（暑假巩固培优）解答题高频易错题考点汇总训练（六大类型）-2026-2027学年苏科版数学七升八暑期进阶全攻略

2026-2027学年数学七升八暑期进阶全攻略 （暑假巩固培优）解答题高频易错题考点汇总训练（六大类型） 目录 考点一幂的运算 1 考点二整式乘法 2 考点三图形的变换 5 考点四二元一次方程组 7 考点五一元一次不等式 9 考点六定义、命题、证明 11 考点一幂的运算 1．计算： （1）； （2）． 2．已知，，解决以下问题： （1）计算的值． （2）计算的值． 3．如果，则我们规定．如：因为，所以． （1） ；若，则 ； （2）已知，，，若，求y的值． 4．小明在学习同底数幂的乘法时，根据算式：，做了如下推导：，因此得到． 类比探究： （1）求的值； （2）求证：； 拓展探究： （3）若，求的值． 5．如果，那么我们规定．例如：因为，所以 （1）根据上述规定，填空：___________，___________，___________． （2）记．求证：． 考点二整式乘法 6．计算及化简 （1）计算： （2）化简： 7．先化简，再求值：，其中． 8．如图，甲长方形的两边长分别为，（其中），乙正方形的周长与甲长方形的周长相等．甲长方形的面积为，乙正方形的面积为，请通过计算判断与的大小关系． 9．某学校计划改造一片空地，如图，在空地中间修建一个长方形的花坛，花坛的长度为米，宽度为米，在花坛的四周铺设一条宽度为2米的走道，走道的外围为装饰区域，装饰区域外圈围成的图形为正方形，其边长比走道外圈围成的长方形区域的长边多1米，请根据以上信息回答下列问题： （1）走道外圈的周长为________米； （2）走道的面积是多少？ （3）如果，且每平方米的装饰区域铺设费用为60元，计算铺设装饰区域的总费用． 10．如图，图1为边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形． （1）设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为，请用含、的代数式表示：_____，_____（只需表示，不必化简）； （2）以上结果可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式_____； （3）运用（2）中得到的公式，计算：． 考点三图形的变换 11．如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1、三角形的顶点均在方格纸的格点上，将三角形平移后得到三角形，使点A落在直线l上的点处． （1）画出平移后的三角形； （2）在直线l上找一格点D，使，，、D所围成的四边形的面积为6． 12．如图，将三角形沿射线BC方向平移得到三角形，点A，B，C的对应点分别是点D，E，． （1）若，，求； （2）若，求的度数． 13．如图，已知线段与点，按要求用无刻度直尺与圆规作图： （1）若线段、线段关于直线l对称，点A与点重合，作出对称轴l．（在图1中完成作图）． （2）若线段沿直线n作轴对称变换，线段恰好能落在直线m上，作出对称轴n．（在图2中完成作图）． （3）平移线段，使点A与点重合，作出平移后的线段的端点．（在图3中完成作图）． 14．如图，将长方形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置，交于点，再将沿折叠，点落在的位置（在折痕的左侧）． （1）如果，求的度数； （2）如果，则                  ； （3）探究与的数量关系，并说明理由． 15．将一个含角的直角三角板（其中）如图1放置，使得直角三角板的直角顶点落在直线上．过顶点作直线．将直角三角板绕顶点逆时针旋转．在旋转过程中，直线的位置保持不变，直线随着点的运动位置发生变化（始终与平行）． （1）当时，求的度数． （2）如图2，在直角三角板的左侧作直线，交直线于点，交直线于点，使，且在直角三角板旋转过程中，直线与直线的夹角保持不变．当直角三角板的一条直角边与直线平行时，请直接写出的度数． 考点四二元一次方程组 16．解方程组： （1）； （2）． 17．解方程： （1） （2） （3） 18．关于的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数的系数互换，得到的方程叫“变更方程”．