浙江宁波市九校2025-2026学年高二下学期期末联考数学试题

宁波市2025学年期末九校联考高二数学参考答案 第二学期 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 题目 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D B A C D C C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 题目 9 10 11 答案 ACD ABD BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.√5 13.2 14.{U(5,V2+] 四、解答题：本题共5小题，共77分解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.解： (1)由频率分布直方图可得(0.016+0.024+a+0.020+0.010)×10=1, 解得a=0.03 ..3分 因为评分在(80,90]的频率为0.02×10=0.2，抽取的人数为50×0.2=10， 评分在[90,100]的频率为0.01×10=0.1，抽取的人数为50×0.1=5， 所以X的可能取值为0,1,2， 所以X的分布列为 X 0 1 2 10 2 7 27 .8分 (2)因为评分在[80,100]的频率为0.2+0.1=0.3，用频率估计概率， 则全校学生评分在[80,100]的频率为0.3， 所以Y的可能取值为0,1,2，且Y~B(2,0.3), 所以P(Y=)=C9×0.7=0.49,P(Y=1)=C×0.3×0.7=0.42,P(Y=2)=C3×0.32=0.09, 所以Y的分布列为 Y 0 1 2 P 0.49 0.42 0.09 ...13分 宁波市九校联考高二数学参考答案第1页共4页 16.解： (1)f(x)的定义域为(-1,1)，关于原点对称， 八-四，所以为奇函数 ….4分 (2)x,为∈(-1)，且x<x, 6)-f压)=，-本=--x+玉 x-1x-1(x-10号-) =(3-x)+(压-)_G5+D(3-x) (x-10x-1) (2-1(x-) 因为x2-x>0,xx2+1>0,x2-1<0,x-1<0, 所以f(x)-f(x2)>0,即f(x)>f(x2), 所以∫(x)在(-1,1)上单调递减 .9分 (3)因为f(x)为奇函数，且f(1-nm)+f1-(nm)2)<0, 故f(1-nm)<f(nm)2-),又f(x)在(-1，)上单调递减， -1<1-lnm<1 所以{-1<(nm)2-1<1,解得0<nm<1,即1<m<e, 1-Inm>(Imm)2-1 所以不等式的解集为(1，e) .15分 17.解： (1)因为长方体ABCD-ABC1D,且AB=BC, 所以CC1⊥平面ABCD,且BD⊥AC, 因为BDc平面ABCD,所以CC1⊥BD, 因为ACc平面ACC,CC,c平面ACC, 且AC∩CC1=C,所以BD⊥平面4CC, 因为ACc平面ACC,所以BD⊥AC .4分 (2)以D为原点，DA,DC,DD所在直线分别为xz轴建立空间直角坐标系 则A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A(2,0,3),C(0,2,3), 设AE=t(0≤t≤2)，则E(2,1,0), BC=(-2,0,3),AC=(-2,2,-3),4E=(0,1,-3) 设平面ACE的法向量为i=(x,y,),则： n·AC=-2x+2y-3z=0 n4E=y-3z=0 令z=2t,解得y=6,x=6-31,故i=(6-31,6,21) 因为BCII平面ACE,所以BC·n=0. 即-2(6-3t)+0+3(20)=0,解得t=1. 所以线段AE的长度为1 .9分 (3)由(1)知1=1，E(2,1,0),A(2,0,3),平面ACE的法向量i=(3,6,2), 宁波市九校联考高二数学参考答案第2页共4页 底面正方形ABCD的内切圆圆心为O1,1,O),半径r=1 设内切圆上的点P坐标为：P(1+cos0,1+sin0,0),0e[0,2), 则4P=(-1+cos0,1+sin0,-3), 所以4P.i=(-1+cos0)×3+(1+sin0)×6+(-3)×2=3cos0+6sin0-3 点P到平面ACE距离d= 4P.元_3cos0+6sin0-3引3N5sin(o+0)-3 同 V32+62+22 V32+62+22 设f()=3cos0+6sin0-3,0∈[0,2m), 则f0)=35 2 5sn3 =35(sinocos0+cososin)-3 =35sn(o+0)-3,其中si咖0=5 coo-25 当sin(p+0)=-1时，f(0)取最大值，为35+3， 所以点P到平面4CE距离的最大值为d 35+335+1 …15分 7 7 ZA D B B 18.解： (1)由正弦定理及aosC+。 c=b,sin AcosC+sinc=sin B. 因为sinB=sin(A+C)=sin AcosC+cosAsinC, 1 所以sinAcosC+二C=sin AcosC+cosAsinC, 2 即2sinC=cos4sinC, D 又C∈(0，)，所以sinC>0,所以cosA=} 而A∈(0，)，所以A= 3 ..4分 (2)因为D是BC中点，所以AD=(4B+AC), 宁波市九校联考高二数学参考答案第3页共4页 所以AD=AB+ACy=4B2+AC2+2AB.4C, A 所以6=C+b+2 becos∠B4C,即B2+c2+bc=24, 又24=b2+c2+bc≥2bc+bc=3bc,当且仅当b=c=2√2时等号成立， 所以bc≤8， 所以SBc=besin A≤2W5, 即△4BC面积的最大值为2√5 ….9分 (3)因为(OA+OBAB=(OB+OC)BC=0, 所以(OA+0B(OB-04=(OB+0C)(0c-0B)=0, 所以Oi=0B,OB2=oc2,即DA=0B=l0C, 0为△ABC的外心，所以∠B0C=2∠BAC=2元，∠A0C=2 由锐角三角形可知君<∠ABC<受，则cos2∠40C∈0，)， 所以n☑80c-esz4oc引 ..17分 19.解： (1)定义状态概率：记an=P(Xn=0),bn=P(Xn=2),cn=P(Xn=4),neN 由细随分裂规则，得递推关系：41=4，+么1=c1=6+4。 初始条件：4号A=54=0 1 依次计算状态概率：b2= -日因此P,=4到=日 ，11 49 8 ..4分 1.15 (2)依次计算零状态概率：4=4+44=2十88’4=4+ 5.111 6=8+i6i6 1 _111_23 a4=a3+4b=163232 由条件概率公式， 4 5 PX,=0x4=0)-PLx=0nx=0).PCX,=0.-是-29 P(X4=0) P(X4=0)a42323 ..9分 32 (3)由数学期望定义，E(Xn)=2bn+4cn, 代入道推关系推导：E()2+c1=-2+4+6小-24+起=. 即{E(Xn)}为常数列 由E(X)=24=2x1,得E(X,)=1 ..17分 宁波市九校联考高二数学参考答案第4页共4页绝密★考试结束前 宁波市2025学年期末九校联考高二数学试题 第二学期 第I卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.己知A、B为两个随机事件，则“A、B为互斥事件”是“A、B为对立事件”的 A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件 2.已知集合U={1,2,3,则U的所有子集中的元素之和为. A.6 B.12 C.18 D.24 3.下列说法中正确的是 A.两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数r越接近于1 B.若随机变量X服从正态分布N(3,σ2)，且PX≤4)=0.7，则P(2<X<4)=0.4 C.根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到x2≈6.852，根据小概率值α=0.005的x2独 立性检验：os=7.879，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不超过0.5% D.一组数据1,1,2,3,5,8,13,21的第60百分位数为4 4.已知x+4x+7x2+7x+3=(x+m)+A(x+m)2+B(x+m)+C,则实数m= A.1 B.-1 C.2 D.-2 5.已知fx)=sin(ox+乃o>0),如果存在实数m,使得对任意的实数x,都有fm≤f(w)≤fm+1) 成立，则o的最小值为 A.1 B.2 C.π D.2π 6.在△ABC中，内角A、B、C所对的边为a、b、c,已知C=2B,b=2,c=3,则△4BC的面积为. A.3万 B.3万 C.9 D.I5万 8 4 16 16 7.现有三枚质地均匀的骰子，分别为红色、绿色和蓝色.同时抛掷这三枚骰子，己知这三枚骰子 朝上面的点数之和为15，设红色骰子掷出的点数为X,绿色骰子掷出的点数为Y,下列结论 中正确的是 A.P(X+Y=12)=P(X=6)PY=6) B.P(X=5|Y=4)=P(X=4IY=5) C.E(X+Y)=10 D.D(X+Y)=4D(X) 8.已知三棱锥P-ABC中，△ABC为正三角形，PA>PB>PC,且P在底面ABC内的射影在 △ABC的内部（不包括边界），二面角P-AB-C,二面角P-BC-A,二面角P-AC-B的 大小分别为a,B,y,则 A.a>B>y B.y>a>B C.a<y<B D.a<B<y 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知向量ā，b满足|a=1,b=L,ā+b=√3，则下列说法正确的是 A.a与6夹角为 B.d.B=-1 C.|a-b=1 2 D.a-6与6夹角为2π 宁波市九校联考高二数学试题第1页共4页 10.在四棱锥P-ABCD中底面ABCD为菱形，PA=2,AB=PB=PD=V5,AC=2√5，PC=2√2， 则下列说法正确的是 D A.异面直线PA与CD所成角的正切值为2 B.异面直线BD与PC垂直 C.直线PA与平面ABCD所成角为60° D.四棱锥P-ABCD的棱上恰有3个异于A的点M,(i=1,2,3), 使得直线AM与直线PA所成角约为牙 B 第10题图 x,0≤x≤1， 11.已知函数x)的定义域为[0，+o),且x+2)=x).当x∈[0,2)时，f(x)= 2-x,1<x<2 设k为大于1的正整数，则下列四个结论中正确的是， A.存在x∈(0,1)，使得f(2x)=x且f(3x)=x。 B.方程f(c)=x的解的个数为k C.若号为方程f)=x的解，则k的最小值为4 D.对任意有理数x。∈(0，)，存在k,使得f(c)=x 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知i是虚数单位，则1-3+7卡▲ 13.在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,A1B1=4,异面直线C1D1与A41所成角为60°，设二面 角A-AB1-D1的大小为0，则tan0=▲ 14.平面中的3个单位向量a,6,c满足a-方=「a.c]+「6.c(其中x]表示不超过实数x的最大整数)， 则Ia+b+c的取值范围是▲ 四、解答题：本题共5小题，共77分解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.在人工智能时代，教育部门积极推动A与传统教学模式的“深度融合”，实现教学模式的变 革.某校从全体学生中随机抽取50名学生对融合式教学模式实施的满意度进行评分，整理得 到如图所示的频率分布直方图 (1)在样本中，从评分大于80分的学生中随机抽取2人，用X表示其评分在[90,100]范围的人 数，求X的分布列： (2)假设用频率估计概率，从全校学生中随机抽取2人，用Y表示其评分在[80,100]范围的人 数，求Y的分布列 频率 组距个 0.024 0.020 0.016 0.010--- 5060708090100(满意度评分) 宁波市九校联考高二数学试题第2页共4页 16.已知函数/()-x且定义域为(1) (1)判断∫(x)的奇偶性，并说明理由： (2)利用单调性的定义证明：f(x)在(-1，)上单调递减： (3)求不等式f(1-lnm)+f1-(nm)2）<0的解集 17.在长方体ABCD-ABCD中，AB=BC=2,AA=3,E为棱AB上一动点. (1)求证：A,C⊥BD: (2)当BC//平面ACE时，求线段AE的长度； (3)在(2)的条件下，求底面正方形ABCD的内切圆上点P到平面ACE距离的最大值 C B 宁波市九校联考高二数学试题第3页共4页 18.设锐角三角形△4BC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,G,acosC+c=b. (1)求角A的大小： (2)若边BC上中线AD的长度为√，求VABC面积的最大值； (3)若点O为△4BC所在平面内一点，且满足(OA+OB·AB=(OB+OC)BC=0, 求sin2∠BOC-cos2∠AOC的取值范围. 19.一生物实验室进行某种细菌培养实验，假定初始时该实验拥有1个该种活性细菌，每个活性细 菌1分钟后分裂成2个细菌的概率为，死亡的概率也为)，分裂生成的新细菌亦如此，当细 菌数为0个或4个时，停止培养实验，之后细菌数不再发生变化.记第(n∈N)分钟后，该实验 室拥有此种细菌数为Xn (1)求X2=4的概率： (2)已知X4=0,求X2=0的概率； (3)求Xn的数学期望. 命题：北仑中学竺吴辉林鑫斌 审题：宁波中学洪平峰 宁波市九校联考高二数学试题第4页共4页