第02讲 三角形的边、中线、角平分线、高（4大知识点+10大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）2026年暑假人教版八年级数学上册衔接讲义

第02讲 三角形的边、中线、角平分线、高（4大知识点+10大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 构成三角形的条件 典型例题二 确定第三边的取值范围 典型例题三 三角形三边关系的应用 典型例题四 三角形的稳定性及应用 典型例题五 根据三角形中线求长度 典型例题六 根据三角形中线求面积 典型例题七 重心的概念 典型例题八 三角形角平分线的定义 典型例题九 画三角形的高 典型例题十 与三角形的高有关的计算问题 知识点01 角平分线的定义 ①定义： 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等角的射线，叫做这个角的角平分线。 ②表示： 若射线 OC 是 ∠AOB 的角平分线，则 ∠AOC = ∠BOC = (1/2)∠AOB。 记作：OC 平分 ∠AOB。 【即时训练】 1．（26-27八年级·全国·暑假作业）如图所示，，下列结论中错误的是（    ） A．是的角平分线 B．是的角平分线 C． D．是的角平分线 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，折扇扇骨的A，B两点与扇钉C构成了，交扇骨和于D，E两点，，分别是，的角平分线，已知，则的度数为________． 知识点02 三角形的三边关系 定理：三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边。 理论依据：两点之间，线段最短。 应用技巧： 判断能否构成：只需验证较短两边之和 > 最长边即可。 求第三边范围：已知两边长 a,b ( a>b )，则第三边c的取值范围为a−b<c<a+b 。 三角形的稳定性 性质：当三角形的三边长度固定后，其形状和大小就完全确定，不易变形。 对比：四边形不具有稳定性（易变形），常通过添加对角线构成三角形来增加稳定性（如房屋人字梁、栅栏门斜钉木板、桥梁钢架）。 【即时训练】 1．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）下列各组线段中，能组成三角形的是（ ） A．2，3，4 B．3，4，8 C．5，5，10 D．2，4，7 2．（25-26八年级上·辽宁鞍山·期中）若等腰三角形边长分别为和，则该等腰三角形的腰长是___________． 知识点03 三角形的稳定性 性质：三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用. 【即时训练】 1．（2026·河南开封·模拟预测）下列正多边形中，具有稳定性的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）双人漫步机是一种有氧运动器材，通过进行心血管健康有关的有氧运动，如慢跑、快走等，可以增强人体的心肺功能，降低血压、改善血糖．这种设计应用的几何原理是_____． 知识点04 三角形的重要线段 【即时训练】 1．（25-26八年级上·广西玉林·期末）如图，若是的中线，，则的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．8 2．（25-26八年级上·北京大兴·阶段检测）如图，在中，若，，则的高与的比值是_____． 【典型例题一 构成三角形的条件】 【例1】（24-25七年级下·辽宁辽阳·期中）有下列长度的三条线段，能组成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【例2】（25-26八年级上·江西宜春·期末）已有两根木条，长分别是和，现要从下面4根木条中选一根，使3根木条组成三角形，可以选（　　） A． B． C． D． 【例3】（25-26八年级上·新疆伊犁·期中）已知等腰三角形的一边是7，周长是19，则它的腰长为________． 【例4】（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）写出一条线段的长，使它能与长为3，5的线段一起组成三角形：________ 1．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）如图，在中，，边上的中线把的周长分成和两部分，求的三边长． 2．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）小刚准备用一段长的篱笆围成三角形，用于养鸡，已知第一条边长，第二条边是第一条边的倍少． (1)请用含的式子表示第三边的长度； (2)若能围成一个等腰三角形，求这个三角形三边长． 3．（2025·江苏苏州·一模）请阅读以下材料，并完成相应任务：斐波那契（约1170 － 1250）是意大利数学家，他研究了一列非常奇妙的数：0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…这列数，被称为斐波那契数列，其特点是从第3项开始，每一项都等于前两项之和．斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用． (1)填写下表并写出通过填表你发现的规律： 项 第2项 第3项 第4项 第5项 第6项 第7项 第8项 第9项 … 这一项的平方 1 1 4 9 25 64 441 … 这一项的前后两项的积 0 2 3 10 24 168 442 … 规律： ； (2)现有长为15 cm的铁丝，要截成n（n ＞ 2）小段，每段的长度不小于1 cm，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n的最大值为 _________ ，所有小段的长度为 _________ ． 【典型例题二 确定第三边的取值范围】 【例1】（25-26八年级上·广西玉林·期末）一个三角形的两边长分别为2和5，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最大值是（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 【例2】（25-26八年级上·四川广安·期末）如图，为估计池塘两岸，两点间的距离，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，则，两点间的距离不可能是（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）已知a，b，c是的三边，其中，，且c为奇数，则c的值为________． 【例4】（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）一木工师傅现有两根木条，这两根木条的长分别为和，他要选择第三根木条，将它们钉成一个三角形木架．设第三根木条长为，则的取值范围是___________． 1．（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）已知的三边长分别为． (1)化简：； (2)若，并且最长边长是7，求第三边的取值范围． 2．（24-25七年级下·吉林长春·期末）在中，． (1)求m的取值范围． (2)若是等腰三角形，则的周长为 ． 3．（24-25八年级上·山东临沂·期中）某工厂要制作两边长分别为2米和4米，第三边长为奇数的三角形框架． (1)设计小组可以设计几种不同规格的三角形框架，为什么？ (2)设计小组成员到建材市场收集数据如下： 铁条规格/米 2 3 4 5 6 单价/（元/根） 6 8 10 15 20 根据市场能购买到的铁条制作满足上述条件的三角形框架各一个（铁条长度可以切割，但不能拼接），求最少费用． 【典型例题三 三角形三边关系的应用】 【例1】（25-26七年级下·广东揭阳·阶段检测）已知a，b，c是的三边长，则化简的结果为（     ） A． B． C． D．b 【例2】（2026·湖北武汉·二模）小红在学习完《三角形》后，她对各边长都是整数的三角形的个数进行了研究，结果如下表： 最长的边长 1 2 3 … n 三角形的个数 1 2 4 … m 若，则m的值是（     ） A．16 B．18 C．20 D．22 【例3】（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）若三角形的三边分别是3，4，，且是整数，则满足条件的三角形有___________个． 【例4】（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，，，，点是平面内一点，且满足，则的最小值是__________． 1．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，P是内的一点，连接，，求证：． 2．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知，c是的三边长． (1)已知，求c的取值范围； (2)若，且的周长不超过，求a的取值范围． 3．（25-26八年级上·安徽亳州·期末）已知的三边长分别为，，． (1)若，，满足，试判断的形状； (2)若，，且为整数，求的周长的最大值． 【典型例题四 三角形的稳定性及应用】 【例1】（25-26八年级上·云南昆明·期末）设计如图所示的手机支架，其数学原理是（   ） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．两点之间，线段最短 D．三角形是具有稳定性的图形 【例2】（25-26八年级上·山西朔州·期中）如图是一个篮球架，主框架依靠三角形结构支撑，其中蕴含的道理是（   ） A．直角三角形的两个锐角互余 B．三角形具有稳定性 C．三角形的两边之和大于第三边 D．三角形的内角和等于 【例3】（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，人字梯中间一般会设计一根“拉杆”，以增加使用梯子时的安全性，其中蕴含的数学依据______三角形的稳定性（填“是”或“不是”）． 【例4】（25-26八年级上·山东烟台·期中）如图，自行车的三角形支架；一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定．这两个日常生活实例都是利用三角形具有______． 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，工人师傅在安装木制门框时，为了防止门框变形，常常先在门框上钉上两个斜拉的木条．请说明这样做的道理 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）为使五边形木架（用5根木条钉成）不变形，哥哥准备如图①那样再钉上两根木条，弟弟准备如图②那样再钉上两根木条，哪种方法能使木架不变形？为什么？    3．（24-25八年级上·全国·课堂例题）[推理意识]如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条，要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使六边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使n边形木架不变形，至少要钉多少根木条？    (1)请完成下表： 多边形木架的边数 4 5 6 … n 至少钉木条的根数 1 … (2)要使十二边形木架不变形，至少要钉__________根木条； (3)有一个多边形木架，至少要钉18根木条，才能使它不变形，求这个多边形的边数． 【典型例题五 根据三角形中线求长度】 【例1】（24-25八年级·河南新乡·阶段检测）在中，，边上的中线把分成周长差为5的两个三角形，则的长为（   ） A．2 B．19 C．2或19 D．2或12 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，D为上一点，，E为上一点，，则下列说法不正确的是（   ） A．是的中线 B．是的中线 C．D为的中点 D．图中的对边是 【例3】（25-26七年级下·陕西渭南·期中）如图所示，是的中线，的周长为24，则的周长为__________． 【例4】（25-26八年级上·河北邢台·阶段检测）如图，在和中，，是中线，若，，则的周长比的周长长___________． 1．（25-26八年级上·全国·寒假作业）如图，在中,是边上的中线,周长比周长多的周长L为长为，求和的长． 2．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，在中，于点，平分交于点． (1)若，求的度数； (2)若是的中线，，，的周长比周长小，求的长． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图所示的是甲、乙、丙三名同学的折纸示意图． (1)甲折出的是的______． (2)乙折出的是的______． (3)丙折出的是的______． 【典型例题六 根据三角形中线求面积】 【例1】（25-26八年级上·青海西宁·期中）如图，中，，分别为，的中点，且图中阴影部分面积为4，则的面积为（   ） A．1 B．2 C．8 D．16 【例2】（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）如图所示，在四边形中，，点为对角线的中点，记，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【例3】（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，是的中线，是的中线，若的面积为16，则的面积为_____________． 【例4】（25-26八年级上·吉林通化·阶段检测）如图，在中，D是上一点，，连接，是的中线，若的面积为90，则的面积为______． 1．（25-26八年级上·山东烟台·期中）面对一般性的问题时，可以先考虑特殊情形、借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性的问题，这就是特殊化策略．特殊情形下，问题变得具体、简单、易于解决；同时，它与一般性问题关系密切，特殊问题的解决经验有可能推广到一般性问题的解决中．因此，从特殊情形出发，有助于我们发现解决问题的思路．请用特殊化策略解决下面题目：四边形的面积为16，各边中点分别为M、N、P、Q，与相交于，求图中阴影部分面积． 2．（25-26八年级上·广东中山·期中）【探究课题】三角形重心性质的探究 【课本重现】三角形三边中线的交点叫做这个三角形的重心．取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细绳从重心O处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态． 【提出问题】若的面积为m，求的面积．（用含m的式子表示） 3．（25-26八年级上·全国·单元复习）如图1，在中，是边上的中线，和的周长之差为2，且与的和为14． (1)求、的长； (2)若，E是的中点，如图2，直接写出的面积． 【典型例题七 重心的概念】 【例1】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的（　　） A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点 C．无法确定 D．三条中线的交点 【例2】（25-26七年级下·福建宁德·期中）如图是围棋棋盘的一部分，图中棋子均在棋盘的格点（网格线的交点）上，黑棋A，B，C围成，白棋D，E，F，G在中，则正好与的重心位置重合的白棋是（    ） A． B． C． D． 【例3】（25-26八年级上·河南安阳·阶段检测）三角形三条中线的交点叫_________． 【例4】（24-25八年级上·山东淄博·阶段检测）如图，是的重心，连接并延长交于，连接并延长交于．若的面积是，则四边形的面积是______． 1．（24-25八年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，点是的重心．      (1)________； (2)若，求长． 2．（24-25八年级上·广东东莞·自主招生）如图，，，分别为四边形的边，，的中点，求作边的中点．要求：仅能使用无刻度直尺，不能使用圆规，请保留作图痕迹，并写出作图方法． 3．（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，的顶点在正方形网格的格点上，请按要求画图并回答问题：    (1)请画图找出的重心点； (2)请在的边上找一点，使它与点，，中的任意两点组成的三角形的面积是面积的，说明点满足的条件并写出这个三角形． 【典型例题八 三角形角平分线的定义】 【例1】（25-26八年级上·全国·单元复习）下列说法中错误的是（    ） A．三角形的角平分线有三条 B．三角形三条角平分线交于一点 C．三角形的角平分线是射线 D．三角形的角平分线平分一个内角 【例2】（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，是边上的中线，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【例3】 （24-25八年级上·广东惠州·阶段检测）如图，在中，是角平分线，为中线，如果cm，则________；如果，则________． 【例4】（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，（1）若AM是△ABC的中线，，则______cm； （2）若AD是△ABC的角平分线，则______；若，则______； （3）若AH是△ABC的高，则△ABH是______三角形． 1．（25-26七年级下·北京·阶段检测）作图： (1)作三角形的三条角平分线； (2)作三角形的三条高． 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，是的角平分线，，交于点E，，交于点F．求证：． 3．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）证明命题“如果两条平行线被第三条直线所截，那么一对同位角的平分线互相平行”． (1)依据命题画出的图形（如图），请你把该命题用几何符号语言补充完整； 已知：__________，，分别平分__________和__________． 求证：__________． (2)证明： 【典型例题九 画三角形的高】 【例1】（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，，，，，垂足分别为点，中边上的高是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的高的是（ ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·山东淄博·阶段检测）如图所示，在中，边上的高是_______，边上的高是_______；在中，边上的高是_______；边上的高是_______；在中，边上的高是_______；边上的高是_______． 【例4】（25-26八年级上·广西崇左·阶段检测）如图，的高，交于点F，则 （1）在中，边上的高为 __； （2）在中，边上的高为 __． 1．（24-25八年级上·山东淄博·阶段检测）做出三角形的三条高． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，是等腰三角形，．试画出边上的中线和高以及的平分线．从中你发现了什么？ 3．（25-26七年级下·上海奉贤·期中）如图，已知，根据下列要求作图并回答问题： (1)画边上的高；（不要求写画法，只需写出结论即可） (2)过点画直线的垂线，垂足为； （不要求写画法，只需写出结论即可） (3)点到直线的距离是线段_________的长度． 【典型例题十 与三角形的高有关的计算问题】 【例1】（25-26七年级下·河南新乡·期中）如图，，则点到的距离为（   ） A． B．4 C． D．6 【例2】（2025·贵州遵义·一模）如图，，分别是的中线、高．已知的面积是6，，则的长是（    ）． A．4 B．6 C．8 D．12 【例3】（24-25八年级上·湖北武汉·期中）用两条直线把某三角形分割为4块，已知其中三块的面积如图所示为，请问标问号那部分的面积是______． 【例4】（2025八年级上·江西九江·专题练习）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，则．当，，时，__________． 1．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，将四边形的四条边，，，分别延长两倍至点，，，，若四边形的面积为，则四边形的面积是多少？ 2．（24-25七年级下·河南南阳·阶段检测）综合探究 (1)如图1，在中，，则的长为_____． (2)如图2，在中，，，，为的高，试分析，的数量关系． (3)如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，垂足分别为．若，求的值（用含的代数式表示）． 3．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在中,是射线上一点，过点P作，垂足分别为，过点B作，垂足为F，连接． (1)如图1，点P在边上，写出线段之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，点P在的延长线上．当时，求线段的长． 1．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）下列长度的三条线段首尾顺次连接能组成三角形的是（   ） A．2，2，3 B．2，3，5 C．3，4，7 D．4，5，11 2．（25-26八年级上·福建厦门·期末）平面图形的重心是指这个平面图形形状的匀质薄板的重心．下列图形中重心不一定在直线上的是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·山东德州·一模）如图，在中，分别是边上的中线和高．，，则的长是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·甘肃兰州·一模）如图，在四边形草坪内选取一点修建凉亭，并用小路将其与，，，四个顶点相连接，要使它到四边形四个顶点的距离之和最小，则凉亭修建地点一定在（    ） A．线段与的交点 B．线段的中点 C．线段的中点 D．四边形草坪内任意一点 5．（25-26八年级上·福建厦门·期末）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．以下图形均在正方形网格中，且各点均在格点上，则线段是的边上的高的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·宁夏银川·阶段检测）已知三角形三边长满足，且，，则的取值范围是_____． 7．（25-26八年级上·山东济宁·期中）一个三角形三条边长均为整数，其中的两边长分别为、，若第三边长为奇数，则该三角形的周长是______． 8．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图，点C为直线外一动点，，连接、，点D、E分别是、的中点，连接、相交于点G，当四边形的面积为6时，线段长度的最小值为________． 9．（25-26八年级上·辽宁铁岭·阶段检测）如图，在中，点，分别是和上的点，，，，则_______． 10．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）如图，在长方形中，厘米，厘米，四边形 的面积是9平方厘米，请问：阴影部分的面积是_______平方厘米． 11．（24-25七年级下·上海青浦·期中）三条线段的长度分别为、、，其中，且这三条线段首尾顺次连接能构成三角形． (1)、、只需要满足条件_________即可．（只填一个序号） ①；    ②；   ③． (2)若，，为整数，求构成的三角形的周长． 12．（25-26八年级上·甘肃临夏·期中）用一条长为的细铁丝围一个等腰三角形． (1)能围成一个底边长是腰长的3倍的等腰三角形吗？为什么？ (2)能围成有一边的长是的等腰三角形吗？为什么？ 13．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，是的中线，是的中线． (1)在中作边上的高． (2)若的面积为，，则点到边的距离为多少？ 14．（25-26八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）在锐角中，，P是射线上一点，过点P作，，垂足分别为D，E，过点A作，垂足为F，连接． (1)如图1，点P在边上，若，，求的长． (2)猜想并证明线段，，之间的数量关系． 15．（24-25七年级下·山西临汾·期末）课题学习：三角形的中线 在认识了三角形的三条重要线段高、角平分线、中线之后，张华同学观察自己做的图形“的边上的中线……”时，发现：线段不仅平分的边，还平分的面积． (1)探究与发现：张华的同桌思考之后，给出了以下思路和证明：过点A作边上的高，则： … … … … … … … … 所以，三角形的中线平分三角形的边，也平分三角形的面积． 请你添加张华的同桌所作的辅助线，并将其证明过程补充完整． (2)运用与实践：请你根据以上发现，解决以下问题 如图，是的中线，是的中线，的面积为40，，求的面积和点E到的距离． 如图，有一块三角形优良品种试验田，现引进四种不同的种子进行对比试验，需要将这块试验田分成面积相等的四块三角形地块．请你设计出四种不同的划分方案． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 三角形的边、中线、角平分线、高（4大知识点+10大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 构成三角形的条件 典型例题二 确定第三边的取值范围 典型例题三 三角形三边关系的应用 典型例题四 三角形的稳定性及应用 典型例题五 根据三角形中线求长度 典型例题六 根据三角形中线求面积 典型例题七 重心的概念 典型例题八 三角形角平分线的定义 典型例题九 画三角形的高 典型例题十 与三角形的高有关的计算问题 知识点01 角平分线的定义 ①定义： 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等角的射线，叫做这个角的角平分线。 ②表示： 若射线 OC 是 ∠AOB 的角平分线，则 ∠AOC = ∠BOC = (1/2)∠AOB。 记作：OC 平分 ∠AOB。 【即时训练】 1．（26-27八年级·全国·暑假作业）如图所示，，下列结论中错误的是（    ） A．是的角平分线 B．是的角平分线 C． D．是的角平分线 【答案】D 【分析】利用三角形角平分线的定义即可分析． 【详解】解：A、由，得是的角平分线，故本选项正确，不符合题意； B、由得：是的角平分线，故本选项正确，不符合题意； C、由得：，故本选项正确，不符合题意； D、由得：是的角平分线，故本选项错误，符合题意； 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，折扇扇骨的A，B两点与扇钉C构成了，交扇骨和于D，E两点，，分别是，的角平分线，已知，则的度数为________． 【答案】/度 【分析】本题考查的是三角形的角平分线的含义，根据三角形的角平分线的含义可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵，分别是，的角平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： 知识点02 三角形的三边关系 定理：三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边。 理论依据：两点之间，线段最短。 应用技巧： 判断能否构成：只需验证较短两边之和 > 最长边即可。 求第三边范围：已知两边长 a,b ( a>b )，则第三边c的取值范围为a−b<c<a+b 。 三角形的稳定性 性质：当三角形的三边长度固定后，其形状和大小就完全确定，不易变形。 对比：四边形不具有稳定性（易变形），常通过添加对角线构成三角形来增加稳定性（如房屋人字梁、栅栏门斜钉木板、桥梁钢架）。 【即时训练】 1．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）下列各组线段中，能组成三角形的是（ ） A．2，3，4 B．3，4，8 C．5，5，10 D．2，4，7 【答案】A 【分析】本题考查了三角形三边之间的关系，解题的关键是掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．根据三角形三边之间的关系，逐个判断即可． 【详解】解：A、，2，3，4能组成三角形，该选项符合题意； B、，3，4，8不能组成三角形，该选项不符合题意； C、，5，5，10不能组成三角形，该选项不符合题意； D、，2，4，7不能组成三角形，该选项不符合题意； 故选：A． 2．（25-26八年级上·辽宁鞍山·期中）若等腰三角形边长分别为和，则该等腰三角形的腰长是___________． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，以及三角形三边的关系．根据等腰三角形的性质，腰长可能为或，但需满足三角形三边关系定理，即任意两边之和大于第三边。 【详解】解：当为腰，为底时，能构成三角形，此时腰为； 当为底，为腰时，则两边和等于第三边无法构成三角形，故舍去． 故腰长是． 故答案为：． 知识点03 三角形的稳定性 性质：三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用. 【即时训练】 1．（2026·河南开封·模拟预测）下列正多边形中，具有稳定性的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据三角形和多边形（边数大于3）的性质可知， 只有三角形具有稳定性． 2．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）双人漫步机是一种有氧运动器材，通过进行心血管健康有关的有氧运动，如慢跑、快走等，可以增强人体的心肺功能，降低血压、改善血糖．这种设计应用的几何原理是_____． 【答案】三角形具有稳定性 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，根据三角形具有稳定性解答即可，正确掌握三角形的这一性质是解题的关键． 【详解】解：双人漫步机采用如图所示的三角形支架方法固定，这种方法应用的几何原理：三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 知识点04 三角形的重要线段 【即时训练】 1．（25-26八年级上·广西玉林·期末）如图，若是的中线，，则的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了中线的定义和性质，掌握三角形中线的定义和性质是解题的关键． 根据三角形中线的性质可知． 【详解】解：∵是的中线，即 ∴ ∵ ∴． 故选：D． 2．（25-26八年级上·北京大兴·阶段检测）如图，在中，若，，则的高与的比值是_____． 【答案】/0.5 【分析】此题考查三角形的面积，掌握三角形的等面积法是解题的关键．根据三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：∵在中，若，， 与是的高， ∴， ∴， 故答案为：． 【典型例题一 构成三角形的条件】 【例1】（24-25七年级下·辽宁辽阳·期中）有下列长度的三条线段，能组成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】验证两条较短边的长度和大于最长边的长度即可． 【详解】解：根据三角形三边关系，只需比较两条较短边的和与最长边的大小关系， 、∵较短边为，，最长边为，， ∴能组成三角形，符合题意； 、∵较短边为，，最长边为，， ∴不能组成三角形，不符合题意； 、∵较短边为，，最长边为，， ∴不能组成三角形，不符合题意； 、∵较短边为，，最长边为，， ∴不能组成三角形，不符合题意． 【例2】（25-26八年级上·江西宜春·期末）已有两根木条，长分别是和，现要从下面4根木条中选一根，使3根木条组成三角形，可以选（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的三边关系的应用，设第三根木条长度为，利用三角形三边关系（任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边）求出的取值范围，再从选项中选出符合范围的数值即可． 【详解】解：设第三根木条的长度为， ∵三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边， ∴， ∴， ∵选项中只有满足， 故选：B． 【例3】（25-26八年级上·新疆伊犁·期中）已知等腰三角形的一边是7，周长是19，则它的腰长为________． 【答案】6或7 【分析】本题考查等腰三角形的定义以及三角形三边长关系． 根据等腰三角形的性质，分两种情况讨论：当已知边7为腰时和当已知边7为底时，利用周长求出其他边长，并验证是否满足三角形三边关系． 【详解】解：当腰为7时，底边长为，三边分别为7、7、5，由于、、，均成立，符合三角形三边关系； 当底为7时，腰长为，三边分别为6、6、7，由于、、，均成立，符合三角形三边关系； 故腰长为6或7． 故答案为：6或7． 【例4】（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）写出一条线段的长，使它能与长为3，5的线段一起组成三角形：________ 【答案】5（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行求解即可． 【详解】解：根据三角形三边关系可知： ， 即， 则第三边可以是5， 故答案为：5． 1．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）如图，在中，，边上的中线把的周长分成和两部分，求的三边长． 【答案】各边的长为或，， 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况进行计算是解题的关键．根据三角形的中线定义可得，从而可得，然后设，，分两种情况：当时，当时，进行计算即可解答． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， 设，， 分两种情况： 当时， 即， 解得：， ∴的各边长为； 当时， 即， 解得：， ∴的各边长为，，； 综上所述：各边的长为或，，． 2．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）小刚准备用一段长的篱笆围成三角形，用于养鸡，已知第一条边长，第二条边是第一条边的倍少． (1)请用含的式子表示第三边的长度； (2)若能围成一个等腰三角形，求这个三角形三边长． 【答案】(1) (2)，， 【分析】（1）本题主要考查三角形含参数的给出周长求边长的计算问题，直接根据周长分别减去其他两边长即可直接求解． （2）本题主要考查等腰三角形中的分类讨论问题，直接用参数表示三角形的三边长，然后在令其中两边相等进行分类讨论，不重复，不漏是解题的关键． 【详解】（1）解：第二条边的长为， 第三边长为． （2）①当时，解得，三角形三边长分别为，，，不符合三角形三边的关系，舍去； ②当时，解得，三角形三边长分别为，，，不符合三角形三边的关系，舍去； ③当时，解得，三角形三边长分别为，，，符合三角形三边的关系； 综上所述，三角形三边长分别为，，． 3．（2025·江苏苏州·一模）请阅读以下材料，并完成相应任务：斐波那契（约1170 － 1250）是意大利数学家，他研究了一列非常奇妙的数：0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…这列数，被称为斐波那契数列，其特点是从第3项开始，每一项都等于前两项之和．斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用． (1)填写下表并写出通过填表你发现的规律： 项 第2项 第3项 第4项 第5项 第6项 第7项 第8项 第9项 … 这一项的平方 1 1 4 9 25 64 441 … 这一项的前后两项的积 0 2 3 10 24 168 442 … 规律： ； (2)现有长为15 cm的铁丝，要截成n（n ＞ 2）小段，每段的长度不小于1 cm，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n的最大值为 _________ ，所有小段的长度为 _________ ． 【答案】(1)169，65，从第2项起，偶数项的平方比这一项的前后两项的积大1，奇数项的平方比这一项的前后两项的积小1 (2)5；1cm、1cm、2cm、3cm、8cm 【分析】（1）观察数列得出第6项为5，第7项为8，第8项为13，可求第8项平方，根据第7项的前后两项分别为5与13，其积为5×13可得第7项，根据表格观察发现从第2项起，偶数项的平方比这一项的前后两项的积大1，奇数项的平方比这一项的前后两项的积小1即可； （2）根据三角形不能构成的条件是存在两边之和不超过第三边，利用斐波那契数列先截取1cm，1cm，2cm，再截取第4段3cm，利用线段和差求出剩余的一段8cm讨论即可． 【详解】（1）解：∵数列中第8项为13，这项的平方为169， 第6项为5，第8项为13，∴第7项的前后两项的积为5×13=65， 填表 项 第2项 第3项 第4项 第5项 第6项 第7项 第8项 第9项 … 这一项的平方 1 1 4 9 25 64 169 441 … 这一项的前后两项的积 0 2 3 10 24 65 168 442 … 根据表观察发现从第2项起，偶数项的平方比这一项的前后两项的积大1，奇数项的平方比这一项的前后两项的积小1， 故答案为：169，65，从第2项起，偶数项的平方比这一项的前后两项的积大1，奇数项的平方比这一项的前后两项的积小1； （2）解：根据三角形三边关系任意两边之和大于第三边， ∴不能构成三角形条件是存在两边之和不超过第三边， 先截取1cm，1cm，2cm， ∵1+1=2，不能构成三角形， 再取3cm 此时四段1cm，1cm，2cm，3cm，任意三段都不能构成三角形， 1+1+2+3=7cm, 15-7=8cm， 如果8cm分成任意不小于1的两段=1+7=2+6=3+5=4+4都能与前四段构成某个三角形 分成1cm与7cm ，∵1+1＞1，构成等边三角形， 分成2cm与6cm，∵2+2＞3，构成等腰三角形， 分成3cm与5cm，∵3+3＞5，构成等腰三角形， 分成4cm与4cm,∵3+4＞4，构成等腰三角形， ∴15cm的线段最多分成5段分别为1cm，1cm，2cm，3cm，8cm， ∴n最多=5，所有小段长度为1cm、1cm、2cm、3cm、8cm， 故答案为5；1cm、1cm、2cm、3cm、8cm． 【点睛】本题考查斐波那契数列的应用，认真阅读，领会含义，应用斐波那契数列解决问题，三角形三边关系，掌握斐波那契数列，三角形三边关系是解题关键． 【典型例题二 确定第三边的取值范围】 【例1】（25-26八年级上·广西玉林·期末）一个三角形的两边长分别为2和5，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最大值是（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围，再根据第三边是整数，从而求得周长最大时，对应的第三边的长． 【详解】解：设第三边长为x， 则，即， 又∵x为整数， ∴x最大为6， ∴三角形的周长最大值为， 故选：A． 【例2】（25-26八年级上·四川广安·期末）如图，为估计池塘两岸，两点间的距离，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，则，两点间的距离不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的三边关系的应用，根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边得到的取值范围，进而根据各选项数值即可求解． 【详解】解：由题意，，， ∴，即， 只有选项D中不可能是，两点间的距离，此选项符合题意， 故选：D． 【例3】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）已知a，b，c是的三边，其中，，且c为奇数，则c的值为________． 【答案】5 【分析】本题主要考查三角形三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出c的取值范围，再结合c为奇数的条件，确定c的值． 【详解】解：由三角形三边关系，得， ∵，， ∴， ∵c为整数且为奇数， ∴． 故答案为：5． 【例4】（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）一木工师傅现有两根木条，这两根木条的长分别为和，他要选择第三根木条，将它们钉成一个三角形木架．设第三根木条长为，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边关系，掌握在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 直接利用三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：由三角形三边关系定理得：，即． 故答案为：． 1．（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）已知的三边长分别为． (1)化简：； (2)若，并且最长边长是7，求第三边的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边是解答此题的关键． （1）利用三角形的三边关系得到，，，然后去绝对值符号后化简即可； （2）由，并且最长边长是7，结合三角形三边关系可得答案． 【详解】（1）解：∵的三边长分别为， ∴，，， ∴ ； （2）解：∵， ∴第三边的取值范围为，即， ∵最长边长是7， ∴． 2．（24-25七年级下·吉林长春·期末）在中，． (1)求m的取值范围． (2)若是等腰三角形，则的周长为 ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，等腰三角形的性质．熟练掌握三角形两边之和大于第三边；三角形两边之差小于第三边，等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据三角形的三边关系列出关于m的不等式，然后求解作答即可； （2）分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，，即， ∴， 解得，， ∴m的取值范围为． （2）解：∵是等腰三角形， ∴或（舍去）， ∴的周长为， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·山东临沂·期中）某工厂要制作两边长分别为2米和4米，第三边长为奇数的三角形框架． (1)设计小组可以设计几种不同规格的三角形框架，为什么？ (2)设计小组成员到建材市场收集数据如下： 铁条规格/米 2 3 4 5 6 单价/（元/根） 6 8 10 15 20 根据市场能购买到的铁条制作满足上述条件的三角形框架各一个（铁条长度可以切割，但不能拼接），求最少费用． 【答案】(1)可以设计2种不同规格的三角形框架，理由见解析 (2)最少费用为53元 【分析】本题考查三角形三边关系． （1）根据构成三角形的三边关系求出第三边的取值范围，再根据题意取值即可； （2）根据（1）的方案，代入数据计算即可． 【详解】（1）解：设第三边长为， 则，即， 第三边长为奇数规格有：3和5， 可以设计2种不同规格的三角形框架，三角形框架的边长为2，3，4或2，5，4； （2）解：由表格可得，4米的铁条每米费用最少， ∵铁条长度可以切割，但不能拼接 ∴应尽可能多的使用4米铁条，才能使费用最少， 由（1）知两种三角形框架的边长分别为：2，3，4和2，5，4，各做一个， ∴可以购买4米的3根，3米和5米的各一根，费用最少， 最少费用为：（元）． 答：购买铁条共需53元． 【典型例题三 三角形三边关系的应用】 【例1】（25-26七年级下·广东揭阳·阶段检测）已知a，b，c是的三边长，则化简的结果为（     ） A． B． C． D．b 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”判断每个绝对值内式子的正负，再去掉绝对值符号，合并同类项即可得到化简结果． 【详解】∵，，是的三边长， ∴根据三角形三边关系可得 ，，， ∴ ， ， ， ∴ ． 【例2】（2026·湖北武汉·二模）小红在学习完《三角形》后，她对各边长都是整数的三角形的个数进行了研究，结果如下表： 最长的边长 1 2 3 … n 三角形的个数 1 2 4 … m 若，则m的值是（     ） A．16 B．18 C．20 D．22 【答案】C 【分析】本题利用三角形三边关系求解，已知最长边为，设另外两边满足，根据“任意两边之和大于第三边”得到，枚举所有符合条件的整数，求和即可得到三角形总个数． 【详解】设三角形另外两边长为,，满足 ∵最长边为，根据三角形三边关系得 按的取值枚举所有情况： 当时，，可取，共个； 当时，，可取，共个； 当时，，可取，共个； 当时，，可取，共个； 当时，不存在满足条件的整数； ∴总个数． 【例3】（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）若三角形的三边分别是3，4，，且是整数，则满足条件的三角形有___________个． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的运用，熟练运用三角形三边关系确定第三边的取值范围，是做题的关键．根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边，列出不等式求解的取值范围，再取整数值即可． 【详解】解：由三角形三边关系，得： ，即； ，即； ，即（恒成立）， 所以的取值范围为， 由于是整数，因此可取 2，3，4，5，6，共5个值， 即满足条件的三角形有5个． 故答案为：5． 【例4】（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，，，，点是平面内一点，且满足，则的最小值是__________． 