专题8 立体几何初步重要考点期末复习2025-2026学年高一下学期

**基本信息** 以立体图形特征为基础，通过判定定理与性质构建平行垂直证明体系，结合模型化方法解决球切接及距离角度计算，形成“概念-性质-应用”的完整逻辑链，培养空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常见基本立体图形特征|6类图形|对比辨析（如正棱锥与正四面体）|从直观认识到本质特征抽象| |直观图|1例|“x轴不变y轴减半”作图法则|平面图形与空间直观图转化| |表面积体积|7例|公式推导与组合体拆分|从单一几何体到复杂组合体计算| |球切接问题|10例|模型化（正方体/长方体/正棱锥补形）|空间几何体与球的位置关系构建| |平行/垂直关系|多例|判定定理与性质联用（如线面平行→面面平行）|从线线到线面再到面面的逻辑递进| |距离角度计算|多例|平移法（异面直线角）、定义法（线面角）|空间量计算的转化思想应用|

第8章 立体几何初步重要考点（解析） 知识点1：常见基本立体图形特征 （1） 棱柱：上下底面互相平行，侧棱互相平行； （2） 直棱柱：侧棱垂直于底面； （3） 正棱柱：底面是正多边形，侧棱垂直于底面； （4） 平行六面体：各个面都是平行四边形的四棱柱。、 （5） 正棱锥：底面是正多边形，顶点与底面中心的连线垂直于底面，侧面是全等的等腰三角形 （6） 正四面体：与正棱锥的区别在于，正四面体的每一条棱都相等 知识点2：平面图形中的直观图 要点： （1） （或） （2） 图形中平行于或在轴，轴上的线段，在直观图中依然平行或在轴，轴上 （3） 图形中在轴上或平行于轴的线段，在直观图中长度不变.在轴上或平行于轴的线段，长度为原来长度的一半.（不变减半） 例1．一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴，轴，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据斜二测法求得且，进而求出，即可得结果. 【详解】设轴与交点为，因为轴，轴，所以∥， 因为轴，所以四边形为平行四边形， 故， 又， 轴，得， 则原四边形中，， ∴， ，. 所以四边形的周长为． 知识点3：空间几何体的表面积和体积 1、体积 （1）棱柱的体积：柱体的体积等于它的底面积和高的乘积，即. （2）棱锥的体积：锥体的体积等于它的底面积和高的乘积的,即. （3）棱台的体积： 2、圆柱、圆锥、圆台的表面积（要求能够推导相应的公式） 图形 表面积公式 旋转体 圆柱 底面积：S底=2πr2； 侧面积：S侧=2πrl； 表面积：S=2πr(r+l) 圆锥 底面积：S底=πr2； 侧面积：S侧=πrl； 表面积：S=πr(r+l) 圆台 上底面面积： S上底=πr'2； 下底面面积： S下底=πr2； 侧面积： S侧=π(r'l+rl)； 表面积：S=π(r'2+r2+r'l+rl) 3.圆柱、圆锥、圆台的体积 几何体 体积 说明 圆柱 V圆柱=Sh=πr2h 圆柱底面圆的半径为r，面积为S，高为h 圆锥 V圆锥=Sh=πr2h 圆锥底面圆的半径为r，面积为S，高为h 圆台 V圆台=h(S'++S) =πh(r'2+r'r+r2) 圆台上底面圆的半径为r'，面积为S'，下底面圆的半径为r，面积为S，高为h 4.柱体、锥体、台体的体积公式 几何体 体积 柱体 V柱体=Sh(S为底面面积，h为高) 锥体 V锥体=Sh(S为底面面积，h为高) 台体 V台体=h(S'++S)(S'，S分别为上、下底面面积，h为高) 球体 表面积是S球=4πR2；体积是V球=πR3. 例1．已知圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则圆锥表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算出圆锥的母线长，从而计算出圆锥的表面积. 【详解】圆心角是，对应为，设扇形的半径为，也即扇形围成的圆锥母线长为， 由解得：， 所以圆锥的表面积为. 例2（多选）．如图，圆锥的底面半径为4，高为，过靠近的四等分点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则下列说法正确的是（    ）    A．挖去圆柱的体积为 B．圆锥的侧面积为 C．剩下几何体的表面积为 D．圆锥母线与底面所成的角的余弦值为 【答案】BCD 【分析】根据题意，利用勾股定理可求圆锥的母线长，根据比例关系可得挖去圆柱的半径和高，逐项求解即可. 【详解】如图所示，因为为的四等分点，所以，，    对于A，挖去的圆柱的体积，故A错误； 对于B，圆锥母线长，所以圆锥的侧面积 ，故B正确； 对于C，圆柱的侧面积，剩下几何体的表面积 ，故C正确； 对于D，因为圆锥的底面半径为4，母线长， 则，故D正确. 故选：BCD. 例3（多选）．如图，正三棱台的上、下底面边长分别为1和3，侧棱长为2，则下列说法正确的是（   ）. A．该三棱台的侧面积为 B．该三棱台的高为 C．该三棱台的体积为 D．若点在棱上，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】根据正棱台的性质求侧面积、高、体积判断ABC，把等腰梯形与展开置于同一平面，用平面的性质求解判断D． 【详解】对于A，在等腰梯形中，过向作垂线，垂足为E， 在中， ， 所以等腰梯形的面积为， 所以，所以A正确； 对于B，正三棱台中，取上、下底面的中心，， 连接，，， 则，，高， 所以B错误； 对于C，因为，， 所以三棱台的体积，所以C正确； 对于D，把等腰梯形与展开置于同一平面，连结， 易知，，， 而边的中点到点的距离， 因此当点为线段与的交点时， 的最小值为，所以D正确. 例4（多选）．如图所示的几何体是一个棱长为2的正八面体，则（    ） A．为线段上的动点，则最小值为 B．该正八面体的表面积是 C．该正八面体的体积是 D．平面 截该正八面体的外接球所得截面的面积为 【答案】ABD 【分析】对于A：将与沿展开到同一平面，根据两点间线段最短，结合余弦定理求解即可；对于B：正八面体由八个全等的正三角形组成，求出每个三角形面积再求和即可；对于C：正八面体可以看做两个全等的正四棱锥，结合棱锥的体积公式求解即可；对于D：由球的截面性质求出截面圆的半径，再求出面积即可. 【详解】将沿翻折到，使得与共面， 则，当三点共线时等号成立， 所以的最小值为， 此时，， ， 所以，故最小值为，A正确. 因为正八面体由八个全等的正三角形组成，且棱长为2， 由三角形面积公式可得八面体的表面积为，故B正确. 连接，，交点设为，连接， 因为四边形为正方形，所以对角线长度的一半， 由勾股定理可得， 所以八面体的体积为，故C错误. 取的中点，连接，，在中，， 因为，所以正八面体外接球的球心为O，半径为， 作于，则， 平面截该正八面体的外接球的截面是圆，与平面所截得的面积相等， 其半径， 所以截面圆的面积为，故D正确. 例5（多选）．已知圆台的上底面半径，下底面半径，圆台有内切球，则（   ） A．圆台的母线长为5 B．圆台的高为 C．圆台内切球的半径为 D．圆台的侧面积为 【答案】AB 【分析】根据圆台特征及内切球的性质逐项求解. 【详解】有内切球的圆台满足性质：母线长， 圆台高， 内切球直径等于圆台的高，故半径为； 圆台侧面积．故A，B正确，C，D错误． 例6．现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥．下部是正四棱柱(如图所示)，且正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍．    (1)若求该几何体的体积． (2)若正四棱锥的侧棱长为6， ①求正四棱锥的侧面积． ②若是线段上的动点，求的最小值． 【答案】(1)312 (2)①；② 【分析】（1）根据求正四棱柱的高，分别计算正四棱柱和正四棱锥的体积，相加得到几何体体积； （2）①利用勾股定理求底面边长和侧面斜高，计算正四棱锥的侧面积； ②将正四棱柱的侧面展开为平面图形，利用两点之间线段最短，计算的最小值. 【详解】（1）由条件可知，正四棱柱的高 所以正四棱柱的体积为， 正四棱锥的体积为 所以该几何体的体积为. （2）①，所以，    正四棱锥侧面的高为 所以正四棱锥的侧面积为 ②将正方形展开在一个平面， ， 当三点共线时，最短， 所以. 所以的最小值为. 例7．如图，圆台的上、下底面圆心分别为，，上底面半径，下底面半径，母线． (1)求此圆台的侧面积和体积； (2)把一根绳从线段的中点开始沿着侧面卷绕一圈到点，求这根绳的最短长度． 【答案】(1)体积为，侧面积为 (2)21 【分析】（1）根据圆台的侧面积公式以及体积公式，可得答案； （2）由题意，作圆台的侧面展开图，利用弧度制的定义，建立方程，解得圆心角以及半径，利用余弦定理可得答案. 【详解】（1）为圆台的高，如图，在梯形中，作，垂足为， 则，， ， 在中，，， ． ∴圆台的高， 圆台的体积为， 圆台的侧面积为 （2）如图，延长圆台的两条母线交于一点，将圆台沿母线侧面展开， 连接，则线段的长度即为这根绳的最短长度， ，，即， 解得，， ∵圆台的下底面周长为， ∴弧的长度为，， 在中，，，， 由余弦定理得：， ， 故这根绳的最短长度为21. 知识点4：简单的球切接问题 1.正方体与球 （1）内切球：内切球直径正方体棱长. （2）棱切球：棱切球直径正方体的面对角线长. （3）外接球：外接球直径正方体体对角线长. 例1、棱长为1的正方体的外接球半径为（     ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据正方体外接球直径等于正方体体对角线长度的几何关系求解半径. 【详解】正方体外接球的球心为正方体的中心，外接球的直径与正方体的体对角线长度相等， 设正方体棱长为，正方体的体对角线长度为： 设外接球半径为，则，解得，即棱长为1的正方体的外接球半径为. 2.长方体与球 外接球：外接球直径长方体体对角线长（，，分别为长方体的长、宽、高）. 例2、已知正四棱柱，，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_______. 【答案】 【详解】由为正四棱柱，且， 所以为正方形，则正四棱柱的外接球半径， 所以球的表面积为. 【延展】 （1）墙角模型（三条棱两两垂直）公式，即 例2、已知四面体的4个顶点都在球的表面上，若平面，，，，则球的表面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】采取补形法求解，将满足两两垂直棱条件的四面体补成长方体，四面体的外接球与长方体的外接球完全重合，以此快速得到外接球的直径长度，进而求得球的表面积； 【详解】已知平面，平面， 因此, 又因为，可得两两互相垂直， 将四面体补成一个三条棱长度分别为、、的长方体， 四面体的外接球与长方体的外接球完全重合，外接球的直径等于长方体的体对角线长度， 设外接球的半径为，所以， 进而求得球的表面积. 例3、已知三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，，，则三棱锥外接球的体积为（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当三棱锥的三条侧棱两两互相垂直时，可以将其补成一个长方体，该三棱锥的外接球与长方体的外接球是同一个球，外接球的直径等于长方体的体对角线长度. 已知，，则长方体的体对角线 ， 因此，外接球半径. 球的体积 （2）对棱相等模型（补形为长方体） 三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，，） 例4、在三棱锥中，，其余棱长均为3，若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将三棱锥补形成长方体，结合长方体的外接球运算求解即可. 【详解】将三棱锥补形成长方体，设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，    则，可得， 则球的半径为，所以球的表面积为. 3.正棱锥与球 （1）内切球：（等体积法），是内切球半径，为正棱锥的高. （2）外接球：外接球球心在其高上，底面正多边形的外接圆圆心为，半径为，（正棱锥外接球半径为，高为）. 例5、正四棱锥的顶点都在球O的球面上，若球O的表面积为，，则该正四棱锥的侧棱长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】设P到平面ABCD的距离为h，球O的半径为R，则，解得． 在正四棱锥中，，则， 故，即，解得或7． 当时，； 同理，当时，，所以该正四棱锥的侧棱长为或． 故选：D 例6、正三棱锥侧棱长为，底面棱长为，该三棱锥内切球表面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设正三棱锥的表面积、体积分别为、 ，设正三棱锥的内切球半径为，由三棱锥体积公式 可求内切球半径，从而求解出内切球的表面积. 【详解】正三棱锥的顶点 在底面的投影为底面中心 ，侧棱长 ， , 则， 侧面为全等的等腰三角形，斜高， 正三棱锥的表面积 ， 正三棱锥的体积， 设正三棱锥的内切球半径为， 由三棱锥体积公式，得 ，解得， 所以.    4.正四面体与球 若正四面体的棱长为，高为，正四面体的外接球半径为，内切球半径为，则，，，. 例7、在正方体中，三棱锥内切球的表面积为，求正方体外接球的体积. 【答案】 【详解】设正方体的棱长为，则三棱锥为正四面体，且. 因为三棱锥内切球的表面积为，所以三棱锥内切球的半径为1. 设三棱锥内切球的球心为，到平面的距离为， 则，即， 所以，又， 所以，则， 又因为正方体外接球直径就是正方体体对角线长， 所以正方体外接球的半径为， 故该外接球的体积为. 5.正三棱柱的外接球 球心到正三棱柱两底面的距离相等，正三棱柱两底面中心连线的中点为其外接球球心，则（为正三棱柱外接球半径，为正三棱柱的高）. 例8、在正三棱柱中，各棱长均为1，D为BC的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．三棱柱外接球表面积为 【答案】AD 【解析】对于A，因为多面体为正三棱柱， 则平面， 因平面，故， 又因正三棱柱的各棱长均为1，D为BC的中点，则， 因平面，故平面， 又平面，故，故A正确； 对于B，假设平面，平面，则， 又，，平面， 所以平面，又平面，所以， 这与为等边三角形矛盾，故B错误； 对于C，因为的面积与的面积相等，且两三角形同在平面中， 故三棱锥的体积等于三棱锥的体积， 即， 又，，，C错误； 对于D，设为的外心，为的外心，为的中点， 则与两底面垂直，因，， 故，即为三棱柱外接球的球心， 又，，故， 即外接球的半径，故外接球表面积，D正确. 故选：AD. 6.圆柱的外接球 （是圆柱外接球的半径，是圆柱的高，是圆柱底面圆的半径）. 例9、已知某圆柱的高为，底面半径为1，且其上、下底面圆周均在以为球心的球面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为圆柱上、下底面圆周均在以为球心的球面上，所以圆柱的上、下底面圆心连线的中点为球心，且与底面圆心的连线垂直底面，因为圆柱底面半径为，高为，所以球心到底面的距离，因为底面圆周上一点到球心的距离为球的半径，所以由勾股定理得， 则球的表面积． 故选：C． 7.圆锥的外接球 （是圆锥外接球的半径，是圆锥的高，是圆锥底面圆的半径）. 例10、已知圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，则该圆锥内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得：正三角形内切圆半径，就是圆锥内切球的半径， 且边长为4的正三角形内切圆半径为：， 所以圆锥内切球的表面积为：. 知识点5：平面的概念及基本性质 基本事实 文字语言 图形语言 符号语言 基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，且P∈β⇒α∩β=l，且P∈l 基本事实4 平行于同一条直线的两条直线平行 作用；证明两条直线平行 直线a，b，c，a∥b，b∥c⇒a∥c 推论 文字语言 图形语言 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 例1．如图，是平面外的一点，，，，分别为，的中点，且．则异面直线与所成的角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点F，连接，，根据异面直线定义结合余弦定理计算即可求解. 【详解】取的中点F，连接，， 在中，是的中点，F是的中点，． 同理可得． 为异面直线与所成的角（或其补角）． 在中，，又，， ， ，即异面直线与所成的角为． 例2．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，过作正方体的截面，则截面图形的周长为__________． 【答案】 【分析】根据平面的性质及线线平行的关系可直接作出截面，再计算各边可得周长. 【详解】如图：取棱的中点，连接，则多边形为截面图形. 因为且，所以四边形为平行四边形，所以. 又因为分别是的中点，由中位线定理得，再由， 所以，即四点共面，而平面是过的截面，且三点不共线， 所以四边形为截面图形，且截面为等腰梯形，由棱长为2， 所以，所以截面的周长为. 故答案为：. 例3．如图，是两个全等的矩形，它们不在同一个平面内，，分别是，的中点． (1)证明：四点共面． (2)证明：直线，，经过同一点． 【答案】(1)证明：连接，因为是的中位线，所以 ． 因为，是两个全等的矩形， 所以 ， 所以 ，则四边形为平行四边形，从而． 又因为，所以 ，故四点共面． (2)证明：为梯形，设 ， 因为平面 平面，所以平面 平面． 又因为 ，所以，即直线经过同一点 ． 【分析】(1)利用中位线定理和平性定理证明，从而四点共面； (2)设两直线交于一点，利用线面关系和面面交线证明该点在上. 知识点6：平行关系 常见线线平行证明：中位线（遇中点找中位线）、平行四边形、对应线段成比例（证相似） ①线面平行的判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么该直线与此平面平行 ②线面平行的性质（可用于证明线面平行）：直线a与平面α平行，过这条直线的平面β与平面α有一条交线，直线a与这条交线平行 ③面面平行的判断定理：一个平面内两条相交直线都与另一平面平行，那么这两个平面平行 ④面面平行的性质1：两个平面平行，一个平面内任意一条直线与另一平面平行 ⑤面面平行的性质2：两个平行平面同时与第三个平面相交，这两条交线平行 空间等角定理 文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 符号语言 OA∥O'A'，OB∥O'B'⇒∠AOB=∠A'O'B'或∠AOB+∠A'O'B'=180° 图形语言 作用 判断或证明两个角相等或互补 例4．如图，在圆锥中，是底面圆的直径，，， 为底面圆上的点，，，是母线的中点．    (1)求证：； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明：连接，因为，， 所以且，则四边形是平行四边形， 所以. (2)证明：取中点，连接 ， 因为是中点，所以，， 而，，则，， 所以四边形是平行四边形，则， 又平面，平面， 所以平面.   ； 【分析】（1）连接，先证明四边形是平行四边形，进而求证即可； （2）取中点，连接 ，先证明四边形是平行四边形，可得，进而求证即可. 例5．如图，在正方体中，，，分别为棱，，的中点.    (1)求证：四点共面. (2)设平面平面，求证：. (3)棱，上是否分别存在点，，使平面平面？若存在，求与的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)因为分别是​的中点，所以是​的中位线，得​. 