精品解析：江苏南京市金陵中学2025-2026学年第二学期期末测试高一数学试卷

金陵中学2025～2026学年第二学期期末测试 高一数学试卷 2026.6 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的． 1. 计算：（ ） A. B. C. D. 2. 设向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 必要不充分条件 3. 样本数据、、、、、、、、的分位数为（ ） A. B. C. D. 4. 空间中有两个不同的平面，和两条不同的直线，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，，则 5. 某段道路在一天中的汽车时速的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 时速的众数估计值是60 C. 时速的中位数估计值是62.5 D. 时速的平均数估计值大于其中位数的估计值 6. 已知的内角，，的对边分别为，，，下列结论错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，，，则符合条件的三角形有且仅有1个 C. 若，则 D. 若的面积，则 7. 一正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，侧面积为，则该正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 在四棱锥中，，，两两垂直，，若，，与平面所成的角为，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，，，则（ ） A. 事件与不互斥 B. 事件与对立 C. 事件与相互独立 D. 10. 已知复数（为虚数单位），，为复数，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 11. 如图，正方体的棱长为2，是侧面内的一点（包含边界），是棱上的一点（包含端点），则下列说法正确的是（ ） A. 当为的中点时，不存在点，使得平面 B. 存在点，，使得平面平面 C. 过点，，的平面截正方体所得的截面图形可能为五边形 D. 当与重合且时，点的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知正三棱柱的底面边长为，高为，则该棱柱内部能容纳的体积最大的球的表面积为______． 13. 若函数在区间上恰有两个零点，则的最大值是______． 14. 三棱锥中，，，为正三角形，二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 一个不透明的袋子中装有个红球和个绿球（），这些球除颜色外都相同．现有放回地从袋中依次取2个球． （1）当，时，记两个红球为（），绿球为，写出试验的样本空间和样本点个数； （2）若，且取出的2个球都是红球的概率为； ①求的值； ②求取到的2个球颜色不同的概率． 16. 如图，在菱形中，是的中点，交于点．设，． （1）用向量，表示和； （2）若，，求． 17. 如图，直三棱柱的体积为6，是的中点． （1）求证：平面； （2）已知为中点，平面与平面的交线为，求证：； （3）求三棱锥的体积． （注：本题用空间向量作答不给分） 18. 在中，角，，所对的边分别为，，，且（）． （1）求； （2）若点是边上靠近点的三等分点，且，求的值； （3）若是锐角三角形，且，求面积的取值范围． 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，平面平面，底面是平行四边形，且，，． （1）求证：平面； （2）当时，求直线与平面所成角的正弦值； （3）当时，求二面角的正弦值的取值范围． （注：本题用空间向量作答不给分） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金陵中学2025～2026学年第二学期期末测试 高一数学试卷 2026.6 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的． 1. 计算：（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用两角和的正切公式，求得，代入计算，即可求解. 【详解】由， 可得， 所以. 2. 设向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 必要不充分条件 【答案】A 【解析】 【分析】先根据平面向量共线的坐标表示求出的充要条件，再与比较，判断充分性和必要性即可. 【详解】对于平面向量，，的充要条件为. 将，代入公式可得： ，即，解得或. 充分性验证：当时，满足，因此成立，充分性成立. 必要性验证：当时，可取值为或，无法只得出，必要性不成立. 因此“”是“”的充分不必要条件. 3. 样本数据、、、、、、、、的分位数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，故样本数据、、、、、、、、的分位数为. 4. 空间中有两个不同的平面，和两条不同的直线，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，，则 【答案】B 【解析】 【详解】选项A：若，则与的位置关系为或，并非一定，故A错误； 选项B：若，则直线的方向向量分别为平面的法向量， 由于直线垂直于平面时平行于平面的法向量，则两平面垂直等价于其法向量垂直，因此，故B正确； 选项C：若，则与的位置关系为或，并非一定，故C错误； 选项D：若，当时，与可能相交，并非一定，故D错误. 5. 某段道路在一天中的汽车时速的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 时速的众数估计值是60 C. 时速的中位数估计值是62.5 D. 时速的平均数估计值大于其中位数的估计值 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，由频率分布直方图可知，，解得，故A错误； 对于B，由图可知，时速在内的频率最大，所以众数的估计值为，故B错误； 对于C，前两组的频率之和为，前三组的频率之和为， 所以中位数位于第三组内，设中位数为，则，解得，故C正确； 对于D，时速的平均数估计值为，所以时速的平均数估计值小于其中位数的估计值，故D错误. 6. 已知的内角，，的对边分别为，，，下列结论错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，，，则符合条件的三角形有且仅有1个 C. 若，则 D. 若的面积，则 【答案】C 【解析】 【分析】结合正弦定理、三角形解的个数判定规则、正弦函数的诱导公式、余弦定理与三角形面积公式，逐一验证各选项结论是否成立. 【详解】对于A，因，则 ，又因，由正弦定理可得，故A正确； 对于B，由正弦定理得，又，故，符合条件的三角形仅有1个，故B正确； 对于C，由，且，可得或，即或，并非仅，故C错误； 对于D，因 ，由余弦定理得， 代入题设条件得，即得，又，故，故D正确. 7. 一正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，侧面积为，则该正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先通过侧面积求出斜高，再结合侧棱、斜高与棱台高的关系求出高，最后用正四棱台的体积公式求出体积. 【详解】设正四棱台的上底边长为，则侧棱长为，下底边长为；设正四棱台的高为，斜高为. 正四棱台的侧面积为，一个侧面积. ，解得. 在正四棱台中，，即，. . . . 8. 在四棱锥中，，，两两垂直，，若，，与平面所成的角为，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】，，两两垂直，，得到，平分，设，，，，的长度参数，根据三角函数关系或余弦定理分别求出，，的表达式，根据，，的正负性判断，，均为锐角，根据同名三角函数值大小，即可得到角度的大小关系. 【详解】 ，，两两垂直，，，； ，平面. 为与平面所成的角，即. 同理可证得平面. 在和中，，得； ，. 在和中，，得； . 连接，，与相交于点，则垂直平分. ，，，，. 令，，，. 则在中，，. . ，，. ，，， . 平面，平面，. ，即. 在中，. 在中，. ，即. 联立，得. 由，得. ，即. . 在中，. ，即. ，，均为锐角，则. ，，； ，； . . 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，，，则（ ） A. 事件与不互斥 B. 事件与对立 C. 事件与相互独立 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用事件概率的性质可判断. 【详解】对于A，因为，所以事件与能同时发生，所以事件与不互斥，故A正确； 对于B，因为事件与不互斥，所以事件与不对立，故B错误； 对于C，因为，所以，所以事件与相互独立，故C正确； 对于D，，故D错误. 10. 已知复数（为虚数单位），，为复数，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据复数的运算性质依次判断各选项即可. 【详解】对于A，， 所以，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，因为，则，所以， 又因为，所以，故C正确； 对于D，设，，则，， 所以，， 又因为，所以，得， 所以，表示的对应向量垂直.可取，，则，故D错误. 11. 如图，正方体的棱长为2，是侧面内的一点（包含边界），是棱上的一点（包含端点），则下列说法正确的是（ ） A. 当为的中点时，不存在点，使得平面 B. 存在点，，使得平面平面 C. 过点，，的平面截正方体所得的截面图形可能为五边形 D. 当与重合且时，点的轨迹长度为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，通过找到从出发且与平面垂直的直线，与棱相交的交点即为所求的点，由此判断是否存在；B选项，通过面面平行的判定定理判断，位置，根据已有的平行条件和动点所满足的平行条件即可判断是否存在；C选项，当为棱的中点，为棱的中点时，通过作平行线，将在一个平面内与正方体棱相交的点找到，连接起来判断形状即可；D选项，通过构造直角三角形，可知为恒定的值，从而确定点的轨迹，根据轨迹计算轨迹长度即可． 【详解】A选项，如图，连接，因为为的中点，故也是的中点，所以平面即为平面， 根据正方体的性质易得平面，平面，所以，， 又因为，且平面，故平面，所以当与重合时，平面，故A错误； B选项，当为棱的中点，为棱的中点时，易得平面平面， 因为，且平面，平面，故平面； 又因为，平面，平面，故平面； 因为，且平面，故平面平面，故B正确； C选项，当为棱的中点，为棱的中点时， 在上取，使得，在上取，使得； 连接，则，四边形为平行四边形，则； 在内过点作交于点，则； 连接，则同理可证， 则五边形为过点，，的平面截正方体所得的截面图形，故C正确； D选项，在正方体中，平面，因为平面， 故，因为，且重合，故，， 则； 故点轨迹为以为圆心，以为半径的圆上， 因为，故圆弧与平面交在棱上， 如图所示，则，则， 故； 故点的轨迹长度为，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知正三棱柱的底面边长为，高为，则该棱柱内部能容纳的体积最大的球的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】正三棱柱内最大球的半径由底面正三角形内切圆半径和棱柱高的一半中的较小值决定，代入球的表面积公式计算即可. 【详解】正三棱柱内体积最大的球，需同时满足两个限制： 球与上下底面相切、球与三个侧面都相切，球的直径取两个方向限制的较小值； 底面正三角形边长，正三角形内切圆半径公式为：， 则， 即底面内切圆直径为 2，这是侧面方向允许的最大球直径； 棱柱的高为，对应上下底面方向允许的最大球直径为， 取两个限制的较小值，因此球的最大直径为，半径， 球的表面积公式. 13. 若函数在区间上恰有两个零点，则的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，由可得，由可求出的取值范围，结合题意可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】， 由可得， 因为，，则， 因为函数在区间上恰有两个零点，则，解得. 故的最大值为. 14. 三棱锥中，，，为正三角形，二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用球的性质找球心，利用直角三角形解出球半径，根据球表面积公式计算即可． 【详解】 取的中点，连接，取的重心， 因为，故外接圆的圆心在，过点作垂直于平面的直线； 又为正三角形，则外接球的球心在重心点，过点作垂直于平面的直线，与平面的垂线交于点，则为三棱锥的外接球的球心； 因为，为正三角形，为的中点， 故，，则二面角为，则； 因为平面，故，可得； 因为，，则， 则，故，， 故， 则在直角三角形中，， 解得，三棱锥的外接球的半径为， 故三棱锥的外接球的表面积为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 一个不透明的袋子中装有个红球和个绿球（），这些球除颜色外都相同．现有放回地从袋中依次取2个球． （1）当，时，记两个红球为（），绿球为，写出试验的样本空间和样本点个数； （2）若，且取出的2个球都是红球的概率为； ①求的值； ②求取到的2个球颜色不同的概率． 【答案】（1）样本空间， 样本点的个数 （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）用表示2次取球的可能结果，即可列出样本空间和样本点的个数； （2）①记3个红球分别为，个绿球分别为，利用列举法求得样本空间和样本点的个数，结合古典概型的概率计算公式，列出方程，即可求解； ②由①知袋子中装有个红球和个绿球，结合互斥事件的概率加法公式，即可求解. 【小问1详解】 解：用分别表示第次取得的球，则可用表示2次取球的可能结果， 所以样本空间为， 其中样本点的个数为个. 【小问2详解】 解：①记3个红球分别为，个绿球分别为， 则样本空间的样本点如图下表所示： 所有样本点的总数为个， 其中2个球都是红球的样本空间为， 则样本点的个数为个， 所以，即，解得. ②由①知：，即袋子中装有个红球和个绿球， 设事件“第1次取得红球”，事件“第2次取到红球”， 事件“取得的2个球的颜色不同”，可得， 则， 所以取到的2个球颜色不同的概率为． 16. 如图，在菱形中，是的中点，交于点．设，． （1）用向量，表示和； （2）若，，求． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量加法的三角形法则及相似三角形性质得出线段比例，结合向量的线性运算求解； （2）将与用基底表示，利用向量数量积公式及模长公式计算夹角余弦值。 【小问1详解】 在菱形中，，， 因为是的中点，且， 所以， 则． 因为，所以， 所以，即， 又， 所以． 【小问2详解】 由（1）知，则， 又， 所以． 因为，， 所以，． 所以 ． 又， 所以， ， 所以． 所以． 17. 如图，直三棱柱的体积为6，是的中点． （1）求证：平面； （2）已知为中点，平面与平面的交线为，求证：； （3）求三棱锥的体积． （注：本题用空间向量作答不给分） 【答案】（1）连接，交于点,连接，则为的中点， 因为是的中点，所以，又因为面，面， 所以平面. （2）因为，分别为的中点， 所以，，所以四边形为平行四边形， 因此，又因面，面，所以面， 而面面，面，所以. （3）1 【解析】 【分析】小问（1）运用线面平行的判定定理；小问（2）运用线面平行的性质；小问（3）利用等体积法再结合柱体体积求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题可得面，所以 18. 在中，角，，所对的边分别为，，，且（）． （1）求； （2）若点是边上靠近点的三等分点，且，求的值； （3）若是锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）对给定的三角函数等式交叉相乘，利用两角和差的正弦、余弦公式化简，结合三角形内角和为的条件推导角的值； （2）先根据角和的值得出的大小，分别在和中应用面积公式，结合与的比例关系即可求出；​ （3）先用正弦定理将、表示为关于角的函数，代入三角形面积公式，结合的定值和锐角三角形的条件确定角的范围，进而推导面积的取值范围. 【小问1详解】 对原式交叉相乘整理得： ，  由余弦差角公式得：， ，且，故， 整理得，又，故，得.​ 【小问2详解】 由题意，，故， ​ 与同高，面积比等于底之比， 代入面积公式： ， 整理得. 【小问3详解】 由正弦定理，​，得，，且， 面积， 由积化和差公式可得： ， 为锐角三角形，故，，解得， 所以，，故. 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，平面平面，底面是平行四边形，且，，． （1）求证：平面； （2）当时，求直线与平面所成角的正弦值； （3）当时，求二面角的正弦值的取值范围． （注：本题用空间向量作答不给分） 【答案】（1）因为平面平面，平面平面，且平面平面， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）运用面面垂直的性质定理； （2）找到直线与平面所成的角再找到角的相关几何关系； （3）找到二面角，再将二面角关系往已知条件方面进行变式 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点作于点，因为平面， 所以，又因，所以平面， 则为直线与平面所成的角. 面为平行四边形，，， 所以， 在中，，所以，而, 又因三点共线，所以，，， 因为平面，所以， 故， 因为，所以为直角三角形， 在中，. 【小问3详解】 过作于，过作于，连接， 则， 故，， 由小问（1）得，又，平面， 所以平面，平面，所以为直角三角形， 所以，且，， 平面，所以平面，故， 因此为二面角的平面角. 由题可得， 由等面积可得， 在中，， 则，令，则 在中， ， 令，，当时， 越大，分母就越小，故在上单调递增， 所以，， 故二面角的正弦值的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $