第07讲 轴对称及其性质（3大知识点+7大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）2026年暑假人教版八年级数学上册衔接讲义

第07讲 轴对称及其性质（3大知识点+7大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 轴对称图形的识别 典型例题二 成轴对称的两个图形的识别 典型例题三 根据成轴对称图形的特征进行判断 典型例题四 根据成轴对称图形的特征进行求解 典型例题五 台球桌面上的轴对称问题 典型例题六 轴对称中的光线反射问题 典型例题七 折叠问题 知识点01 轴对称图形与对称轴 1.定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 2.判断一个图形是不是轴对称图形，可利用轴对称图形的定义，将图形对折，看是否能够完全重合，若能够完全重合，则这个图形是轴对称图形，否则这个图形不是轴对称图形． 【注意】 （1）对称轴是一条直线，而不是射线或线段． （2）一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条，还可以有无数条． （3）轴对称图形是对于一个图形而言的，它表示具有一定特性（轴对称性）的某一类图形． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·全国·期中）下列图形中，不是轴对称图形的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称图形的定义：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做该图形的对称轴，逐一判断各选项即可. 【详解】解：选项是轴对称图形，可以沿一条直线折叠后完全重合，选项不符合题意； 选项不是轴对称图形，不可以沿一条直线折叠后完全重合，选项符合题意． 2．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）下列图案是轴对称图形的有 ___个． 【答案】2 【分析】根据轴对称图形的概念求解，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：第一幅图，是轴对称图形；第二幅图不是轴对称图形；第三幅图是轴对称图形；第四幅图不是轴对称图形； 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 知识点02 两个图形成轴对称 1．轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点． 轴对称和轴对称图形的区别与联系 名称 关系 轴对称 轴对称图形 区别 意义不同 两个图形之间的特殊位置关系 一个形状特殊的图形 图形个数 两个图形 一个图形 对称轴的位置不同 可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边（点） 一定经过这个图形 对称轴的数量 只有一条 有一条或多条 联系 （1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 （2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称 【即时训练】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，成轴对称的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，如果一个图形沿着一条直线对折后能够完全重合，这样的图形称为轴对称图形，根据此定义判断即可． 【详解】解：图②、③成轴对称． 故选B． 2．（25-26七年级下·河南开封·期末）如图，与关于直线l对称，下列所连线段中，不能被直线l垂直平分的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形中，对称轴垂直平分对应点所连线段，即可进行判断． 【详解】解：∵与关于直线l对称， ∴点A与点D是对应点，点B与点E是对应点，点C与点F是对应点， ∴直线l垂直平分线段、、， ∵C与D不是对应点， ∴线段不能被直线l垂直平分． 知识点03 两个图形成轴对称和轴对称图形的性质 （1）两个图形成轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． （2）轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． （3）轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等． （4）成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是轴对称图形． 【即时训练】 1．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，与交于点，和关于直线对称，点，的对称点分别是点、、下列结论不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的性质．根据轴对称图形的性质即可判断B、C选项，再根据全等三角形的性质即可判断选项D． 【详解】解：由轴对称图形的性质得到，，， ∴， ∴B、C、D选项不符合题意， 故选：A． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知点C是线段上的一点，与关于直线成轴对称，则_________，这两个三角形的对应边是_________与_________，_________与_________，_________与_________；对应角是_________与_________，_________与_________，_________与_________． 【答案】 【详解】略． 【典型例题一 轴对称图形的识别】 【例1】（2026·广西玉林·二模）以下是物理常见的元器件的符号，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】轴对称图形沿着某条直线对称后，直线两旁的部分能够完全重合，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，该选项不符合题意； B、是轴对称图形，该选项符合题意； C、不是轴对称图形，该选项不符合题意； D、不是轴对称图形，该选项不符合题意． 【例2】（2026七年级下·全国·专题练习）下列图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D．是轴对称图形，故本选项符合题意． 【例3】（2025八年级上·全国·专题练习）在英文大写字母A、E、M、S、U、P中是轴对称图形的是______． 【答案】A、E、M、U． 【分析】根据轴对称图形的概念对各字母分析判断． 【详解】解：英文大写字母A、E、M、S、U、P中是轴对称图形的是：A、E、M、U． 故答案为：A、E、M、U． 【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【例4】（24-25八年级上·江西赣州·期中）我们知道圆、线段都是轴对称图形，请再写出一个是轴对称图形的几何图形名称___________． 【答案】正方形（答案不唯一） 【分析】根据轴对称图形的概念求解． 【详解】解：写出一个是轴对称图形的几何图形，如正方形（答案不唯一）． 故答案为：正方形（答案不唯一）． 【点睛】本题考查轴对称图形的意义．在平面内，如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分都能完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴．理解轴对称图形的意义是解题的关键． 1．（25-26七年级下·全国·单元复习）组成学习小组，以“中国传统文化中的轴对称”为主题，分专题搜集一些我国传统建筑和艺术作品中的轴对称，并以适当形式进行展示交流． 【答案】本题为开放性实践活动，成果合理即可，示例成果：搜集的轴对称实例，含传统建筑类的故宫，赵州桥；传统艺术类的剪纸团花，对称京剧脸谱，中国结；传统服饰或汉字中的轴对称等，可整理图文制成手抄报展示． 【分析】这道课后题旨在引导学生将数学知识与传统文化相结合，培养团队协作和审美能力． 【详解】略 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列汉字中，哪些可以看成轴对称图形？请你再找出几个类似的汉字． 【答案】草、木、中；举例：日、山、田、王、平. 【详解】解：根据轴对称图形指的是一个图形沿一条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，给出的汉字中，可以看成轴对称图形的是草、木、中； 类似的汉字举例：日、山、田、王、平都是轴对称图形． 3．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）有四张大小、形状完全相同的卡片，分别画有如图所示的图形．从中任意抽取一张，记下图形的名称后，放回、搅匀，再任意抽取一张．求两次抽取的卡片上的图形都是轴对称图形的概率． 【答案】 【分析】将四张卡片进行编号，确定轴对称图形，通过列树状图即可求出结果． 【详解】解：记画有平行四边形、圆、矩形、直角三角形的图形的四张卡片分别为A，B，C，D． 其中轴对称图形有圆和矩形． 则其树状图如图所示． 则两次抽取的卡片上的图形都是轴对称图形的概率为． 【点睛】本题考查树状图法求概率．根据题干得到必要的信息和数据与正确的画出树状图是解题的关键． 【典型例题二 成轴对称的两个图形的识别】 【例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）观察下列4组图形，其中，关于直线l成轴对称的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形，根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两边的部分互相重合，那么这个图形是轴对称图形，即可判断，掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 【详解】解：、不关于直线l成轴对称，不符合题意； 、不关于直线l成轴对称，不符合题意； 、关于直线l成轴对称，符合题意； 、不关于直线l成轴对称，不符合题意； 故选：C． 【例2】（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）下列各图形中，从图形Ⅰ到图形Ⅱ一定不能通过轴对称得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查成轴对称的定义，解决本题的关键是要熟练掌握成轴对称的定义．把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么 就称这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫作对称轴，翻折后能够重合的点叫作对称点．据此即可求解． 【详解】解：A、图形Ⅰ和图形Ⅱ成轴对称，不符合题意； B、图形Ⅰ和图形Ⅱ成轴对称，不符合题意； C、图形Ⅰ和图形Ⅱ不成轴对称，符合题意； D、图形Ⅰ和图形Ⅱ成轴对称，不符合题意； 故选：C． 【例3】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）下图中各组图形，成轴对称的为_____（只写序号①，②等）． 【答案】①②④ 【分析】把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称． 【详解】解：①②④中的图形沿着一条直线对折能够重合，因此成轴对称，③中的伞柄不对称， 综上，成轴对称的为①②④． 【例4】（24-25八年级下·全国·课前预习）把一个图形沿着_______折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形_______关于这条直线_________．这条直线叫做_________．折叠后重合的点叫对应点，也叫_______． 【答案】 某一条直线 成轴对称 成轴对称 对称轴 对称点 【解析】略 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，和关于直线成轴对称，请写出对应角和对应线段． 【答案】对应角是和和和．对应线段是和和和 【分析】本题考查了成轴对称图形的定义，熟练掌握成轴对称图形的定义是解答本题的关键．如果一个图形沿着一条直线对折后与另一个图形能够互相重合，那么这两个图形就叫做成轴对称图形，这条直线叫做对称轴，能够重合的角叫对应角，能够重合的线段叫对应线段． 【详解】解：对应角是和和和．对应线段是和和和． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知是由经过平移得到的，是否还可以看作由经过轴对称得到？ 【答案】不可以 【分析】本题考查了成轴对称图形的定义，熟练掌握成轴对称图形的定义是解答本题的关键．如果一个图形沿着一条直线对折后与另一个图形能够互相重合，那么这两个图形就叫做成轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：因为找不到一条直线使沿着这条直线对折后与互相重合， 所以不可以看作由经过轴对称得到． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是BC边上的点，连接AD，AE，以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD′E，连接D′C，若BD=CD′； （1）求证：△ABD≌△ACD′； （2）若∠BAC=120°，求∠DAE的度数． 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】（1）根据对称得出AD=AD′，根据SSS证△ABD≌△ACD′即可； （2）根据全等得出∠BAD=∠CAD′，求出∠BAC=∠DAD′，根据对称得出∠DAE=∠DAD′，代入求出即可． （）证明：∵以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD′E， ∴， 在△ABD和△ACD′中， ∵ ， ∴ △ABD≌△ACD′（SSS）. （）解：∵≌， ∴， ∴， ∵以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD′E， ∴， 即． 点睛：本题考查了轴对称的性质及全等三角形的性质.熟练应用轴对称的性质是解题的关键. 【典型例题三 根据成轴对称图形的特征进行判断】 【例1】（24-25八年级上·广西河池·期中）如图，与关于直线对称，P为上任一点，下列结论中错误的是（   ） A．直线、的交点不一定在上 B．是等腰三角形 C．与面积相等 D．垂直平分 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的判定．由轴对称的性质及等腰三角形的判定，即可逐步分析求解． 【详解】解：与关于直线对称， 线段和线段关于直线对称， 直线和直线关于直线对称， 直线和直线的交点一定在上， A选项错误，符合题意； 与关于直线对称，点A与点为对应点， 直线垂直平分， ， 是等腰三角形， B选项正确，不符合题意； 与关于直线对称， ， 与面积相等， C选项正确，不符合题意； 与关于直线对称，点A与点为对应点，点C与点为对应点， 垂直平分， D选项正确，不符合题意． 故选：A． 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）把一张正方形纸片如图对折两次后，再挖去一个正方形小孔，则展开后的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了作轴对称图形， 将原折叠过程反过来作两次轴对称图形，可得答案. 【详解】解：从第二次对折反过来作轴对称图形，可得 ； 再作第一次反过来的轴对称图形， . 故选：B. 【例3】（24-25七年级下·广东茂名·期末）已知点P与点关于直线m成轴对称，则与直线m的位置关系是_________． 【答案】垂直 【分析】点P与点关于直线m成轴对称，即线段关于直线m成轴对称；根据轴对称的性质，有直线m垂直平分． 【详解】解：点P和点关于直线m成轴对称，则直线m和线段的位置关系是：直线m垂直平分． 故答案为：垂直． 【点睛】此题考查了对称轴的定义，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴． 【例4】（24-25七年级下·安徽宿州·阶段检测）如图，已知和关于直线l对称，小明观察图形得出下列结论：①；②；③直线l垂直平分线段；④直线BC和直线的交点不一定在直线l上．其中正确的结论有________（选填正确的序号）．    【答案】①②③ 【分析】利用轴对称的性质对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵和关于直线l对称， ∴，，直线垂直平分线段，直线BC和直线的交点一定在直线l上， 即正确的结论有①②③． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质，（1）轴对称的两个图形是全等图形；轴对称图形的两个部分也是全等图形；（2）如果两个图形成轴对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；（3）两个图形关于某条直线对称，那么如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点一定在在对称轴上． 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）在图形中标出点、和关于直线的对称点． 【答案】 【分析】对称前后图形全等，各点、线段、角一一对应，形状、大小不变，据此找、和对应的点． 【详解】略 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，和关于直线l对称，这两个三角形全等吗？一般地，如果两个三角形全等，那么它们一定关于某条直线对称吗？ 【答案】；两个三角形全等，它们不一定关于某条直线对称 【分析】根据轴对称图形的性质以及全等的性质解答即可． 【详解】解：能够完全重合的两个三角形全等，和关于直线l对称，即这两个三角形能够完全重合，则． 两个三角形全等，它们不一定关于某条直线对称 理由如下： 如图： ，但不关于某条直线对称， 若两个三角形全等，由于位置无法确定，那么它们不一定关于某一条直线对称． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形的性质及全等的性质，熟练掌握其性质是解题关键． 3．（24-25八年级下·全国·课前预习）在一张半透明的纸的左边画上一个三角形，把这张纸对折后描图，打开这张纸，就能得到相应的另外一个三角形．如图所示： （1）这两个三角形有什么关系？ （2）这条折痕和这两个三角形有什么关系？ （3）图中的点A和点D之间的连线和折痕有什么关系？ 【答案】（1）这两个三角形的形状、大小完全相同；（2）两个三角形关于折痕成轴对称；（3）两点的连线，被折痕垂直平分 【解析】略 【典型例题四 根据成轴对称图形的特征进行求解】 【例1】（24-25八年级上·黑龙江大庆·期末）用下面硬纸板和火柴棍制作的陀螺中，（    ）转得最稳． A． B． C． 【答案】B 【分析】本题考查了陀螺旋转稳定性与图形形状的关系，解题的关键是理解圆形的对称性对陀螺稳定性的影响（圆形具有高度的对称性，旋转时重心最稳定，陀螺也旋转最稳）．陀螺转最稳的关键在于图形的对称性，对称性越好，旋转时重心越稳定．分析各选项图形的对称性，判断哪个图形制作的陀螺旋转最稳． 【详解】解：陀螺旋转的稳定性与图形的对称性密切相关．圆形（选项B）具有完美的对称性，其各部分到中心（旋转轴位置）的距离相等，旋转时重心稳定，能使陀螺在旋转过程中保持平衡，转得最稳；而选项A的图形不规则，选项C的三角形对称性不如圆形好，旋转时重心较难保持稳定．因此，用圆形硬纸板制作的陀螺（选项B）转得最稳． 故选：B． 【例2】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知三角形与三角形关于直线m对称，那么线段关于直线m的对应线段是（    ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】B 【分析】本题考查了直线对称的性质，掌握性质是解题的关键． 本题可根据关于直线对称的两个图形的性质来确定线段关于直线的对应线段． 【详解】已知与关于直线对称， 那么与、与、与分别是对应点． 与是对应线段， 所以线段关于直线的对应线段是线段． 故选：B． 【例3】（24-25七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，直线是多边形的对称轴，若，则的度数为________． 【答案】/115度 【分析】本题考查了轴对称图形的性质．根据轴对称图形的性质求解即可． 【详解】解：根据轴对称图形的性质得， ∴故答案为：． 【例4】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，点在上，．将沿着翻折得到． （1）连接，则线段的垂直平分线是______． （2）的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，折叠的性质等，解题的关键是熟练掌握以上性质. （1）根据折叠的性质以及已知角的度数关系判断线段的垂直平分线. （2）利用三角形的内角和定理以及翻折的性质解答即可. 【详解】解：（1）将沿着翻折得到， 又 点和点都在线段的垂直平分线上， 线段的垂直平分线是 故答案为： （2），， ， ， 故答案为： 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）用笔尖扎对折的纸可以得到下面成轴对称的两个图案． (1)找出它的两组对应点、两条对应线段和两个对应角； (2)说明你找到的对应点所连线段分别被对称轴垂直平分． 【答案】(1)解：如图，对应点：点和点，点和点， 对应线段：和，和， 对应角：和，和． (2)解：如图，用刻度尺和量角器测量一下可知，，；，． 则找到的对应点所连线段和都被对称轴垂直平分． 【详解】（1）解：略． （2）解：略． 2．（25-26八年级下·山西运城·阶段检测）如图，P是内的一点，点M，N分别是点P关于的对称点，连接与分别相交于点E，F，连接． (1)若，求的周长． (2)若，求的度数． 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）根据轴对称的性质可得，，然后求出的周长； （2）根据轴对称的性质可得，，由此即可求得答案． 【详解】（1）解：、分别是点关于、的对称点， ，， △的周长， ； 的周长等于8； （2）解：如图，连接， ∵点M，N分别是点P关于的对称点， ，， ． ． 3．（24-25七年级下·广东梅州·阶段检测）如图，点P 在四边形的内部，且点P 与点M 关于对称，交 于点G，点P 与点N 关于对称，交于点H，分别交，于点E，F，连接，．若，求的周长． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，熟知轴对称的性质是解题的关键．根据轴对称的性质，将的周长转变为的长． 【详解】解：∵点P与点M关于对称，点P与点N关于对称， ∴，， ∴． 【典型例题五 台球桌面上的轴对称问题】 【例1】（24-25八年级上·江西新余·期中）如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球（球可以多次反弹），则球最后落入的球袋是（   ） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【答案】B 【分析】利用轴对称画图可得答案. 【详解】解：如图所示， 球最后落入的球袋是2号袋， 故选：B. 【点睛】此题主要考查了生活中的轴对称现象，关键是正确画出图形. 【例2】（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，球沿图中箭头方向击出后碰到桌子的边缘会反弹，其中叫做入射角，叫做反射线，如果每次的入射角总是等于反射角，那么球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的（    ） A．号袋 B．号袋 C．号袋 D．号袋 【答案】C 【分析】根据题意画出图示可直接得到答案． 【详解】解：如图所示：球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的C号袋中， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了生活中的轴对称现象，解题的关键是掌握每次的入射角总是等于反射角． 【例3】（24-25八年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，桌面上有A、B两球，若要将B球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中A球，则如图所示8个点中，可以瞄准的点有____个． 【答案】2 【分析】根据入射角等于反射角，结合网格特点即可求解． 【详解】解：如图，将B球射向桌面的点1和点6，可使一次反弹后击中A球，故可以瞄准的点有2个， 故答案为：2． 【点睛】本题考查轴对称的性质，解题关键是根据轴对称性质找到使入射角等于反射角相等的点． 【例4】（24-25八年级上·山东聊城·期中）数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为______．    【答案】 【分析】本题考查了台球桌上的轴对称问题，根据图形得出的度数，即可求出的度数．利用数形结合的思想解决问题是解题关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，、分别是的边、上的点，在上求作一点，使的周长最小，并说明你这样作的理由． 【答案】见解析 【分析】由于△PMN的周长=PM+MN+PN，而PM是定值，故只需在AC上找一点N，使MN+PN最小即可，作点P关于直线AC的对称点P′，连接MP′交直线AC于点N，则此时△MNP的周长最小． 【详解】解：作点P关于直线AC的对称点P′，连接MP′交直线AC于点N，则PN=P′N， 由于△PMN的周长=PM+MN+PN，而PM是定值，故只需在AC上找一点N，使MN+PN最小即可； ∵此时MN+PN=MN+P′N=MP′，MN+PN最小， ∴此时△PMN的周长最小，最小值等于PM+P′M． 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 2．（24-25八年级上·全国·课堂例题）如图所示，长方形是台球台面，有白、黑两球分别位于点M，N处，试问：怎样撞击白球M，才能使白球M碰撞台边反弹后击中黑球N？ 【答案】见解析 【分析】本题是日常生活中常见的台球问题，通过感知并描述台球的运动规律，想象出小球被撞击后的运动路线，可利用轴对称的性质作出图形，培养了空间观念和应用意识．要使白球M碰撞台边反弹后击中黑球N，可画点M关于的对称点，连接交于点O，则沿方向撞击白球可满足要求． 【详解】解：如图所示，画点M关于的对称点；连接交于点O，则白球M沿碰撞台边，必沿反弹击中黑球N． 理由：由轴对称性质得． 又∵， ∴． ∴白球M沿碰撞台边，必沿反弹击中黑球N． 3．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图是由相同的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．长方台球桌的顶点都是格点，台球桌上有两个小球，分别位于格点处．    (1)在图1中，先在边上画点，使，再在边上画点，使； (2)在图2中，先在边上画点，连接，使，再画一条路径，使球两次撞击台球桌边，经过两次反弹（反射角等于入射角）后，正好撞到球． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图—应用与设计作图，生活中的轴对称现象等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）取格点，连接交于点，连接，构造等腰直角三角形，取格点，连接，将平移，使点与点重合，交于，交于点，点，点即为所求； （2）作点关于的对称点，连接交一点，连接，点即为所求，作点关于的对称点，连接分别交于点，连接，路径即为所求． 【详解】（1）解：如图1中，点，点即为所求；   ， 由勾股定可得：，，，，，， ，，， 、、是等腰直角三角形， ，， 由平移的性质可得， 是等腰直角三角形， ， ； （2）解：如图2中，点即为所求，路径即为所求．   ． 【典型例题六 轴对称中的光线反射问题】 【例1】（2025·河北衡水·模拟预测）如图，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是（    ） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】B 【分析】利用轴对称变换的性质判断即可． 【详解】解：如图，过点P，点B的射线交于一点O， 故选：B． 【点睛】本题考查轴对称变换的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【例2】（2025·山西吕梁·二模）如图，为平面镜，为水面，．一束光线从点射入，经过平面镜反射后，从光线变成光线，再经过水面折射，从光线变成光线．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求角度，涉及反射性质、平行线性质、对顶角相等等知识，如图所示，由反射性质得到，再由平行线性质、对顶角相等确定，最后数形结合表示出即可得到答案．数形结合，掌握反射性质、平行线性质、对顶角相等等知识是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 由反射性质可知，， ， ，则， ， ， ， ， ， 故选：B． 【例3】（2025·湖南湘潭·模拟预测）如图，一束光沿方向，先后经过平面镜、反射后，沿方向射出，已知，，则_________． 【答案】40°/40度 【分析】根据入射角等于反射角，可得，根据三角形内角和定理求得，进而即可求解． 【详解】解：依题意，， ∵，， ， ∴， ． 故答案为：40°． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理的应用，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【例4】（24-25八年级·全国·单元复习）如图，球沿图中箭头方向击出后碰到桌子的边缘会反弹，其中叫做入射角，叫做反射角，如果每次的入射角总是等于反射角，那么球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的_______．    【答案】号袋 【分析】根据每次的入射角总是等于反射角画出球运动的路线，即可得出答案． 【详解】解：如图，球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中号袋．    故答案为：号袋． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是根据题意画出球运动的路线． 1．（2025八年级上·江苏·专题练习）如图，、是平面镜前同一发光点S发出的经平面镜反射后的反射光线，请通过画图确定发光点S的位置，并将光路图补充完整． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了轴对称作图，解题的关键是熟练掌握光在入射时，入射角等于反射角；两条入射光线的交点处是点光源所在处．作出和的入射光线，相交处即为点S所在位置． 【详解】解：如图所示： 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）茅坪民族中学八（2）班举行文艺晚会，桌子摆成两直条（如图中的，），桌面上摆满了桔子，桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到C处，请你在下图帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？ 【答案】见解析 【分析】本题意思是在上找一点D，在上找一点E，使的周长最小．如果设点C关于的对称点是M，关于的对称点是N，当点D、E在上时，的周长为，此时周长最小． 【详解】.解：①分别作点C关于OA、OB的对称点是M、N，②连接MN，分别交OA于D，OB于E． 则C→D→E→C为所求的行走路线． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，灵活运用对称性的基本性质是解题关键． 3．（24-25七年级下·江苏南通·期末）综合与实践：科学研究发现，射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等（如图1中，）．七年级某学习小组围绕该结论开展主题学习活动． 【生活案例】 （1）如图2是潜望镜工作原理示意图，潜望镜中的两面镜子，是平行放置的，光线经过镜子，两次反射后得到光线．则与的位置关系是______． 【变式思考】 （2）如图3，调整镜子，光线经过镜子，两次反射后得到光线．若，求两面镜子夹角的度数． 【拓展运用】 （3）调整图3中的镜子使，重合，并改变它们的角度，光线经过镜子，两次反射后得到光线．若，求两面镜子夹角的度数． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了平行线的判定和性质的综合应用，平角的意义，三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先根据两直线平行，内错角相等得出，再根据已知条件得出，根据内错角相等，两直线平行即可判断； （2）先根据两直线平行，同旁内角互补得出，再根据平角的意义及角的和差得出，最后根据三角形内角和定理求解即可； （3）先求出，再根据平角的意义及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：（1）理由：如图 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； 故答案为：． （2）如图 ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，即． （3）如图， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． 当时， ∴ 解得： 【典型例题七 折叠问题】 【例1】（24-25八年级上·全国·期末）如图所示，把一个正方形对折两次，沿虚线剪下，展开后所得的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题考查了折叠、展开图的问题，亲自动手操作一下，可以培养空间想象能力．此类问题只有动手操作一下，按照题意的顺序折叠，剪开，观察所得的图形，可得正确的选项． 【详解】解：按照题意，动手操作一下，可知展开后所得的图形是选项B． 故选：B． 【例2】（24-25八年级上·北京昌平·期末）如图1，将正方形纸片的，分别沿，折叠，使点A，C分别落在，处，且点与点重合． 如图2，将该纸片展平后，将，分别沿，再折叠，使点A，C分别落在上的点处和上的点处． 如图3，纸片展平后，将和分别记为和，则和的数量关系一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了图形的折叠变换及其性质；根据折叠的性质得，，，，进而得由此得，据此即可得出α与β之间的关系． 【详解】解：根据折叠的性质，结合图1可知：，， 根据折叠的性质，结合图2可知：，， ， ， ∵四边形为正方形， ， ， ． 故选：B． 【例3】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，，将沿折叠，使B与A重合，连接，则周长是______． 【答案】3 【分析】本题主要考查了折叠的性质，先根据折叠的性质得，再由周长，即可得出答案． 【详解】解：由折叠可知，， ∴周长， ∵，， ∴， 即周长是3． 故答案为：3． 【例4】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图①为一张三角形纸片，P点在上．今将点A折至P时，出现折线，其中D点在上，如图②所示．若的面积为70，的面积为45，则与的长度比为_________． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，根据折叠前后的两个三角形是全等三角形，它们的面积相等．由题意分别计算出与的面积，从而，问题可解． 【详解】解：由题意可得：， 由折叠性质可知，， ∴， ∴ ． 故答案为：． 1．（25-26七年级下·全国·期中）将长方形ABCD纸片按如图所示的方式折叠，EF，EG为折痕，试问的度数是多少？ 【思路点拨】根据折叠的性质可以得到各角之间的关系，从而可以得到的度数． 【我的解答】 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质与平角的定义，掌握折叠前后对应角相等，结合平角的定义计算角度和是解题的关键． 利用折叠的性质得到相等的角，再结合平角的定义，通过角度和的关系计算的度数． 【详解】解：由折叠可知，，． ， ． 2．（24-25七年级下·广西桂林·期末）按照国际标准，系列纸为长方形纸，其中纸的面积为．如图①，将纸沿长边对开便成了两张纸，将纸沿长边对开便成了两张纸：……，将纸沿长边对开便成了两张纸……       (1)纸的面积为__________； (2)【操作与观察】将一张纸按如图②所示的方式进行折叠：第一步：将边折叠到边上，折痕为，点落在点处，已知．第二步：再将折叠到边上，折痕为，此时与恰好重合，点落在点处．求纸的长宽之比． (3)【类比与归纳】结合上述探究，求出用纸可以裁剪出的最大正方形的面积为多少？（结果保留两位小数，参考数据：，） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键． （1）根据题意，对开面积间的关系即可求解； （2）设纸长为、宽为，依据折叠性质，结合正方形对角线与边长关系建立和的等式，求出长宽比． （3）根据长和宽的比，以及纸的面积，求出纸长和宽，推出当裁剪出的正方形的边长等于纸的宽时，面积最大，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，纸的面积为，纸的面积为, 纸的面积为； 故答案为：； （2）解：设纸的长为，宽为 第一次折叠形成一个正方形，所以， 第二次折叠得到：． 纸的长宽的比为：； （3）解：∵将纸沿长边对开便成了两张纸， ∴纸的长为纸的宽，纸的宽为纸的长度的一半， ∵纸的长宽之比 ∴纸的长宽之比． 同理可知：纸的长宽之比是， 设纸的宽为，则长为， ∵纸的面积为， ∴， ∴， ∴当用纸可以裁剪出正方形的边长等于纸的宽时，面积最大，最大值为． 3．（24-25八年级上·广东东莞·期末）综合与实践课上，老师让同学们以“利用角平分线的概念，解决有关问题”为主题开展数学活动．已知一张条形彩带，点C在边上，点M、N在边上，如图所示． (1)如图1，将彩带沿翻折，点落在处，若，则____________； (2)若将彩带沿同时向中间翻折，点落在处，点落在处； ①当点共线时，如图2，求的度数； ②当点不共线时： （i）如图3，若，求的度数； （ii）如图4，设，直接写出满足的关系式． 【答案】(1) (2)①；②（i）；（ii） 【分析】此题主要考查了图形的翻折及其性质，角的计算，准确识图，理解图形的翻折及其性质，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． （1）先根据平角定义得出的度数，再根据翻折的性质即可得出的度数； （2）①根据翻折和共线找到求解即可． ②（i）根据题意得到进行计算求解即可． （ii）根据题意得到进行计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 由翻折可得， 故答案为：； （2）解：①由翻折可得，， ∴， ②（i）， ， 由翻折可得，， ， （ii）由翻折可得，， ， ， ， ∴ ，即， ∵， ∴． 1．（24-25八年级上·江西鹰潭·阶段检测）如图四个图案中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此判断即可． 【详解】 解：A．是轴对称图形，故本选项符合题意； B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D．不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，解题的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2．（24-25八年级上·河北唐山·期末）如图，点D为的边上一点，点A关于直线的对称点E恰好在线段上，连接，若，，，则的周长是（    ）    A．13 B．15 C．17 D．18 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，熟知轴对称的性质是解题的关键． 先根据轴对称的性质得出，，进而得到得出的长，然后根据三角形的周长公式及线段的和差即可解答． 【详解】解：∵点A关于直线的对称点E恰好在线段上，连接，， ∴，，， ∴的周长． 故选：B． 3．（2025·安徽合肥·一模）如图，在四边形中，请在所给的图形中进行操作：①作点A关于的对称点P：②作射线交于点Q；③连接．试用所作图形进行判断，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D．以上三种情况都有可能 【答案】C 【解析】利用轴对称的性质以及三角形的外角的性质证明即可． 【详解】解：如图， ∵A，P关于BD对称， ∴∠AQB=∠PQB， ∵∠PCB＞∠PQB， ∴∠PCB＞∠AQB， 故选：C． 【点睛】本题考查作图-轴对称变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 4．（2025·重庆·一模）剪纸是中国的民间艺术，剪纸方法很多，如图是一种剪纸方法的图示（先将纸折叠，然后再剪，展开后即得到图案）： 下列四副图案中，不能用上述方法剪出的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称图形剪纸问题，由题意知剪出的图形一定是轴对称图形，且有两条过中心的相互垂直的对称轴，依次判断即可． 【详解】解：由题意，剪出的图形一定是轴对称图形，且有两条过中心的相互垂直的对称轴， A中，是轴对称图形，且有两条过中心的相互垂直的对称轴，所以可以剪出，故不符合题意； B中，是轴对称图形，且有两条过中心的相互垂直的对称轴，所以可以剪出，故不符合题意； C中，不是轴对称图形，所以不可以剪出，故符合题意； D中，是轴对称图形，且有两条过中心的相互垂直的对称轴，所以可以剪出，故不符合题意； 故选：C． 5．（25-26八年级上·全国·单元测试）阅读下面材料：利用折纸可以作出角平分线． 如图1，若，则．折叠长方形纸片，均是折痕，折叠后，点A落在点，点B落在点，连接． 如图2，当点在上时，； 如图3，当点在的内部时，连接，若，，的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查折叠的性质，几何图形中角度计算．根据折叠的性质可得，，再根据图3中即可求解． 【详解】解：由折叠知，，， ∵，， ∴，， 由题意知，图3中， ∴， 故选：B． 6．（24-25八年级上·北京·期中）如图，已知点，，，在一条直线上，并且，那么这两个全等三角形属于全等变换中的___． 【答案】轴对称变换 【分析】本题考查了全等三角形的性质，全等变换，解题关键是能够识别全等三角形理解全等变换的概念； 由全等三角形的性质及全等变换的意义直接解答即可． 【详解】解：∵， 有图可知：，， ， ∴这两个全等三角形属于全等变换中轴对称变换， 故答案为：轴对称变换． 7．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换．在自然界和日常生活中，存在着很多这种图形变换（如图①）．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形（如图②）的对应点所具有的性质是_____________． 【答案】对应点到对称轴的距离相等 【分析】由已知条件，根据轴对称的性质和平移的基本性质可得答案． 【详解】解：两个对应三角形的对应点所具有的性质是对应点到对称轴的距离相等． 故答案为：对应点到对称轴的距离相等． 【点睛】本题主要考查了轴对称及平移的性质，正确把握对应点之间关系是解题的关键． 8．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，，点M、N分别在射线OA、OB上，MN=6，△OMN的面积为12，P是直线MN上的动点，点P关于OA对称的点为，点P关于OB对称的点为，当点P在直线NM上运动时，的面积最小值为______．    【答案】8 【分析】连接，过点作交的延长线于，先利用三角形的面积公式求出，再根据轴对称的性质可得，，，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，根据垂线段最短可得当点与点重合时，取得最小值，的面积最小，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，过点作交的延长线于，    ∵，且， ∴， ∵点关于对称的点为，点关于对称的点为， ∴，，， ∵， ∴， ∴的面积为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， ∴的面积的最小值为， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解题关键． 9．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在8×4的长方形ABCD网格中，每个网格的顶点叫格点．一发光电子位于AB边上格点P处，将发光电子沿PR方向发射（其中∠PRB=45°），碰撞到长方形的BC边时发生反弹，设定此时为发光电子第1次与长方形的边碰撞（点R为第1次碰撞点）．发光电子碰撞到长方形的边时均发生反弹，若发光电子与长方形的边共碰撞了2021次，则它与AB边碰撞次数是____ 【答案】673 【分析】如图，根据反射角与入射角的定义可以在格点中作出图形，可以发现，在经过6次反射后，发光电子回到起始的位置，即可求解． 【详解】解：如图， 根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环， 经过6次反弹后动点回到出发点，且每次循环它与AB边的碰撞有2次， ∵2021÷6=336…5， 当点P第2021次碰到长方形的边时为第336个循环组后的第5次反弹， ∴它与AB边的碰撞次数是=336×2+1=673次， 故答案为：673． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键． 10．（2026七年级下·江苏·专题练习）如图，我们将每个“尖角”为，且十条边都相等的五角星称为“正五角星”，图1中的虚线将周角十等分．通过图2的折纸步骤制作一个五角星，折叠后沿着剪开，若要使得剪下来的纸片展开后是正五角星，则的大小为_________ ． 【答案】 【分析】解：根据折叠的性质及平角的定义计算即可． 【详解】解：根据折叠的性质及平角的定义分析如下： ∴， ∵， ∴， 即． 11．（24-25八年级上·全国·课堂例题）如图所示，一束光沿方向，先后经过平面镜，反射后，沿方向射出． (1)画出，． (2)若，，则________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理的应用，掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质即可作图； （2）根据入射角等于反射角，可得，，根据三角形内角和定理求得，进而即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，，即为所求， ； （2）解：由轴对称的性质可知． 在中，． 由轴对称性质，得． 故答案为：． 12．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）如图，点在的内部，点和点关于直线对称，点关于直线的对称点是点，连接交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据轴对称的性质，可知，，可以求出的度数； （2）根据轴对称的性质，可知，，根据周长定义可以求出的周长． 【详解】（1）解：点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ， ∴ ； （2）解：点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ， ， ， 即的周长为． 13．（24-25八年级上·北京·期中）如图，长方形台球桌上有两个球P，Q．    (1)请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边反弹后，正好撞到球Q； (2)请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边，经过两次反弹后，正好撞到球Q． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作点P关于是对称点，连接′交于M，点M即为所求． （2）作点P关于是对称点，点Q关于的对称点，连接交于E，交于F，点E，点F即为所求． 【详解】（1）解：如图，运动路径：，点M即为所求．    （2）解：如图，运动路径：，点E，点F即为所求．    【点睛】本题考查轴对称的应用，解题的关键是学会利用轴对称解决实际问题． 14．（25-26七年级下·全国·期中）如下图，已知四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称，，，． (1)试写出EF，AD的长度． (2)求的度数． (3)连接BF，线段BF与直线MN有什么关系？ 【答案】(1)， (2) (3)直线MN垂直平分线段BF 【分析】本题考查了轴对称，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键； （1）（2）（3）根据轴对称的性质即可得出相关信息． 【详解】（1）解：∵四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称， ，， ，． （2）解：∵四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称， ， ∴． （3）解：∵对称轴垂直平分对应点的连线， ∴直线MN垂直平分线段BF． 15．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）折纸中的数学（题中所有角都是指小于的角） 【问题情境】动手折叠若干张长方形纸片来研究折纸的过程中角的变化，在长方形纸片的边上找到一个异于A，D的点E，连接，，将纸片分别沿，折叠，点A落在点F处，点D落在点G处． (1)【问题初探】如图（1），若点F在线段上，直接写出 °； (2)【问题再探】如图（2）、（3），当E，F，G三点不共线时，若，请在图（2）、（3）中选取一个，求出的度数（用含β的代数式表示）； (3)【问题深探】如图（4），在边上取一点M，连接，将纸片沿折叠，点A落在点H处，当点M在边上移动到使时，若，直接写出和的数量关系． 【答案】(1)90 (2)选择图（2）：；选择图（3） (3)或 【分析】（1）根据折叠可得：，，再根据，即可得出答案； （2）设，，根据图形中角度关系求出，根据求出结果即可； （3）分两种情况讨论：当在下方时，当在上方时，分别画出图形，进行求解即可． 【详解】（1）解：根据折叠可得：，， ∵， ∴； （2）解：选图（2），由折叠可知：，， 设，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴ ； 选图（3），由折叠可知，， 设，， ∵， ∴， 即， ∴ ； （3）解：如图，当在下方时， 由折叠可知：，， 设，则， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴； 如图，当在上方时， 由折叠可知：，， 设，则， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴； 综上，或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 轴对称及其性质（3大知识点+7大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 轴对称图形的识别 典型例题二 成轴对称的两个图形的识别 典型例题三 根据成轴对称图形的特征进行判断 典型例题四 根据成轴对称图形的特征进行求解 典型例题五 台球桌面上的轴对称问题 典型例题六 轴对称中的光线反射问题 典型例题七 折叠问题 知识点01 轴对称图形与对称轴 1.定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 2.判断一个图形是不是轴对称图形，可利用轴对称图形的定义，将图形对折，看是否能够完全重合，若能够完全重合，则这个图形是轴对称图形，否则这个图形不是轴对称图形． 【注意】 （1）对称轴是一条直线，而不是射线或线段． （2）一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条，还可以有无数条． （3）轴对称图形是对于一个图形而言的，它表示具有一定特性（轴对称性）的某一类图形． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·全国·期中）下列图形中，不是轴对称图形的是（     ）． A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）下列图案是轴对称图形的有 ___个． 知识点02 两个图形成轴对称 1．轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点． 轴对称和轴对称图形的区别与联系 名称 关系 轴对称 轴对称图形 区别 意义不同 两个图形之间的特殊位置关系 一个形状特殊的图形 图形个数 两个图形 一个图形 对称轴的位置不同 可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边（点） 一定经过这个图形 对称轴的数量 只有一条 有一条或多条 联系 （1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 （2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称 【即时训练】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，成轴对称的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 2．（25-26七年级下·河南开封·期末）如图，与关于直线l对称，下列所连线段中，不能被直线l垂直平分的是（     ） A． B． C． D． 知识点03 两个图形成轴对称和轴对称图形的性质 （1）两个图形成轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． （2）轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． （3）轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等． （4）成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是轴对称图形． 【即时训练】 1．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，与交于点，和关于直线对称，点，的对称点分别是点、、下列结论不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知点C是线段上的一点，与关于直线成轴对称，则_________，这两个三角形的对应边是_________与_________，_________与_________，_________与_________；对应角是_________与_________，_________与_________，_________与_________． 【典型例题一 轴对称图形的识别】 【例1】（2026·广西玉林·二模）以下是物理常见的元器件的符号，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2026七年级下·全国·专题练习）下列图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【例3】（2025八年级上·全国·专题练习）在英文大写字母A、E、M、S、U、P中是轴对称图形的是______． 【例4】（24-25八年级上·江西赣州·期中）我们知道圆、线段都是轴对称图形，请再写出一个是轴对称图形的几何图形名称___________． 1．（25-26七年级下·全国·单元复习）组成学习小组，以“中国传统文化中的轴对称”为主题，分专题搜集一些我国传统建筑和艺术作品中的轴对称，并以适当形式进行展示交流． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列汉字中，哪些可以看成轴对称图形？请你再找出几个类似的汉字． 3．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）有四张大小、形状完全相同的卡片，分别画有如图所示的图形．从中任意抽取一张，记下图形的名称后，放回、搅匀，再任意抽取一张．求两次抽取的卡片上的图形都是轴对称图形的概率． 【典型例题二 成轴对称的两个图形的识别】 【例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）观察下列4组图形，其中，关于直线l成轴对称的是（    ）． A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）下列各图形中，从图形Ⅰ到图形Ⅱ一定不能通过轴对称得到的是（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）下图中各组图形，成轴对称的为_____（只写序号①，②等）． 【例4】（24-25八年级下·全国·课前预习）把一个图形沿着_______折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形_______关于这条直线_________．这条直线叫做_________．折叠后重合的点叫对应点，也叫_______． 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，和关于直线成轴对称，请写出对应角和对应线段． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知是由经过平移得到的，是否还可以看作由经过轴对称得到？ 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是BC边上的点，连接AD，AE，以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD′E，连接D′C，若BD=CD′； （1）求证：△ABD≌△ACD′； （2）若∠BAC=120°，求∠DAE的度数． 【典型例题三 根据成轴对称图形的特征进行判断】 【例1】（24-25八年级上·广西河池·期中）如图，与关于直线对称，P为上任一点，下列结论中错误的是（   ） A．直线、的交点不一定在上 B．是等腰三角形 C．与面积相等 D．垂直平分 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）把一张正方形纸片如图对折两次后，再挖去一个正方形小孔，则展开后的图形是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级下·广东茂名·期末）已知点P与点关于直线m成轴对称，则与直线m的位置关系是_________． 【例4】（24-25七年级下·安徽宿州·阶段检测）如图，已知和关于直线l对称，小明观察图形得出下列结论：①；②；③直线l垂直平分线段；④直线BC和直线的交点不一定在直线l上．其中正确的结论有________（选填正确的序号）．    1．（25-26七年级下·全国·课后作业）在图形中标出点、和关于直线的对称点． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，和关于直线l对称，这两个三角形全等吗？一般地，如果两个三角形全等，那么它们一定关于某条直线对称吗？ 3．（24-25八年级下·全国·课前预习）在一张半透明的纸的左边画上一个三角形，把这张纸对折后描图，打开这张纸，就能得到相应的另外一个三角形．如图所示： （1）这两个三角形有什么关系？ （2）这条折痕和这两个三角形有什么关系？ （3）图中的点A和点D之间的连线和折痕有什么关系？ 【典型例题四 根据成轴对称图形的特征进行求解】 【例1】（24-25八年级上·黑龙江大庆·期末）用下面硬纸板和火柴棍制作的陀螺中，（    ）转得最稳． A． B． C． 【例2】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知三角形与三角形关于直线m对称，那么线段关于直线m的对应线段是（    ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【例3】（24-25七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，直线是多边形的对称轴，若，则的度数为________． 【例4】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，点在上，．将沿着翻折得到． （1）连接，则线段的垂直平分线是______． （2）的度数为______． 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）用笔尖扎对折的纸可以得到下面成轴对称的两个图案． (1)找出它的两组对应点、两条对应线段和两个对应角； (2)说明你找到的对应点所连线段分别被对称轴垂直平分． 2．（25-26八年级下·山西运城·阶段检测）如图，P是内的一点，点M，N分别是点P关于的对称点，连接与分别相交于点E，F，连接． (1)若，求的周长． (2)若，求的度数． 3．（24-25七年级下·广东梅州·阶段检测）如图，点P 在四边形的内部，且点P 与点M 关于对称，交 于点G，点P 与点N 关于对称，交于点H，分别交，于点E，F，连接，．若，求的周长． 【典型例题五 台球桌面上的轴对称问题】 【例1】（24-25八年级上·江西新余·期中）如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球（球可以多次反弹），则球最后落入的球袋是（   ） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【例2】（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，球沿图中箭头方向击出后碰到桌子的边缘会反弹，其中叫做入射角，叫做反射线，如果每次的入射角总是等于反射角，那么球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的（    ） A．号袋 B．号袋 C．号袋 D．号袋 【例3】（24-25八年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，桌面上有A、B两球，若要将B球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中A球，则如图所示8个点中，可以瞄准的点有____个． 【例4】（24-25八年级上·山东聊城·期中）数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为______．    1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，、分别是的边、上的点，在上求作一点，使的周长最小，并说明你这样作的理由． 2．（24-25八年级上·全国·课堂例题）如图所示，长方形是台球台面，有白、黑两球分别位于点M，N处，试问：怎样撞击白球M，才能使白球M碰撞台边反弹后击中黑球N？ 3．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图是由相同的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．长方台球桌的顶点都是格点，台球桌上有两个小球，分别位于格点处．    (1)在图1中，先在边上画点，使，再在边上画点，使； (2)在图2中，先在边上画点，连接，使，再画一条路径，使球两次撞击台球桌边，经过两次反弹（反射角等于入射角）后，正好撞到球． 【典型例题六 轴对称中的光线反射问题】 【例1】（2025·河北衡水·模拟预测）如图，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是（    ） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【例2】（2025·山西吕梁·二模）如图，为平面镜，为水面，．一束光线从点射入，经过平面镜反射后，从光线变成光线，再经过水面折射，从光线变成光线．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【例3】（2025·湖南湘潭·模拟预测）如图，一束光沿方向，先后经过平面镜、反射后，沿方向射出，已知，，则_________． 【例4】（24-25八年级·全国·单元复习）如图，球沿图中箭头方向击出后碰到桌子的边缘会反弹，其中叫做入射角，叫做反射角，如果每次的入射角总是等于反射角，那么球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的_______．    1．（2025八年级上·江苏·专题练习）如图，、是平面镜前同一发光点S发出的经平面镜反射后的反射光线，请通过画图确定发光点S的位置，并将光路图补充完整． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）茅坪民族中学八（2）班举行文艺晚会，桌子摆成两直条（如图中的，），桌面上摆满了桔子，桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到C处，请你在下图帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？ 3．（24-25七年级下·江苏南通·期末）综合与实践：科学研究发现，射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等（如图1中，）．七年级某学习小组围绕该结论开展主题学习活动． 【生活案例】 （1）如图2是潜望镜工作原理示意图，潜望镜中的两面镜子，是平行放置的，光线经过镜子，两次反射后得到光线．则与的位置关系是______． 【变式思考】 （2）如图3，调整镜子，光线经过镜子，两次反射后得到光线．若，求两面镜子夹角的度数． 【拓展运用】 （3）调整图3中的镜子使，重合，并改变它们的角度，光线经过镜子，两次反射后得到光线．若，求两面镜子夹角的度数． 【典型例题七 折叠问题】 【例1】（24-25八年级上·全国·期末）如图所示，把一个正方形对折两次，沿虚线剪下，展开后所得的图形是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·北京昌平·期末）如图1，将正方形纸片的，分别沿，折叠，使点A，C分别落在，处，且点与点重合． 如图2，将该纸片展平后，将，分别沿，再折叠，使点A，C分别落在上的点处和上的点处． 如图3，纸片展平后，将和分别记为和，则和的数量关系一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【例3】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，，将沿折叠，使B与A重合，连接，则周长是______． 【例4】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图①为一张三角形纸片，P点在上．今将点A折至P时，出现折线，其中D点在上，如图②所示．若的面积为70，的面积为45，则与的长度比为_________． 1．（25-26七年级下·全国·期中）将长方形ABCD纸片按如图所示的方式折叠，EF，EG为折痕，试问的度数是多少？ 【思路点拨】根据折叠的性质可以得到各角之间的关系，从而可以得到的度数． 【我的解答】 2．（24-25七年级下·广西桂林·期末）按照国际标准，系列纸为长方形纸，其中纸的面积为．如图①，将纸沿长边对开便成了两张纸，将纸沿长边对开便成了两张纸：……，将纸沿长边对开便成了两张纸……       (1)纸的面积为__________； (2)【操作与观察】将一张纸按如图②所示的方式进行折叠：第一步：将边折叠到边上，折痕为，点落在点处，已知．第二步：再将折叠到边上，折痕为，此时与恰好重合，点落在点处．求纸的长宽之比． (3)【类比与归纳】结合上述探究，求出用纸可以裁剪出的最大正方形的面积为多少？（结果保留两位小数，参考数据：，） 3．（24-25八年级上·广东东莞·期末）综合与实践课上，老师让同学们以“利用角平分线的概念，解决有关问题”为主题开展数学活动．已知一张条形彩带，点C在边上，点M、N在边上，如图所示． (1)如图1，将彩带沿翻折，点落在处，若，则____________； (2)若将彩带沿同时向中间翻折，点落在处，点落在处； ①当点共线时，如图2，求的度数； ②当点不共线时： （i）如图3，若，求的度数； （ii）如图4，设，直接写出满足的关系式． 1．（24-25八年级上·江西鹰潭·阶段检测）如图四个图案中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河北唐山·期末）如图，点D为的边上一点，点A关于直线的对称点E恰好在线段上，连接，若，，，则的周长是（    ）    A．13 B．15 C．17 D．18 3．（2025·安徽合肥·一模）如图，在四边形中，请在所给的图形中进行操作：①作点A关于的对称点P：②作射线交于点Q；③连接．试用所作图形进行判断，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D．以上三种情况都有可能 4．（2025·重庆·一模）剪纸是中国的民间艺术，剪纸方法很多，如图是一种剪纸方法的图示（先将纸折叠，然后再剪，展开后即得到图案）： 下列四副图案中，不能用上述方法剪出的是（  ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·全国·单元测试）阅读下面材料：利用折纸可以作出角平分线． 如图1，若，则．折叠长方形纸片，均是折痕，折叠后，点A落在点，点B落在点，连接． 如图2，当点在上时，； 如图3，当点在的内部时，连接，若，，的度数是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·北京·期中）如图，已知点，，，在一条直线上，并且，那么这两个全等三角形属于全等变换中的___． 7．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换．在自然界和日常生活中，存在着很多这种图形变换（如图①）．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形（如图②）的对应点所具有的性质是_____________． 8．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，，点M、N分别在射线OA、OB上，MN=6，△OMN的面积为12，P是直线MN上的动点，点P关于OA对称的点为，点P关于OB对称的点为，当点P在直线NM上运动时，的面积最小值为______．    9．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在8×4的长方形ABCD网格中，每个网格的顶点叫格点．一发光电子位于AB边上格点P处，将发光电子沿PR方向发射（其中∠PRB=45°），碰撞到长方形的BC边时发生反弹，设定此时为发光电子第1次与长方形的边碰撞（点R为第1次碰撞点）．发光电子碰撞到长方形的边时均发生反弹，若发光电子与长方形的边共碰撞了2021次，则它与AB边碰撞次数是____ 10．（2026七年级下·江苏·专题练习）如图，我们将每个“尖角”为，且十条边都相等的五角星称为“正五角星”，图1中的虚线将周角十等分．通过图2的折纸步骤制作一个五角星，折叠后沿着剪开，若要使得剪下来的纸片展开后是正五角星，则的大小为_________ ． 11．（24-25八年级上·全国·课堂例题）如图所示，一束光沿方向，先后经过平面镜，反射后，沿方向射出． (1)画出，． (2)若，，则________． 12．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）如图，点在的内部，点和点关于直线对称，点关于直线的对称点是点，连接交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为________． 13．（24-25八年级上·北京·期中）如图，长方形台球桌上有两个球P，Q．    (1)请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边反弹后，正好撞到球Q； (2)请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边，经过两次反弹后，正好撞到球Q． 14．（25-26七年级下·全国·期中）如下图，已知四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称，，，． (1)试写出EF，AD的长度． (2)求的度数． (3)连接BF，线段BF与直线MN有什么关系？ 15．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）折纸中的数学（题中所有角都是指小于的角） 【问题情境】动手折叠若干张长方形纸片来研究折纸的过程中角的变化，在长方形纸片的边上找到一个异于A，D的点E，连接，，将纸片分别沿，折叠，点A落在点F处，点D落在点G处． (1)【问题初探】如图（1），若点F在线段上，直接写出 °； (2)【问题再探】如图（2）、（3），当E，F，G三点不共线时，若，请在图（2）、（3）中选取一个，求出的度数（用含β的代数式表示）； (3)【问题深探】如图（4），在边上取一点M，连接，将纸片沿折叠，点A落在点H处，当点M在边上移动到使时，若，直接写出和的数量关系． 学科网（北京）股份有限公司 $