浙江省湖州市2024-2025学年高二下学期期末调研测试数学试卷

湖州市 2024 学年第二学期期末高二教学质量检测试卷 数学参考答案 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D C B D A C C 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分． 题号 9 10 11 答案 BC ABD ACD 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12． 10 10  13． 3 5 14． 9 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分 13 分）在二项式 2 n x x       （ *nN ）的展开式中前 3项的二项式系数和为16． （1）求展开式中所有项的二项式系数的和； （2）求含 2x 的项的系数． 解：（1）因为二项式  *2 n x n x       N 的展开式中前 3 项的二项式系数和为 16， 所以 0 1 2C C C 16nn n   ．----------------------------------------------------------------2 分 即  11 16 2 n n n     ，解得 5n  ，或 6n   (舍去)．--------------------------5 分 因此展开式中所有项的二项式系数的和为 52 32 ．---------------------------------7 分 （2） 5 2x x       的通项公式为 355 2 1 5 5 2C C 2 r rr r r r rT x xx          ．-----------9 分 令 35 2 2 r  ，解得 2r  ．------------------------------------------------------------------11 分 所以含 2x 的项的系数为 2 25C 2 40 ．---------------------------------------------------------13 分 16．（本题满分 15 分）已知三棱锥 D ABC ， ABC 是边长为 2 的正三角形， 3 DAB DAC     , 3AD  ． （1）证明： AD BC ; （2）动点 E满足 CBDE  （ R  ），求直线CE 与平面 ABD所成角的正弦值的最大值． 解：（1）证明：如图所示，取 BC中点O，连接OA，OD． 在 ACD 中， 2 2 2 2 cos 7CD AD AC AD AC CAD       ,得 7CD  ．-----2 分 同理 7BD  ． 所以CD BD ,又O为 BC中点，所以 DO BC ,---------------------------5 分 又 ABC 是正三角形，O为 BC中点，所以 AO BC , AO DO OI , 故 BC  平面 AOD , AD  平面 AOD，因此 AD BC ．-----------------7 分 （2）在 BCD 中， 2 2 6OD BD BO   , 又 3AO  , 3AD  ,所以 2 AOD   ，即DO AO , 由（1）可知平面 AOD 平面 ABC ,平面 ABC I平面 AOD AO 所以 DO 平面 ABC．------------------------------------------------------------8 分 因此建立如图所示建立空间直角坐标系， (0,0,0)O ， ( 3,0,0)A ， (0,1,0)B ， (0, 1,0)C  ， (0,0, 6)D ．----------------------------------------------------------9 分 由 CBDE  ，得 (0, 2 , 6)E  ， (0, 2 1, 6)CE   uuur , ( 3,1,0)AB   uuur , ( 3,0, 6)AD   uuur ．设平 面 ABD的法向量为 ( , , )n x y z r ，则 3 0 3 6 0 AB n x y AD n x z             uuur r uuur r 解得 2 6 1 x y z       ，即 ( 2, 6,1)n  r ．-------------------------------------------11 分 设CE 与平面 ABD所成角为 ， 则 2 2 6 1 sin 3 (2 1) 6 CE n CE n         uuur r uuur r ．----------------------------------------13 分 设 2 2 ( 1) (2 1) 6 y       ，则 2(4 1) (4 2) 7 1 0y y y       ， 由 2(4 2) 4(4 1)(7 1) 0y y y       ，得 70 24 y  ，所以 max 7 24 y  ， 此时 5 2   ，因此 max 2 6 7 7(sin ) 3 24 3     ．---------------------------15 分 17．（本题满分 15 分）在 ABC 中，内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且 tan 3 tanC B  （1）求 A的最大值； （2）若 3c a ，求 B的值． 解：（1）因为 tan tantan tan( ) 1 tan tan B CA B C B C       2 2 tan 1 3 tan B B   ．----------------------------------------------4 分 所以 tan A， tan B同号，故 tan 0A  ， tan 0B  ． 因此 2 2 3tan 1 313tan 2 3tantan tan A B BB B      ．----------------6 分 等号成立当且仅当 1 3tan tan B B  ，即 3tan 3 B  时, max 3(tan ) 3 A  最大， 因此 A的最大值为 6  ．------------------------------------------------------------8 分 （2）由题意得 sin 3 sinC A ,---------------------------------------------------9 分 故  sin 3 sin( ) 3 sin cos cos sinC B C B C B C    ．--------------------11 分 所以  sin tan 2 33 tan tan tan tan cos cos 3 3 C CB C C C B C          ． 即 1 2 3tan tan cos 3 C C B   ．------------------------------------------------------13 分 解得 3cos 2 B  ，又 B为三角形内角，故 6 B  ．-------------------------15 分 18．（本题满分 17 分）“你好！我是 DeepSeek，很高兴见到你！我可以帮你写代码，读文件， 写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”， DeepSeek从横空出世到与我们日常相伴，成 为我们解决问题的“好参谋，好助手”，AI 大模型正在改变着我们的工作和生活的方式．为了 了解不同学历人群对 DeepSeek的使用情况，随机调查了 200 人，得到如下数据（单位：人）： （1）依据小概率值 0.01  的独立性检验，能否认为 DeepSeek的使用情况与学历有关？ （2）某校组织“ AI 模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有 3道题 目，甲、乙同时依次作答， 3道试题作答完毕后比赛结束．规定：若对同一道题目，两人同 时答对或答错，每人得 0 分；若一人答对另一人答错，答对的得10分，答错的得 10 分，比 赛结束累加得分为正数者获胜，两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影 响，若甲，乙两名选手正确回答每道题的概率分别为 3 5 ， 1 2 ． （ⅰ）求比赛结束后甲获胜的概率； （ⅱ）求比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率． 附：      2 2 ( )n ad bc a b c d a c b d       ，其中 n a b c d    ．  0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 ax 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 解：（1）零假设为 0H ：DeepSeek 的使用情况与学历无关， 根据列联表中的数据，可得  22 200 65 50 35 50 4.604 6.635 100 100 115 85            ．------------3 分 依据小概率值 0.01  的独立性检验，没有充分证据推断 0H 不成立， 因此可以认为 0H 成立，即认为 DeepSeek 的使用情况与学历无关．---------------5 分 学历 使用情况 合计 经常使用 不经常使用 本科及以上 65 35 100 本科以下 50 50 100 合计 115 85 200 （2）（ⅰ）当甲，乙同时回答第  1,2,3i i  道题时，甲得分为 iX ，   3 1 310 5 2 10i P X     ，   3 1 2 1 10 5 2 5 2 2i P X       ，   2 1 110 5 2 5i P X      ． --------------------------------------------------------------8 分 比赛结束甲获胜时的得分 X 可能的取值为 10，20，30， 则   33 2730 10 1000 P X        ，   2 1 3 1 3 2720 C 2 10 200 P X          ，   2 2 1 1 3 3 3 1 1 3 27910 C C 10 2 5 10 1000 P X                   ． --------------------------------------11 分 所以比赛结束后甲获胜的概率       27 27 279 44130 20 10 1000 200 1000 1000 P P X P X P X          ．----------------12 分 （ⅱ）设 A  “比赛结束后甲获胜”，B  “比赛结束后乙答对一道题”，   2 2 1 l 1 1 3 3 2 3 1 3 3 3 1 2 1 3 1 3 243C C C C 5 10 10 5 2 5 2 5 2 10 1000 P AB                          ，------15 分 则     243 271000( | ) 441 49 1000 P AB P B A P A    ， 所以比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对 1 道题的概率为 27 49 ．-----------17 分 19.（本题满分 17 分）若函数 ( )f x 在定义域内存在两个不同的实数 21,x x ，满足 1 2( ) ( )f x f x ， 且曲线 ( )f x 在点 1( , ( ))x f x 和点 2 2( , ( ))x f x 处的切线斜率相同，则称函数 ( )f x 为“同切函数”． （1）证明：函数 3( ) 3f x x x   为“同切函数”； （2）若函数 2 1( ) ln e g x x x x ax   （ Ra ）为“同切函数”（其中 e为自然对数的底数）， 并设满足条件的两个实数为 21,x x ． （ⅰ）求实数 a的取值范围；（ⅱ）求证：   2 1 2 1 2 3 4 4 1a x x x x    ． 解：（1）假设存在 1 2,x x 满足题意，易知 2( ) 3 3f x x    ．------------------1 分 由    1 2f x f x   得 2 21 23 3 3 3x x    ， 解得 1 2 0x x  .----------------------------------------------------------------------------2 分 由    1 2f x f x 得 3 31 1 2 23 3x x x x     ， 化简得 2 2 1 1 2 2 3 0x x x x    .----------------------------------------------------------4 分 代入上式可解得， 1 23, 3x x   或 1 2 3, 3, x x   因此 ( )f x 为“同切函数”．