（暑假巩固培优）填空题高频易错题考点汇总训练（六大类型）2026-2027学年苏科版数学八升九暑期进阶全攻略

2026-2027学年数学八升九暑期进阶全攻略 （暑假巩固培优）填空题高频易错题考点汇总训练（六大类型） 目录 考点一数据的收集、整理与描述 1 考点二认识概率 2 考点三四边形 3 考点四因式分解 4 考点五分式 5 考点六二次根式 5 考点一数据的收集、整理与描述 1．进行下列调查：①调查本班全体同学的校服尺码 ②调查徐州市初中学生周末出行方式 ③排查校园周边 50 米范围内有无违规小卖部 ④统计徐州地区热门综艺的观看比例 ⑤检测徐州生产一批灯具的使用寿命．在这些调查中，适合作普查的是___，适合作抽样调查的是_______．（只填序号） 2．某工厂对一批产品的使用寿命（单位：小时）进行检测，随机抽取了100件产品，计划绘制频率分布直方图．下边的表格是其频数统计（每组数据含最小值，不含最大值）．那么使用寿命不低于1400小时的产品所占的频率是____________． 使用寿命 1000～1200 1200～1400 1400～1600 1600～1800 频数 20 35 30 3．如图是某校六年级学生上学出行方式情况统计图．已知由家长接送的有75人，那么步行的有____人． 4．如图，是30名初三女学生1分钟内仰卧起坐次数的频数分布直方图（每组次数只含最小值而不含最大值），则仰卧起坐次数在次的频率是_____________． 5．某校抽取八年级学生人数的10%进行体质测试（成绩为整数），并绘制成如图所示的不完整的统计图．已知86分及以上为优秀；76分～85分为良好；60分～75分为及格；59分及以下为不及格． （1）在抽取的学生中不及格人数占抽取总人数的百分比是_______； （2）若抽取的学生中不及格学生的总分恰好等于某一个良好等级学生的分数，该校八年级学生中优秀等级的大约有_______人． 考点二认识概率 6．“a是实数，”这一事件是______事件（选填以下内容：不可能事件、必然事件、随机事件）． 7．袋子里有5个红球，个白球，3个黑球，三种球的数量互不相等，从中任意摸出一个球，若摸到红球的可能性最大，且摸到黑球的可能性最小，则的值为_______． 8．不透明的口袋里放入同样大小的个红球和一些黑球，每次从口袋里任意摸出一个球，然后放回．如果摸到黑球的可能性是，那么口袋里放了______个黑球．要使摸到黑球的可能性变成，可以从口袋里拿走______个红球，也可以往口袋里再放入______个黑球． 9．学了概率的相关知识后，某综合实践小组利用计算机模拟抛掷一枚图钉的试验，研究落地后针尖朝上的概率，记录的试验数据如表： 累计抛掷次数 针尖朝上频率 随着试验次数的增大，估计“针尖朝上”的概率为_______（精确到）． 10．当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组利用某个二维码开展数学试验活动，如图，在边长为的正方形区域内通过计算机随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计这个区域内白色部分的总面积约为______． 考点三四边形 11．如图，平行四边形中，对角线相交于点，过点的直线分别交于点，若平行四边形的面积为，则图中阴影部分的面积是______． 12．如图，在矩形中，点E在边上，且平分，若，，则_________． 13．如图，点从菱形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点．点运动时，的面积随时间的变化关系图象如图， （1）____________； （2）菱形的面积是____________． 14．如图，在中，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，直线交于点．利用相同作法，在边上得到点，连接，若，则的长是_______． 15．如图，大坝横截面为梯形，，它的迎水坡的坡比为，背水坡的坡比为，已知迎水坡，坝顶宽，则大坝横截面面积为___________． 考点四因式分解 16．已知可分解因式为，其中，均为整数，则________，________． 17．如果，那么____，_____． 18．已知，，则______． 19．已知菱形的两条对角线长分别为，，菱形的面积为5，周长为，则的值是_______． 20．若整式（m为不等于0的常数）能在有理数范围内因式分解，则m的值可以是______．（写出一个数即可） 考点五分式 21．观察下列一组分式：，，，，，…，则第10个分式为________，第个分式为________． 22．分式与的最简公分母是______． 23．若且a，b，c均不为0，则的值为_______． 24．已知实数，满足，则的值为____________． 25．某漆器厂接到制作480件漆器的订单，为了尽快完成任务，该厂实际每天制作的件数比原来每天多，结果提前10天完成任务．设原来每天制作x件，则可列方程是_______． 考点六二次根式 26．实数a，b，c对应的点在数轴上的位置如图所示，化简_________． 27．若为正整数，且满足，则_____． 28．如图，在中，，．若D，E分别是的中点，，则____________． 29．跨学科：如图是淇淇在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜反射后沿恰好入眼（为法线），已知淇淇的眼睛到鞋底处的距离，．若，且，，则淇淇的鞋底处到镜子底端的距离为________． 30．宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．如图，黄金矩形中，，以宽为边在其内部作正方形，得到黄金矩形．依此作法，四边形、四边形也是黄金矩形．依次以点，，为圆心，以，，为半径画四分之一的圆，则称曲线叫作“黄金螺线”．若，则“黄金螺线”的长为________（结果保留）． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年数学八升九暑期进阶全攻略 （暑假巩固培优）填空题高频易错题考点汇总训练（六大类型） 目录 考点一数据的收集、整理与描述 1 考点二认识概率 4 考点三四边形 6 考点四因式分解 10 考点五分式 12 考点六二次根式 14 考点一数据的收集、整理与描述 1．进行下列调查：①调查本班全体同学的校服尺码 ②调查徐州市初中学生周末出行方式 ③排查校园周边 50 米范围内有无违规小卖部 ④统计徐州地区热门综艺的观看比例 ⑤检测徐州生产一批灯具的使用寿命．在这些调查中，适合作普查的是___，适合作抽样调查的是_______．（只填序号） 【答案】 ①③ ②④⑤ 【分析】全面调查指对总体中每个个体都进行的调查，一般适用于总体中个体数量不太多的情况； 抽样调查是指不必要或不可能对总体进行全面调查时，就从总体中抽取一部分个体进行调查，然后根据调查数据来推断总体的情况；根据两种调查的特点进行分析即可． 【解答】解：①调查本班全体同学的校服尺码，调查范围小，实施全面调查简便易行，且又能得到较准确的数据，适合普查； ②调查徐州市初中学生周末出行方式，涉及学生数量庞大，普查工作量巨大，应选择抽样调查； ③排查校园周边 50 米范围内有无违规小卖部，调查区域狭小，操作简单，适合普查； ④统计徐州地区热门综艺的观看比例，覆盖群众数量多，普查成本过高，应选择抽样调查； ⑤检测徐州生产一批灯具的使用寿命，检测过程具有破坏性，无法全部检测，适合抽样调查． 综上可得：①③适合作普查，②④⑤适合作抽样调查． 2．某工厂对一批产品的使用寿命（单位：小时）进行检测，随机抽取了100件产品，计划绘制频率分布直方图．下边的表格是其频数统计（每组数据含最小值，不含最大值）．那么使用寿命不低于1400小时的产品所占的频率是____________． 使用寿命 1000～1200 1200～1400 1400～1600 1600～1800 频数 20 35 30 【答案】0.45 【分析】先根据已知样本容量求出使用寿命不低于1400小时的产品的频数，再利用频率公式计算所求频率． 【解答】解：∵样本容量为100， ∴使用寿命不低于1400小时的产品频数为：， ∴使用寿命不低于1400小时的产品所占的频率为． 3．如图是某校六年级学生上学出行方式情况统计图．已知由家长接送的有75人，那么步行的有____人． 【答案】 【解答】解：根据题意得：家长接送占，总人数人， 步行占，人数为人． 4．如图，是30名初三女学生1分钟内仰卧起坐次数的频数分布直方图（每组次数只含最小值而不含最大值），则仰卧起坐次数在次的频率是_____________． 【答案】 【解答】解：由频数分布直方图可知，仰卧起坐次数在次的频数为，数据总数为30，所以仰卧起坐次数在次的频率为． 5．某校抽取八年级学生人数的10%进行体质测试（成绩为整数），并绘制成如图所示的不完整的统计图．已知86分及以上为优秀；76分～85分为良好；60分～75分为及格；59分及以下为不及格． （1）在抽取的学生中不及格人数占抽取总人数的百分比是_______； （2）若抽取的学生中不及格学生的总分恰好等于某一个良好等级学生的分数，该校八年级学生中优秀等级的大约有_______人． 【答案】 4% 100 【分析】（1）利用扇形统计图用100%减去优秀、良好、及格的人数所占的百分比即可； （2）设不及格的人数为x人，列得76≤40x≤85，求出x的值，再计算出抽取的学生总数，然后计算出八年级学生中优秀人数即可． 【解答】（1）优秀人数的百分比为=20%， 不及格人数占抽取总人数的百分比是100%-44%-32%-=4%， 故答案为4%； （2）设不及格的人数为x人，则 76≤40x≤85， 1.9≤x≤2.125， ∵x为正整数， ∴x=2， ∴抽取的学生人数为2÷4%=50（人）， ∴该校八年级学生中优秀等级的大约有50×20%÷10%=100（人）， 故答案为：100． 【点睛】本题考查条形和扇形图，能有正确理解统计图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 考点二认识概率 6．“a是实数，”这一事件是______事件（选填以下内容：不可能事件、必然事件、随机事件）． 【答案】必然事件 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可判断它们分别属于哪一种类别．根据实际情况即可解答． 【解答】解：因为数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值， 因为a是实数， 所以|a|≥0． 故答案为：必然事件． 【点睛】此题主要考查了必然事件概念以及绝对值的性质，用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件． 7．袋子里有5个红球，个白球，3个黑球，三种球的数量互不相等，从中任意摸出一个球，若摸到红球的可能性最大，且摸到黑球的可能性最小，则的值为_______． 【答案】 4 【分析】根据摸到球的可能性大小与球的数量的关系，得到的取值范围，结合三种球数量互不相等，为正整数即可求解． 【解答】解：根据可能性的意义，球的数量越多，摸到该种球的可能性越大， 摸到红球的可能性最大，红球有5个，黑球有3个，白球有个， ，，即， 摸到黑球的可能性最小， ， 即， 又三种球的数量互不相等，为正整数， ∴． 8．不透明的口袋里放入同样大小的个红球和一些黑球，每次从口袋里任意摸出一个球，然后放回．如果摸到黑球的可能性是，那么口袋里放了______个黑球．要使摸到黑球的可能性变成，可以从口袋里拿走______个红球，也可以往口袋里再放入______个黑球． 【答案】 【分析】本题考查了事件的可能性的大小，先求出袋子球的总个数为（个），则黑球的个数为（个），要使摸到黑球的可能性变成，则球的总个数为（个），从口袋里拿走个红球，也可以往口袋里再放入黑球（个），掌握知识点的应用是解题的关键． 【解答】解：袋子中球的总个数为：（个）， 则黑球的个数为（个）， 要使摸到黑球的可能性变成， 则球的总个数为（个）， ∴此时红球个数为，即从口袋里拿走个红球， 也可以往口袋里再放入黑球（个）， 故答案为：，，． 9．学了概率的相关知识后，某综合实践小组利用计算机模拟抛掷一枚图钉的试验，研究落地后针尖朝上的概率，记录的试验数据如表： 累计抛掷次数 针尖朝上频率 随着试验次数的增大，估计“针尖朝上”的概率为_______（精确到）． 【答案】 【分析】根据用频率估计概率，当试验次数逐渐增大时，频率会稳定在某个常数附近，该常数可作为概率的估计值，观察频率的稳定趋势后按要求精确度取值即可． 【解答】解：由表格中的数据可得，随着累计抛掷次数增大，针尖朝上的频率逐渐在附近波动， ∴估计“针尖朝上”的概率为． 10．当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组利用某个二维码开展数学试验活动，如图，在边长为的正方形区域内通过计算机随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计这个区域内白色部分的总面积约为______． 【答案】 【分析】用正方形的面积乘以点落在区域内白色部分的频率稳定值即可解答． 【解答】解：根据题意，估计这个区域内白色部分的总面积约为． 考点三四边形 11．如图，平行四边形中，对角线相交于点，过点的直线分别交于点，若平行四边形的面积为，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质可证，得到，即得到阴影部分的面积，进而即可求解． 【解答】解：∵四边形是平行四边形，对角线相交于点， ，， ， 在 和中， ， ， ， ∴阴影部分的面积， ， ∴阴影部分的面积是． 12．如图，在矩形中，点E在边上，且平分，若，，则_________． 【答案】 【分析】根据矩形的性质推出，证明，结合为等腰直角三角形解题即可． 【解答】解：∵平分， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 解得． 13．如图，点从菱形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点．点运动时，的面积随时间的变化关系图象如图， （1）____________； （2）菱形的面积是____________． 【答案】 【分析】通过分析图象，点从点到用，此时的面积为，依此可求菱形的高，再由图象可知当点从到时，用时，应用两次勾股定理分别求和即可求解． 【解答】解：过点作交的延长线于点， 由图象可知，点从点到用， 此时，的面积为， ∵， ∴菱形中， ∴， 即：， 当点从到时，用时， ∴，在中，， ∵四边形是菱形， ∴， 在中，， 即：， 解得， ∴， 故答案为：；． 14．如图，在中，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，直线交于点．利用相同作法，在边上得到点，连接，若，则的长是_______． 【答案】 【分析】由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，可得点为的中点，同理可得点为的中点，进而可得为中位线，则． 【解答】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， 点为的中点， 利用相同作法，在边上得到点， 点为的中点， 为的中位线， ， ， ． 15．如图，大坝横截面为梯形，，它的迎水坡的坡比为，背水坡的坡比为，已知迎水坡，坝顶宽，则大坝横截面面积为___________． 【答案】 【分析】证明四边形是矩形，得，，根据勾股定理求出和，再根据坡比求出，最后根据梯形的面积公式即可求得答案． 【解答】解：由题意知：，， ∴，， ∵，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵迎水坡的坡比为，即， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵背水坡的坡比为，即， ∴， ∴， ∴， 则大坝横截面面积为． 考点四因式分解 16．已知可分解因式为，其中，均为整数，则________，________． 【答案】 56 【分析】首先提取公因式，进而合并同类项得出，的值，进而得出答案． 【解答】解：∵ ， ， ∴，， 故， ． 17．如果，那么____，_____． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，平方差公式，完全平方公式，将等式右边利用平方差公式，完全平方公式展开得到，然后与左边比较系数，即可求出和，掌握知识点的应用是解题的关键． 【解答】解：右边：， 左边：， 比较系数可得：，， 故答案为：，． 18．已知，，则______． 【答案】 【分析】先将因式分解，再代入求值即可． 【解答】解：，， ． 19．已知菱形的两条对角线长分别为，，菱形的面积为5，周长为，则的值是_______． 【答案】 【分析】根据菱形面积公式可得的值，利用菱形对角线互相垂直平分的性质和勾股定理可得的值，对所求代数式因式分解后，代入数值计算即可得到结果． 【解答】解：菱形的两条对角线长分别为，，面积为， 由菱形面积公式得， 解得 ． 菱形的周长为， 菱形的边长为 ． 菱形的对角线互相垂直平分， 由勾股定理得 ， 整理得 ，即 ． 对所求代数式因式分解得：， 将，代入得：． 20．若整式（m为不等于0的常数）能在有理数范围内因式分解，则m的值可以是______．（写出一个数即可） 【答案】（答案不唯一） 【解答】解：当时，，可以在有理数范围内因式分解，符合要求． 考点五分式 21．观察下列一组分式：，，，，，…，则第10个分式为________，第个分式为________． 【答案】 【分析】分别从符号，分子系数，分母的指数三个部分归纳第n项的规律，再将代入规律得到第10个分式． 【解答】解：观察给出的分式，分部分归纳规律： 符号规律：第1个分式为正，第2个为负，第3个为正，…，可知符号规律为（为项数）； 分子规律：分子系数等于项数，分子恒含因式，因此分子为； 分母规律：分母为的次方，即； 因此第个分式为：， 当时，代入得：． 22．分式与的最简公分母是______． 【答案】 【分析】根据通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，可知分式与的最简公分母为． 【解答】解：， 分式与的最简公分母是． 23．若且a，b，c均不为0，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据题意，得到，原式化简为，再利用整体代入法进行计算即可. 【解答】解：∵且a，b，c均不为0， ∴ ∴原式 . 24．已知实数，满足，则的值为____________． 【答案】1 【分析】对进行变形得到，再对代数式进行变形，代入计算即可． 【解答】解：∵， ∴ ， ∴， ∴ ． 25．某漆器厂接到制作480件漆器的订单，为了尽快完成任务，该厂实际每天制作的件数比原来每天多，结果提前10天完成任务．设原来每天制作x件，则可列方程是_______． 【答案】 【分析】根据工作时间等于工作总量除以工作效率，分别表示出原来和实际完成任务的时间，再根据提前10天完成建立等量关系即可 【解答】解：由题意可得，原来每天制作件，原来完成件订单需要的时间为， 实际每天制作件数比原来多，因此实际每天制作件数为， 实际完成订单需要的时间为，结果提前天完成， 即原来用时比实际用时多天， 因此可列方程： 考点六二次根式 26．实数a，b，c对应的点在数轴上的位置如图所示，化简_________． 【答案】 【解答】解：由数轴得，，， ∴ ． 27．若为正整数，且满足，则_____． 【答案】 【分析】先利用二次根式的乘法法则化简原式，再估算化简后结果的范围，即可得到正整数的值． 【解答】解：. ， ， 不等式两边同时加得 ，即． 为正整数，且满足 ， ， 故答案为． 28．如图，在中，，．若D，E分别是的中点，，则____________． 【答案】 【分析】由三角形中位线定理得到，利用勾股定理求出的长，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案． 【解答】解：∵D，E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴； 在，，，， ∴， ∵D为的中点， ∴． 29．跨学科：如图是淇淇在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜反射后沿恰好入眼（为法线），已知淇淇的眼睛到鞋底处的距离，．若，且，，则淇淇的鞋底处到镜子底端的距离为________． 【答案】 【分析】由， ，得，根据镜面的反射性质，得，由，得，得，进而利用勾股定理求出． 【解答】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 根据镜面的反射性质，反射角等于入射角，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴（负值舍去）， 即淇淇的鞋底A处到镜子底端O的距离为． 30．宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．如图，黄金矩形中，，以宽为边在其内部作正方形，得到黄金矩形．依此作法，四边形、四边形也是黄金矩形．依次以点，，为圆心，以，，为半径画四分之一的圆，则称曲线叫作“黄金螺线”．若，则“黄金螺线”的长为________（结果保留）． 【答案】 【分析】利用矩形和正方形的性质求出，，的长，再利用圆的面积公式计算即可． 【解答】解：∵在黄金矩形中，，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 由题意可知，四边形和四边形都是正方形， ∴，， ∴“黄金螺线”的长为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $