浙江湖州市2025-2026学年高二下学期6月期末教学质量监测数学试题

湖州市2025学年第二学期教学质量监测试卷 高二数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B A D C C B C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 题号 9 10 11 答案 AC BCD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13．4 14．； 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．解：（1），即，； ，令，， 所以，常数项是 6分 （2）当，即时，是系数为有理数的项 9分 系数为有理数的项是，，280，，． 13分 16．解：（1）在中，因为，所以， 则， ，3分 所以，5分 ．7分 （2）因为且， 所以， 在中，由正弦定理可得，10分 即，因为，故， 13分 所以．15分 17．解：（1）因为底面是菱形，所以 又因为平面，平面，所以， 平面，2分 又因为平面，平面平面，所以， 5分 （2）取中点，连接，， 因为是正三角形，所以， 底面是菱形，， 所以，8分 又，所以平面， 所以；10分 （3）因为且直线与平面所成角的大小也为， 由最小角定理得，平面与底面互相垂直． 又，平面平面，平面， 所以平面，则，12分 由（1）（2）知，，，， 所以是二面角的平面角，14分 又，， 所以，即二面角的正弦值为．15分 18．解（1）当时，，，2分 因为，，所以，切线方程是 4分 （2），6分 设， ①当时，，则必存在，当时，即单调递减，而，所以与恒成立矛盾；所以 ②当时，，所以，必存在，当时，，即单调递增，而，所以与恒成立矛盾；所以，且， 接下去分析 若，因为，，所以，存在唯一的，当时， 即单调递增，当时，，即单调递减，而，所以恒成立； 若时，，， 所以在上递增或先增后减， 由上知，恒成立． 综上，，则的最小值为．10分 （3）由（2）知，最多有两个零点，当没有零点时，在上单调， 当有一个零点时，先增后减，或先减后增，考虑到， 以上均不符合题意， 所以要在上恰一个零点，则在上有两个不等的根即可．13分 当时，，，不符合题意，15分 当时，首先且，即， 又，所以在上恰有两个不等的根， 故．17分 另解：由（2）知，当时，的必要条件是，考虑到， ①当时，则 则，又， 所以在上先减后增，则恒成立；12分 ②当时，，，所以在上先减后增，则恒成立；14分 又由（2）知，当时，时且时，恒成立；16分故当时，恰有一个零点，的取值范围是上述两种情况的补集， 即的取值范围为．17分 19．解：（1）由题知为“统计完1张选票后，甲的得票数比乙的得票数至少多1票的概率”，即第1张选票支持甲的概率，所以．2分 为“统计完3张选票后，甲的得票数比乙的得票数至少多1票的概率”， 即前3张选票中有3甲或2甲1乙的概率，因为，所以， 所以．4分 （2）法一：因为， 结合（1）中，得． 又， ， 所以， 所以，即． 法二：由题意知为“统计完5张选票后，甲的得票数比乙的得票数至少多1票的概率”，即前5张选票中有5甲、4甲1乙或3甲2乙的概率， 所以，6分 所以． 同理， ，8分 所以． 所以 9分 （3）当时，由（1）得，因为，所以，， 所以，即 10分 当时，在前次投票的基础上，再进行两次投票，甲比乙至少多得1票可以分为以下三种情况： ①若前次投票中甲得了票，再进行两次投票甲得两票，则甲比乙多得1票，其概率为； ②若前次投票中甲得了票，再进行两次投票甲得两票或一票，则甲比乙至少多得1票，其概率为； ③若前次投票中甲得了至少票，再进行两次投票无论结果如何，则甲比乙至少多得1票，其概率为． 可以求得： ， 移项并整理得 ，16分 因为，所以，， 进而． 综上，对任意正整数，，即．17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期教学质量监测试卷 高二数学 注意事项： 1．本科目考试分试题卷和答题卷，考生须在答题纸上作答． 2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．若复数满足，为虚数单位，则复数的虚部为 A．1 B．-1 C．i D．-i 3．从编号为1，2，3，4的白球和编号为5，6，7的黑球中随机选取3个球，若两种颜色的球都有，则不同的选法种数为 A．30 B．35 C．45 D．60 4．若（且，且），则下列结论不正确的是 A． B． C． D． 5．已知，若，则 A． B． C． D． 6．模长都为1的平面向量满足，则的模不可能是 A． B． C． D． 7．已知正三角形的边长是2，是的中点，将沿直线翻折，构成三棱锥，使得二面角的大小为，则该三棱锥外接球的表面积是 A． B． C． D． 8．已知函数有两个极值点，，且，记函数的导函数为，则关于的方程的不同实数根个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则 A．函数的值域为 B．函数的极小值点是 C．函数有三个单调区间 D．函数有两个零点 10．下列结论中，正确的有 A．数据1，2，4，5，6，8，9的第60百分位数为5 B．若随机变量，，则 C．已知经验回归方程为，且，，则 D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，依据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 11．袋子中有大小相同且质地均匀的白球3个，红球2个．每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，连续摸出两个球，则 A．第一次摸到红球的概率是 B．第二次摸到红球的概率是 C．在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率是 D．摸出红球个数的方差是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．正四棱台的上下底面边长分别为和，侧棱长为，则该棱台的体积为 ▲ ． 13．设函数，，若对任意的，，则 ▲ ． 14．现有一个抽奖活动，主持人将两件奖品随机放在编号为1，2，3，4，5，6的两个不同箱子中，甲从中选择了1号箱子，但暂时未打开箱子，主持人此时打开了另一个箱子（主持人知道奖品在哪个箱子，他只打开甲选择之外的一个空箱子）．记表示第号箱子有奖品，表示主持人打开第号箱子．则 ▲ ， ▲ ．（第一空2分；第二空3分） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分13分）已知二项式的展开式中，所有项的二项式系数和为256． （1）求展开式中的常数项； （2）写出展开式中所有系数为有理数的项． 16．（本题满分15分）在中，内角，，的对边分别为，，，点在边上，且，． （1）若，求的面积； （2）若，求， 17．（本题满分15分）在四棱锥中，底面是菱形，，是边长为2的正三角形，设平面与平面的交线为，直线与平面所成角的大小为． （1）证明：（ⅰ）；（ⅱ）； （2）求二面角的正弦值． 18．（本题满分17分）已知，函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）当时，不等式恒成立，求实数的最小值； （3）当时，函数恰有一个零点，求实数的取值范围． 19．（本题满分17分）某选区进行人大代表选举，候选人为甲、乙两人，每张选票仅填写一位候选人（无弃票权）．选票支持甲，则甲得1分，若支持乙，则乙得1分．设每张选票支持甲的概率为，支持乙的概率为，满足，且各张选票的投票结果相互独立．对正整数，记为“统计完张选票后，甲的得票数比乙的得票数至少多1票的概率”，为“统计完张选票后，乙的得票数比甲的得票数至少多1票的概率”． （1）求，（用表示）； （2）求的值； （3）证明：对任意正整数，． 学科网（北京）股份有限公司 $