【答案】 【分析】本题考查三角形三边关系的应用，将转化为求的最小值，当B、C、D在同一直线上时，最小值为． 【详解】解：∵， ∴， ∴当B、C、D在同一直线上时，有最小值，最小值为， ∵， ∴的最小值为， 故答案为：16． 1．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，P是内的一点，连接，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用． 根据“三角形两边之和大于第三边”得到、，相加得到，减去得到，根据即可证明． 【详解】证明：如图，延长交于点D． 在中，根据“三角形两边之和大于第三边”有， 因为， 所以①， 在中，根据“三角形两边之和大于第三边”，有②， 将①和②相加，得：， 两边同时减去，得：， 因为， 所以．即． 2．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知，c是的三边长． (1)已知，求c的取值范围； (2)若，且的周长不超过，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形三边关系及不等式的求解，解题的关键是根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”列不等式（组）． （1）根据三边关系，列求解； （2）先根据三边关系列不等式组确定的初步范围，再结合周长不超过24的条件，进一步确定的取值范围． 【详解】（1）解：∵，， 由三角形三边关系得：，即， 答：的取值范围是． （2）解：由三角形三边关系：， 化简得，解得． 又∵周长，即， ， ，解得， 综上，， 答：的取值范围是． 3．（25-26八年级上·安徽亳州·期末）已知的三边长分别为，，． (1)若，，满足，试判断的形状； (2)若，，且为整数，求的周长的最大值． 【答案】(1)是等边三角形 (2)的周长的最大值为19 【分析】本题考查了三角形的三边关系，非负数的性质，三角形的分类． （1）根据偶次幂的非负性可得，然后问题可求解； （2）根据三角形的三边关系可得，然后问题可求解． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：∵，， ∴根据三角形三边关系可知， ∵为整数， ∴当时，的周长为最大，即为． 【典型例题四 三角形的稳定性及应用】 【例1】（25-26八年级上·云南昆明·期末）设计如图所示的手机支架，其数学原理是（   ） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．两点之间，线段最短 D．三角形是具有稳定性的图形 【答案】D 【分析】本题重点考查了三角形的稳定性，如果三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个特征，叫做三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性及其应用是解题的关键．手机支架是利用了三角形的稳定性防止抖动． 【详解】解：A、手机支架设计依据的数学道理不是两点确定一条直线，A不正确； B、手机支架设计依据的数学道理不是垂线段最短，B不正确； C、手机支架设计依据的数学道理不是两点之间，线段最短，C不正确； D、手机支架采用了三角形结构，这样设计依据的数学原理是三角形具有稳定性，D正确． 故选：D． 【例2】（25-26八年级上·山西朔州·期中）如图是一个篮球架，主框架依靠三角形结构支撑，其中蕴含的道理是（   ） A．直角三角形的两个锐角互余 B．三角形具有稳定性 C．三角形的两边之和大于第三边 D．三角形的内角和等于 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的性质在实际生活中的应用，需要根据各个选项所涉及的三角形性质，结合篮球架的结构特点进行判断． 【详解】解：A、直角三角形的两个锐角互余，这是直角三角形角的性质，与篮球架的结构和功能没有关联，故A错误； B、三角形具有稳定性，篮球架的设计正是利用了这一性质，使其能够稳定地支撑整个篮球架，故B正确； C、三角形的两边之和大于第三边，这主要是用于三角形的三边关系的判断，与篮球架的结构特点无关，故C错误； D、三角形的内角和等于，这是关于三角形内角关系的知识，与篮球架的结构和功能没有关系，故D错误； 故选：B． 【例3】（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，人字梯中间一般会设计一根“拉杆”，以增加使用梯子时的安全性，其中蕴含的数学依据______三角形的稳定性（填“是”或“不是”）． 【答案】是 【分析】本题考查了三角形的稳定性，熟知三角形具有稳定性是解题的关键． 根据三角形具有稳定性作答即可． 【详解】解：人字梯中间一般会设计一根“拉杆”，用来增加使用梯子时的安全性，其中蕴含的数学依据是三角形具有稳定性． 故答案为：是． 【例4】（25-26八年级上·山东烟台·期中）如图，自行车的三角形支架；一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定．这两个日常生活实例都是利用三角形具有______． 【答案】稳定性 【分析】本题考查了三角形的稳定性，掌握三角形的特征是解题的关键． 根据三角形具有稳定性的特征即可解答． 【详解】解：自行车的三角形支架；一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定．这两个日常生活实例都是利用三角形具有稳定性； 故答案为：稳定性． 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，工人师傅在安装木制门框时，为了防止门框变形，常常先在门框上钉上两个斜拉的木条．请说明这样做的道理 【答案】三角形具有稳定性 【分析】本题考查了三角形的稳定性“如果三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个特征，叫做三角形的稳定性”，熟练掌握三角形的稳定性是解题关键．根据三角形的稳定性求解即可得． 【详解】解：工人师傅在安装木制门框时，为了防止门框变形，常常先在门框上钉上两个斜拉的木条．这样做的道理是三角形具有稳定性． 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）为使五边形木架（用5根木条钉成）不变形，哥哥准备如图①那样再钉上两根木条，弟弟准备如图②那样再钉上两根木条，哪种方法能使木架不变形？为什么？    【答案】见解析 【分析】根据三角形具有稳定性解答即可． 【详解】解：哥哥的如图①那样钉上两根木条能使木架不变形， 因为三角形具有稳定性． 【点睛】本题考查了三角形的稳定性，理解概念是解题的关键． 3．（24-25八年级上·全国·课堂例题）[推理意识]如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条，要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使六边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使n边形木架不变形，至少要钉多少根木条？    (1)请完成下表： 多边形木架的边数 4 5 6 … n 至少钉木条的根数 1 … (2)要使十二边形木架不变形，至少要钉__________根木条； (3)有一个多边形木架，至少要钉18根木条，才能使它不变形，求这个多边形的边数． 【答案】(1)2，3， (2)9 (3)21 【分析】（1）利用三角形具有稳定性即可解答； （2）根据（1）中的结论代入计算即可求解； （3）根据（1）中的结论可知，有18根木条，则多边形的边数为，即可求解． 【详解】（1）解：如下表： 多边形木架的边数 4 5 6 … n 至少钉木条的根数 1 2 3 … 故答案为：2，3，； （2）解：（根）， ∴要使十二边形木架不变形，至少要钉上9根木条， 故答案为：9； （3）解：， ∴这个多边形的边数是21， 故答案为：21． 【点睛】本题考查三角形的稳定性，注意利用图形总结规律是解题的关键． 【典型例题五 根据三角形中线求长度】 【例1】（24-25八年级·河南新乡·阶段检测）在中，，边上的中线把分成周长差为5的两个三角形，则的长为（   ） A．2 B．19 C．2或19 D．2或12 【答案】D 【分析】本题考查了中线，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理得，再进行分类讨论以及运用数形结合思想，结合三角形的周长之间的关系进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵是的中线， ∴， 依题意，当时，如图所示： ∵边上的中线把分成周长差为5的两个三角形， ∴， ∴， ∴； 当时，如图所示： ∵边上的中线把分成周长差为5的两个三角形， ∴， ∴， ∴； 综上：的长为2或12， 故选：D 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，D为上一点，，E为上一点，，则下列说法不正确的是（   ） A．是的中线 B．是的中线 C．D为的中点 D．图中的对边是 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的中线定义，在三角形中，从三角形的一个顶点到对边中点的线段叫三角形的中线． 根据三角形的中线定义分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴是的中线，故选项A不符合题意； B、∵， ∴是的中线，故选项B不符合题意； C、∵， ∴D为的中点，故选项C不符合题意； D、在中，是的对边，故选项D符合题意； 故选：D． 【例3】（25-26七年级下·陕西渭南·期中）如图所示，是的中线，的周长为24，则的周长为__________． 【答案】26 【分析】先计算的长度，由中线的定义得，进而即可求解． 【详解】解：的周长为24， ， ， 是的中线， ， ， ， 即的周长为26． 【例4】（25-26八年级上·河北邢台·阶段检测）如图，在和中，，是中线，若，，则的周长比的周长长___________． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的中线的概念．根据三角形的中线的概念得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵在和中，，是中线， ∴， 的周长的周长 故答案为：． 1．（25-26八年级上·全国·寒假作业）如图，在中,是边上的中线,周长比周长多的周长L为长为，求和的长． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中线的性质及周长的计算，解题的关键是利用中线得出，再结合周长差得到与的关系． 根据三角形中线的定义，，所以和的周长之差也就是与的差，然后列出二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：由三角形中线可知，， ∴， 即①， ∵的周长L为长为， ∴，即②， ①②得， 解得， ②①得， 解得． 2．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，在中，于点，平分交于点． (1)若，求的度数； (2)若是的中线，，，的周长比周长小，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查的是三角形的角平分线、中线、高，熟记三角形的角平分线、中线、高的定义是解题的关键． （1）根据直角三角形的性质求出，根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义求出，进而求出； （2）根据三角形的中线的性质得到，再根据三角形周长公式计算，得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， ，， ， 平分， ， ； （2）解：是的中线， ， ， ， 的周长比周长小， ， ， ， ． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图所示的是甲、乙、丙三名同学的折纸示意图． (1)甲折出的是的______． (2)乙折出的是的______． (3)丙折出的是的______． 【答案】(1)高 (2)角平分线 (3)中线 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形高线、角平分线、中线的定义． （1）根据三角形高的定义即可判定； （2）根据三角形角平分线的定义即可判定； （3）根据三角形中线的定义即可判定． 【详解】（1）解：图甲中，由折叠可知，， ， ， ， 故甲折出的是的边上的高； （2）图乙中，由折叠可知，， 故乙折出的是的角平分线； （3）图丙中，由折叠可知，， D点是边的中点， 故丙折出的是的边上的中线． 【典型例题六 根据三角形中线求面积】 【例1】（25-26八年级上·青海西宁·期中）如图，中，，分别为，的中点，且图中阴影部分面积为4，则的面积为（   ） A．1 B．2 C．8 D．16 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的中线与面积，熟练掌握三角形的中线性质是解题关键．根据三角形的中线性质可得，，由此即可得． 【详解】解：∵为的中点，且图中阴影部分面积为4， ∴， ∵为的中点， ∴， 故选：D． 【例2】（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）如图所示，在四边形中，，点为对角线的中点，记，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，根据三角形中线平分三角形面积可得，据此可推出． 【详解】解：∵点为对角线的中点， ∴， ∴， 根据现有条件无法证明， 故选：B． 【例3】（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，是的中线，是的中线，若的面积为16，则的面积为_____________． 【答案】4 【分析】本题主要考查了三角形面积的求法和三角形的中线，根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，进而解答即可． 【详解】解：是的中线，的面积为16， ， 是的中线， ， 故答案为：4． 【例4】（25-26八年级上·吉林通化·阶段检测）如图，在中，D是上一点，，连接，是的中线，若的面积为90，则的面积为______． 【答案】30 【分析】本题考查了根据三角形中线求面积，熟练掌握三角形面积公式求出是解答本题的关键．由三角形面积关系得，，即可得出结论． 【详解】解：，， ， 是的中线， ， ， ． 故答案为：． 1．（25-26八年级上·山东烟台·期中）面对一般性的问题时，可以先考虑特殊情形、借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性的问题，这就是特殊化策略．特殊情形下，问题变得具体、简单、易于解决；同时，它与一般性问题关系密切，特殊问题的解决经验有可能推广到一般性问题的解决中．因此，从特殊情形出发，有助于我们发现解决问题的思路．请用特殊化策略解决下面题目：四边形的面积为16，各边中点分别为M、N、P、Q，与相交于，求图中阴影部分面积． 【答案】8 【分析】本题考查三角形的中线，熟练掌握三角形的中线的性质，是解题的关键，连接，根据三角形的中线平分面积即可得出结果． 【详解】解：先考虑特殊四边形的情形，当四边形为正方形或长方形时，阴影部分的总面积等于四边形面积的一半，即阴影部分的总面积等于8． 对于一般情形，连接（如图）． 因为分别是各边的中点， 所以面积，，，． 因此，阴影部分的总面积等于四边形面积的一半． 即阴影部分面积为8． 2．（25-26八年级上·广东中山·期中）【探究课题】三角形重心性质的探究 【课本重现】三角形三边中线的交点叫做这个三角形的重心．取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细绳从重心O处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态． 【提出问题】若的面积为m，求的面积．（用含m的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算，结合图形求解是解题关键． 根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可得出． 【详解】解：∵点为的重心， ∴，，分别是，，边上的中点， ，， ， ． 3．（25-26八年级上·全国·单元复习）如图1，在中，是边上的中线，和的周长之差为2，且与的和为14． (1)求、的长； (2)若，E是的中点，如图2，直接写出的面积． 【答案】(1)， (2)6 【分析】本题考查了三角形中线的性质，二元一次方程组的应用，解题的关键在于熟练掌握三角形中线性质． （1）根据三角形中线的定义，．所以和的周长之差也就是与的差，然后联立关于、的二元一次方程组，利用加减消元法求解即可． （2）先求得的面积，根据的面积的面积，的面积的面积计算即可． 【详解】（1）解：∵是边上的中线， ∴， ∴的周长的周长， 即①， 又②， ①②得， 解得， ∴， ∴和的长分别为：，； （2）解：∵，，， ∴， ∵是边上的中线，E为的中点， ∴， ， ∴． 【典型例题七 重心的概念】 【例1】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的（　　） A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点 C．无法确定 D．三条中线的交点 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的重心的概念和性质．注意数学知识在实际生活中的运用．根据题意得：支撑点应是三角形的重心．根据三角形的重心是三角形三边中线的交点． 【详解】解：∵支撑点应是三角形的重心， ∴三角形的重心是三角形三边中线的交点， 故选：D． 【例2】（25-26七年级下·福建宁德·期中）如图是围棋棋盘的一部分，图中棋子均在棋盘的格点（网格线的交点）上，黑棋A，B，C围成，白棋D，E，F，G在中，则正好与的重心位置重合的白棋是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定三边中线的交点即可得出答案． 【详解】解：由图可知边、边上的中线交于点G， 即正好与的重心位置重合的白棋是G． 【例3】（25-26八年级上·河南安阳·阶段检测）三角形三条中线的交点叫_________． 【答案】重心 【分析】本题考查了三角形的重心的概念．根据三角形的重心概念作出回答即可． 【详解】解：三角形的重心是三角形三条中线的交点． 故答案为：重心． 【例4】（24-25八年级上·山东淄博·阶段检测）如图，是的重心，连接并延长交于，连接并延长交于．若的面积是，则四边形的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查了重心的概念：重心是三角形三边中线的交点，三角形中线的性质；根据重心的概念，得到是的中线，故可得，进而推出的面积和四边形的面积相等，即可解答． 【详解】解：是的重心， 是的中线， ， 四边形的面积， 故答案为：4． 1．（24-25八年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，点是的重心．      (1)________； (2)若，求长． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查的是三角形重心的性质． （1）由点为的重心，可知是的中线，进而即可求解； （2）由三角形重心可得，进而即可求解． 掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点是解决问题的关键． 【详解】（1）解：∵点为的重心（即：点为三条中线、、的交点）， ∴，则， 故答案为：； （2）∵点为的重心，    ∴由三角形中线性质可得：，，， 则：，， ∴，， ∴， 则，即：， ∵， ∴， 2．（24-25八年级上·广东东莞·自主招生）如图，，，分别为四边形的边，，的中点，求作边的中点．要求：仅能使用无刻度直尺，不能使用圆规，请保留作图痕迹，并写出作图方法． 【答案】解：如图，点Q即为所求作的边的中点． 连接，相交于点H，连接并延长交于点O，则O是的中点． 连接，相交于点K，连接并延长交于点Q，则Q是的中点． 【详解】略 3．（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，的顶点在正方形网格的格点上，请按要求画图并回答问题：    (1)请画图找出的重心点； (2)请在的边上找一点，使它与点，，中的任意两点组成的三角形的面积是面积的，说明点满足的条件并写出这个三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析； 【分析】（1）找到的中点，连接交于点即可求解； （2）根据三角形的三条中线交于一点，找到的中点，根据任意两点组成的三角形的面积是面积的，则这个点在上． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求；    （2）解：如图所示，找到的中点，连接交于点，连接，延长交于点，    依题意，在的边上找一点，使它与点，，中的任意两点组成的三角形的面积是面积的，则满足题意， 即点要满足的条件是：经过三边的中点，且与一边平行，这个三角形是． 【点睛】本题考查了三角形中线的性质，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键． 【典型例题八 三角形角平分线的定义】 【例1】（25-26八年级上·全国·单元复习）下列说法中错误的是（    ） A．三角形的角平分线有三条 B．三角形三条角平分线交于一点 C．三角形的角平分线是射线 D．三角形的角平分线平分一个内角 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的角平分线，根据三角形角平分线的定义逐一排除即可，正确理解三角形角平分线定义是解题的关键． 【详解】解：、三角形每个内角都可作一条角平分线，原选项正确，不符合题意； 、三角形的角平分线交于三角形内的一点，原选项正确，不符合题意； 、三角形的角平分线是线段，不是射线，原选项错误，符合题意； 、三角形的角平分线平分一个内角，原选项正确，不符合题意； 故选：． 【例2】（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，是边上的中线，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三线合一，角平分线的意义，直角三角形两个锐角互余等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先利用三线合一，得到平分，，从而可利用角平分线的意义求得，再利用直角三角形两个锐角互余求得． 【详解】解：∵在中，，是边上的中线， ∴平分，， ∴， ∴， 故选：C． 【例3】 （24-25八年级上·广东惠州·阶段检测）如图，在中，是角平分线，为中线，如果cm，则________；如果，则________． 【答案】 【分析】利用三角形的中线和角平分线定义可得答案． 【详解】解：∵BE为中线，， ∴； ∵是角平分线，， ∴； 故答案为：；． 【点睛】本题考查三角形的中线、角平线的定义；理解定义是解题的关键． 【例4】（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，（1）若AM是△ABC的中线，，则______cm； （2）若AD是△ABC的角平分线，则______；若，则______； （3）若AH是△ABC的高，则△ABH是______三角形． 【答案】 6 ∠BAC 53° 直角 【分析】（1）根据三角形的中线是三角形的一个顶点与它对边的中点所连的线段求解即可； （2）根据三角形的角平分线平分它对应的内角求解即可； （3）根据三角形的高线定义得到∠AHB=90°，再根据直角三角形的定义即可判断； 【详解】解：（1）∵AM是△ABC的中线，， ∴BM=CM= BC=6cm， 故答案为：6； （2）∵若AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAD=∠DAC= ∠BAC， ∵∠BAC=106°， ∴∠DAC=53°， 故答案为：∠BAC，53°； （3）∵AH是△ABC的高， ∴∠AHB=90°， ∴△AHB直角三角形， 故答案为：直角． 【点睛】本题考查三角形的角平分线、中线和高线，熟知三角形的角平分线、中线和高线的定义是解答的关键． 1．（25-26七年级下·北京·阶段检测）作图： (1)作三角形的三条角平分线； (2)作三角形的三条高． 【答案】(1) 见解析 (2) 见解析 【分析】（1）利用量角器和直尺作三角形的三条角平分线； （2）利用三角板和直尺作出三角形的三条高． 【详解】（1）解：如图，为三角形的三条角平分线； （2）解：如图，为三角形的三条高． 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，是的角平分线，，交于点E，，交于点F．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的内错角相等是解题的关键．通过分析图形中的平行线和角平分线，利用平行线的内错角相等，以及角平分线将一个角分成两个相等的角的定义，逐步推导出结论． 【详解】证明：是的角平分线， ． ， ． ， ， ． 3．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）证明命题“如果两条平行线被第三条直线所截，那么一对同位角的平分线互相平行”． (1)依据命题画出的图形（如图），请你把该命题用几何符号语言补充完整； 已知：__________，，分别平分__________和__________． 求证：__________． (2)证明： 【答案】(1)，，， (2)见解析 【分析】此题考查了平行线的判定，解题的关键是：熟记同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行． （1）根据题意写出已知，求证即可； （2）此命题为真命题，根据平行线的性质得到，由角平分线的定义得到，等量代换得到，于是得到结论． 【详解】（1）解：已知，分别平分和，则 故答案为：，，， ； （2）证明：， ， 分别平分和， ， ， ． 【典型例题九 画三角形的高】 【例1】（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，，，，，垂足分别为点，中边上的高是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：中边上的高是． 【例2】（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的高的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据高是过顶点垂直底面的线段即可判断解答． 本题考查了三角形的角平分线、中线和高的定义，熟练掌握三角形的角平分线、中线和高的定义是解题的关键． 【详解】解：A、将沿折叠后，并不垂直，故此不是的高， B、将沿折叠后，并不垂直，故此不是的高， C、将沿折叠后，垂直，故此是的高， D、将沿折叠后，并不垂直，故此不是的高， 综上所述：C选项符合题意， 故选：C 【例3】（24-25八年级上·山东淄博·阶段检测）如图所示，在中，边上的高是_______，边上的高是_______；在中，边上的高是_______；边上的高是_______；在中，边上的高是_______；边上的高是_______． 【答案】 【分析】根据三角形的高的定义即可求出答案． 【详解】解：根据三角形的高的定义：三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，这点和垂足之间的线段是三角形的这边上的高， 得出：在中，边上的高是，边上的高是；在中，边上的高是；边上的高是；在中，边上的高是；边上的高是． 故答案为：，，，，，． 【点睛】本题主要考查对三角形的高的定义的理解和掌握，能区分一条线段是否是三角形的高是解此题的关键． 【例4】（25-26八年级上·广西崇左·阶段检测）如图，的高，交于点F，则 （1）在中，边上的高为 __； （2）在中，边上的高为 __． 【答案】 / / 【分析】本题考查了三角形的高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 根据三角形的高的定义作答即可． 【详解】解：（1）在中，边上的高为． 故答案为：； （2）在中，边上的高为． 故答案为：． 1．（24-25八年级上·山东淄博·阶段检测）做出三角形的三条高． 【答案】作图见解析． 【分析】本题考查了画三角形的高，利用基本作图，分别过三个顶点作对边的垂线即可，熟练掌握三角形的高的概念是解题的关键． 【详解】解：如图，过作，交延长线于点； 过作，交于点； 过作，交延长线于点； ∴即为所求． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，是等腰三角形，．试画出边上的中线和高以及的平分线．从中你发现了什么？ 【答案】解：边上的中线和高以及的平分线，作图如图， 由图可知等腰三角形底边上的中线、高以及顶角的角平分线重合． 【分析】用直尺、量角器便可作出中线、高线及角平分线，观察三条线的位置关系即可． 【详解】略． 3．（25-26七年级下·上海奉贤·期中）如图，已知，根据下列要求作图并回答问题： (1)画边上的高；（不要求写画法，只需写出结论即可） (2)过点画直线的垂线，垂足为； （不要求写画法，只需写出结论即可） (3)点到直线的距离是线段_________的长度． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】（1）延长，以为半径，点C为圆心作圆弧交直线于点G，再分别以A、G为圆心，以大于一半的长度为半径画圆弧，两弧交于点F，连接，交于点D，问题得解； （2）按照（1）的方法作答即可； （3）根据点到直线的距离的定义作答即可． 【详解】（1）解：边上的高如图所示： （2）解：过点画直线的垂线，垂足为，如图所示： （3）解：根据作图有：， ∴点B到直线的距离是线段的长度， 【典型例题十 与三角形的高有关的计算问题】 【例1】（25-26七年级下·河南新乡·期中）如图，，则点到的距离为（   ） A． B．4 C． D．6 【答案】C 【分析】利用直角三角形的两种面积表示方法，通过列等式求出点到的距离． 【详解】解：设点到的距离为 ， ． ， ． ． ． 【例2】（2025·贵州遵义·一模）如图，，分别是的中线、高．已知的面积是6，，则的长是（    ）． A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形面积的求解，解题的关键是熟记三角形面积公式：． 由，代入可得，再由是的中线即可得即可求解． 【详解】，分别是的中线、高．已知的面积是6，， ， 解得， 即． 故选：C． 【例3】（24-25八年级上·湖北武汉·期中）用两条直线把某三角形分割为4块，已知其中三块的面积如图所示为，请问标问号那部分的面积是______． 【答案】 【分析】本题主要考查的知识点是三角形面积与线段比例的关系．根据两条直线分割三角形形成四个小三角形时，等高三角形的面积比等于其底边之比，通过连接辅助线，设未知数、利用三角形面积的比例关系列出方程，求解分割后未知区域的面积． 【详解】解：如图，连， 设、的面积为和， 根据面积比例关系列方程： 则，即 化简得①， 又∵， 化简得②， 将①代入②得， 解得 ∴， ∴． 故答案为：． 【例4】（2025八年级上·江西九江·专题练习）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，则．当，，时，__________． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的新定义题目，根据计算得出的长，再由计算即可得解，理解新定义是解此题的关键． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， 故答案为：． 1．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，将四边形的四条边，，，分别延长两倍至点，，，，若四边形的面积为，则四边形的面积是多少？ 【答案】60 【分析】利用三角形的面积公式，找到三角形之间的关系，根据四边形的面积是5，只要求出，，和四个三角形的面积之和再减去四边形的面积，即可解决问题． 【详解】解：连接， ∵和的高相等，的底边是底边的2倍， ∴的面积是的面积的2倍， ∵和的高相等，的底边是底边的2倍， ∴的面积是面积的2倍， ∴的面积是面积的4倍， ∵和的高相等，的底边是底边的2倍， ∴的面积是面积的2倍， ∵和的高相等，的底边是底边的2倍， ∴的面积是面积的2倍，和底边的比是， ∴的面积是面积的3倍， ∵和的高相等，的底边是底边的2倍， ∴的面积是面积的2倍， ∴的面积是面积的6倍， ∴的面积是面积的9倍， 同理，得的面积是面积的4倍，的面积是面积的9倍， ∴， ∴． 2．（24-25七年级下·河南南阳·阶段检测）综合探究 (1)如图1，在中，，则的长为_____． (2)如图2，在中，，，，为的高，试分析，的数量关系． (3)如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，垂足分别为．若，求的值（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3)m 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的面积，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型． （1）利用面积法求出即可． （2）利用面积法求出高与的比即可． （3）利用面积法求出，可得结论． 【详解】（1）解：在中，， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：，，， ， ， 又， ， 即． 3．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在中,是射线上一点，过点P作，垂足分别为，过点B作，垂足为F，连接． (1)如图1，点P在边上，写出线段之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，点P在的延长线上．当时，求线段的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)6 【分析】本题考查了三角形的高及三角形面积公式的应用，解题的关键是通过分割（或拆分）三角形面积，结合三角形的高推导线段间的数量关系． （1）由题意得出，则有，再结合即可得出结论； （2）由题意得出，则有，再结合，得出，由三角形的面积求出的长，最后即可得出答案． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴，即， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴，即， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， 所以， 整理得：， 解得， ∴， 所以线段的长为6． 1．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）下列长度的三条线段首尾顺次连接能组成三角形的是（   ） A．2，2，3 B．2，3，5 C．3，4，7 D．4，5，11 【答案】A 【分析】本题考查三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，是解题的关键． 根据三角形三边关系定理，若两较小边之和大于较长边即能组成三角形，逐项验证即可． 【详解】解：A、，∴2，2，3能组成三角形．故此选项符合题意； B、，∴2，3，5不能组成三角形．故此选项不符合题意； C、，∴3，4，7不能组成三角形．故此选项不符合题意； D、，∴4，5，11不能组成三角形．故此选项不符合题意； 故选：A． 2．（25-26八年级上·福建厦门·期末）平面图形的重心是指这个平面图形形状的匀质薄板的重心．下列图形中重心不一定在直线上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查重心． 根据重心的概念，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．由作图可知，为三角形的一条中线所在的直线，重心一定在直线上，不符合题意； B．为三角形的一条高所在的直线，重心不一定在直线上，符合题意； C．组合图形关于直线对称，重心一定在直线上，不符合题意； D．点为正方形的重心，点为长方形的重心，重心一定在直线上，不符合题意． 故选：B． 3．（2026·山东德州·一模）如图，在中，分别是边上的中线和高．，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形面积公式求得，然后根据三角形中线的性质得到即可． 【详解】解：，， ， 是边上的中线， ． 4．（2026·甘肃兰州·一模）如图，在四边形草坪内选取一点修建凉亭，并用小路将其与，，，四个顶点相连接，要使它到四边形四个顶点的距离之和最小，则凉亭修建地点一定在（    ） A．线段与的交点 B．线段的中点 C．线段的中点 D．四边形草坪内任意一点 【答案】A 【分析】本题考查了两点之间线段最短和三角形三边关系，解题的关键是将四条线段分成两组，分别利用共线取等号求最小值．先分析最小时的位置，再分析最小时的位置，取两者公共点． 【详解】解：(当在线段上时取等号)， 当在线段上时，取最小值， 同理(当在线段上时取等号)， 当在线段上时，取最小值， 要使取最小值，需同时满足上述两个条件， 必须在线段上，且同时在线段上， 是线段与的交点， 故选：A． 5．（25-26八年级上·福建厦门·期末）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．以下图形均在正方形网格中，且各点均在格点上，则线段是的边上的高的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的高，中线以及等腰三角形的性质，正确判断垂直关系即可． 【详解】解：A、，，所以线段不是的边上的高； B、，，则，所以线段是的边上的高； C、，，所以线段不是的边上的高； D、与不垂直，所以线段不是的边上的高； 故选：B． 6．（24-25七年级下·宁夏银川·阶段检测）已知三角形三边长满足，且，，则的取值范围是_____． 【答案】/ 【分析】此题考查三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解，掌握三角形三边关系定理是解题的关键． 【详解】解：∵三角形三边长满足， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·山东济宁·期中）一个三角形三条边长均为整数，其中的两边长分别为、，若第三边长为奇数，则该三角形的周长是______． 【答案】 16 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形三边关系，第三边应大于两边之差且小于两边之和，结合奇偶性确定第三边长度，进而计算周长即可. 【详解】解：设第三边长为，且为奇数； 由三角形三边关系，得 ，即 ； 因此的可能整数取值为 6、7、8； 又因为为奇数，故； 故周长为 ； 故答案为 ：16 8．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图，点C为直线外一动点，，连接、，点D、E分别是、的中点，连接、相交于点G，当四边形的面积为6时，线段长度的最小值为________． 【答案】3 【分析】本题考查了三角形中线的性质、三角形面积的计算，根据点D、E分别是、的中点可得和，，通过等量代换可得，，据此计算出，由面积公式求出长，根据点到直线垂线段最短，可得最小值． 【详解】解：如图，作交的延长线于H，连接， ∵点D、E分别是、的中点， ∴， ∵点D、E分别是、的中点， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为：3． 故答案为：3． 9．（25-26八年级上·辽宁铁岭·阶段检测）如图，在中，点，分别是和上的点，，，，则_______． 【答案】36 【分析】先根据，得出，设边上的高为h ，根据三角形面积计算公式得出，最后求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴， 设边上的高为h ， ∴， ∴， ∴． 10．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）如图，在长方形中，厘米，厘米，四边形 的面积是9平方厘米，请问：阴影部分的面积是_______平方厘米． 【答案】 【分析】本题考查三角形的面积，由图可知，三角形、三角形面积的和比所求的阴影部分多算了（三角形面积与四边形面积），由此列式计算即可． 【详解】解：三角形、三角形、三角形都可以以为底，为高，故它们的面积都等于(平方厘米)， 阴影部分面积三角形面积三角形面积三角形面积四边形面积(平方厘米)． 故答案为：． 11．（24-25七年级下·上海青浦·期中）三条线段的长度分别为、、，其中，且这三条线段首尾顺次连接能构成三角形． (1)、、只需要满足条件_________即可．（只填一个序号） ①；    ②；   ③． (2)若，，为整数，求构成的三角形的周长． 【答案】(1)② (2)构成三角形的周长为13或14 【详解】（1）解：∵， ∴①和③不管构不构成三角形一定成立， 只有满足②时，这三条线段首尾顺次连接能构成三角形． （2）解：∵，，， ∴， 由（1）得，即，解得， ∴， ∵为整数， ∴或， 当时，三角形的周长为； 当时，三角形的周长为． 12．（25-26八年级上·甘肃临夏·期中）用一条长为的细铁丝围一个等腰三角形． (1)能围成一个底边长是腰长的3倍的等腰三角形吗？为什么？ (2)能围成有一边的长是的等腰三角形吗？为什么？ 【答案】(1) 不能围成一个底边长是腰长的3倍的等腰三角形，见解析 (2) 能围成有一边的长是的等腰三角形，见解析 【分析】此题主要考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，熟练掌握等腰三角形的定义，三角形三边关系是解决问题的关键． （1）设这个等腰三角形的腰长为，则底边长为，再依题意列出方程，解此方程求出x即可得出该等腰三角形的三边长，进而可作判断； （2）依题意分两种情况讨论如下：①当腰长为时，则底边长为，符合构成三角形的条件；②当底边长为时，则腰长为，符合构成三角形的条件，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）解：不能，理由： 设这个等腰三角形的底边长为，则腰长为， 依题意得， 解得， 则， ∴这个等腰三角形的各边长分别为，，， ，不能构成三角形， ∴不能围成一个底边长是腰长的3倍的等腰三角形； （2）解：能，理由： 依题意分两种情况讨论如下： ①当腰长为时，则底边长为：， 此时该等腰三角形的三边为，，， ，符合构成三角形的条件； ②当底边长为时，则腰长为：， 此时该等腰三角形的三边为，，， ，符合构成三角形的条件， 综上所述：能围成有一边的长是的等腰三角形． 13．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，是的中线，是的中线． (1)在中作边上的高． (2)若的面积为，，则点到边的距离为多少？ 【答案】(1)见解析 (2)点到边的距离为 【分析】本题主要考查了复杂作图，以及三角形中线的性质： （1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图即可； （2）首先根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分可得的面积是5，再利用三角形的面积公式进而得到的长． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：是的中线， ， 是的中线， ， 的面积为， 的面积是， ， ， ∴． 即点到边的距离为． 14．（25-26八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）在锐角中，，P是射线上一点，过点P作，，垂足分别为D，E，过点A作，垂足为F，连接． (1)如图1，点P在边上，若，，求的长． (2)猜想并证明线段，，之间的数量关系． 【答案】(1) (2)或者，证明见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的面积，掌握相关知识是解决问题的关键． 根据列式化简，可得，代入数据进行计算即可； （2）分类讨论，当点P在线段上时，由（1）已证得；当点P在线段的延长线上时，根据列式化简可得． 【详解】（1）解：，，， ， 即． ， ． ，， ； （2）解：或者．理由如下： 当点P在线段上时， 由（1）已证得； 当点P在线段的延长线上时， 如图， ， 即． ， ． 综上所述，或者． 15．（24-25七年级下·山西临汾·期末）课题学习：三角形的中线 在认识了三角形的三条重要线段高、角平分线、中线之后，张华同学观察自己做的图形“的边上的中线……”时，发现：线段不仅平分的边，还平分的面积． (1)探究与发现：张华的同桌思考之后，给出了以下思路和证明：过点A作边上的高，则： … … … … … … … … 所以，三角形的中线平分三角形的边，也平分三角形的面积． 请你添加张华的同桌所作的辅助线，并将其证明过程补充完整． (2)运用与实践：请你根据以上发现，解决以下问题 如图，是的中线，是的中线，的面积为40，，求的面积和点E到的距离． 如图，有一块三角形优良品种试验田，现引进四种不同的种子进行对比试验，需要将这块试验田分成面积相等的四块三角形地块．请你设计出四种不同的划分方案． 【答案】(1)见解析 (2) S△ABE＝10，E到BC的距离是4；见解析 【分析】（1）过点A作边上的高，由三角形中线的性质得到，进而得到； （2）如图所示，过点E作于点F，由三角形中线的性质得到，然后利用三角形面积公式求解即可； 根据三角形的中线平分三角形的面积求解即可． 【详解】（1）如图所示，过点A作边上的高， ∵是边边上的中线 ∴ ∴ ∴三角形的中线平分三角形的边，也平分三角形的面积． （2）如图所示，过点E作于点F， ∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴，即 ∴， ∴点E到的距离为4． 如图所示（取各边中点或中线的中点） 学科网（北京）股份有限公司 $