在正方体中，且，所以四边形是平行四边形，得， 因此由平行公理得，两条平行直线确定唯一平面， 所以共面，故四点共面. (2)由（1）分析知​，平面，平面​， 所以平面. 又平面，平面平面， 根据线面平行的性质定理，得，结合（1）中，得. (3) 存在，. 【分析】（1）根据中位线定理及平面的性质可得； （2）先证 平面，再由线面平行的性质可得 ，再结合（1）分析可得； （3）先由可得，再结合（1）的分析得 平面 .再构造平行四边形 ，进而可得 平面 ，再由面面平行的判定定理可得. 【详解】（1）略 （2）略 （3）存在 点，且时，平面 平面 .理由如下： .   若，由线段成比例，所以. 又（1）分析知，得 ， 平面 ， 平面 ， 由线面平行的判定定理得 平面 . 设 分别为 的中点，连接 ，所以 . 又 分别是的中点，所以且. 因为 分别是的中点，所以，即， 又，所以，由线段成比例，所以且. 由平行公理得 且 ，所以四边形 是平行四边形， 所以 ，且 ，因此 . 又 平面 ， 平面 ，所以 平面 . 因为 平面 ， 平面 ，且 ， 平面 ， 由面面平行的判定定理得平面 平面 . 因此，存在 点，且时，平面 平面 . 知识点7：垂直关系 ①线面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 ②线面垂直的性质1：一条直线垂直于一个平面，则该直线垂直于平面内所有直线 ③线面垂直的性质2&面面垂直的判定定理：一条直线垂直于一个平面，则经过该直线的平面垂直于另一平面 ④面面垂直的性质（题干中给了面面垂直，则必然要用到面面垂直的性质）：两个平面垂直，这两个平面有一条交线，则一个平面内垂直于交线的直线，垂直于另一平面 例6．设，是不同的直线，，是不同的平面，则下列命题正确的是（     ） A．，，则 B．，， C．，，则 D．，，则 【答案】B 【详解】对于A，若，，则与平面平行或或相交，故A错误； 对于B，因为，，故，而，故，故B正确； 对于C，，，则或，故C错误； 对于D，若，，则与平面的位置关系不确定（可能平行、相交或在平面内），故D错误. 例7．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，，分别为，的中点. (1)求三棱锥的体积. (2)求证：平面平面. (3)求证：平面. 【答案】(1). (2)∵底面为矩形，∴. 平面平面，平面平面，∴平面. ∵平面， . ，，平面. 平面，平面平面. (3)取的中点，连接，，如图所示， ，分别为，的中点， ，. ∵底面为矩形，为的中点，，. ，，得四边形为平行四边形. . 平面，平面， 平面. 【详解】（1），为的中点，，，，. 平面平面，平面平面， 平面. 为的中点，点到底面的距离. 底面为矩形，，， . . 三棱锥的体积为. （2）略 （3）略 知识点8：空间几何体距离和角度的计算 1.直线与平面的距离 一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离. 2.平面与平面的距离 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离. 3.异面直线所成的角（0°≤θ≤90°） 可通过多种方法平移产生三角形，主要有三种方法 (1)直接平移法(可利用图中已有的平行线)； (2)中位线平移法； (3)补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线). 4.直线与平面所成的角（0°≤θ≤90°） （1）定义法（如右图）：具体操作方法： ①在直线上任取一点（通常都是取特殊点），向平面引（通常都是找+证明）垂线； ②连接斜足与垂足； ③则斜线与射影所成的角，就是直线与平面所成角. 5.二面角（两个半平面所形成的夹角，与两个面形成的夹角有区别） 在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图，∠AOB为二面角α-l-β的平面角. 二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°（面与面形成的夹角的取值范围是0°≤θ≤90°） 例8．在正三棱柱中，，设和所成的角为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将正三棱柱补成直四棱柱，平移到即可解. 【详解】将正三棱柱补成直四棱柱， 使正三棱柱与正三棱柱全等， 则由直棱柱性质可知，与所成角为（或其补角）； 因为，， 所以， 所以. 例9．如图所示，在长方体中，，，，求： (1)点到平面的距离； (2)直线与平面的距离； (3)平面与平面的距离． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在长方体中，可得， 因为且平面，所以平面， 所以点到平面的距离为. （2）在长方体中，可得, 因为且平面，所以平面， 又因为，且平面，平面， 所以平面， 所以直线与平面的距离等于点到平面的距离， 所以直线与平面的距离为. （3）在长方体中，可得平面平面， 因为且，平面， 所以平面， 所以平面与平面的距离等于点到平面的距离， 所以平面与平面的距离为. 例10．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，，，平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求二面角所成角的余弦值. 【答案】(1)证明：因为，，所以， 又平面，平面，所以， 又，所以平面. (2)证明：因为，所以， 又，所以在中，，所以， 又平面，平面，所以， 又，所以平面，又平面， 所以平面平面. (3) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明即可； （2）利用面面垂直的判定定理证明即可； （3）利用二面角的定义先找出角，然后利用公式求解即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由（2）平面，平面，所以， 又，所以为二面角所成角， 因为平面，平面，所以， 在中，由，则， 所以. 例11．已知菱形的边长为，平面外一点在平面上的射影是与的交点是等边三角形． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明：因为点在底面上的射影是与的交点， 所以平面，因为平面，所以， 又因为四边形为菱形，所以， 因为，且平面，所以平面． (2) (3) 【分析】（1）由题可得平面，所以，根据菱形的性质可得，再根据线面垂直的判定定理即可证明； （2）由平面，得到是直线与平面所成角，在直角中，即可求解； （3）设点到平面的距离为，根据，列出方程，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：因为平面，所以直线与平面所成角，即为， 又因为菱形的边长为且，可得为等边三角形，且， 因为是等边三角形，所以， 在直角中，可得， 因为，所以. （3）解：由题意，可得，与都是边长为是等边三角形， 所以，且， 所以， 因为，所以， 设点到平面的距离为，由，可得， 即，解得， 所以点到平面的距离为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8章 立体几何初步重要考点 知识点1：常见基本立体图形特征 （1） 棱柱：上下底面互相平行，侧棱互相平行； （2） 直棱柱：侧棱垂直于底面； （3） 正棱柱：底面是正多边形，侧棱垂直于底面； （4） 平行六面体：各个面都是平行四边形的四棱柱。、 （5） 正棱锥：底面是正多边形，顶点与底面中心的连线垂直于底面，侧面是全等的等腰三角形 （6） 正四面体：与正棱锥的区别在于，正四面体的每一条棱都相等 知识点2：平面图形中的直观图 要点： （1） （或） （2） 图形中平行于或在轴，轴上的线段，在直观图中依然平行或在轴，轴上 （3） 图形中在轴上或平行于轴的线段，在直观图中长度不变.在轴上或平行于轴的线段，长度为原来长度的一半.（不变减半） 例1．一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴，轴，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 知识点3：空间几何体的表面积和体积 1、体积 （1）棱柱的体积：柱体的体积等于它的底面积和高的乘积，即. （2）棱锥的体积：锥体的体积等于它的底面积和高的乘积的,即. （3）棱台的体积： 2、圆柱、圆锥、圆台的表面积（要求能够推导相应的公式） 图形 表面积公式 旋转体 圆柱 底面积：S底=2πr2； 侧面积：S侧=2πrl； 表面积：S=2πr(r+l) 圆锥 底面积：S底=πr2； 侧面积：S侧=πrl； 表面积：S=πr(r+l) 圆台 上底面面积： S上底=πr'2； 下底面面积： S下底=πr2； 侧面积： S侧=π(r'l+rl)； 表面积：S=π(r'2+r2+r'l+rl) 3.圆柱、圆锥、圆台的体积 几何体 体积 说明 圆柱 V圆柱=Sh=πr2h 圆柱底面圆的半径为r，面积为S，高为h 圆锥 V圆锥=Sh=πr2h 圆锥底面圆的半径为r，面积为S，高为h 圆台 V圆台=h(S'++S) =πh(r'2+r'r+r2) 圆台上底面圆的半径为r'，面积为S'，下底面圆的半径为r，面积为S，高为h 4.柱体、锥体、台体的体积公式 几何体 体积 柱体 V柱体=Sh(S为底面面积，h为高) 锥体 V锥体=Sh(S为底面面积，h为高) 台体 V台体=h(S'++S)(S'，S分别为上、下底面面积，h为高) 球体 表面积是S球=4πR2；体积是V球=πR3. 例1．已知圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则圆锥表面积为（    ） A． B． C． D． 例2（多选）．