（暑假巩固培优）选择题高频易错题考点汇总训练（六大类型）2026-2027学年苏科版数学八升九暑期进阶全攻略

2026-2027学年数学八升九暑期进阶全攻略 （暑假巩固培优）选择题高频易错题考点汇总训练（六大类型） 目录 考点一数据的收集、整理与描述 1 考点二认识概率 2 考点三四边形 3 考点四因式分解 4 考点五分式 5 考点六二次根式 5 考点一数据的收集、整理与描述 1．为了解某校初中学生的周末文化学习情况，以下抽样调查中，样本最具代表性的是（     ） A．从毕业年级随机抽取名学生 B．从三个年级每班随机抽取名学生 C．从艺体特长生中随机抽取名学生 D．从八年级随机抽取一个班的学生 2．某超市年月至月，每月销售总额的条形统计图和每月牛奶类销售额占销售总额百分比的折线统计图如图所示，则下列说法错误的是（     ） A．月份销售总额比月份多 B．月份牛奶类销售额为万元 C．月份牛奶类销售额比月份少 D．月份牛奶类销售额比月份多 3．萌萌某日对七（1）班学生参加大课间体育锻炼的情况进行了统计，并绘制了条形统计图和扇形统计图（如图），则该班参加乒乓球活动的人数为（   ） A．10 B．8 C．5 D．4 4．某班级的一次数学考试成绩统计图如图（每组数据含最小值，不含最大值），则下列说法错误的是（   ） A．得分在70分～80分的人数最多 B．该班的总人数为40 C．人数最少的得分段的频数为2 D．得分及格（大于等于60分）的有34人 5．习近平总书记强调：“保障粮食和重要农产品稳定安全供给始终是建设农业强国的头等大事．”2025 年我国将坚持提高单产和品质并举，把大面积单产提升作为粮食生产的关键举措，如图是我国粮食数据的相关统计图，下列结论正确的是（   ） A． 年我国粮食产量先减少后增加 B． 年我国粮食产量增长率先减少后增加 C．年我国粮食产量相比前一年一直在增加 D．相比 2023 年，2024 年我国粮食产量呈现负增长趋势 考点二认识概率 6．下列事件中，属于随机事件的是（     ） A．明天早上，太阳从东边升起 B．打开一本数学书，翻到偶数页 C．任意投一枚骰子，朝上面的点数是7 D．一个标准大气压下，水温升到时沸腾 7．下列事件是必然事件的是（   ） A．打开手机就有未接电话 B．学校读书演讲比赛，七年级3班获得一等奖 C．从分别标有数字1、2、3、4、5的五张卡片中随机抽取一张，上面的数字是6 D．五个人分成四组，这四组中有一组有两人 8．下列情况中，摸球一次，摸到红球可能性最小的是（     ） A．8个白球，2个红球，3个绿球 B．3个红球，6个黄球，4个绿球 C．9个白球，3个黑球，1个红球 D．2个白球，4个红球，7个绿球 9．如图，转动三个可以自由转动的转盘（转盘均被等分），当转盘停止转动后，根据“指针落在灰色区域内”的可能性的大小，将转盘的序号按事件发生的可能性从大到小排列为（     ） A．①③② B．②①③ C．③①② D．②③① 10．数学课上，老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有5个白球、3个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球最有可能是（     ） A．白球 B．红球 C．黄球 D．不确定 考点三四边形 11．如图，在平面直角坐标系中，若两阴影部分的面积分别为，，则（     ） A． B． C． D． 12．如果四边形的对角线相交于点O，且，那么下列条件中不能判断四边形为平行四边形的是（     ） A． B． C． D． 13．如图，折叠矩形纸片的一边，使点D落在边上的点F处，已知，，则折痕的长为（     ） A． B． C． D． 14．如图，对角线，交于点O，E是的中点，连结，，，若，则等于（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 15．在四边形中，，．添加下列条件，能使四边形为正方形的是（     ） A． B． C． D． 考点四因式分解 16．下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 17．若将多项式因式分解得，则的值为（   ） A． B． C． D． 18．已知，，则的值为（     ） A．6 B．7 C．12 D．14 19．如图，对于以下结论：①；②；③，其中正确的个数为（  ） A．3 B．2 C．1 D．0 20．已知，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 考点五分式 21．若分式无意义，则x的值为（     ） A． B．0 C． D．1 22．下列分式变形一定正确的是（     ） A． B． C． D． 23．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 24．如果，那么代数式的值为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 25．某文创商店推出甲、乙两款书签，已知乙书签的单价是甲书签的倍，且用100元购买甲书签的数量比用126元购买乙书签的数量多4个，求甲、乙两款书签的单价．若设甲书签的单价为元，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 考点六二次根式 26．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 27．点在第二象限，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 28．在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1， 的顶点A，B，C均正方形格点上，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．点A到直线的距离是2 29．估计的值应在（     ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 30．如图，用四张一样大小的矩形纸片拼成一个正方形，正方形面积为32，，则图中空白部分的面积为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年数学八升九暑期进阶全攻略 （暑假巩固培优）选择题高频易错题考点汇总训练（六大类型） 目录 考点一数据的收集、整理与描述 1 考点二认识概率 4 考点三四边形 7 考点四因式分解 12 考点五分式 14 考点六二次根式 16 考点一数据的收集、整理与描述 1．为了解某校初中学生的周末文化学习情况，以下抽样调查中，样本最具代表性的是（     ） A．从毕业年级随机抽取名学生 B．从三个年级每班随机抽取名学生 C．从艺体特长生中随机抽取名学生 D．从八年级随机抽取一个班的学生 【答案】B 【分析】抽样调查样本的代表性的判断标准是样本是否能全面覆盖总体各部分，反映总体（某校全体初中学生）的真实特征． 【解答】解：本题总体是某校全体初中学生，抽样调查要求样本具有广泛性和代表性，能够反映总体真实情况， A、仅抽取毕业年级，存在偏向性，不具备代表性，不符合题意； B、对三个年级每班随机抽取学生，样本覆盖初中所有年级和不同班级，能够反映全体初中学生的周末文化学习情况，因此样本最具代表性，符合题意； C、仅抽取艺体特长生，存在偏向性，不具备代表性，不符合题意； D、仅抽取八年级一个班，存在偏向性，不具备代表性，不符合题意． 2．某超市年月至月，每月销售总额的条形统计图和每月牛奶类销售额占销售总额百分比的折线统计图如图所示，则下列说法错误的是（     ） A．月份销售总额比月份多 B．月份牛奶类销售额为万元 C．月份牛奶类销售额比月份少 D．月份牛奶类销售额比月份多 【答案】C 【解答】解：A、1月销售总额90万元，3月70万元，，说法正确，该选项不符合题意； B、2月总额110万，牛奶占比，万元，说法正确，该选项不符合题意； C、2月牛奶销售额:万元 3 月牛奶销售额:万元 ，3月比2月多，原说法错误，该选项符合题意； D、3 月牛奶销售额:万元 4月牛奶销售额:万元 ，说法正确，该选项不符合题意． 3．萌萌某日对七（1）班学生参加大课间体育锻炼的情况进行了统计，并绘制了条形统计图和扇形统计图（如图），则该班参加乒乓球活动的人数为（   ） A．10 B．8 C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题主要查了条形统计图和扇形统计图．用参加篮球活动的人数除以其所占的百分比可求出学生的总人数，即可求解． 【解答】解：根据题意得：学生的总人数为人， ∴该班参加乒乓球活动的人数为人， 故选：C 4．某班级的一次数学考试成绩统计图如图（每组数据含最小值，不含最大值），则下列说法错误的是（   ） A．得分在70分～80分的人数最多 B．该班的总人数为40 C．人数最少的得分段的频数为2 D．得分及格（大于等于60分）的有34人 【答案】D 【分析】从图中读取各分数段的人数，再逐一分析每个选项 ． 【解答】解：首先，我们从频数分布直方图中读取各分数段的人数： 分：人； 分：人； 分：人； 分：人； 分：人 ． A、得分在分～分的人数为人，是所有分数段中最多的，不符合题意； B、该班总人数为人，不符合题意； C、人数最少的得分段是分，频数为，不符合题意； D、得分及格（大于等于分）的人数为人，不是人，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了频数分布直方图的解读，解题关键是准确读取每个分数段的频数，并进行正确的计算与判断． 5．习近平总书记强调：“保障粮食和重要农产品稳定安全供给始终是建设农业强国的头等大事．”2025 年我国将坚持提高单产和品质并举，把大面积单产提升作为粮食生产的关键举措，如图是我国粮食数据的相关统计图，下列结论正确的是（   ） A． 年我国粮食产量先减少后增加 B． 年我国粮食产量增长率先减少后增加 C．年我国粮食产量相比前一年一直在增加 D．相比 2023 年，2024 年我国粮食产量呈现负增长趋势 【答案】C 【分析】根据统计图中的信息逐一判断即可． 【解答】解：A、由统计图可知， 年我国粮食产量一直增加，原说法错误，不符合题意； B、由统计图可知， 年我国粮食产量增长率先减少后增加，再减少，原说法错误，不符合题意； C、由统计图可知，年我国粮食产量相比前一年一直在增加，原说法正确，符合题意； D、由统计图可知，相比 2023 年，2024 年我国粮食产量增长率减少，但是产量还是正增长，原说法错误，不符合题意 ． 考点二认识概率 6．下列事件中，属于随机事件的是（     ） A．明天早上，太阳从东边升起 B．打开一本数学书，翻到偶数页 C．任意投一枚骰子，朝上面的点数是7 D．一个标准大气压下，水温升到时沸腾 【答案】B 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的定义，逐一判断即可得到答案． 【解答】解：A、明天早上太阳从东边升起，是一定会发生的，属于必然事件，不符合要求； B、打开一本数学书，可能翻到偶数页，也可能翻到奇数页，事件发生与否不确定，∴属于随机事件，符合要求； C、投一枚骰子，朝上面最大点数为6，点数为7是一定不会发生的，属于不可能事件，不符合要求； D、一个标准大气压下，水温升到时沸腾，是一定会发生的，属于必然事件，不符合要求． 7．下列事件是必然事件的是（   ） A．打开手机就有未接电话 B．学校读书演讲比赛，七年级3班获得一等奖 C．从分别标有数字1、2、3、4、5的五张卡片中随机抽取一张，上面的数字是6 D．五个人分成四组，这四组中有一组有两人 【答案】D 【分析】本题主要考查了必然事件，掌握必然事件是一定发生的事件成为解题的关键． 根据必然事件的定义逐项判断即可． 【解答】解：A． 打开手机就有未接电话是随机事件，不符合题意； B． 学校读书演讲比赛，七年级3班获得一等奖是随机事件，不符合题意； C． 从分别标有数字1、2、3、4、5的五张卡片中随机抽取一张，上面的数字是6是不可能事件，不符合题意； D． 五个人分成四组，这四组中有一组有两人是必然事件，符合题意． 故选D． 8．下列情况中，摸球一次，摸到红球可能性最小的是（     ） A．8个白球，2个红球，3个绿球 B．3个红球，6个黄球，4个绿球 C．9个白球，3个黑球，1个红球 D．2个白球，4个红球，7个绿球 【答案】C 【分析】根据当所有球的总个数相同时，红球的个数越少，摸到红球的可能性越小，只需比较各选项红球个数即可求解． 【解答】解：先计算每个选项的总球数： A选项总球数：，红球个数为； B选项总球数：，红球个数为； C选项总球数：，红球个数为； D选项总球数：，红球个数为； ∵四个选项总球数相同，且， ∴C选项红球个数最少，摸到红球可能性最小， 故摸到红球可能性最小的是C选项． 9．如图，转动三个可以自由转动的转盘（转盘均被等分），当转盘停止转动后，根据“指针落在灰色区域内”的可能性的大小，将转盘的序号按事件发生的可能性从大到小排列为（     ） A．①③② B．②①③ C．③①② D．②③① 【答案】B 【分析】指针落在阴影区域内的可能性是：，比较灰色部分的面积即可． 【解答】解：由图可知：①“指针落在灰色区域内”的可能性为；②“指针落在灰色区域内”的可能性为；③“指针落在灰色区域内”的可能性为； 因为， 所以指针落在灰色区域内的可能性从大到小的顺序为：②①③． 10．数学课上，老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有5个白球、3个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球最有可能是（     ） A．白球 B．红球 C．黄球 D．不确定 【答案】C 【分析】分别求出白球、红球和黄球被取到的概率，再结合图表给出某种颜色的球出现的频率即可得到问题的选项． 【解答】解：∵不透明袋子中有5个白球、3个红球和2个黄球， ∴白球被取得的概率，红球被取得的概率，黄球被取得的概率， 由频率图可知，某球被取得的频率大约在0.2左右波动，接近黄球被取得的概率， 考点三四边形 11．如图，在平面直角坐标系中，若两阴影部分的面积分别为，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先利用待定系数法求出四条直线的解析式，分别为，，，，求出阴影部分和各个顶点的坐标，观察图形可知，阴影部分和均可分割为一个平行四边形和一个三角形，分别计算面积，再计算面积差即可求解． 【解答】解：如图，过点作轴交直线于点，过点作轴交直线于点， ∵轴，轴， ∴，， 由图可知，过，；过，；过，；过，， 设的直线解析式为， 将代入上式，则， ∴的直线解析式为； 同理可得另外三条直线的解析式分别为：，，， ∵直线与 的斜率均为 ， ∴， ∴四边形是平行四边形， 当时，，解得，则； 当时，，解得，则； 当时，，解得，则； 当时，，解得，则； ∴， 联立与得：，解得：，则， ∴； 联立与 得：，解得：，则， ∴； 联立与得：，解得：，则， ∴； 联立与 得：，解得：，则， ∴； ∴阴影部分的面积． 阴影部分的面积． ∴． 12．如果四边形的对角线相交于点O，且，那么下列条件中不能判断四边形为平行四边形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】已知四边形对角线交点满足，根据平行四边形的判定定理，逐一分析各选项能否推出四边形为平行四边形即可得到答案． 【解答】解：A、因为，，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可得四边形是平行四边形，故A选项不合题意； B、若，仅和无法推出，也无法证明四边形满足平行四边形的判定条件，不能判定四边形是平行四边形，故B符合题意； C、∵， ∴， ，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，故C选项不符合题意； D选项，∵， ∴， ∴， ，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，选项D不符合题意． 13．如图，折叠矩形纸片的一边，使点D落在边上的点F处，已知，，则折痕的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据图形翻折变换的性质得出，在中利用勾股定理求出的长，进而得出的长，设，则，，在中由勾股定理可求出x的值，同理在中利用勾股定理可求出的长． 【解答】解：∵由翻折而成， ∴，，， ∴中， ， ∴， 设，则，， 在中， ，即，， 解得，即， 再在中， ． 14．如图，对角线，交于点O，E是的中点，连结，，，若，则等于（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先运用平行四边形的性质，得到，再运用勾股定理，在中，求出线段的长度，最后运用中位线的性质求得． 【解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵，，， ∴． ∵对角线，交于点O， ∴点O是的中点， ∵E是的中点， ∴是的中位线， ∴． 15．在四边形中，，．添加下列条件，能使四边形为正方形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据已知条件判定四边形是等腰梯形，再结合正方形的判定定理分析各选项，用到等腰梯形的性质、矩形和正方形的判定定理． 【解答】解：∵，， ∴四边形是等腰梯形， ∴，， ∵， ∴， 由四边形内角和定理可得， A、若，则， ∴四边形是矩形， ∵， ∴邻边相等的矩形是正方形，符合要求； B、是等腰梯形本身的性质，无法推出四边形是正方形； C、若，结合可得四边形是平行四边形，又，仅能推出是菱形，无法推出是正方形； D、是等腰梯形本身的性质，无法推出四边形是正方形． 考点四因式分解 16．下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“把一个多项式化为几个整式乘积的形式，这种变形叫做因式分解”，逐一判断各选项即可 【解答】解：∵ 选项A中，左边是单项式，不是多项式，不符合因式分解要求，∴ A错误； ∵ 选项B中，左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解定义，∴ B正确； ∵ 选项C中，变形是将整式乘积化为多项式，属于整式乘法，不是因式分解，∴ C错误； ∵ 选项D中，等式右边是和的形式，不是几个整式的乘积，不符合要求，∴ D错误 17．若将多项式因式分解得，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先展开因式分解后的多项式，利用多项式相等时对应项系数相等求出和的值，再计算． 【解答】解： ， ， ，解得， ． 18．已知，，则的值为（     ） A．6 B．7 C．12 D．14 【答案】C 【分析】把所求代数式因式分解得到，再代入计算即可． 【解答】解：∵，， ∴ ． 19．如图，对于以下结论：①；②；③，其中正确的个数为（  ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】根据数轴确定、的取值范围：，，再分别对三个结论进行分析判断：结论①判断的正负性判断大小；结论②利用、的正负及范围分析的取值范围；结论③通过因式分解将不等式变形，根据因式的正负判断不等式是否成立． 【解答】解：根据数轴可知，，． ①∵，，， ∴，即，故①正确． ②∵，， ∴，即，故②错误． ③将不等式左边减右边，得：， ∵，， ∴，即， ∴，故③正确． 综上，正确的结论有2个，故选B． 20．已知，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解： ， ∵， ∴，即． 考点五分式 21．若分式无意义，则x的值为（     ） A． B．0 C． D．1 【答案】A 【分析】根据分式无意义时分母为0，列方程求解即可得到结果． 【解答】解：∵分式无意义， ∴分式的分母为，可得方程， 解得． 22．下列分式变形一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式基本性质判断各选项变形是否正确即可． 【解答】解：对于选项A：举反例，当，时，，，则，故A错误； 对于选项B：举反例，当，时，，，则，故B错误； 对于选项C：由分式的基本性质，分子分母同乘以不为零的整式，分式的值不变，故C正确； 对于选项D：举反例，当，时，，，则，故D错误． 23．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：原式 ． 24．如果，那么代数式的值为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先通过通分、因式分解约分化简代数式，再利用已知条件整体代入计算即可． 【解答】解： ， ∵， ∴， 将代入得，原式． 25．某文创商店推出甲、乙两款书签，已知乙书签的单价是甲书签的倍，且用100元购买甲书签的数量比用126元购买乙书签的数量多4个，求甲、乙两款书签的单价．若设甲书签的单价为元，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据设出的甲单价表示出乙的单价，再结合“购买甲的数量比购买乙的数量多4个”的等量关系列方程即可． 【解答】解：设甲书签单价为元，则乙书签单价为元， 根据题意得： ． 考点六二次根式 26．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A、，故A错误； B、 ，故B错误； C、 根据二次根式的性质，，当时，，故C错误； D、 根据立方根的性质，对任意实数，都有，故D正确． 27．点在第二象限，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先根据第二象限内点的坐标特征求出的取值范围，再对原式因式分解后结合二次根式的性质化简为绝对值形式，最后根据的范围去掉绝对值计算结果． 【解答】解：∵点在第二象限， ∴， 解得， ， ∵， ∴，， ∴原式． 28．在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1， 的顶点A，B，C均正方形格点上，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．点A到直线的距离是2 【答案】C 【分析】利用网格，根据勾股定理计算三边长度的平方，利用勾股定理逆定理判断三角形形状，进而计算面积和点到直线的距离，逐一排查选项． 【解答】解：由勾股定理得：， ， ， ，故A选项结论正确； ， 是直角三角形，且，故B选项结论正确； ∴ ，故C选项结论错误； 设点 到直线的距离为 ， ，即， ，故D选项结论正确． 29．估计的值应在（     ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【答案】B 【分析】先根据二次根式的乘法法则化简原式，再通过平方比较估算无理数的范围，即可得到原式的取值范围． 【解答】解：∵ ， ∴ 原式 ． ∵ ，，且 ， ∴ ． 同时减2，得 ， 因此原式的值在和之间． 30．如图，用四张一样大小的矩形纸片拼成一个正方形，正方形面积为32，，则图中空白部分的面积为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解答】正方形面积为32， ， ， ， 观察可知，空白部分小正方形的边长为， 则图中空白部分的面积为． 学科网（北京）股份有限公司 $