广东省深圳市2025-2026学年下学期高一数学期末考前冲刺模拟卷（考试范围：人教A版必修第一册、第二册）

**基本信息** 立足高一数学核心知识，融合历史科学情境与分层能力设计，适配期末综合素养评估 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|复数、集合、三角函数、向量、立体几何|第6题以平面与直线平行关系考逻辑推理，体现数学思维| |填空题|3/15|向量坐标运算、圆台体积、解三角形|第14题结合阿拉伯天文学家观测方案考流星高度，渗透文化传承| |解答题|5/77|函数性质、统计、立体几何、解三角形、导数|18题融合角平分线定理与基本不等式求面积及线段最小值，19题分层设问函数取值范围与值域，凸显数学语言表达与创新应用|

广东省深圳市2025-2026学年下学期高一数学期末考前冲刺模拟卷 考试范围：人教A版必修第一册、第二册 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设复数z满足（i为虚数单位），则＝（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．已知为第四象限角，，则（   ） A． B． C． D． 4．已知向量，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 5．下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的函数是（    ） A． B． C． D． 6．已知是空间中三个不同的平面，且直线分别在平面上．设甲：两两平行；乙：两两平行，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 7．若函数的值域为，且在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知，为样本空间中的两个随机事件，其中，，，则下列说法正确的是（    ） A．事件与互斥 B． C．事件与不独立 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，，则下列结论正确的有（   ） A．曲线与曲线存在相同的对称中心 B．曲线与曲线存在相同的对称轴 C．曲线向左平移个单位得到曲线 D．曲线与曲线关于轴对称 11．如图，在长方体中，，点为线段上一动点（含端点），则下列说法正确的是（    ） A．直线平面 B．三棱锥的体积为定值 C．若为线段中点，则与垂直 D．平面截长方体的外接球所得截面面积是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知平面向量，若，则______. 13．若一个圆台的高为，母线与底面所成角为，侧面积为，则该圆台的体积为______________. 14．10世纪阿拉伯天文学家阿尔·库希设计出一种方案，通过两个观察者异地同时观测同一颗流星星的高度.如图，设有两个观察者在地球上A、B两地同时观察到一颗流星S，仰角分别是和（MA，MB表示当地的地平线）.设，，，地球的半径，则流星的高度为________km（精确到1km），参考数据：． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义证明你的结论； (3)在（2）的条件下，解不等式. 16．（15分）某校高一年级进行数学计算能力大赛，数学备课组从全年级的1000名学生的成绩中抽取容量为n的样本，构成频率分布直方图，且成绩在区间的人数为5． (1)求样本容量n以及频率分布直方图中的x； (2)估计全年级学生竞赛成绩的平均数； (3)从样本中得分在[80,100]的学生中随机抽取两人，问所抽取的两人中至少有一人的得分在区间[90,100]的概率是多少？ 17．（15分）三棱锥中，，，，面面， (1)证明：； (2)若，求二面角的正切值． 18．（17分）在中，． (1)求； (2)设的角平分线交于点，且． （ⅰ）求面积的最小值； （ⅱ）求的最小值． 19．（17分）已知函数. (1)当时，，求的取值范围； (2)求的值域； (3)当时，，求的最大值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省深圳市2025-2026学年下学期高一数学期末考前冲刺模拟卷 考试范围：人教A版必修第一册、第二册 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设复数z满足（i为虚数单位），则＝（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出z，再求出. 【详解】解：因为， 所以， 所以， 故选：B． 2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简集合，结合交集的定义即可求解 【详解】由可得，所以， 由可得，所以， 所以 故选：D 3．已知为第四象限角，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同角三角函数的关系，结合角的范围，即可得答案. 【详解】由题意得，解得， 又为第四象限角，则，所以. 4．已知向量，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将平方，求出的值，即可求得以及的值，根据向量的夹角公式，即可求得答案. 【详解】由题意知向量，满足，，， 故，即， 则， ， 故， 故选：A 5．下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据常见函数的单调性与奇偶性判断即可. 【详解】因为在上单调递减，故错误； 对于函数，，为偶函数，故错误； 设，则， 因为， 所以为奇函数. 易知在单调递增，单调递增， 所以在上单调递增，故正确； 因为，定义域为，所以是非奇非偶函数，故错误. 故选：. 6．已知是空间中三个不同的平面，且直线分别在平面上．设甲：两两平行；乙：两两平行，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】D 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】如图所示； 两两平行，但两两平行不一定成立，故不充分； 如图所示：   两两平行，两两平行，不一定成立，故不必要； 故选：D． 7．若函数的值域为，且在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用一元二次方程根的分布以及复合函数单调性法则可得答案. 【详解】由函数的值域为， 得函数的值域包含， 则函数的图象与轴有交点， 即方程有实根， 所以，解得或； 由函数在上单调递增， 而函数在定义域上单调递增， 则函数在上单调递增且恒为正， ，解得； 综上，实数的取值范围是. 故选：A． 8．已知，为样本空间中的两个随机事件，其中，，，则下列说法正确的是（    ） A．事件与互斥 B． C．事件与不独立 D． 【答案】B 【分析】利用互斥事件、对立事件、独立事件的定义，和事件与积事件的运算法则，逐项判断即可. 【详解】已知，则，而题目中，显然，因此事件A与B不互斥，选项A错误； ，又，所以，选项B正确； 因为， ，由于，所以事件与独立，选项C错误； ，则，选项D错误. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用作差法可判断A选项；利用对数函数的单调性可判断B选项；利用特殊值法可判断C选项；利用指数函数和幂函数的单调性可判断D选项. 【详解】因为，， 对于A选项，，则，A对； 对于B选项，因为，则，且对数函数为增函数， 所以，，B对； 对于C选项，取，，则，C错； 对于D选项，因为，则， 因为指数函数为减函数，幂函数在上为增函数， 所以，，D对. 故选：ABD. 10．已知函数，，则下列结论正确的有（   ） A．曲线与曲线存在相同的对称中心 B．曲线与曲线存在相同的对称轴 C．曲线向左平移个单位得到曲线 D．曲线与曲线关于轴对称 【答案】AC 【详解】选项A，因为， 令，得，所以的对称中心为. 因为，令，得，所以的对称中心为. 假设存在相同对称中心，则， 化简得，当时，，所以存在相同对称中心，A正确. 选项B，：令，得，对称轴为. ：令，得，对称轴为. 假设存在相同对称轴，则，化简得， 左边为偶数，右边为奇数，无整数解，所以曲线无相同对称轴，B错误. 选项C，，平移个单位，得： ，C正确. 选项D，若与关于轴对称，则需满足. 因为，而， 显然与不能恒相等，所以两曲线不关于轴对称，D错误. 11．如图，在长方体中，，点为线段上一动点（含端点），则下列说法正确的是（    ） A．直线平面 B．三棱锥的体积为定值 C．若为线段中点，则与垂直 D．平面截长方体的外接球所得截面面积是 【答案】ACD 【分析】A选项：根据线线平行可证线面平行，即可判断A选项；B选项：根据线面平行可得体积为定值，并求值；C选项：根据线面垂直可得线线垂直；D选项：易知外接球球心到平面的距离为点到平面距离的一半，再利用等体积转化法可得解. 【详解】A选项：连接，， 由已知为长方体，则，，即， 又，且，平面，，平面， 平面平面， 又平面， 平面，A选项正确； B选项： 由，且平面，平面， 平面， 点在上， ， 又， ，B选项错误； C选项： 当为中点时，， ，即， ，即， 则， 由长方体可知平面，且平面， 所以， 又，，平面， 平面， 平面，，C选项正确； D选项：由长方体性质可知长方体的外接球球心为其体对角线中点， 则， 设点到平面的距离为， 则点到平面的距离为， 在三棱锥中，，， 即， 又，即， 解得， 则平面被长方体外接球所截小圆半径， 其面积为，D选项正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知平面向量，若，则______. 【答案】1 【分析】根据向量坐标运算求出的坐标，再利用向量垂直的坐标公式列出方程，最后求解方程即可求解. 【详解】因为，所以， 因为，所以，解得． 故答案为：1 13．若一个圆台的高为，母线与底面所成角为，侧面积为，则该圆台的体积为______________. 【答案】 【分析】设上底面半径为，结合题意得母线，下底面半径为，再结合侧面积求得，最后计算体积即可. 【详解】如图，根据题意，，， 所以，在中，，， 设上底面半径为，则下底面半径为， 所以圆台的侧面积为，解得 所以圆台的体积为 故答案为：    14．10世纪阿拉伯天文学家阿尔·库希设计出一种方案，通过两个观察者异地同时观测同一颗流星星的高度.如图，设有两个观察者在地球上A、B两地同时观察到一颗流星S，仰角分别是和（MA，MB表示当地的地平线）.设，，，地球的半径，则流星的高度为________km（精确到1km），参考数据：． 【答案】197 【分析】利用正弦定理，结合三角函数恒等变换求解即可. 【详解】已知弧长，地球的半径，设圆心角为， 则， 仰角，是视线与地平线的夹角，而地平线垂直于地球半径， 视线与半径的夹角分别为，， 设为流星的高度，则地心到流星的距离， 在中，①， 在中，②， 且③， 设，由①可得， 由②可得， 由③可得， ， ， ， ，化简得，解得， ，解得． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义证明你的结论； (3)在（2）的条件下，解不等式. 【答案】(1) (2) 在上单调递增，证明如下： 任取，且， 则 ， ∵，∴，，，， ∴， ∴在上单调递增. (3) 【分析】（1）根据、求出解析式，再利用奇函数的定义检验； （2）利用单调性的定义证明； （3）根据单调性求解不等式. 【详解】（1）因函数是定义在上的奇函数，则，即， 又因，得，故， 检验，，故为奇函数. （2）略 （3）由（2）可知，函数在区间单调递增， 所以，得， 故不等式的解集为. 16．（15分）某校高一年级进行数学计算能力大赛，数学备课组从全年级的1000名学生的成绩中抽取容量为n的样本，构成频率分布直方图，且成绩在区间的人数为5． (1)求样本容量n以及频率分布直方图中的x； (2)估计全年级学生竞赛成绩的平均数； (3)从样本中得分在[80,100]的学生中随机抽取两人，问所抽取的两人中至少有一人的得分在区间[90,100]的概率是多少？ 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由成绩在区间的频率为，求得样本容量，频率分布直方图中频率和为1求得； （2）根据频率分布直方图估计平均数； （3）列出所有可能的事件，结合古典概型公式可得所求概率． 【详解】（1）成绩在区间的频率为，， 由频率分布直方图可得第4组的频率为 ，故. （2）先估计所抽取的25名学生成绩的平均数为 （分）， 估计全年级学生竞赛成绩的平均数为； （3）得分成绩在有（人）， 这组的3名学生分别为， ， ， 得分在区间[90，100]有（人）， 这组的2名学生分别为，， 随机抽取两人，所以可能的结果为 共10种， 所抽取的两人中至少有一人的得分在区间[90，100]的结果为 共7种， 故所抽取的两人中至少有一人的得分在区间[90,100]的概率是. 17．（15分）三棱锥中，，，，面面， (1)证明：； (2)若，求二面角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）作于点，再利用面面垂直的性质定理得到线面垂直，继而得到为中点即可证明； （2）利用体积求出，作于点，作于点，连，利用线面垂直的判定定理和性质定理得到为二面角的平面角，再求解即可. 【详解】（1）作于点， ∵平面平面，平面平面，平面， 平面，又平面，所以， ，为中点． ，． ，，． （2），，为三棱锥的高， ， 作于点，作于点，连． 平面，平面， ． ，又，平面， 平面，平面， 所以． ，平面，， 平面，又平面， 所以，故为二面角的平面角． ，， ． 18．（17分）在中，． (1)求； (2)设的角平分线交于点，且． （ⅰ）求面积的最小值； （ⅱ）求的最小值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）由正弦定理得，根据余弦定理求得，求出； （2）（ⅰ）根据的面积相等，得；再根据基本不等式，求得，最后根据面积公式求出面积的最小值； （ⅱ）由余弦定理得，结合，得，从而求得的最小值. 【详解】（1），由正弦定理得. 由余弦定理得； ，. （2）由（1）得.令，.   是的角平分线，. （ⅰ），， . ，得. ，，（当且仅当时等号成立）； ，得. ，即面积的最小值为. （ⅱ）在中，由余弦定理得. 由（ⅰ）得，； ； ，当时，取得最小值，即； ，即的最小值为. 19．（17分）已知函数. (1)当时，，求的取值范围； (2)求的值域； (3)当时，，求的最大值. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）由由，可得，结合二次函数性质即可求得答案； （2）令，化简可得，分类讨论，讨论对称轴和已知区间的位置关系，即可求得答案； （3）讨论a的取值范围，结合题意可得相应不等式组，进而求出关于b的不等关系，从而可得的不等式，继而求得答案. 【详解】（1）时，， 由，得， 而， 当时，取最小值， 故 （2） ， 令，则， 当时，在上单调递减， 则，， 故函数值域为； 同理，当时，，， 此时函数值域为， 当时，，， 此时函数值域为， 当时，，， 故函数值域为； 综上可得，当时，值域为； 当时，值域为； 当时，值域为， 当时，值域为. （3）当时，易知； 当时，，则，； 因此当时，由（2）知，即， 由于，所以， 故， 则； 当时，则，即， 即， 由于，所以， 所以， 故； 当时，则，即， 即， 由于，所以， 所以， 故； 当时，，则，； 当时，由（2）知，即， 由于，所以， 所以， 故； 综合上述可知当时，取到最大值，最大值为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $