2027年广东省普通高中学业水平考试数学模拟卷9

**基本信息** 2027年广东学业水平数学模拟卷，覆盖复数、函数、几何等核心知识，通过基础题与综合题梯度设计，考查抽象能力、推理意识和空间观念，适配学业水平考试要求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/72|复数、集合、函数性质等|如第10题概率独立事件判断，考查数据意识| |填空题|6/36|三角函数、向量、不等式等|如第18题圆锥体积计算，体现数学思维| |简答题|4/42|函数奇偶性、概率统计、立体几何等|如22题立体几何证明与夹角计算，发展空间观念与推理能力|

2027年广东省普通高中学业水平考试数学模拟卷9 本试卷共22题，满分150分．考试时间90分钟． 一、选择题（本大题共12小题，每小题6分，共72分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知复数，则在复平面上所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2.已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3.函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4.已知命题：“，”，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5.样本数据的中位数为（ ） A. 　　B. 　　C. 　　D. 6.下列函数为偶函数的是（ ） A. B. C. D. 7.为了得到的图像，只需将的图像（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 8.一个圆台的上底面半径为，下底面半径为，高为，则它的表面积是（ ） A. B. C. D. 9.已知，若恒成立，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 10.若，，，则下列结论正确的是 (　　) A. 事件 A 与事件 B 互斥 B. 事件 A 与事件 B 对立 C. 事件 A 与事件 B 相互独立 D. 11.下列推断中，不正确的是 (　　) A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，，则 12.设函数，则使得的自变量的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2、 填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分） 13.计算：_____ 14.已知角终边过点，则_______ 15. 如图，在中，，用表示，则_______ 16.不等式的解集为_____________ 17.已知，则______ 18.已知圆柱的底面半径为，高为，圆锥与圆柱的底面积相等，体积也相等，则圆锥的高为_____ 3、 简答题（本大题共4小题，第19，20，21小题各10分，第22小题12分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19.已知函数 （1）求函数的定义域；（2）判断并证明函数的奇偶性． 20.从一批橘子中，随机抽取 40 个，其重量（单位：克）的频数分布表如下： 分组（重量） 频数（个） 4 8 16 12 (1) 用分层抽样的方法从重量在和的橘子中共抽取 4 个，其中重量在的有几个？ (2) 在 (1) 中抽出的 4 个橘子中，任取 2 个，求重量在和中各有 1 个的概率． 21如图，已知的内角的对边分别为，且。 (1) 求角的大小； (2) 若，，设为的角平分线，求的长。 22.正方体中，点分别为和的中点。 (1) 证明：//平面 (2)证明：平面 (3) 求直线与的夹角的余弦值 2027年广东省普通高中学业水平考试数学模拟卷9解析 本试卷共22题，满分150分．考试时间90分钟． 一、选择题（本大题共12小题，每小题6分，共72分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知复数，则在复平面上所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【详解】，实部为负，虚部为正，对应点位于第二象限 2.已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】由交集定义，取两个集合的公共部分，得 3.函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】函数有意义需满足，解得，即定义域为 4.已知命题：“，”，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【详解】改量词、否定结论，得：， 5.样本数据的中位数为（ ） A. 　　B. 　　C. 　　D. 【答案】B 【详解】将数据排序为 4,5,6,8,12，中位数为第 3 个数 6 6.