1.2 反比例函数的图象与性质-课时2 反比例函数的性质（教学课件）2026-2027学年苏科版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦反比例函数的性质，核心内容包括单调性、比例系数k的几何意义及应用。课堂导入通过“温故知新”回顾图象形状与对称性，以思考问题衔接k的符号对性质的影响，搭建前后知识的学习支架。 其亮点在于以“探究—对比—应用”为主线，通过k>0和k<0的实例分析培养几何直观，强调“每个象限内”的易错点发展推理意识，结合面积问题应用k的几何意义强化模型意识。学生能深化理解，教师可提升教学效率。

第一章 反比例函数 1.2 反比例函数的图象与性质 1.2.2 反比例函数的性质 学习目标 过程与方法 知识与技能 掌握反比例函数的增减性，理解比例系数k的几何意义，能运用性质解决函数值比较、取值范围等问题。 通过分类讨论k的符号，培养严谨的逻辑推理能力，提升函数综合应用能力。 02 01 课前自主·知识预习奠基 反比例函数 的图象： 形状：两支双曲线，分别位于两个象限 对称性：中心对称（关于原点） 轴对称（关于直线 y = x 和 y = -x） 思考：图象所在象限由谁决定？ 在每个象限内， y 随 x 的增大如何变化？ 图象的“走向”与 k 的符号有什么关系？ 温故知新 以 、、 的图象为例： 探究：k > 0 时的图象与性质 1、图象所在象限：第一、三象限 2、增减性：在每个象限内，y 随 x 的增大而减小 3、变化趋势： 当 x > 0 时，x 越大，y 越小，图象越靠近 x 轴 当 x < 0 时，x 越小，y 越大，图象越靠近 x 轴 探究：k > 0 时的图象与性质 易错点：不能直接说 “当 k > 0 时，y 随 x 的增大而减小”！ 反例：在 中，取 x1 = −2，y1 = −3；取 x2 = 2，y2 = 3 此时 x1 < x2，但 y1 < y2，不符合 “y 随 x 增大而减小” 原因：x1 和 x2 不在同一个象限内 正确表述：当 k > 0 时，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小。 以 、、 的图象为例： 探究：k < 0 时的图象与性质 1、图象所在象限：第二、四象限 2、增减性：在每个象限内，y 随 x 的增大而增大 3、变化趋势： 当 x > 0 时，x 越大，y 越大，图象越靠近 x 轴 当 x < 0 时，x 越小，y 越小，图象越靠近 x 轴 口诀：正一三，减；负二四，增（均指每个象限内） 增减性对比 k的符号 图象所在象限 增减性 k > 0 一、三象限 在每个象限内，y 随 x 增大而减小 k < 0 二、四象限 在每个象限内，y 随 x 增大而增大 反比例函数性质 函数表达式 (k>0) (k<0) 函数图像 函数图象由两支曲线组成，称为双曲线 图象对称性 函数图像的两支曲线关于原点成中心对称 图象所在象限 一、三 二、四 函数变化趋势 在每个象限内，y 随 x 增大而减小 在每个象限内，y 随 x 增大而增大 已知反比例函数 的图象经过点 A (2，−4). （1）求 k 的值，并画出这个函数的图象； （2）如果点 B(1，n) 在这个函数的图象上，比较 n 与 −4 的大小。 例题 1・教材练习 （1）将 A (2，−4) 代入 ，得 解得 k = −8 → 函数表达式为 ，图象在第二、四象限。 （2）∵ k = −8 < 0；当 x > 0 时，y 随 x 增大而增大 又 ∵ 0 < 1 < 2，∴ n < −4 典型错题：在反比例函数 中，点 A (−1，y1)、B (2，y2)，比较 y1 与 y2 的大小 错误解法：∵ k = −8 < 0，y 随 x 增大而增大，又 −1 < 2，∴ y1 < y2 正确解法： 当 x = −1 时，y1 = 8 > 0；当 x = 2 时，y2 = −4 < 0 ∴ y1 > y2 提醒：比较函数值大小时，先判断点是否在同一个象限，若不在，直接通过正负判断 易错点：跨象限比较函数值大小 对于反比例函数 ，如果自变量的取值范围是 1 < x < 2，你能确定函数值 y 的取值范围吗？。 探究：自变量有范围时的函数值范围 1、画出 y = 4x 在第一象限的图象 2、找到 x = 1 和 x = 2 对应的点：(1，4)、(2，2) 3、当 1 < x < 2 时，对应的 y 值在 2 和 4 之间 函数值范围：2 < y < 4 已知反比例函数 . （1）画出这个反比例函数的图象，并找出图象上横坐标与纵坐标相同的点； （2）根据图象，写出当 x < −1 时，y 的取值范围。 例题 2・教材练习 解：（1）令 x = y，则 ，解得 → 满足条件的点：( ， )、( −，− ) （2）观察第三象限图象： 当 x ＜ −1 时，−6 ＜ y ＜ 0 已知反比例函数 （1）当 x < −1 时，写出 y 的取值范围； （2）当 y ≥ 2 时，写出 x 的取值范围。 变式练习 答案：（1）0 < y < 1；（2）− ≤ x < 0 反比例函数 (k < 0)中比例系数 k 的几何意义为： 过双曲线 (k ≠ 0) 上任意一点 P (x，y) 作 PM ⊥ x轴于点M、PN ⊥ y轴于点N，则有PM = ，PN = ，所以 拓展：比例系数 k 的几何意义 如图，点 P 在反比例函数 的图象上，过点 P 作 PM⊥ x 轴于点 M，若 S△POM = 3，求 k 的值。 例题 3 解析： ∵ S△POM = = 3 ∴ = 6 又∵ 图象在第一象限，k > 0 ∴ k = 6 如图，两个反比例函数 和 在第一象限内的图象分别是 C1 和 C2 ，设点 P 在 C1 上， PA ⊥ x 轴于点 A，交 C2 于点 B，求 POB 的面积。 例题 4 解析： ∵ 点 P 在反比例函数 的图象上 ∴ = ∵ 点 B在反比例函数的图象上 ∴ ∴ 课堂探究·能力合作提升 基础过关练 1、若反比例函数 的图象经过点 (−1，2)，则当 x > 0 时，y 随 x 的增大而 . 2、已知反比例函数 的图像上有两点 A (x1，y1)、B (x2，y2) ，如果x1 < x2 < 0，那么y1 y2(填“>”、“=”或“<”) 3、如图，在平面直角坐标系中，菱形 OABC 的顶点 B 在 y 轴正半轴上，菱形 OABC 的面积为 24，若反比例函数 的图象经过点 C，则 k 的值为 . 增大 ＞ -12 4. 反比例函数的图象上有两点 P1( x1，y1 )，P2( x2，y2 )，若 x1 ＜ 0 ＜ x2，则下列结论正确的是(　　)。 A．y1＜y2＜0 B．y1＜0＜y2 C．y1＞y2＞0 D．y1＞0＞y2 5、已知点 A ( m，n )，B ( 3，4 )在同一条反比例函数 的图象上，若 0 < m < 3，则 n 的取值范围是 . D 课后测评 n＞4 基础过关练 6、在平面直角坐标系xOy中，M (2，-3 )为双曲线 上一点 （1）求 k 的值； （2）在（1）的条件下： ①点 P ( 3，a )和 Q ( -1，b )在双曲线 上，比较a与b的大小； ②点 A 在双曲线 ，点 B 的坐标为 ( 4，0 ) .若△ AOB的面积为 8 ，求点 A 的坐标. 基础过关练 解析： （1）∵M (2，-3 )为双曲线 上一点， ∴; ∴ （2）①∵点 P ( 3，a )和 Q ( -1，b )在双曲线 上, ∴ ∵ ∴; ②不妨设 A( xA，yA ), ∵点B的坐标为(4，0), ∴ ∴ ∴ ∴ 或， 当代入，得到; 当代入，得到； ∴ A (或者A () 易错警示 1、忽略 “在每个象限内”：增减性只在同一个象限内成立，跨象限比较函数值时，先判断正负 2、增减性搞反：k > 0 时减，k < 0 时增，不要记反 3、k 的几何意义忘加绝对值：面积是正数，，需根据图象所在象限确定 k 的符号 4、误认为图象与坐标轴相交：反比例函数图象永远不与坐标轴相交，因为 x ≠ 0，y ≠ 0 课后测评·学业效果巩固 1. 若关于x、y 的函数 图象位于第一、三象限，则 k 的取值范围是_________。 2. 如果反比例函数 的图象经过第一、三象限，那么 k 的取值范围是 　 　. 3. 在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx＋m( ≠ 0)与y＝(m ≠ 0)的图象可能是(　　)​ 课后测评 k >－1 k＜1 D 课后测评 4、若点A ( x1，-1 )，B ( x2，-2 )，C ( x3，3 )都在反比例函数， 的图象上，则x1，x2， x3的大小关系是( ) A. x3 < x2 < x1 B.x1 < x2 < x3 C. x3 < x1 < x2 D.x2 < x3 < x1 5、已知点A (-3，y1 )，B ( -3，y2 )在反比例函数（ m 为常数）的图象上，则 y1 与 y2 的大小关系是 . y1＞y2 B 6. A 是反比例函数 图像上的一点，过 A 作 AB ⊥ a轴于 B，作 AC ⊥ b轴于C， 矩形 ABOC 的面积为4，则 k 的值为（    ） 课后测评 B A．4 B．-4 C．2 D．-2 7. 如图，正比例函数 与反比例函数的图像交于点 A，过点 A 作AB ⊥ x轴，垂足为点B( -2，0 )，若在反比例函数图像上有一点 C，使 △ABC 的面积为10，则点 C 的坐标是____________． 课后测评 【详解】设 A( m，-2m )，反比例函数解析式为， ∵过点 A 作 AB ⊥ x轴，垂足为点B( -2，0 )， ∴， ∴A( -2，4 )， ∴， 把 A( -2，4 )代入反比例函数解析式得，解得， ∴反比例函数解析式为， ∴设， ∴， 课后测评 ∵的面积为10， ∴， 解得或， ∴或 8. 通过试验研究发现：一节40分钟的课堂，初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．如图，学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象，当和1时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分． (1)求反比例函数解析式和点A、D的坐标； (2)陈老师在一节课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32？请说明理由 课后测评 （1）解：设当时，反比例函数的解析式为，将C (20，40)代入得： ，解得， ∴反比例函数的解析式为， 当时，， D (40，20)， A (0，20)； （2）陈老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32，理由如下： 设当时，AB的解析式为，将A (0，20)、B (10，40)代入得： ， 课后测评 课后测评 解得， ∴ AB的解析式为， 在 中，当 时，， 在 中，当 时，， ∴ 时，注意力指标都不低于32， ∵， 陈老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32． 课堂小结 数形结合是研究函数的重要方法，反比例函数的图象和性质是后续学习函数综合题的基础，希望同学们熟练掌握，灵活运用 结束语 第一章 反比例函数 1.2 反比例函数的图象与性质 1.2.2 反比例函数的性质 $