----------------------------------------------------------6 分 （2）由题可知 2( ) ln 1 e xg x x a     ，因为 ( )g x 为“同切函数”，故存在不同的 1 2,x x （不妨设 1 20 x x  ）， 使得    21 xgxg  ，    21 xgxg  ， 即 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 ln ln e e 2 2ln 1 ln 1 e e x xx x ax x x ax x xx a x a                 ，---------------------------------------8 分 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 ln ln (1) e e (2) 2 ln ln x x x x x xa x x x x x x           （ⅰ）先证： 2 1 1 2 2 1ln ln x x x x x x    ，即证： 2 1 2 1 2 2 1 1 2 11 2 ln ln lnx x x x xx x x x xx x       ， 令 2 1 xt x  ，则由 1 20 x x  可知 1t  ，要证上式，只需证： 21 1ln 2ln ( ) 2 ln 0t t t m t t t t t         ，易知 2 2 ( 1)( ) 0tm t t      , 故 ( )m t 在 (1, ) 单调递减，所以 ( ) (1) 0m t m  ，故有 2 1 1 2 2 1ln ln x x x x x x    成立， 由上面的（2）式可得 1 2 e 2 x x  得 2 1 2 e0 4 x x  ； 由上面的（2）式可得：   2 1 2 1 ln ln1 e 2 x x x x    ，代入到（1）式中可得：    2 1 2 11 1 2 2 2 1 2 1 ln lnln ln 1 2 x x x xx x x xa x x x x           1 1 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 ln ln ln ln ln ln ln 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x           即 1 2 ln 2 x xa   ．------------------------------------------------------------------------10 分 又 2 1 2 e0 4 x x  ，因此实数 a的取值范围 2eln 24 ln 2 e a    ．-----------------------12 分 （ⅱ）因为 1 2 ln 2 x xa   ，所以 1 2 2ax x e ， 故要证   2 1 2 1 2 3 4 4 1a x x x x    ，只需证  22 2 3 4 4 1a a ae e     ， 即证  223 1 4 a ae e a   .----------------------------------------------------------14 分 设 2 23 2( ) e e ( 1) ln , 4 e a ah a a a         即证 ( ) 0,h a  2 23 3( ) e e 2( 1), ( ) e e 2( 1) 2 2 a a a ah a a M a a        令    2( ) 3e e 2 3e 2 e 1 ,a a a aM a       由 2 2ln ln e 3 a   ，得 2e 3 a  ，所以 ( ) 0M a  ( )h a 在 2ln , 3      单调递增，故 2 2 2 2( ) ln ln 2 ln 1 , e 3 3 3 h a h h                        下面证明 ln 1 0x x   在 (0, ) 上恒成立， 令 ( ) ln 1L x x x   ，则 1 1( ) 1 xL x x x      ，所以当 (0,1)x 时， ( ) 0L x  ， 当 (1, )x  时， ( ) 0L x  ，所以 ( )L x 在 1x  处取得最小值， (1) 0L  ， 所以 ( ) 0L x  在 (0, ) 上恒成立， 所以当 2 3 x  时， 2 22 ln 1 0 3 3        ，即 ( ) 0h a  ， 故 ( )h a 在 2ln , 3      上单调递增，则 2 2 2 2( ) ln ln ln ln 2 0 e 3 3 3 h a h h                        ， 所以原不等式成立．--------------------------------------------------------------------17 分 湖州市 2024 学年第二学期期末调研测试卷 高二数学 注意事项： 1．本科目考试分试题卷和答题卷，考生须在答题纸上作答． 2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 4页，全卷满分 150 分，考试时间 120分钟． 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.已知集合 { 2, 1,0,1}A    ，  2 3B x x ∣ ，则 =A B A.{ 1,0,1} B.{0,1} C.{ 1,1} D.{0,1,2} 2.已知 i为虚数单位，复数 z满足 (1 i) 2z   ，则 z  A. 1 2 B. 2 2 C.1 D. 2 3.已知随机变量 X 服从正态分布 2(2, )N  ，且 (2 2.5) 0.1P X   ，则 ( 2.5)P X   A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8 4.把函数 cosy x 图象上所有点的横坐标变为原来的 12（纵坐标不变），再将图象上所有的点 向右平移 π 6 个单位长度，得到函数 ( )y f x 的图象，则 ( )f x  A. πcos(2 ) 6 x  B. πcos(2 ) 3 x  C. 1 πcos( ) 2 6 x  D. 1 πcos( ) 2 12 x  5.已知函数 ( )f x 和 ( )g x 在区间 [a， ]b 上的图象如图所示，则下列说法正确的是 A.函数 ( )f x 在 a到 b之间的平均变化率大于函数 ( )g x 在 a到b之间的平均变化率 B.函数 ( )f x 在 a到 b之间的平均变化率小于函数 ( )g x 在 a到b之间的平均变化率 C. 0 ( , )x a b  ，函数 ( )f x 在 0x x 处的瞬时变化率总大于 函数 ( )g x 在 0x x 处的瞬时变化率 D. 0 ( , )x a b  ，使得函数 ( )f x 在 0x x 处的瞬时变化率小于 函数 ( )g x 在 0x x 处的瞬时变化率 6.若向量 a  在向量 b  方向上的投影向量为 ( ) 2 a b b    ，则 b   A. 2 B. 2 2 C. 2 D. 1 2 7.某科技创新兴趣小组的5名同学与1名辅导老师，共 6人合影留念，站成前后相对应的两排， 每排 3人，老师站在前排中间，其中甲、乙两名同学不相邻（相邻仅包括正前后或左右）， 则不同站法种数是 A. 96 B.84 C. 72 D. 48 8. 已知直三棱柱 1 1 1ABC A BC 中， 2AB AC  ， 2π 3 BAC  ，点C到直线 1 1A B 的距离为 7， 则三棱柱 1 1 1ABC A BC 的外接球表面积是 A. 12π B. 16π C. 20π D. 24π 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分. 9.已知某品牌汽车某年销量记录如下表所示，则下列说法正确的有 A.销量的极差为 2.9 B.销量的第 60百分位数是13.8 C.销量的平均数与中位数相等 D.若销量关于月份的线性回归方程为  0.7y x b  ，则 12b  10.如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O出发，每隔1秒等可能地向左或向右移动 一个单位，共移动 6次，设质点位于点 n的概率为 ( )P n .则下列结论正确的是 A. 1(6) 64 P  B. ( ) 0E n  C.若出发点改变，其余不变，则 ( )E n 不变 D.若出发点改变，其余不变，则 ( )D n 不变 11.设函数 ( )f x 的定义域为R ，满足 ( 1 ) ( 1 )f x f x      ， (1 ) (1 )f x f x   .当  1,1x  时， 2( ) 1f x x   ，则下列结论正确的是 A. 7 3( ) 2 4 f   B. ( )f x 在 (6,8)上为减函数 C. ( 7)f x  为奇函数 D.方程 ( ) lg 0f x x  有且仅有 6个实数解 月份 x 1 2 3 4 5 6 销量 y （万辆） 12.4 11.7 13.8 13.2 14.6 15.3 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分． 12.已知 为锐角， tan 2  ，则 cos( ) 4    ▲ . 13.甲盒中有 3个白球和 2个红球，乙盒中有1个白球和 4个红球，先等可能地从甲乙两盒中任 选一个盒子，再从该盒中随机取一个球，该球为红球的概率是 ▲ . 14.已知函数 1 2 3( ) ( )( )( )f x a x x x x x x    （ 0a  ），曲线 ( )y f x 在点 ( 0)ix， 处切线的斜率为 ik （ 1,2,3i  ）．若 2 1k   ，则 1 34k k 的最小值是 ▲ . 四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本题满分 13分）在二项式 2( )nx x  （ *nN ）的展开式中前 3项的二项式系数和为16． （1）求展开式中所有项的二项式系数的和； （2）求含 2x 的项的系数． 16．（本题满分 15分）已知三棱锥 D ABC ， ABC 是边长为 2的正三角形， 3 DAB DAC     , 3AD  ． （1）证明： AD BC ； （2）动点 E满足 CBDE  （ R  ），求直线CE 与平面 ABD所成角的正弦值的最大值． 17.（本题满分 15分）在 ABC 中，内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且 tan 3 tanC B  . （1）求 A的最大值； （2）若 3c a ，求 B的值. 18．（本题满分 17分）2025年人工智能大模型 DeepSeek横空出世，成为我们解决问题的“好 参谋，好助手”，人工智能大模型正在改变着我们的工作和生活的方式．为了了解不同学历人 群对 DeepSeek的使用情况，随机调查了 200人，得到如下数据（单位：人）： （1）依据小概率值 0.01  的独立性检验，能否认为 DeepSeek的使用情况与学历有关？ （2）某校组织“ AI 模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有 3道 题目，甲、乙同时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束.规定：若对同一道题目，两人同 时答对或答错，每人得 0分；若一人答对另一人答错，答对的得10分，答错的得 10 分，比 赛结束累加得分为正数者获胜，两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影 响，若甲，乙两名选手正确回答每道题的概率分别为 0.6， 0.5． （ⅰ）求比赛结束后甲获胜的概率； （ⅱ）求比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率． 附：      2 2 ( )n ad bc a b c d a c b d       ， 其中 n a b c d    ． 19.（本题满分 17分）若函数 ( )f x 在定义域内存在两个不同的实数 21,x x ，满足 1 2( ) ( )f x f x ， 且曲线 ( )f x 在点 1( , ( ))x f x 和点 2 2( , ( ))x f x 处的切线斜率相同，则称函数 ( )f x 为“同切函数”． （1）证明：函数 3( ) 3f x x x   为“同切函数”； （2）若函数 2 1( ) ln e g x x x x ax   （ Ra ）为“同切函数”（其中 e为自然对数的底数）， 并设满足条件的两个实数为 21,x x ． （ⅰ）求实数 a的取值范围； （ⅱ）求证：   2 1 2 1 2 3 4 4 1a x x x x    ． 学历 使用情况 合计 经常使用 不经常使用 本科及以上 65 35 100 本科以下 50 50 100 合计 115 85 200  0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 ax 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828