23.2 一次函数的图象和性质 第1课时 正比例函数的图象和性质课件2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十二章 一次函数 23.2 一次函数的图象和性质 第1课时 正比例函数的图象和性质 目 录 1. 学习目标 4. 知识点 正比例函数的图象和性质 5. 课堂小结 2. 知识回顾 6. 当堂小练 CONTENTS 8. 拓展与延伸 3. 新课导入 7. 对接中考 1. 会用描点法画正比例函数的图象，能根据正比例函数的图象理解正比例函数的性质. 2. 能灵活运用正比例函数的图象与性质解答有关问题. 学习目标 知识回顾 一次函数的定义 一般地，形如(k，b是常数，)的函数，叫作一次函数，其中x是自变量. 正比例函数的定义 特别地，当时，即. 形如(k是常数，)的函数，叫作正比例函数，其中k叫作比例系数. 新课导入 函数图象的画法分哪几步呢？ 列出部分自变量的值及其对应的函数值. 列表 在平面直角坐标系中,以自变量的值为横坐标，对应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点. 描点 把所描出的各点用平滑曲线连接起来. 连线 新课讲解 知识点 正比例函数的图象和性质 1. 分别画出下列正比例函数的图象 (1)y=2x，y=x； (2)y=-1.5x，y=-4x. 解：(1)函数y=2x的图象.列表自变量x可为任意实数，选取y与x的几组对应值. x … -2 -1 0 1 2 … y … -4 -2 0 2 4 … 例 描点在平面直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点. 连线将这些点连接起来. 得到一条经过原点和第三、第一象限的直线. 它就是函数y=2x的图象. y=2x 新课讲解 1. 分别画出下列正比例函数的图象 (1)y=2x，y=x； (2)y=-1.5x，y=-4x. 例 解：(1)用同样的方法，得到函数y=x的图象. x … －2 －1 0 1 2 … y … － － 0 … y=x y=x的函数图象也是一条经过原点和第三、第一象限的直线. 新课讲解 1. 分别画出下列正比例函数的图象 (1)y=2x，y=x； (2)y=-1.5x，y=-4x. 例 解：(2)用同样的方法，得到函数y=-1.5x的图象. x … -2 -1 0 1 2 … y … 3 1.5 0 -1.5 -3 … y=-1.5x y= -1.5x的函数图象是一条经过原点和第二、第四象限的直线. 新课讲解 1. 分别画出下列正比例函数的图象 (1)y=2x，y=x； (2)y=-1.5x，y=-4x. 例 解：(2)用同样的方法，得到函数y= -4x的图象. x … -1 0 1 … y … 4 2 0 -2 -4 … y=-4x的函数图象也是一条经过原点和第二、第四象限的直线. y=-4x 新课讲解 思考 由正比例函数的图象是一条直线，你能想到画正比例函数图象的简单方法吗？ 已知正比例函数的图象是经过原点的直线，所以只要再确定正比例函数图象上一点，就可以画出正比例函数的图象.一般地，这一点可以取点(1，k)这个特殊点. 因此可用两点法画正比例函数的图象. 两点确定一条直线 新课讲解 练一练 1. 在同一直角坐标系中，画出函数y＝5x，y＝x的图象． 解：列表如下： x 0 1 y＝5x 0 5 y＝x 0 1 描点、连线，如图所示. 画正比例函数y＝kx 的图象时，若k为整数，则通常取点(0 ，0)和(1，k)；若k 为小数或分数，则一般取自变量与函数值均为整数的点，这样画出的图象更准确. 方法点拨 新课讲解 一般地，正比例函数(k是常数，)的图象是一条经过原点的直线.我们称它为直线. y=2x y=x y=-1.5x y=-4x 正比例函数的图象 新课讲解 观察上述4个函数图象，你发现了什么？ 1 2 3 -1 -2 -3 O 2 4 -2 -4 x y y=2x y=x 1 2 3 -1 -2 -3 O 2 4 -2 -4 x y y=-1.5x y=-4x 以上4个函数的图象都是经过原点的直线，其中函数y=2x和y=x的图象经过第三、第一象限，从左向右上升；函数y=-1.5x和y=-4x的图象经过第二、第四象限，从左向右下降. 思考 新课讲解 当时，直线经过第三、第一象限，从左向右上升，即y随x的增大而增大； 当时，直线经过第二、第四象限，从左向右下降，即y随x的增大而减小. 正比例函数的性质 新课讲解 例 2. 在同一平面直角坐标系中画出正比例函数y=x，y=3x，y=-x，y=-2x的图象，并回答下列问题： (1)上述四个函数中，y的值随着x值的增大而增大的是哪些？y的值随着x值的增大而减小的是哪些？ 解：(1)函数图象如图所示. y的值随着x值的增大而增大的函数是y=x和y=3x；y的值随着x值的增大而减小的函数是y=-x和y=-2x. (2)点(-10，5)在正比例函数________的图象上. (3)若点(a，2a+4)在函数y=-2x的图象上，求a的值. y=﹣x 把点的坐标代入函数解析式，若满足函数解析式，则该点在此函数图象上，否则该点不在此函数图象上. (3)因为点(a，2a+4)在函数y=-2x的图象上， 所以2a+4=-2a，解得a=-1. 归纳 新课讲解 例 3. 已知函数y＝3x的图象经过点A(－1，y1)，点B(－2，y2)，则y1____y2 (填“＞”“＜”或“＝”)． ＞ 解：方法一：把点A、点B的坐标分别代入函数y＝3x，求出y1，y2的值比较大小即可． 方法二：画出正比例函数y＝3x的图象，如图，观察图象，可得y1＞y2. 方法三：根据正比例函数的性质，当k＞0时，y随x的增大而增大，可得y1＞y2. 新课讲解 练一练 2. 若正比例函数y=(1-2m)x的图象经过点A(x1，y1)和点B(x2，y2)，当x1<x2时，y1>y2，则m的取值范围是( ) A. m<0 B. m>0 C. m< D. m> 解：根据题意知，y随x的增大而减小， 所以1-2m<0， 所以m>. D 新课讲解 练一练 3．正比例函数(k＜0)，当1≤x≤5时，函数y的最大值和最小值之差为4，则k＝________． －1 解：因为正比例函数y＝kx(k<0)，所以y随x的增大而减小． 当x＝1时，y＝k，当x＝5时，y＝5k. 所以易知 k－5k＝4，解得k＝－1. 新课讲解 k>0 k<0 图象 位置 过原点且经过第三、第一象限 过原点且经过第二、第四象限 正比例函数的图象和性质 走势 从左向右呈上升趋势(↗) 从左向右呈下降趋势(↘) 位置 y 随x 的增大而增大 y 随x 的增大而减小 新课讲解 正比例函数()中，越大，直线与x轴相交所成的锐角越大，直线越陡；越小， 直线与x轴相交所成的锐角越小，直线越缓 . 注意 课堂小结 正比例函数 图象 一条经过原点的直线 ①k＞0，经过第三、第一象限，y随着x的增大而增大 ②k＜0，经过第二、第四象限，y随着x的增大而减小 画法 性质 描点法：列表-描点-连线 两点法：过原点和点(1，k)作直线 当堂小练 1. 用你认为最简单的方法画出下列函数的图象： (1) y=x； (2) y=-6x. 解：(1)过原点和点(1，)作直线. (2)过原点和点(1，-6)作直线. y=-6x 1 2 3 -1 -2 -3 O 2 4 -2 -4 x y -6 y=x 当堂小练 2．下列关于正比例函数y＝3x的说法中，正确的是(　　) A．当x＝3时，y＝1 B．它的图象是一条过原点的直线 C．y随x的增大而减小 D．它的图象经过第二、四象限 解：A.当x＝3时，y＝9，故本选项错误； B.因为y＝3x是正比例函数，所以它的图象是一条过原点的直线，故本选项正确； C.因为3>0，所以y随x的增大而增大，故本选项错误； D.因为y＝3x是正比例函数，3>0，所以此函数的图象经过第一、三象限，故本选项错误． B 当堂小练 3. 若点(2，m)和点(-3，n)都在函数y=kx (k＜0)的图象上，试比较m，n的大小. 解：∵k<0， ∴y随x的增大而减少. ∵2>-3， ∴m<n. 当堂小练 4. 若正比例函数 y=(1－2m)x的图象经过第一、第三象限，则m的取值范围是__________. m< 解：∵图象经过第一、第三象限， ∴1－2m>0，即m< 当堂小练 5. 关于函数y＝－2x，下列判断正确的是( ) A．图象经过第一、三象限 B．y随x的增大而增大 C．若(x1，y1)，(x2，y2)是该函数图象上的两点，则当x1<x2时，y1>y2 D．不论x为何值，总有y<0 C 当堂小练 6. 已知P1(－2，y1)，P2(7，y2)是正比例函数()的图象上的两个点，则y1，y2的大小关系是(　　) A．y1>y2 B．y1<y2 C．y1＝y2 D．不能确定 7. 若点A(－5，y1)和B(－2，y2)都在函数y＝－x的图象上，则y1－y2______0. (填“＞”“＜”或“＝”) B ＞ 当堂小练 D 对接中考 1. 若正比例函数y＝(m－2)x的图象经过点A(x1，y1) 和B(x2，y2)，当x1<x2 时，y1>y2， 则m 的取值范围是(　　) A．m<0 B．m>0 C．m< D．m> D 对接中考 2. 如果正比例函数y＝的图象经过第二、第四象 限，那么k的取值范围是________. 1. 在趣味跳高比赛中，规定跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为获胜者．甲、乙、丙、丁四位同学的跳跃高度与他们身高的关系示意图如图所示，则获胜的同学是(　　) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 拓展与延伸 A 拓展与延伸 2. 如图，在同一平面直角坐标系中，正比例函数y1＝k1x，y2＝k2x，y3＝k3x，y4＝k4x的图象分别为l1，l2，l3，l4，则k1，k2，k3，k4按从小到大的顺序可排列为______________． k2＜k1＜k4＜k3 3．正比例函数y＝(1－m)x的图象如图所示，则化简＋m的结果是(　　) A．2m－1　　 B．1－2m　　 C．2m　　 D．1 k＞ $