如图，圆锥的底面半径为4，高为，过靠近的四等分点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则下列说法正确的是（    ） A．挖去圆柱的体积为 B．圆锥的侧面积为 C．剩下几何体的表面积为 D．圆锥母线与底面所成的角的余弦值为 例3（多选）．如图，正三棱台的上、下底面边长分别为1和3，侧棱长为2，则下列说法正确的是（   ）. A．该三棱台的侧面积为 B．该三棱台的高为 C．该三棱台的体积为 D．若点在棱上，则的最小值为 例4（多选）．如图所示的几何体是一个棱长为2的正八面体，则（    ） A．为线段上的动点，则最小值为 B．该正八面体的表面积是 C．该正八面体的体积是 D．平面 截该正八面体的外接球所得截面的面积为 例5（多选）．已知圆台的上底面半径，下底面半径，圆台有内切球，则（   ） A．圆台的母线长为5 B．圆台的高为 C．圆台内切球的半径为 D．圆台的侧面积为 例6．现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥．下部是正四棱柱(如图所示)，且正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍．    (1)若求该几何体的体积． (2)若正四棱锥的侧棱长为6， ①求正四棱锥的侧面积． ②若是线段上的动点，求的最小值． 例7．如图，圆台的上、下底面圆心分别为，，上底面半径，下底面半径，母线． (1)求此圆台的侧面积和体积； (2)把一根绳从线段的中点开始沿着侧面卷绕一圈到点，求这根绳的最短长度． 知识点4：简单的球切接问题 1.正方体与球 （1）内切球：内切球直径正方体棱长. （2）棱切球：棱切球直径正方体的面对角线长. （3）外接球：外接球直径正方体体对角线长. 例1、棱长为1的正方体的外接球半径为（     ） A． B． C． D．1 2.长方体与球 外接球：外接球直径长方体体对角线长（，，分别为长方体的长、宽、高）. 例2、 已知正四棱柱，，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_______. 【延展】 1、墙角模型（三条棱两两垂直）公式，即 例2、已知四面体的4个顶点都在球的表面上，若平面，，，，则球的表面积为（     ） A． B． C． D． 例3、已知三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，，，则三棱锥外接球的体积为（） A． B． C． D． （2）对棱相等模型（补形为长方体） 三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，，） 例4、在三棱锥中，，其余棱长均为3，若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 3.正棱锥与球 （1）内切球：（等体积法），是内切球半径，为正棱锥的高. （2）外接球：外接球球心在其高上，底面正多边形的外接圆圆心为，半径为，（正棱锥外接球半径为，高为）. 例5、正四棱锥的顶点都在球O的球面上，若球O的表面积为，，则该正四棱锥的侧棱长为（    ） A． B． C．或 D．或 例6、正三棱锥侧棱长为，底面棱长为，该三棱锥内切球表面积是（     ） A． B． C． D． 4.正四面体与球（可补形为正方体） 若正四面体的棱长为，高为，正四面体的外接球半径为，内切球半径为，则，，，. 例7、在正方体中，三棱锥内切球的表面积为，求正方体外接球的体积. 5.正三棱柱的外接球 球心到正三棱柱两底面的距离相等，正三棱柱两底面中心连线的中点为其外接球球心，则（为正三棱柱外接球半径，为正三棱柱的高）. 例8、在正三棱柱中，各棱长均为1，D为BC的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．三棱柱外接球表面积为 6.圆柱的外接球 （是圆柱外接球的半径，是圆柱的高，是圆柱底面圆的半径）. 例9、已知某圆柱的高为，底面半径为1，且其上、下底面圆周均在以为球心的球面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 7.圆锥的外接球 （是圆锥外接球的半径，是圆锥的高，是圆锥底面圆的半径）. 例10、已知圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，则该圆锥内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 知识点5：平面的概念及基本性质 基本事实 文字语言 图形语言 符号语言 基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，且P∈β⇒α∩β=l，且P∈l 基本事实4 平行于同一条直线的两条直线平行 作用；证明两条直线平行 直线a，b，c，a∥b，b∥c⇒a∥c 推论 文字语言 图形语言 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 例1．如图，是平面外的一点，，，，分别为，的中点，且．则异面直线与所成的角的大小为（    ） A． B． C． D． 例2．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，过作正方体的截面，则截面图形的周长为__________． 例3．如图，是两个全等的矩形，它们不在同一个平面内，，分别是，的中点． (1)证明：四点共面． (2)证明：直线，，经过同一点． 知识点6：平行关系 常见线线平行证明：中位线（遇中点找中位线）、平行四边形、对应线段成比例（证相似） ①线面平行的判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么该直线与此平面平行 ②线面平行的性质（可用于证明线面平行）：直线a与平面α平行，过这条直线的平面β与平面α有一条交线，直线a与这条交线平行 ③面面平行的判断定理：一个平面内两条相交直线都与另一平面平行，那么这两个平面平行 ④面面平行的性质1：两个平面平行，一个平面内任意一条直线与另一平面平行 ⑤面面平行的性质2：两个平行平面同时与第三个平面相交，这两条交线平行 空间等角定理 文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 符号语言 OA∥O'A'，OB∥O'B'⇒∠AOB=∠A'O'B'或∠AOB+∠A'O'B'=180° 图形语言 作用 判断或证明两个角相等或互补 例4．如图，在圆锥中，是底面圆的直径，，， 为底面圆上的点，，，是母线的中点．    (1)求证：； (2)求证：平面. 例5．如图，在正方体中，，，分别为棱，，的中点.    (1)求证：四点共面. (2)设平面平面，求证：. (3)棱，上是否分别存在点，，使平面平面？若存在，求与的值；若不存在，请说明理由. 知识点7：垂直关系 ①线面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 ②线面垂直的性质1：一条直线垂直于一个平面，则该直线垂直于平面内所有直线 ③线面垂直的性质2&面面垂直的判定定理：一条直线垂直于一个平面，则经过该直线的平面垂直于另一平面 ④面面垂直的性质（题干中给了面面垂直，则必然要用到面面垂直的性质）：两个平面垂直，这两个平面有一条交线，则一个平面内垂直于交线的直线，垂直于另一平面 例6．设，是不同的直线，，是不同的平面，则下列命题正确的是（     ） A．，，则 B．，， C．，，则 D．，，则 例7．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，，分别为，的中点. (1)求三棱锥的体积. (2)求证：平面平面. (3)求证：平面. 知识点8：空间几何体距离和角度的计算 1.直线与平面的距离 一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离. 2.平面与平面的距离 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离. 3.异面直线所成的角（0°≤θ≤90°） 可通过多种方法平移产生三角形，主要有三种方法 (1)直接平移法(可利用图中已有的平行线)； (2)中位线平移法； (3)补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线). 4.直线与平面所成的角（0°≤θ≤90°） （1）定义法（如右图）：具体操作方法： ①在直线上任取一点（通常都是取特殊点），向平面引（通常都是找+证明）垂线； ②连接斜足与垂足； ③则斜线与射影所成的角，就是直线与平面所成角. 5.二面角（两个半平面所形成的夹角，与两个面形成的夹角有区别） 在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图，∠AOB为二面角α-l-β的平面角. 二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°（面与面形成的夹角的取值范围是0°≤θ≤90°） 例8．在正三棱柱中，，设和所成的角为，则的值为（     ） A． B． C． D． 例9．如图所示，在长方体中，，，，求： (1)点到平面的距离； (2)直线与平面的距离； (3)平面与平面的距离． 例10．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，，，平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求二面角所成角的余弦值. 例11．已知菱形的边长为，平面外一点在平面上的射影是与的交点是等边三角形． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小； (3)求点到平面的距离. 学科网（北京）股份有限公司 $