下列函数为偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】A：，为奇函数； B：定义域关于原点对称，但且，非奇非偶； C：定义域关于原点对称，但，非奇非偶； D：定义域为，，为偶函数 7.为了得到的图像，只需将的图像（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】C 【详解】，根据 “左加右减”，需将向左平移个单位长度 8.一个圆台的上底面半径为，下底面半径为，高为，则它的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】母线长： 表面积： 9.已知，若恒成立，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 【答案】D 【详解】由基本不等式，时，，当且仅当时等号成立，故的最大值为 4。 10.若，，，则下列结论正确的是 (　　) A. 事件 A 与事件 B 互斥 B. 事件 A 与事件 B 对立 C. 事件 A 与事件 B 相互独立 D. 【答案】C 【详解】，得，选项D错误； ，事件 A、B 可同时发生，不互斥不对立，选项AB错误； 选项C：，故事件 A 与 B 相互独立. 11.下列推断中，不正确的是 (　　) A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，，则 【答案】A 【详解】A：若，，则或，推断错误； B：垂直于同一平面的两条直线平行，推断正确； C：面面平行则面内直线平行于另一平面，推断正确； D：符合面面垂直的性质定理，推断正确 12.设函数，则使得的自变量的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】当时，即，解得，全部满足； 当时，解得；综上，取值范围为 4、 填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分） 13.计算：_____ 【答案】0 【详解】。 14.已知角终边过点，则_______ 【答案】 【详解】点到原点距离，由三角函数定义得, 则 15.如图，在中，，用表示，则_______ 【答案】 【详解】。 16.不等式的解集为______________ 【答案】 【详解】由，得，得，所以解集为 17.已知，则____ 【答案】 【详解】由诱导公式，，得；又。 18.已知圆柱的底面半径为，高为，圆锥与圆柱的底面积相等，体积也相等，则圆锥的高为_____ 【答案】9 【详解】圆柱底面积，体积； 圆锥体积，由体积相等得，解得。 5、 简答题（本大题共4小题，第19，20，21小题各10分，第22小题12分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19.已知函数 （1）求函数的定义域；（2）判断并证明函数的奇偶性． 【小问 1 详解】 要使函数有意义，需满足，解得， 因此函数的定义域为 【小问 2 详解】 函数是偶函数，证明如下： 函数定义域关于原点对称，对任意，都有，且 ，因此函数是偶函数 20.从一批橘子中，随机抽取 40 个，其重量（单位：克）的频数分布表如下： 分组（重量） 频数（个） 4 8 16 12 (1) 用分层抽样的方法从重量在和的橘子中共抽取 4 个，其中重量在的有几个？ (2) 在 (1) 中抽出的 4 个橘子中，任取 2 个，求重量在和中各有 1 个的概率． 【小问 1 详解】 重量在的橘子频数为 4，重量在的橘子频数为 12， 两组数量比为。 分层抽样按比例抽取，共抽取 4 个， 因此重量在的橘子个数为：个 【小问 2 详解】 记重量在的 1 个橘子为，重量在的 3 个橘子为。 从中任取 2 个，样本空间，所以n（ ）= 6 ， 设事件“任取 2 个，两组中各有 1 个”， 则，所以n（ ）3， 所以 21如图，已知的内角的对边分别为，且。 (1) 求角的大小； (2) 若，，设为的角平分线，求的长。 【小问 1 详解】 由余弦定理：代入，得 ，又，故。 【小问 2 详解】 利用面积法： ， ， 因此，解得 22.正方体中，点分别为和的中点。 (1) 证明：//平面 (2)证明：平面 (3) 求直线与的夹角的余弦值 【小问 1 详解】 证明：因为、分别为、的中点，因此 正方体中且，故四边形是平行四边形，因此 。 由平行传递性得，又平面，平面， 所以 平面。 【小问 2 详解】 证明：上底面为正方形，故对角线， 侧棱平面，平面，因此 ， 又，且平面，所以 平面， 因为平面，故 ， 侧面为正方形，故对角线， 棱平面，平面，因此 ， 又，且平面，所以 平面， 因为平面，故 ， 因为，且平面，所以 平面。 【小问 3 详解】 解：取的中点，连接、, 设棱长为2， 因为是的中点，是的中点，所以 ，且 , 正方体中，且，故四边形是平行四边形， 因此 ，且 , 由平行传递性得 ， 因此（或其补角）即为异面直线与所成的角 面对角线 ，因此 。 底面对角线 ，侧棱底面，故。 在中，，因此 。 上底面中，，，且， 故 。 又平面，故。 在中，，因此 。 在中，由余弦定理得 所以直线与的夹角的余弦值是 学科网（北京）股份有限公司 $