（暑假巩固培优）解答题高频易错题考点汇总训练（六大类型）2026-2027学年人教版数学八升九暑期进阶全攻略

2026-2027学年数学八升九暑期进阶全攻略 （暑假巩固培优）解答题高频易错题考点汇总训练（六大类型） 目录 考点一二次根式 1 考点二勾股定理 3 考点三四边形 6 考点四函数 8 考点五一次函数 10 考点六数据的分析 12 考点一二次根式 1．计算： （1）； （2）． 2．按要求解答下列各题： （1）已知x，y为实数，且，求的值． （2）设一个三角形的三边长为1，k，4，化简：． 3．观察下列式子： ； ； ； （1）请根据以上规律写出第四个式子，并说明等式成立的理由； （2）请用含有正整数的式子表示上述规律，并加以证明． 4．已知广播电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波就传播得越远，从而能收听和收看广播电视节目的区域就越广．广播电视塔高h（单位：）与广播电视节目信号的传播半径r（单位：）之间存在近似关系，其中R是地球半径，． （1）图1的广州塔的塔高约为，求从塔顶发射出广播电视节目信号的传播半径． （2）图2的中央电视塔塔高约为，从塔顶发射出广播电视节目信号的传播半径为，求与之比值． 5．著名数学教育家波利亚曾说“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”，恒等变形是代数式求值的一个很重要的方法，利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式． 例如：已知，求代数式的值． 小明根据二次根式的性质：，联想到了以下的解题方法： 由得，则，即， ． 把作为整体，得：． 小强在小明的基础上，联想到了新的解题方法： 由得，则．即， ，把代入原式，得：． 请回答下列问题： （1）已知，求代数式的值． （2）已知，求代数式的值． 考点二勾股定理 6．如图，已知某山的高度为800米，从山上A处与山下B处各建一个索道口，且米，，欢欢从山下索道口B坐缆车沿索道到山顶A，已知缆车每分钟走50米，那么大约多少分钟后，欢欢才能到达山顶？ 7．如图，一艘轮船先从地出发行驶到地，又从地行驶到地，地在地南偏西的方向，距离地80海里，地在地北偏西的方向，距离地100海里． （1）表示出地相对于地的位置； （2）求，两地之间的距离． 8．不少家长在选择婴儿车时，不仅关注其舒适性和便捷性，更关注婴儿车的安全性．图1是某品牌手推车，图2为其简化结构示意图．现测得，，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即） （1）求线段的长度； （2）安全标准规定：需满足，请判断该车是否符合安全标准，并说明理由． 9．小林同学是一名剪纸爱好者，喜欢运用数学知识对自己的剪纸作品进行分析思考，下面是他利用勾股定理对部分剪纸作品的数量关系进行探究思考的过程，请你帮助他一起完成． （1）如图①是以的三条边为直径，向外作半圆，其面积分别记为，，，请写出，，之间的数量关系：___________； （2）如图②是由四个全等的直角三角形紧密地拼接形成的飞镖状图案，测得外围轮廓（实线）的周长为，，求该飞镖状图案的面积； （3）如图③是由八个全等的直角三角形紧密地拼接形成的大正方形，记图中正方形，正方形，正方形MNKT的面积分别为，，．若，则 ___________． 10．在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． （1）当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； （2）猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） （3）判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 考点三四边形 11．如图，已知四边形是正方形，O是对角线的中点，以为边作一个正五边形，求α的度数． 12．如图，在中，点E是的中点，延长至点D，使得，连接，延长至点C，使得，连接． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）连接交于点O，若，，求的长． 13．如图，在中，，是边的中线，平分的外角，，垂足为E． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，交于点O，若，，求的面积． 14．已知平行四边形的对角线，相交于点，过点作交于点，连接． （1）如图①，若平行四边形的周长为，则的周长为________； （2）如图②，延长交于点，连接．求证：四边形是菱形． 15．如图1所示，在正方形中，点 为边上一点，连接，过点 作交 于点 ，过点 作交的延长线于点 ． （1）请问和 有何数量关系，并说明理由； （2）如图所示，在（1）的条件下，以和 为边向右作矩形，连接 交于点，求的度数． 考点四函数 16．一个长方形的宽为，长比宽多，面积为． （1）求S与x之间的函数关系式； （2）求当时，长方形的面积为多少． 17．一汽车油箱里有油，在行驶过程中，每小时耗油，回答下列问题： （1）汽车行驶后油箱里还有油_______L，汽车行驶后油箱里还有油________L； （2）设汽车行驶的时间为，油箱里剩下的油为，请用含的式子表示； （3）这辆汽车最多能行驶多少小时？ 18．画出函数的图象． … … … … （1）根据列表， ． （2）根据列表，在如图所示的平面直角坐标系中描点并连接． （3）若点在函数的图象上，求出的值． 19．如图1，在直角梯形中，，动点从点出发，沿B→C→D→A匀速运动，设点运动的路程为，的面积为，图象如图2所示． （1）在这个变化中，自变量是 ； （2）当点运动的路程时，的面积为 ； （3）求的长和梯形的面积． 20．如图，两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，小凡测量后得到图中给的数据信息，请你帮他解答下列问题： （1）像这样规格的饭碗整齐地叠放在桌面上时，求一摞饭碗的高度（）与饭碗数（个）之间的函数解析式； （2）如果把图中这两摞饭碗整齐地摆放成一摞，这摞饭碗的高度是多少？ （3）如果一摞饭碗的高度超过时容易发生侧翻，请问一摞最多能放多少个碗？ 考点五一次函数 21．在平面直角坐标系中，对于任意一点，给出如下定义：点到轴、轴的距离中的较小值叫做点的短距，如果点和点的短距相等，那么称两点为等距点．例如点与点为等距点．已知点的坐标为，如果点在直线上，且、两点为等距点，求点的坐标． 22．已知等腰三角形的周长为12，设腰长为x，底边长为y． （1）试写出y关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围； （2）当时，求出函数值； （3）在坐标系中画出函数的图像． 23．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，与过点且平行于轴的直线交于点． （1）求该函数的表达式及点的坐标； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围． 24．河南省第十五届运动会将于2026年8月18日在安阳市文体中心举行开幕式，本次运动会吉祥物为“牛牛”和“鼎鼎”．为喜迎省运会、营造校园运动氛围，某校计划采购“牛牛”、“鼎鼎”两款吉祥物摆件共100个．已知“牛牛”摆件每个20元，“鼎鼎”摆件每个30元，设购买“牛牛”摆件的数量为（个），购买两款吉祥物摆件的总费用为（元）． （1）求与之间的函数关系式； （2）若购买“牛牛”摆件的数量不超过“鼎鼎”摆件的数量，且购买“牛牛”摆件的数量不少于25个，请设计出总费用最少的采购方案，并求出该方案所需的费用． 25．为迎接“国家级文明卫生城市”检查，某市环卫局准备购买A，B两种型号的垃圾箱．每个A型垃圾箱100元，每个B型垃圾箱120元．现需要购买A，B两种型号的垃圾箱共30个，其中购买A型垃圾箱不超过16个． （1）求购买垃圾箱的总花费W（元）与A型垃圾箱x（个）之间的函数关系式； （2）当购买A型垃圾箱个数多少时总费用最少，最少费用是多少？ 考点六数据的分析 26．有两组数据，第一组数据是：1，3，5，7，9；第二组数据是：21，23，25，27，29，31，33．先分别求出这两组数据的平均数，再将这两组数据合并在一起．求合并后这组数据的平均数，想一想，它是前两个平均数的平均数吗？ 27．某饮食公司为一学校提供午餐，有12元、15元和18元三种价格的饭菜供师生选择（每人限定一份）．如图是5月份的销售情况统计图，如果这个月一共销售了10400份饭菜，那么师生购买午餐费用的平均数、中位数和众数各是多少？ 28．6月26日是“国际禁毒日”，某中学组织七、八年级全体学生开展“禁毒知识”网上竞赛活动．为了解竞赛情况，从两个年级各随机抽取了10名同学的成绩（满分为100分），绘制成如下两幅不完整的统计图表，请根据图表信息解答下列问题： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 a 90 90 39 八年级 90 90 90 b    （1）请直接写出表格中a，b的值； （2）通过数据分析，你认为哪个年级的成绩更稳定？请说明理由； （3）该校七、八年级共有600人，本次竞赛成绩不低于90分的为“优秀”．估计这两个年级共有多少名学生达到“优秀”？ 29．每年月日为国际圆周率日（节），为感受数学文化魅力，激发学生数学探究兴趣，年我校于当日举办“玩转圆周率” 主题知识问答活动．为了解活动成效，从七、八年级参与活动学生的问答成绩（单位：分）中，各随机抽取名学生的成绩进行统计整理，下面给出了部分信息： 七年级：，，，，，，，，，，，； 八年级：，，，，，，，，，，，． a．抽取的七、八年级学生成绩（单位：分）不完整的统计表如下： 年级 平均数 众数 方差 最小值 四分位数 最大值 七年级 ② ③ 八年级 ① b．抽取的七、八年级学生成绩绘制成的不完整箱线图如下：    根据以上信息，回答下列问题： （1）统计表中，①处应填_____，②处应填_____； （2）请补全箱线图； （3）请你从两个不同的角度对两个年级的成绩进行评价． 30．为全面落实《国家学生体质健康标准》，切实加强学生体质健康水平，某中学针对毕业班学生就一分钟跳绳项目开展了一次专项训练活动．为检测训练成效，该校随机抽取了3个班级各20名学生代表进行测试，规定跳绳次数不少于180次为“优秀”．现将测试数据进行整理绘制统计图表，部分信息如下： 甲班代表跳绳次数：160，160，160，160，170，170，170，170，180，180，180，180，180，180，190，190，190，190，190，200； 代表 平均数 中位数 众数 “优秀”人数（） 甲班 177.5 180 12 乙班 182 180 14 丙班 180.5 180 14 （1）填空：___________，___________，___________； （2）若该校毕业班学生人数共有900人，请你估计本次跳绳项目专项训练活动中达到“优秀”（次）的学生总人数； （3）学校计划对训练成效更好的班级进行表彰，你认为哪个班级的跳绳训练成效更好？请结合统计量说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年数学八升九暑期进阶全攻略 （暑假巩固培优）解答题高频易错题考点汇总训练（六大类型） 目录 考点一二次根式 1 考点二勾股定理 6 考点三四边形 10 考点四函数 17 考点五一次函数 21 考点六数据的分析 26 考点一二次根式 1．计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解答】（1）解： ； （2）解： ． 2．按要求解答下列各题： （1）已知x，y为实数，且，求的值． （2）设一个三角形的三边长为1，k，4，化简：． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）先根据二次根式有意义的条件求出的值，进而可得的值，再代入计算即可； （2）根据三角形的三边关系定理可得，据此化简绝对值和二次根式，再计算整式的加减即可． 【解答】（1）解：由题意得：， 解得， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵一个三角形的三边长为， ∴，即， ∴，， ∴ ． 3．观察下列式子： ； ； ； （1）请根据以上规律写出第四个式子，并说明等式成立的理由； （2）请用含有正整数的式子表示上述规律，并加以证明． 【答案】（1）第四个式子为，理由如下： 左边右边， 因此等式成立； （2）归纳规律得：对任意正整数，； 证明：左边 ， 为正整数， ， ， 左边右边 ， 等式成立． 【分析】先观察已知等式中各部分数字的变化规律，归纳得到第四个式子和含的一般性规律，再利用二次根式的性质化简验证等式成立． 【解答】（1）略 （2）略 4．已知广播电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波就传播得越远，从而能收听和收看广播电视节目的区域就越广．广播电视塔高h（单位：）与广播电视节目信号的传播半径r（单位：）之间存在近似关系，其中R是地球半径，． （1）图1的广州塔的塔高约为，求从塔顶发射出广播电视节目信号的传播半径． （2）图2的中央电视塔塔高约为，从塔顶发射出广播电视节目信号的传播半径为，求与之比值． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）根据公式计算即可； （2）根据求解即可． 【解答】（1）解：，， ． 答：从广州塔塔顶发射出的广播电视节目信号的传播半径约为． （2）解：， ． 答：与比值为． 5．著名数学教育家波利亚曾说“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”，恒等变形是代数式求值的一个很重要的方法，利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式． 例如：已知，求代数式的值． 小明根据二次根式的性质：，联想到了以下的解题方法： 由得，则，即， ． 把作为整体，得：． 小强在小明的基础上，联想到了新的解题方法： 由得，则．即， ，把代入原式，得：． 请回答下列问题： （1）已知，求代数式的值． （2）已知，求代数式的值． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）按照例题的方法解答即可； （2）由得，将其两边平方并利用完全平方公式展开，得到，，进而可得出结论． 【解答】（1）解：由，， 则， ∴， ∴； （2）解：由得，则， ∴， ∴ ． 考点二勾股定理 6．如图，已知某山的高度为800米，从山上A处与山下B处各建一个索道口，且米，，欢欢从山下索道口B坐缆车沿索道到山顶A，已知缆车每分钟走50米，那么大约多少分钟后，欢欢才能到达山顶？ 【答案】大约34分钟后，欢欢才能到达山顶 【分析】根据勾股定理求出，再根据缆车的速度即可求解． 【解答】解：∵，米，米， ∴（米）， ∵缆车每分钟走50米， ∴（分钟）， 答：大约34分钟后，欢欢才能到达山顶． 7．如图，一艘轮船先从地出发行驶到地，又从地行驶到地，地在地南偏西的方向，距离地80海里，地在地北偏西的方向，距离地100海里． （1）表示出地相对于地的位置； （2）求，两地之间的距离． 【答案】（1）地在地南偏东的方向，距离地100海里 （2）海里 【分析】（1）结合图形观察即可求解； （2）判断，然后利用勾股定理求解即可． 【解答】（1）解：如图， ∵C地在B地北偏西的方向，距离B地100海里 ∴B地在C地南偏东的方向，距离C地100海里； （2）解：根据题意，得， ∴（海里）， 即A，C两地之间的距离海里． 8．不少家长在选择婴儿车时，不仅关注其舒适性和便捷性，更关注婴儿车的安全性．图1是某品牌手推车，图2为其简化结构示意图．现测得，，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即） （1）求线段的长度； （2）安全标准规定：需满足，请判断该车是否符合安全标准，并说明理由． 【答案】（1）线段的长度为 （2）该车符合安全标准， 理由：∵，，， ∴， ∵， ∴，即该车符合安全标准． 【分析】通过勾股定理求出的长度，再利用勾股定理的逆定理判断与是否垂直即可． 【解答】（1）解：∵，，， ∴在中，． （2）略 9．小林同学是一名剪纸爱好者，喜欢运用数学知识对自己的剪纸作品进行分析思考，下面是他利用勾股定理对部分剪纸作品的数量关系进行探究思考的过程，请你帮助他一起完成． （1）如图①是以的三条边为直径，向外作半圆，其面积分别记为，，，请写出，，之间的数量关系：___________； （2）如图②是由四个全等的直角三角形紧密地拼接形成的飞镖状图案，测得外围轮廓（实线）的周长为，，求该飞镖状图案的面积； （3）如图③是由八个全等的直角三角形紧密地拼接形成的大正方形，记图中正方形，正方形，正方形MNKT的面积分别为，，．若，则 ___________． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理和圆的面积公式是解题的关键， （1）根据勾股定理和圆的面积公式计算即可得到答案； （2）设，，则，由题可得，再由勾股定理可得，从而求出，进而求得飞镖的面积； （3）设直角三角形的长直角边为，短直角边为，斜边为，由勾股定理得， 再根据题意，代入可求得，从而得到答案． 【解答】（1）解：由题可得：，，， ∴， 故答案为：； （2）解：设，，由题可得：， ∴，， ∴， ∴， 解：， ∴飞镖状图案的面积为， （3）解：设直角三角形的长直角边为，短直角边为，斜边为，则：， 由题意得：，，， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 10．在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． （1）当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； （2）猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） （3）判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 【答案】（1）锐角；钝角 （2） （3）①；②；③ 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）当两直角边为6、8时，利用勾股定理可得斜边的长度，当三角形最长的边小于所求边为锐角三角形，反之为钝角三角形； （2）根据勾股定理的逆定理即可得出结论； （3）当为直角三角形时，可求出，再根据勾股定理的逆定理求出下面情况的取值范围． 【解答】（1）解：当两直角边为6、8时，斜边 当三边分别为6、8、9时，为锐角三角形 当三边分别为6、8、11时，为钝角三角形 （2）解：由勾股定理逆定理可得， 当时，为锐角三角形； 当时，为钝角三角形； （3）解：当为直角三角形时，； 当为锐角三角形时，， ； 当为钝角三角形时，， 则的取值范围为， 两边之和大于第三边， ． 考点三四边形 11．如图，已知四边形是正方形，O是对角线的中点，以为边作一个正五边形，求α的度数． 【答案】 【分析】根据正方形的性质可得，根据多边形的内角和定理可得，再根据四边形的内角和可得答案． 【解答】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵以为边作一个正五边形， ∴， ∵， ∴． 12．如图，在中，点E是的中点，延长至点D，使得，连接，延长至点C，使得，连接． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）连接交于点O，若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴点F是的中点． ∵点E是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵点C在的延长线上， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2）5 【分析】（1）证明是的中位线，可得，即可求证； （2）根据三角形中位线定理可得，再由勾股定理可得，．从而得到，即可求解． 【解答】（1）略 （2）解：由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． ∵四边形为平行四边形， ∴． ∴． ∴． 13．如图，在中，，是边的中线，平分的外角，，垂足为E． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，交于点O，若，，求的面积． 【答案】（1）证明：∵在中，，是边的中线， ∴，， ∴， ∵为的外角的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形． （2） 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）根据矩形的性质求出，进而根据勾股定理求出，再由三角形的面积公式求解即可． 【解答】（1）略 （2）解：∵是边的中线，， ∴， 由（1）得四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴． 14．已知平行四边形的对角线，相交于点，过点作交于点，连接． （1）如图①，若平行四边形的周长为，则的周长为________； （2）如图②，延长交于点，连接．求证：四边形是菱形． 【答案】（1）8 （2）证明：∵平行四边形的对角线，相交于点， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 【分析】（1）证明，结合平行四边形的周长为，得到，继而得到的周长为：； （2）先证明，再证明四边形是平行四边形即可． 【解答】（1）解：∵平行四边形的对角线，相交于点， ∴， ∵ 交于点， ∴直线垂直平分， ∴， ∵平行四边形的周长为， ∴， ∴， ∴的周长为：． （2）略 15．如图1所示，在正方形中，点 为边上一点，连接，过点 作交 于点 ，过点 作交的延长线于点 ． （1）请问和 有何数量关系，并说明理由； （2）如图所示，在（1）的条件下，以和 为边向右作矩形，连接 交于点，求的度数． 【答案】（1）， 理由：如下图所示， 四边形是正方形， ，， ∵ ， 又， ， ， 在与中， ， ， ． （2） 【分析】（1）根据正方形的性质可证，再根据平行线的性质可证，可证，利用可证，根据全等三角形对应边相等可得； （2）首先连接根据可证，根据全等三角形对应边相等可证，从而可证，再根据可证，可证是等腰直角三角形，可得，再根据平行线的性质可得的度数． 【解答】（1）略 （2）解：如图所示，连接， 由（1）可知，， 矩形是正方形， ， ， ， 在 和中， ， ， ， ， ， 在 和中， ， ， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ． 考点四函数 16．一个长方形的宽为，长比宽多，面积为． （1）求S与x之间的函数关系式； （2）求当时，长方形的面积为多少． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）先根据题意表示出长方形的长，再结合面积公式得到S与x的函数关系式，同时根据实际意义确定自变量的取值范围； （2）将代入所得函数关系式计算即可得到结果． 【解答】（1）解：长方形的宽为，则长为， ∴． （2）解：当时， ． 17．一汽车油箱里有油，在行驶过程中，每小时耗油，回答下列问题： （1）汽车行驶后油箱里还有油_______L，汽车行驶后油箱里还有油________L； （2）设汽车行驶的时间为，油箱里剩下的油为，请用含的式子表示； （3）这辆汽车最多能行驶多少小时？ 【答案】（1）37.5；25 （2） （3）16小时 【分析】本题考查函数的概念，列函数表达式，求自变量的值，掌握函数的基础知识是解题的关键． （1）基本关系：油箱剩下的油油箱里原有的油行驶过程中耗掉的油，据此可以求解； （2）根据（1）中基本关系即可求解； （3）当油箱中剩下的油为0时，汽车就不能行驶了，因此令，建立方程求解即可． 【解答】（1）解：汽车行驶耗油，则油箱里还有油，汽车行驶耗油，则油箱里还有油； （2）解：由题意得，； （3）当时，，解得， 即这辆汽车最多能行驶16小时． 18．画出函数的图象． … … … … （1）根据列表， ． （2）根据列表，在如图所示的平面直角坐标系中描点并连接． （3）若点在函数的图象上，求出的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3）5 【分析】（1）将值代入求解即可得到答案； （2）根据表描点，连线即可得到答案； （3）将点代入求解即可得到答案． 【解答】（1）解：当时，， ∴； （2）解：描点并连接，画出图象如下： （3）解：∵点在函数的图象上， ∴， 解得：． 19．如图1，在直角梯形中，，动点从点出发，沿B→C→D→A匀速运动，设点运动的路程为，的面积为，图象如图2所示． （1）在这个变化中，自变量是 ； （2）当点运动的路程时，的面积为 ； （3）求的长和梯形的面积． 【答案】（1） （2） （3）， 【分析】本题考查动点问题的函数图象解读，自变量的概念，函数图象与几何图形的关系，以及直角梯形的面积计算． （1）根据函数的定义和自变量的概念即可得到答案． （2）根据函数图象与几何图形的关系，找到时，对应的值即为答案． （3）根据函数图象与几何图形的关系，得到，，继而根据直角梯形的面积计算公式计算即可． 【解答】（1）解：∵点运动的路程为，的面积为， ∴根据图象可知，的面积是关于点运动的路程的函数， ∴自变量为， 故答案为：； （2）解：根据图象可知，点运动的路程时，的面积为， 故答案为：； （3）解：根据图象可得：，此时为， ∴，即，解得：， 由图象可得：， 则． 20．如图，两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，小凡测量后得到图中给的数据信息，请你帮他解答下列问题： （1）像这样规格的饭碗整齐地叠放在桌面上时，求一摞饭碗的高度（）与饭碗数（个）之间的函数解析式； （2）如果把图中这两摞饭碗整齐地摆放成一摞，这摞饭碗的高度是多少？ （3）如果一摞饭碗的高度超过时容易发生侧翻，请问一摞最多能放多少个碗？ 【答案】（1） （2） （3）10个 【分析】（1）先通过两组数据算出每增加1个碗，高度增加，据此列出与的关系式； （2）计算时的函数值即可； （3）根据题意建立不等式，求x的最大整数解即可； 【解答】（1）解：7只碗比4只碗多3只，高度增加， 每多叠1只碗，加高， ． （2）解：当时，． 答：这摞饭碗的高度是． （3）解：根据题意，得， 解得． 为整数， 最大整数解为10， 答：一摞最多能放10个碗． 考点五一次函数 21．在平面直角坐标系中，对于任意一点，给出如下定义：点到轴、轴的距离中的较小值叫做点的短距，如果点和点的短距相等，那么称两点为等距点．例如点与点为等距点．已知点的坐标为，如果点在直线上，且、两点为等距点，求点的坐标． 【答案】或或或． 【分析】根据定义可得点A的“短距”为，则点B到x轴的距离为或点B到y轴的距离为，据此求出点B的坐标． 【解答】解：由题意得，点的短距为， 设， ∵两点为等距点， ∴点B到x轴的距离为或点B到y轴的距离为， 当时，则，即， ∴或， ∴或， 当时，，当时，， ∴或； 当时，则，即时， ∴或， 当时，，当时，， ∴或； 综上，点的坐标或或或． 22．已知等腰三角形的周长为12，设腰长为x，底边长为y． （1）试写出y关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围； （2）当时，求出函数值； （3）在坐标系中画出函数的图像． 【答案】（1） （2）2 （3）如图， 【分析】（1）根据三角形的周长等于三边之和，求出函数解析式即可； （2）将代入函数解析式，进行求解即可； （3）列表，描点，连线即可． 【解答】（1）解：由题意得：， ∴， ∵， 解得：． ∴； （2）解：当时，； （3）解：列表如下： x 3 6 y 6 0 画图 23．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，与过点且平行于轴的直线交于点． （1）求该函数的表达式及点的坐标； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【分析】（1）先利用待定系数法求出对应的函数解析式，再求出当时，，即可求出点B的坐标； （2）当时，，再结合函数图像进行求解即可． 【解答】（1）解：∵函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴函数的解析式为， ∵函数与过点且平行于轴的直线交于点， ∴将代入，得 ， ∴； （2）解：如图 当时， ， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值 ∴， 解得． 24．河南省第十五届运动会将于2026年8月18日在安阳市文体中心举行开幕式，本次运动会吉祥物为“牛牛”和“鼎鼎”．为喜迎省运会、营造校园运动氛围，某校计划采购“牛牛”、“鼎鼎”两款吉祥物摆件共100个．已知“牛牛”摆件每个20元，“鼎鼎”摆件每个30元，设购买“牛牛”摆件的数量为（个），购买两款吉祥物摆件的总费用为（元）． （1）求与之间的函数关系式； （2）若购买“牛牛”摆件的数量不超过“鼎鼎”摆件的数量，且购买“牛牛”摆件的数量不少于25个，请设计出总费用最少的采购方案，并求出该方案所需的费用． 【答案】（1）（，为整数） （2）总费用最少的采购方案为购买“牛牛”摆件50个，“鼎鼎”摆件50个，最少费用为元． 【分析】（1）根据题意列式即可得到函数关系式； （2）先根据题意列一元一次不等式组，求出的取值范围，再根据（1）所得关系式，利用一次函数的增减性求最值即可． 【解答】（1）解：∵购买“牛牛”摆件的数量为个，则购买“鼎鼎”摆件的数量为个， 则， 采购“牛牛”、“鼎鼎”两款吉祥物摆件共100个， ，为整数， 与之间的函数关系式为（，为整数）； （2）解：由题意可得，解得：， 由（1）可知，， ， 随的增大而减小， 当时，有最小值，最小值为，此时， 即总费用最少的采购方案为购买“牛牛”摆件50个，“鼎鼎”摆件50个，最少费用为元． 25．为迎接“国家级文明卫生城市”检查，某市环卫局准备购买A，B两种型号的垃圾箱．每个A型垃圾箱100元，每个B型垃圾箱120元．现需要购买A，B两种型号的垃圾箱共30个，其中购买A型垃圾箱不超过16个． （1）求购买垃圾箱的总花费W（元）与A型垃圾箱x（个）之间的函数关系式； （2）当购买A型垃圾箱个数多少时总费用最少，最少费用是多少？ 【答案】（1）（，且x为整数） （2）购买16个A型垃圾箱，总费用最少，最少费用为3280元 【解答】（1）解：由题意得：（，且x为整数）， 答：函数关系式为（，且x为整数）． （2）解：由（1）知是x的一次函数， ∵， ∴W随x的增大而减小， 又，且x为整数， 当时，W取最小值，且最小值为， 答：购买16个A型垃圾箱，总费用最少，最少费用为3280元． 考点六数据的分析 26．有两组数据，第一组数据是：1，3，5，7，9；第二组数据是：21，23，25，27，29，31，33．先分别求出这两组数据的平均数，再将这两组数据合并在一起．求合并后这组数据的平均数，想一想，它是前两个平均数的平均数吗？ 【答案】第一组数据的平均数为，第二组数据的平均数为，合并后数据的平均数为，它不是前两个平均数的平均数． 【解答】解：第一组数据的平均数：； 第二组数据的平均数：； 合并后的平均数：； 前两个平均数的平均数：， ， 所以它不是前两个平均数的平均数． 27．某饮食公司为一学校提供午餐，有12元、15元和18元三种价格的饭菜供师生选择（每人限定一份）．如图是5月份的销售情况统计图，如果这个月一共销售了10400份饭菜，那么师生购买午餐费用的平均数、中位数和众数各是多少？ 【答案】平均数是元，中位数是元，众数是元． 【分析】求平均数：因为已知各价格饭菜的销售占比，所以可以使用加权平均数公式，以各价格为数值、对应占比为权重计算． 求众数：因为众数是出现次数最多的数值，所以只需比较三种价格的销售占比，占比最高的价格即为众数． 求中位数：首先确定总份数的中间位置，再按价格从低到高累加各价格的销售份数，判断中间位置落在哪个价格的区间内，该价格即为中位数． 【解答】解：根据扇形图，三种价格饭菜的销售占比为：12元占20%，15元占65%，18元占15%． 用加权平均数计算：元 ∵总销量10400份，中位数是排序后第5200位和第5201位数据的平均数： 12元共份，即前2080个数据都是12元； 接下来的份都是15元，覆盖第2081~8840位； ∴第5200、5201位数据都是15，中位数为元． ∵15元饭菜销售占比最高，出现次数最多， ∴众数为15元． 28．6月26日是“国际禁毒日”，某中学组织七、八年级全体学生开展“禁毒知识”网上竞赛活动．为了解竞赛情况，从两个年级各随机抽取了10名同学的成绩（满分为100分），绘制成如下两幅不完整的统计图表，请根据图表信息解答下列问题： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 a 90 90 39 八年级 90 90 90 b    （1）请直接写出表格中a，b的值； （2）通过数据分析，你认为哪个年级的成绩更稳定？请说明理由； （3）该校七、八年级共有600人，本次竞赛成绩不低于90分的为“优秀”．估计这两个年级共有多少名学生达到“优秀”？ 【答案】（1）， （2）八年级的成绩更稳定，理由如下： 八年级的方差小于七年级的方差，故八年级的成绩更稳定； （3）390名 【分析】（1）利用平均数和方差的计算公式进行计算即可； （2）根据方差判断稳定性即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可. 【解答】（1）解：； ； （2）略 （3）解：（名）； 答：估计这两个年级共有390名学生达到“优秀”. 29．每年月日为国际圆周率日（节），为感受数学文化魅力，激发学生数学探究兴趣，年我校于当日举办“玩转圆周率” 主题知识问答活动．为了解活动成效，从七、八年级参与活动学生的问答成绩（单位：分）中，各随机抽取名学生的成绩进行统计整理，下面给出了部分信息： 七年级：，，，，，，，，，，，； 八年级：，，，，，，，，，，，． a．抽取的七、八年级学生成绩（单位：分）不完整的统计表如下： 年级 平均数 众数 方差 最小值 四分位数 最大值 七年级 ② ③ 八年级 ① b．抽取的七、八年级学生成绩绘制成的不完整箱线图如下：    根据以上信息，回答下列问题： （1）统计表中，①处应填_____，②处应填_____； （2）请补全箱线图； （3）请你从两个不同的角度对两个年级的成绩进行评价． 【答案】（1）①；② （2）如图所示： （3）① 平均数角度：八年级平均成绩分，高于七年级的分，整体成绩更好； ② 稳定性角度：八年级成绩的方差更小，分数分布更集中，成绩更稳定； ③ 高分段角度：七年级最高分为分，高于八年级的分，七年级高分段学生表现更突出. 【分析】（1）根据平均数和众数的计算方法求解即可； （2）先求出七年级成绩的中位数，根据表中数据补全箱线图即可； （3）分别从平均数、方差及高分段角度分别分析即可． 【解答】（1）解：八年级个数据的平均数为， ∴①处应填， ∵七年级学生成绩中，出现次，出现次数最多， ∴七年级学生成绩的众数是， ∴②处应填． （2）解：七年级的（中位数）是第和第个数据的平均数，即， ∴如图即为所求． （3）解：略 30．为全面落实《国家学生体质健康标准》，切实加强学生体质健康水平，某中学针对毕业班学生就一分钟跳绳项目开展了一次专项训练活动．为检测训练成效，该校随机抽取了3个班级各20名学生代表进行测试，规定跳绳次数不少于180次为“优秀”．现将测试数据进行整理绘制统计图表，部分信息如下： 甲班代表跳绳次数：160，160，160，160，170，170，170，170，180，180，180，180，180，180，190，190，190，190，190，200； 代表 平均数 中位数 众数 “优秀”人数（） 甲班 177.5 180 12 乙班 182 180 14 丙班 180.5 180 14 （1）填空：___________，___________，___________； （2）若该校毕业班学生人数共有900人，请你估计本次跳绳项目专项训练活动中达到“优秀”（次）的学生总人数； （3）学校计划对训练成效更好的班级进行表彰，你认为哪个班级的跳绳训练成效更好？请结合统计量说明理由． 【答案】（1）180；190；180 （2）本次跳绳专项训练活动中达到“优秀”的学生总人数约为600人 （3） 解：乙班的跳绳训练成效更好． 理由是：从表格看，三个班级的中位数相同，说明数据的中间水平一致；甲班优秀率60%，而乙、丙班的优秀率都是70%，但乙班的平均数和众数均高于甲、丙班，说明乙班训练成效更好．（答案不唯一，理由合理即可） 【分析】（1）根据各班的数据和中位数、众数的定义即可求解； （2）根据样本数据估计总体数据的方法即可求解； （3）从平均数，中位数，众数或优秀率方面进行比较即可确定． 【解答】（1）解：∵甲班代表跳绳次数从小到大排列的数据中第10位和第11位均为180， ∴中位数， ∵乙班代表跳绳次数的扇形统计图中190次占比为30%最多， ∴乙班代表跳绳次数的数据中众数， ∵从丙班代表跳绳次数的条形统计图可得数据中第10位和第11位均为180， ∴中位数． （2）解：达到“优秀”的学生总人数为（人） 答：本次跳绳专项训练活动中达到“优秀”的学生总人数约为600人． （3）略 学科网（北京）股份有限公司 $