例如：“”变更方程为“”． （1）求方程与它的“变更方程”组成的方程组的解； （2）已知关于的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 19．某运输公司有A，B两种货车，2辆A货车与3辆B货车一次可以运货吨，5辆A货车与2辆B货车一次可以运货吨． （1）请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？ （2）目前有吨货物需要运输，该运输公司计划安排A，B两种货车将全部货物一次运完（A，B两种车型至少1辆，均需满载），其中每辆A货车一次运货花费元，每辆B货车一次运货花费元．请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少，最少费用为多少？ 20．“呼和浩特盛乐国际机场”坐落于呼和浩特市和林格尔县巧什营镇，是内蒙古自治区首座4F级国际民用机场，距呼和浩特市中心约千米．为高效推进机场配套建设，甲、乙两个工程队接力承担一段长为29000米的机场快速路修建任务，甲工程队每天修建100米，乙工程队每天修建150米，两队接力施工共用260天完成，求甲、乙两个工程队各自修建机场快速路的长度． 七年级学生盛盛和乐乐根据题意分别列出了下面尚不完整的方程组： 盛盛：    乐乐： （1）请把盛盛和乐乐所列的方程组补充完整； （2）请分别写出盛盛和乐乐所列方程组中未知数x，y表示的意义． 盛盛：x表示________，y表示________； 乐乐：x表示________，y表示________； （3）请你从两位同学的方法中任选一种进行解答． 考点五一元一次不等式 21．解下列不等式 （1）； （2）． 22．解不等式组 23．已知关于的方程组 （1）若方程组有解，则__________，__________（均用含的代数式表示）； （2）已知关于的不等式恰有3个正整数解，求的取值范围； （3）在（2）的条件下，方程组有整数解，则的值为__________． 24．2026年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借时尚可爱的形象“圈粉”无数．某商店销售甲、乙两种型号以马为主题的生肖玩偶，已知每个乙型玩偶的售价是每个甲型玩偶售价的倍，销售30个甲型玩偶和10个乙型玩偶的销售额共1800元． （1）求甲、乙两种型号玩偶每个售价各是多少元？ （2）某公司计划采购两种型号玩偶共60个作为员工新年礼物，总费用不超过3000元，最多可以采购多少个乙型玩偶？ 25．小石经营的水果店入驻了某电商平台，并对部分水果（如下表）进行促销：参与促销的水果免配送费且一次购买水果的总价满128元减x元．每笔订单顾客网上支付成功后，小石会得到支付款的80%（其余20%作为平台佣金）． 水果 促销前单价 苹果 58元/箱 耙耙柑 70元/箱 车厘子 100元/箱 火龙果 48元/箱 （1）当时，一次购买苹果和车厘子各1箱，需要支付________元，小石会得到________元． （2）在促销活动中，为保障小石每笔订单所得到的金额不低于促销前总价的七折，求x的最大值． 考点六定义、命题、证明 26．指出下列命题的条件与结论： （1）如果，那么的补角与的补角相等； （2）两条直线都平行于同一条直线，这两条直线平行． 27．如图，已知，直线交于点平分，平分，试说明：． （1）将此题的条件与结论用一般的命题形式叙述出来； （2）你能进一步总结平行线中“三线八角”的平分线之间的关系吗？ 28．如图，有如下四个论断：①，②，③，④． （1）若，则，试判断命题的真假__________（选“真”或“假”） （2）若（1）中命题为真命题，请说明理由，若上述命题为假命题，请你在原条件的四个论断中再选择一合适的条件_________，使该命题成为真命题，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年数学七升八暑期进阶全攻略 （暑假巩固培优）解答题高频易错题考点汇总训练（六大类型） 目录 考点一幂的运算 1 考点二整式乘法 5 考点三图形的变换 8 考点四二元一次方程组 15 考点五一元一次不等式 22 考点六定义、命题、证明 27 考点一幂的运算 1．计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解答】（1）解： （2）解： 2．已知，，解决以下问题： （1）计算的值． （2）计算的值． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）根据幂的乘方的逆用、同底数幂乘法的逆用计算即可； （2）根据积的乘方的逆用计算即可． 【解答】（1）解：∵，， ∴ ． （2）解：∵，， ∴ ． 3．如果，则我们规定．如：因为，所以． （1） ；若，则 ； （2）已知，，，若，求y的值． 【答案】（1）4， （2）20 【分析】（1）根据新定义运算的含义可得答案； （2）由新定义可得：，，，再结合，进一步可得答案． 【解答】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； （2）∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．小明在学习同底数幂的乘法时，根据算式：，做了如下推导：，因此得到． 类比探究： （1）求的值； （2）求证：； 拓展探究： （3）若，求的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3）5 【分析】（1）仿照题干作答即可； （2）逆用同底数幂的乘法得到，又，可得，可知； （3）根据同底数幂的除法法则得到，，进而逆用幂的乘方法则计算即可． 【解答】（1）解： （2）证明： （3）解：， ， 5．如果，那么我们规定．例如：因为，所以 （1）根据上述规定，填空：___________，___________，___________． （2）记．求证：． 【答案】（1），， （2）证明见解析 【分析】本题考查了新定义运算的含义，同底数幂乘法的应用，零次幂的含义，解答本题的关键是正确的找到题目给出的规律． （1）根据示例要求，直接可求解； （2）根据同底数幂乘法可得，可得，进一步可求解． 【解答】（1）解：∵，，， ∴，，． （2）证明：∵， ∴，，； ∵ 又∵， ∴， ∴． 考点二整式乘法 6．计算及化简 （1）计算： （2）化简： 【答案】（1）11 （2） 【分析】（1）分别计算乘方、零指数幂、负整数指数幂，再依次进行加减运算． （2）先用平方差公式与完全平方公式展开两个多项式，再去括号、合并同类项化简． 【解答】（1）解： ； （2）解： ． 7．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解答】解： ， 当时，原式． 8．如图，甲长方形的两边长分别为，（其中），乙正方形的周长与甲长方形的周长相等．甲长方形的面积为，乙正方形的面积为，请通过计算判断与的大小关系． 【答案】解：由题意，正方形的边长为，， ∴， ∴， ∴. 【分析】先根据乙正方形的周长与甲长方形的周长相等，求出乙正方形的边长，再求出两个图形的面积，作差法比较大小即可. 【解答】略 9．某学校计划改造一片空地，如图，在空地中间修建一个长方形的花坛，花坛的长度为米，宽度为米，在花坛的四周铺设一条宽度为2米的走道，走道的外围为装饰区域，装饰区域外圈围成的图形为正方形，其边长比走道外圈围成的长方形区域的长边多1米，请根据以上信息回答下列问题： （1）走道外圈的周长为________米； （2）走道的面积是多少？ （3）如果，且每平方米的装饰区域铺设费用为60元，计算铺设装饰区域的总费用． 【答案】（1） （2）平方米 （3）8460元 【分析】（1）分别求出走道外圈的长和宽，再计算周长即可； （2）根据平方差公式求出花坛的面积，再求走道的面积即可； （3）求出正方形的边长，进而可知装饰区域的面积，根据“，且每平方米的装饰区域铺设费用为60元”计算即可． 【解答】（1）解：走道外圈的长为米，宽为米， 所以走道外圈的周长为米； （2）解：花坛的面积为平方米， 走道的面积为平方米， 故走道的面积为平方米； （3）解：正方形的边长为米， 所以装饰区域的面积为平方米， 当时，铺设装饰区域的总费用为元． 10．如图，图1为边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形． （1）设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为，请用含、的代数式表示：_____，_____（只需表示，不必化简）； （2）以上结果可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式_____； （3）运用（2）中得到的公式，计算：． 【答案】（1），； （2） （3） 【分析】（1）图1中阴影部分面积用大正方形面积减去小正方形面积表示即可，图2中阴影部分面积用长方形面积公式表示即可； （2）根据（1）的结果，即可得到答案； （3）运用（2）中得到的公式计算，即可得到答案． 【解答】（1）解：由图形可知，图1中阴影部分面积，图2中阴影部分面积； （2）解：以上结果可以验证乘法公式为：； （3）解： ． 考点三图形的变换 11．如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1、三角形的顶点均在方格纸的格点上，将三角形平移后得到三角形，使点A落在直线l上的点处． （1）画出平移后的三角形； （2）在直线l上找一格点D，使，，、D所围成的四边形的面积为6． 【答案】（1）如图，三角形如图所示： （2）符合条件的四边形的形状有两种，如图所示： 或 【分析】（１）点A向上平移5个单位，向右平移3个单位，得到，将点、点也向上平移5个单位，再向右平移3个单位，得到点，点，连线得所求的三角形； （2）符合条件的四边形有两种情况，分别是①从点开始，向右平移3个单位，得到点D，四边形构成平行四边形，长度为3，高为2，面积为6；②从点开始，向左平移3个单位，得到点D，四边形构成平行四边形，面积为6． 【解答】（1）略 （2）略 12．如图，将三角形沿射线BC方向平移得到三角形，点A，B，C的对应点分别是点D，E，． （1）若，，求； （2）若，求的度数． 【答案】（1）6 （2） 【分析】（1）根据平移的性质计算即可得出结果； （2）由平移的性质可得，，再结合平行线的性质计算即可得出结果． 【解答】（1）解：由平移的性质可得：， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由平移的性质可得，， ∴， ∴． 13．如图，已知线段与点，按要求用无刻度直尺与圆规作图： （1）若线段、线段关于直线l对称，点A与点重合，作出对称轴l．（在图1中完成作图）． （2）若线段沿直线n作轴对称变换，线段恰好能落在直线m上，作出对称轴n．（在图2中完成作图）． （3）平移线段，使点A与点重合，作出平移后的线段的端点．（在图3中完成作图）． 【答案】（1）画图见解析 （2）画图见解析 （3）画图见解析 【分析】（1）连接，作线段的垂直平分线即可； （2）延长与直线m相交，作夹角的平分线即可； （3）分别以点B为圆心，以为半径和以为圆心，以为半径画弧，两弧相交于点． 【解答】（1）解：如图1所示，直线即为所求 （2）解：如图2所示，直线即为所求 （3）解：如图3所示，点即为所求 14．如图，将长方形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置，交于点，再将沿折叠，点落在的位置（在折痕的左侧）． （1）如果，求的度数； （2）如果，则                  ； （3）探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2）30 （3），理由见解析 【分析】（1）根据折叠的性质求出，然后根据平行线的性质求解即可； （2）先求出的度数，然后利用平行线的性质求出的度数，进而求出的度数，根据折叠可求出的度数，由角的和差关系求出的度数，再根据折叠求出的度数，最后根据角的和差关系求解即可； （3）设，然后类似（2）的方法求解即可． 【解答】（1）解：根据题意，得， ∴， 由折叠的性质得，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得，， ∴， ∴， 由折叠的性质得，， ∴. （3）解： 理由：设， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴， ∴． 15．将一个含角的直角三角板（其中）如图1放置，使得直角三角板的直角顶点落在直线上．过顶点作直线．将直角三角板绕顶点逆时针旋转．在旋转过程中，直线的位置保持不变，直线随着点的运动位置发生变化（始终与平行）． （1）当时，求的度数． （2）如图2，在直角三角板的左侧作直线，交直线于点，交直线于点，使，且在直角三角板旋转过程中，直线与直线的夹角保持不变．当直角三角板的一条直角边与直线平行时，请直接写出的度数． 【答案】（1）． （2）或． 【分析】（1）根据已知条件结合平行线的性质即可求解； （2）结合已知条件，分类讨论直角三角形三边分别和直线平行的情况，利用平行线的性质可求解． 【解答】（1）解：如图1，设与交于， ， ， ， ， ， ． （2）如图2，当时，， ， ， ． 如图3，当时，此时， ，. 如图4，当时，此时； 如图5，当时，，； 综上所述，当直角三角板的一条直角边与直线平行时，的度数可以为或． 【点睛】本题综合考查平行线性质、直角三角形角度关系及旋转动态图形中的分类讨论思想，解题关键是抓住“与夹角恒为”这一不变条件，将直角边平行转化为与成，并分类讨论求解． 考点四二元一次方程组 16．解方程组： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解答】（1）解：， 得， 解得， 将代入①得， 解得， ∴方程组的解为； （2）解：， 由②得， 将代入①，得， 解得， 将代入，得， ∴方程组的解为． 17．解方程： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解答】（1）解：， 把②代入①得， 解得， 由②得， 即方程组的解为； （2）解：， 得， 得， 解得， 把代入①得， 解得， 即方程组的解为； （3）解：， 得， 整理得， 得， 把④代入⑤得， 整理得， 解得， 把代入④得， 把代入①得， 整理得， 解得， 即方程组的解为． 18．关于的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数的系数互换，得到的方程叫“变更方程”．例如：“”变更方程为“”． （1）求方程与它的“变更方程”组成的方程组的解； （2）已知关于的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 【答案】（1） （2）2026 【分析】（1）根据“变更方程”的定义可得方程，然后联立方程组求解即可； （2）根据题意，先联立方程组，求出x，y的值，代入方程得到，代入代数式化简求值即可． 【解答】（1）解：由定义可知，的变更方程为． 联立得方程组： ，得， 解得． 把代入①， 得， 解得． 方程组的解为． （2）解：方程与它的“变更方程”组成的方程组为， ，得， ， ． 把代入①，得， ． ， ， ． 又 方程是二元一次方程， ， ． ∴把代入可得，即， ∴ ． 19．某运输公司有A，B两种货车，2辆A货车与3辆B货车一次可以运货吨，5辆A货车与2辆B货车一次可以运货吨． （1）请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？ （2）目前有吨货物需要运输，该运输公司计划安排A，B两种货车将全部货物一次运完（A，B两种车型至少1辆，均需满载），其中每辆A货车一次运货花费元，每辆B货车一次运货花费元．请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少，最少费用为多少？ 【答案】（1）1辆A货车一次可以运货吨，1辆B货车一次可以运货吨 （2）共有3种运输方案：方案1：安排A货车7辆，B货车4辆；方案2：安排A货车4辆，B货车8辆；方案3：安排A货车1辆，B货车辆．方案3费用最少，最少费用为元 【分析】（1）设1辆A货车一次可以运货x吨，1辆B货车一次可以运货y吨．根据题意，得，解之得：； （2）设安排A货车m辆，B货车n辆．依题意得，又因为m，n均为正整数，所以有，或，或三种情况，分别计算每种情况所需费用并比较，即可找出最少费用方案． 【解答】（1）解：设1辆A货车一次可以运货x吨，1辆B货车一次可以运货y吨． 根据题意，得， 得，， 得，， 得，，解得， 把代入①得，， 解得：， 答：1辆A货车一次可以运货吨，1辆B货车一次可以运货吨． （2）解：设安排A货车m辆，B货车n辆． 依题意得，又因为m，n均为正整数， 所以，或，或， 所以共有3种运输方案： 方案1：安排A货车7辆，B货车4辆，所需费用 （元）； 方案2：安排A货车4辆，B货车8辆，所需费用为 （元）； 方案3：安排A货车1辆，B货车辆，所需费用为 （元）． 因为 ， 所以安排A货车1辆，B货车辆费用最少，最少费用为元． 20．“呼和浩特盛乐国际机场”坐落于呼和浩特市和林格尔县巧什营镇，是内蒙古自治区首座4F级国际民用机场，距呼和浩特市中心约千米．为高效推进机场配套建设，甲、乙两个工程队接力承担一段长为29000米的机场快速路修建任务，甲工程队每天修建100米，乙工程队每天修建150米，两队接力施工共用260天完成，求甲、乙两个工程队各自修建机场快速路的长度． 七年级学生盛盛和乐乐根据题意分别列出了下面尚不完整的方程组： 盛盛：    乐乐： （1）请把盛盛和乐乐所列的方程组补充完整； （2）请分别写出盛盛和乐乐所列方程组中未知数x，y表示的意义． 盛盛：x表示________，y表示________； 乐乐：x表示________，y表示________； （3）请你从两位同学的方法中任选一种进行解答． 【答案】（1）260，29000； （2）甲工程队修建快速路的长度，乙工程队修建快速路的长度，甲工程队修建快速路的天数，乙工程队修建快速路的天数； （3）甲工程队修建快速路长度为20000米，乙工程队修建快速路长度为9000米． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． （1）根据所列方程组补全即可； （2）由（1）作答即可； （3）任选其一求解二元一次方程组即可． 【解答】（1）解：盛盛：由， ，可知x表示甲工程队修建快速路的长度，y表示乙工程队修建快速路的长度， ∴表示甲、乙两个工程队施工总时间， 即； 乐乐：由，， ，可知x表示甲工程队修建快速路的天数，y表示乙工程队修建快速路的天数， ∴表示甲、乙两个工程队施工总长度， 即； 故答案为：260，29000； （2）解：由（1）可知：盛盛：x表示甲工程队修建快速路的长度，y表示乙工程队修建快速路的长度； 乐乐：x表示甲工程队修建快速路的天数，y表示乙工程队修建快速路的天数； 故答案为：甲工程队修建快速路的长度，乙工程队修建快速路的长度，甲工程队修建快速路的天数，乙工程队修建快速路的天数； （3）解：选择盛盛的方法解答： 解：设甲工程队修建快速路长度为x米，乙工程队修建快速路长度为y米． ； 解得 答：甲工程队修建快速路长度为20000米，乙工程队修建快速路长度为9000米； 选择乐乐的方法解答： 解：设甲工程队修建快速路时间为x天，乙工程队修建快速路时间为y天． ； 解得 则甲工程队修建快速路长度为（米） 则乙工程队修建快速路长度为（米） 答：甲工程队修建快速路长度为20000米，乙工程队修建快速路长度为9000米． 考点五一元一次不等式 21．解下列不等式 （1）； （2）． 【答案】（1）； （2） 【分析】按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤计算即可，含分母的不等式先去分母再求解． 【解答】（1）解： 解得； （2）解： 解得． 22．解不等式组 【答案】 【分析】本题先分别求解不等式组中两个一元一次不等式的解集，再根据不等式组解集的确定法则得到最终结果，运用一元一次不等式的基本求解方法即可解题． 【解答】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为：． 23．已知关于的方程组 （1）若方程组有解，则__________，__________（均用含的代数式表示）； （2）已知关于的不等式恰有3个正整数解，求的取值范围； （3）在（2）的条件下，方程组有整数解，则的值为__________． 【答案】（1）， （2） （3）12 【分析】（1）加减消元法解方程组即可； （2）求出不等式的解集，根据不等式恰有3个正整数解，列出关于的不等式组，进行求解即可； （3）根据方程组有整数解，得到和均能被7整除，结合，进行求解即可. 【解答】（1）解：， ，得，解得， 把代入②，得，解得； （2）解：解不等式得， 不等式恰有3个正整数解，即正整数解为， 故， 解得； （3）解：由（1）知：，， ∵方程组有整数解，即均为整数， ∴和均能被7整除， 又∵； ∴， 之间7的倍数只有42和49， 若，得，此时，是整数，符合要求； 若，得，此时不是整数，舍去； 故． 24．2026年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借时尚可爱的形象“圈粉”无数．某商店销售甲、乙两种型号以马为主题的生肖玩偶，已知每个乙型玩偶的售价是每个甲型玩偶售价的倍，销售30个甲型玩偶和10个乙型玩偶的销售额共1800元． （1）求甲、乙两种型号玩偶每个售价各是多少元？ （2）某公司计划采购两种型号玩偶共60个作为员工新年礼物，总费用不超过3000元，最多可以采购多少个乙型玩偶？ 【答案】（1）甲、乙两种型号玩偶每个售价分别为40元，60元 （2）最多可以采购30个乙型玩偶 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用等知识点，找准等量关系，正确列出方程和不等式是解题的关键． （1）设甲型玩偶单价为x元，乙型玩偶的单价为元，再根据“销售30个甲型玩偶和10个乙型玩偶的销售额共1800元”列一元一次方程求解即可； （2）设采购m个乙型玩偶，得出采购个甲型玩偶，根据题意列不等式求解即可． 【解答】（1）解：设甲型玩偶单价为x元，乙型玩偶的单价为元， ，解得：， 所以． 答：甲、乙两种型号玩偶每个售价分别为40元，60元． （2）解：设采购m个乙型玩偶，得出采购个甲型玩偶， 根据题意得，，解得：． 答：最多可以采购30个乙型玩偶． 25．小石经营的水果店入驻了某电商平台，并对部分水果（如下表）进行促销：参与促销的水果免配送费且一次购买水果的总价满128元减x元．每笔订单顾客网上支付成功后，小石会得到支付款的80%（其余20%作为平台佣金）． 水果 促销前单价 苹果 58元/箱 耙耙柑 70元/箱 车厘子 100元/箱 火龙果 48元/箱 （1）当时，一次购买苹果和车厘子各1箱，需要支付________元，小石会得到________元． （2）在促销活动中，为保障小石每笔订单所得到的金额不低于促销前总价的七折，求x的最大值． 【答案】（1）150；120 （2）16 【分析】（1）由题意可计算出一箱苹果和一箱车厘子的总金额为158元，则顾客需要支付元，小石会得到，即可得出结果； （2）在促销活动中，设订单金额为元，当时，则小石每笔订单所得到的金额不低于促销前总价的七折，当时，得到不等式，求解即可得到结果． 【解答】（1）解:由表格可知， ， ∵ ∴顾客需要支付元， 小石得到元， 故答案为：150，120． （2）解：在促销活动中，设单笔订单总金额为元． 当时，则小石每笔订单所得到的金额不低于促销前总价的七折； 当时，，即，对恒成立， ∴， 解得， ∴的最大值为16． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用，正确理解题意，得出一元一次不等式是解题的关键． 考点六定义、命题、证明 26．指出下列命题的条件与结论： （1）如果，那么的补角与的补角相等； （2）两条直线都平行于同一条直线，这两条直线平行． 【答案】（1）条件为，结论为的补角与的补角相等； （2）条件为两条直线都平行于同一条直线；结论为这两条直线平行． 【分析】（1）如果后面为条件，那么后面为结论； （2）先可以用“如果…那么…”形式表述命题，则如果后面为条件，那么后面为结论． 【解答】（1）条件为； 结论为的补角与的补角相等； （2）条件为两条直线都平行于同一条直线； 结论为这两条直线平行． 27．如图，已知，直线交于点平分，平分，试说明：． （1）将此题的条件与结论用一般的命题形式叙述出来； （2）你能进一步总结平行线中“三线八角”的平分线之间的关系吗？ 【答案】（1）如果两条平行线被第三条直线所截，那么一对同旁内角的平分线互相垂直 （2）能，见解析 【分析】（1）根据题意一般的命题形式叙述出来； （2）根据平行线的性质以及角平分线的定义，证明或，即可得出结论． 【解答】（1）解：如果两条平行线被第三条直线所截，那么一对同旁内角的平分线互相垂直． （2）平行线中“三线八角”的平分线互相垂直，理由如下， 如图，过点作 ∵平分，平分 ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 即， 如图，∵ ∴ ∵分别平分 ∴ 即 ∴ 如图，∵ ∴ ∵分别平分 ∴ 即 ∴ ∴平行线中“三线八角”的平分线互相垂直或平行 28．如图，有如下四个论断：①，②，③，④． （1）若，则，试判断命题的真假__________（选“真”或“假”） （2）若（1）中命题为真命题，请说明理由，若上述命题为假命题，请你在原条件的四个论断中再选择一合适的条件_________，使该命题成为真命题，并说明理由． 【答案】（1）假 （2）添加，理由见解析 【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定定理是解题关键． （1）利用平行线的判定方法进而判断即可； （2）利用平行线的判定方法添加，根据平行线的性质得出，利用角的和差关系即可求出，根据平行线的判定定理即可得结论． 【解答】（1）解：∵、不是、被第三条直线所截的角， ∴若，无法判定， ∴若，则是假命题， 故答案为：假 （2）解：添加条件， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $