应用上述发现的规律估算：供水时间达到12小时时，箭尺的读数为多少厘米？ 【答案】（1） （2）y与x之间满足一次函数关系，y与x的函数关系式为 （3）供水时间达到12小时时，箭尺的读数为78厘米 【解析】 【分析】（1）根据表格描点即可； （2）根据平面直角坐标系判断出y与x之间满足一次函数关系，进而根据待定系数法求解即可； （3）将代入求解即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：这些点分布在同一条直线上， y与x之间满足一次函数关系， 设y与x的函数关系式为（k，b为常数，且）， 将坐标和分别代入， 得，， 解得，． y与x的函数关系式为． 【小问3详解】 解：当时，， 供水时间达到12小时时，箭尺的读数为78厘米． 21. 共享电动车是一种新理念下的交通工具：主要面向的出行市场，现有A，B两种品牌的共享电动车，收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中A品牌收费方式对应，B品牌的收费方式对应． （1）求骑行B品牌共享电动车超过后的函数解析式； （2）请求出A，B两种品牌收费相差1元时x的值． 【答案】（1） （2）x的值为15或25 【解析】 【分析】（1）设骑行B品牌共享电动车超过后的函数解析式为，选择两个点坐标代入解方程组即可； （2）求出的解析式，分和，两种情况解答即可． 本题考查了待定系数法求解析式，分类计算，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【小问1详解】 解：设骑行B品牌共享电动车超过后的函数解析式为， 点在该函数图象上， ， 解得， 即骑行B品牌共享电动车超过后的函数解析式为． 【小问2详解】 解：设， 点在该函数图象上， ， 解得， 故骑行A品牌的电动车的函数解析式为， 由题意可得：或， 解得或， 即A，B两种品牌收费相差1元时x的值为15或25． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点B、D，直线与直线关于x轴对称，若直线经过点，且交y轴于点C，连接交x轴于点E． （1）求直线的函数表达式和a的值； （2）在坐标轴上是否存在点P，使得？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）直线的函数表达式为， （2）在坐标轴上存在点，使得，点的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）先求出，根据轴对称的性质求出，设直线的解析式为，求出直线的函数表达式为，将代入直线求解即可； （2）设所在直线的函数表达式为，求出所在直线的函数表达式为，进而求出，根据三角形面积公式得到，进而得到，分点在轴上时，点在轴上时两种情况作答即可． 【小问1详解】 解：直线与轴、轴分别交于点， 当时，，当时，解得， ∴， ∵直线与直线关于x轴对称，且交y轴于点C， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， 直线的函数表达式为． 点在直线上， ， 解得； 【小问2详解】 解：设所在直线的函数表达式为． 将点，代入，得， 解得， 所在直线的函数表达式为． 在中，令，得， ， ， ， ． 当点在轴上时，， 解得． ， 此时点的坐标为或； 当点在轴上时，， 解得． ， 此时点的坐标为或； 综上可知，在坐标轴上存在点，使得，点的坐标为或或或． 23. 按题意求下列函数表达式． 【问题探究】 （1）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的顶点A、B的坐标依次为、，过点A的直线l将分成面积相等的两部分，求直线l的函数表达式； 【问题解决】 （2）如图2，在平面直角坐标系中，四边形是某景区的局部示意图，其中O为坐标原点，，，，该景区的规划部门计划过点O修一条观景小道（宽度不计），并且使将四边形分成面积相等的两部分，记直线与所在直线的交点为D，再过点C修一条观景小道（宽度不计），并且使将分成面积相等的两部分，请你帮助规划部门分别求出直线和的函数表达式． 【答案】（1）直线的函数表达式为； （2）直线的函数表达式为，直线的函数表达式为 【解析】 【分析】（1）设所在直线的函数表达式为，将代入，即可得到直线的表达式，直线过且平分面积，故与的交点为中点，由同底三角形面积关系得，代入得．将、代入一次函数解析式，解得直线； （2）先由坐标计算边长：，，由证，用点B求出．直线平分面积，故过中点，求得，将、代入解得． 【小问1详解】 解：设所在直线的函数表达式为， 将点代入，得 解得， 设直线l与的交点为C，如图1， 则， ， ， 当时， 解得， ， 设直线的函数表达式为， 则， 解得， 直线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：过点作轴于点，延长交于点，连接，如图2． ，，， ，， ，，，， ，， ，． ，，， ， ， 直线经过点，即点与点重合， 设直线的函数表达式为， 将点B代入得， 解得， ∴直线的函数表达式为． 直线将的面积分为相等的两部分， 由（1）可知，直线经过的中点． ∴， ， ． 在中，令，得， ． 设直线的函数表达式为． 将点，代入， 得， 解得， 直线的函数表达式为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $